Pyramide et cône : patron et volume

Ce qu'il faut déjà savoir (30 secondes)

Avant de calculer un volume, tu dois savoir calculer une aire de base :

Aire d'un carré de côté $c$ : $\mathcal{A} = c^2$.

Aire d'un rectangle de dimensions $L$ et $\ell$ : $\mathcal{A} = L \times \ell$.

Aire d'un disque de rayon $r$ : $\mathcal{A} = \pi r^2$.

Dernier réflexe : la hauteur $h$ d'un solide, c'est le segment qui descend du sommet perpendiculairement au plan de la base (à angle droit), et surtout pas le côté oblique.

L'essentiel + la formule qui sauve la mise

Une pyramide et un cône, c'est pareil dans l'idée : une base posée à plat, et tout ce qui monte se rejoint en un seul point, le sommet. La pyramide a une base polygone (souvent un carré) ; le cône a une base ronde (un disque).

La formule du volume est la même pour les deux : un tiers de l'aire de la base multipliée par la hauteur.

$V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$

Pour le cône, l'aire de la base est celle du disque, donc :

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$

Le seul piège de débutant : ne jamais oublier le $\dfrac{1}{3}$.

Un exemple fait de A à Z

Énoncé : une pyramide a pour base un carré de côté $4$ cm et une hauteur $h = 6$ cm. Quel est son volume ?

Étape 1 — l'aire de la base (un carré) : $\mathcal{A}_{\text{base}} = 4^2 = 16 \text{ cm}^2$.

Étape 2 — on applique la formule : $V = \dfrac{1}{3} \times 16 \times 6$.

Étape 3 — on calcule : $V = \dfrac{96}{3} = 32 \text{ cm}^3$.

Réponse : le volume vaut $32 \text{ cm}^3$. Tu vois, une aire, une multiplication, un tiers : c'est déjà fini.

Les définitions, au propre

Pyramide. Sa base est un polygone ; ses faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un point, le sommet. Elle est dite régulière lorsque sa base est un polygone régulier (carré, triangle équilatéral...) et que son sommet se trouve juste à la verticale du centre de la base.

Cône de révolution. Sa base est un disque de rayon $r$ ; sa surface latérale, courbe, rejoint elle aussi un sommet. On appelle génératrice tout segment qui joint le sommet à un point du cercle de base.

Hauteur. Dans les deux cas, $h$ est la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de la base. À ne pas confondre avec la génératrice $l$ du cône, qui, elle, est oblique.

Les formules et la méthode pas à pas

Trois formules à garder en tête :

Génératrice du cône (le côté oblique) : $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.

Volume d'une pyramide : $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$.

Volume d'un cône : $V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$.

Méthode pour un volume :

• Repérer le solide et relever la hauteur $h$ (bien la perpendiculaire, pas l'oblique).
• Calculer l'aire de la base : $c^2$ pour un carré, $L \times \ell$ pour un rectangle, $\pi r^2$ pour un disque.
• Appliquer $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$.
• Donner la valeur exacte (avec $\pi$ si besoin), puis la valeur approchée si l'énoncé la réclame.

Deux exemples traités

Pyramide à base carrée. Base : carré de côté $4$ cm ; hauteur $h = 6$ cm.

$\mathcal{A}_{\text{base}} = 4^2 = 16 \text{ cm}^2$.

$V = \dfrac{1}{3} \times 16 \times 6 = \dfrac{96}{3} = 32 \text{ cm}^3$.

Cône. Rayon $r = 3$ cm ; hauteur $h = 7$ cm.

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 7 = \dfrac{63\pi}{3} = 21\pi \approx 66{,}0 \text{ cm}^3$.

Remarque : on garde d'abord la valeur exacte $21\pi$, et on n'écrit la valeur approchée $66{,}0 \text{ cm}^3$ qu'à la toute fin.

Ensemble : le volume d'une pyramide

Énoncé : pyramide à base carrée, côté $4$ cm, hauteur $h = 6$ cm.

D'abord, on identifie la base : c'est un carré de côté $4$ cm. On calcule son aire.

$\mathcal{A}_{\text{base}} = 4^2 = 16 \text{ cm}^2$ — on met bien l'unité au carré, c'est une aire.

Ensuite, on écrit la formule avant de remplacer, ça évite les oublis : $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$.

On remplace : $V = \dfrac{1}{3} \times 16 \times 6$.

On calcule $16 \times 6 = 96$, puis on divise par $3$ : $V = \dfrac{96}{3} = 32$.

On conclut avec l'unité de volume (au cube) : $V = 32 \text{ cm}^3$.

Ensemble : le volume d'un cône

Énoncé : cône de rayon $r = 3$ cm et de hauteur $h = 7$ cm.

La base est un disque : son aire est $\pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \text{ cm}^2$. On garde le $\pi$, on ne l'écrase pas tout de suite.

Formule du volume : $V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$.

On remplace : $V = \dfrac{1}{3} \times 9\pi \times 7$.

On multiplie les nombres entre eux : $9 \times 7 = 63$, donc $V = \dfrac{63\pi}{3}$.

On simplifie la fraction : $\dfrac{63}{3} = 21$, donc $V = 21\pi \text{ cm}^3$ (valeur exacte).

Enfin, seulement si on la demande, la valeur approchée : $21\pi \approx 66{,}0 \text{ cm}^3$.

Ensemble : la génératrice et l'apothème (Pythagore caché)

Ces deux longueurs obliques se calculent toutes les deux avec un triangle rectangle. On s'entraîne dessus.

