Pyramide et cône : patron et volume

Deux solides à sommet, une même formule de volume : le tiers de la base fois la hauteur.

1 L'idée

Une pyramide a pour base un polygone ; ses faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un point appelé sommet. Elle est dite régulière si sa base est un polygone régulier et si son sommet est situé à la verticale du centre de la base.

Un cône de révolution a pour base un disque de rayon $r$ ; sa surface latérale courbe rejoint également un sommet. On appelle génératrice tout segment joignant le sommet à un point du cercle de base. La hauteur $h$ est, dans les deux cas, la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de la base.

2 Formules à retenir

Génératrice du cône

$l = \sqrt{r^2 + h^2}$

Volume — pyramide

$V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$

Volume — cône

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$

3 Patrons

Patron d'une pyramide régulière à base carrée : la base (carré de côté $c$) entourée de ses quatre faces triangulaires. La hauteur de chaque triangle est l'apothème de la face, noté $a$ — distance du sommet au milieu d'un côté de la base, mesurée le long de la face. À ne pas confondre avec la hauteur $h$ de la pyramide : $a = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{c}{2}\right)^2}$.

Patron d'un cône : deux pièces — un disque de rayon $r$ (la base) et un secteur angulaire de rayon $l$ (la génératrice). L'arc du secteur a pour longueur $2\pi r$ (égale au périmètre de la base). L'angle du secteur vaut $\theta = 360° \times \dfrac{r}{l}$.

4 Exemples de calcul de volume

Pyramide à base carrée

Base : carré de côté $4$ cm ; hauteur $h = 6$ cm.

$\mathcal{A}_{\text{base}} = 4^2 = 16 \text{ cm}^2$

$V = \dfrac{1}{3} \times 16 \times 6 = \dfrac{96}{3} = 32 \text{ cm}^3$

Cône

Rayon $r = 3$ cm ; hauteur $h = 7$ cm.

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 7 = \dfrac{63\pi}{3} = 21\pi \approx 66{,}0 \text{ cm}^3$

Méthode — calculer le volume

Identifier le solide et relever la hauteur $h$ (perpendiculaire à la base).
Calculer l'aire de la base : $c^2$ pour un carré de côté $c$ ; $L \times \ell$ pour un rectangle ; $\pi r^2$ pour un disque.
Appliquer $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$.
Donner la valeur exacte (avec $\pi$ si nécessaire), puis la valeur approchée si demandé.

Erreurs fréquentes

Oublier le $\dfrac{1}{3}$ : le volume d'une pyramide n'est pas $\mathcal{A} \times h$.
Confondre la hauteur $h$ (perpendiculaire) et la génératrice $l$ (oblique) dans la formule du volume.
Sur le patron du cône, le rayon du secteur est $l$ (la génératrice), pas $r$ (le rayon de la base).
L'apothème de la face $a$ est différent de la hauteur $h$ de la pyramide.