Génératrice d'un cône de rayon $r = 3$ cm et de hauteur $h = 4$ cm. On applique $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.

$l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$. (Le fameux triangle $3$-$4$-$5$.)

Apothème d'une face d'une pyramide à base carrée, de côté $c = 6$ cm et de hauteur $h = 4$ cm. On applique $a = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{c}{2}\right)^2}$.

La moitié du côté vaut $\dfrac{c}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \text{ cm}$.

$a = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$.

Retiens bien : l'apothème $a$ (mesurée le long de la face) n'est pas la hauteur $h$ de la pyramide. Ce sont deux longueurs différentes.

Les pièges classiques (et comment les éviter)

• Le $\dfrac{1}{3}$ oublié. Le volume d'une pyramide ou d'un cône n'est pas $\mathcal{A}_{\text{base}} \times h$ (ça, c'est le prisme ou le cylindre). Il faut le tiers.
• Hauteur $h$ contre génératrice $l$. Dans la formule du volume, on utilise la hauteur $h$ (perpendiculaire), jamais la génératrice $l$ (oblique). Si l'énoncé ne te donne que $l$, calcule d'abord la hauteur avec $h = \sqrt{l^2 - r^2}$ (c'est la même relation de Pythagore, réarrangée).
• Le patron du cône. Le grand secteur a pour rayon la génératrice $l$, et non le rayon $r$ de la base.
• Apothème contre hauteur. Sur une pyramide, l'apothème de la face $a$ (le long du triangle) n'est pas la hauteur $h$ de la pyramide.

Problème résolu : le patron d'un cône

Énoncé : un cône a pour rayon $r = 3$ cm et pour hauteur $h = 4$ cm. On veut construire son patron : quel est le rayon du secteur, et quel est son angle ?

Le patron a deux pièces : un disque de rayon $r = 3$ cm (la base) et un secteur de rayon la génératrice $l$.

Étape 1 — la génératrice : $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$. Le secteur a donc pour rayon $5$ cm.

Étape 2 — l'angle du secteur, avec $\theta = 360° \times \dfrac{r}{l}$.

$\theta = 360° \times \dfrac{3}{5} = 360° \times 0{,}6 = 216°$.

Vérification maligne : l'arc du secteur doit mesurer autant que le périmètre de la base, soit $2\pi r = 2\pi \times 3 = 6\pi \text{ cm}$. Tout est cohérent.

Ce que le correcteur attend : la génératrice justifiée par Pythagore, la formule de l'angle posée avant le calcul, le degré ($°$) dans la réponse, et le bon rayon (celui du secteur est $l$, pas $r$).

Problème résolu : volume et apothème d'une pyramide

Énoncé : une pyramide régulière a une base carrée de côté $c = 6$ cm et une hauteur $h = 4$ cm. Calcule son volume, puis l'apothème d'une face.

Étape 1 — l'aire de la base : $\mathcal{A}_{\text{base}} = 6^2 = 36 \text{ cm}^2$.

Étape 2 — le volume : $V = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 4 = \dfrac{144}{3} = 48 \text{ cm}^3$.

Étape 3 — l'apothème de la face, avec $a = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{c}{2}\right)^2}$. Ici $\dfrac{c}{2} = 3 \text{ cm}$.

$a = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$.

Ce que le correcteur attend : le $\dfrac{1}{3}$ bien présent, les unités correctes (cm² pour l'aire, cm³ pour le volume, cm pour l'apothème), et surtout ne pas confondre $a = 5$ cm (le long de la face) avec $h = 4$ cm (la hauteur).

Pourquoi un tiers, au juste ?

Le $\dfrac{1}{3}$ n'est pas tombé du ciel. Voici l'idée qui l'explique. Prends un cube d'arête $a$. On peut le découper en trois pyramides identiques, chacune ayant pour base une face du cube et pour sommet le coin opposé.

Comme les trois pyramides sont superposables et remplissent tout le cube, chacune occupe le tiers du volume du cube : $\dfrac{a^3}{3}$.

Or la base d'une de ces pyramides est un carré d'aire $a^2$ et sa hauteur vaut $a$. On retrouve donc $V = \dfrac{a^3}{3} = \dfrac{1}{3} \times a^2 \times a = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$. Le tiers vient exactement de là.

Pour le cône, l'idée est la même : c'est une pyramide dont la base, au lieu d'être un polygone, est un disque. Même raisonnement, même tiers.

Les ponts avec le reste du programme

• Pythagore partout. La génératrice $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ et l'apothème $a = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{c}{2}\right)^2}$ ne sont rien d'autre que le théorème de Pythagore appliqué dans un triangle rectangle caché à l'intérieur du solide.
• Périmètre et aire du cercle. Le patron du cône relie l'arc du secteur ($2\pi r$) au périmètre de la base : c'est ta leçon sur le cercle qui resurgit.
• Proportionnalité. L'angle du secteur, $\theta = 360° \times \dfrac{r}{l}$, est une simple proportion entre l'arc et le tour complet.

Un avant-goût de la 3e

L'an prochain, tu ajouteras un solide arrondi et sans sommet : la sphère (la surface) et la boule (le plein), avec une nouvelle formule de volume, $V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$.

Tu verras aussi les agrandissements et réductions : si on multiplie toutes les longueurs d'un solide par un coefficient $k$, son volume, lui, est multiplié par $k^3$. Double les dimensions d'une pyramide, et son volume est multiplié par $8$.

Enfin, tu croiseras les sections de ces solides par un plan (couper un cône, une pyramide) et le théorème de Thalès dans l'espace. Mais ça, c'est l'histoire de l'année prochaine.