Pas de panique ! Le repérage dans le plan, c'est comme une carte au trésor. On va voir l'essentiel très vite. Pour ça, on a juste besoin de savoir ce qu'est un nombre relatif et comment on se repère sur une droite graduée. Tu te souviens ? À gauche de zéro, c'est négatif, à droite c'est positif. On va juste étendre ça à deux dimensions, comme un jeu vidéo.
Les bases : axe horizontal et axe vertical
Un repère orthogonal est formé de deux axes gradués perpendiculaires qui se croisent en un point appelé origine, souvent noté $O(0 ; 0)$.
L'axe horizontal s'appelle l'axe des abscisses $(Ox)$ : il indique la position gauche/droite.
L'axe vertical s'appelle l'axe des ordonnées $(Oy)$ : il indique la position bas/haut, comme l'altitude.
Tout point du plan est repéré par deux nombres entre parenthèses et séparés par un point-virgule : $(x ; y)$. Le premier nombre est toujours l'abscisse $x$, le deuxième est l'ordonnée $y$. Pour placer un point, on part de l'origine $O$. On se déplace d'abord horizontalement (gauche si $x$ est négatif, droite si positif), puis verticalement (bas si $y$ est négatif, haut si positif).
Coordonnées sur un axe (rappel de 5e)
Si un point a pour abscisse $0$, il est sur l'axe des ordonnées. Exemple : $C(0 ; -3)$.
Si un point a pour ordonnée $0$, il est sur l'axe des abscisses. Exemple : $A(3 ; 0)$.
À toi de jouer
1. On te donne le point $M$ sur ce repère. Complète la lecture de ses coordonnées :
Observe le repère ci-dessous. Le point $M$ est situé à $x = \underline{\hspace{1.1em}}$ unités vers la droite (abscisse positive) et $y = \underline{\hspace{1.1em}}$ unités vers le haut (ordonnée positive). Donc ses coordonnées sont $M(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Indice : regarde les traits pointillés, ils tombent sur quelles graduations ?
Corrigé
Le point $M$ est situé à $x = 2$ unités vers la droite et $y = 1$ unité vers le haut. Donc ses coordonnées sont $M(2 ; 1)$.
2. Voici quatre points. Associe chaque point à sa description en reliant par une flèche (ou écris la bonne lettre dans la case).
$A(3 ; 0)$ $C(0 ; -3)$ $D(-1 ; -2)$ $B(-2 ; 4)$
Quel point a ses deux coordonnées négatives (3e quadrant) ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ Quel point est sur l'axe des abscisses (car son ordonnée est nulle) ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ Quel point est sur l'axe des ordonnées (car son abscisse est nulle) ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ Quel point a son abscisse égale à $-2$ ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Deux coordonnées négatives : $D(-1 ; -2)$ Sur l'axe des abscisses : $A(3 ; 0)$ Sur l'axe des ordonnées : $C(0 ; -3)$ Abscisse égale à $-2$ : $B(-2 ; 4)$
3. On lit des coordonnées. Complète : Le point $P$ a pour abscisse $\underline{\hspace{1.1em}}$ et pour ordonnée $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc on note $P(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
Le point $P$ a pour abscisse $5$ et pour ordonnée $0$, donc on note $P(5 ; 0)$.
Ah, c'est reparti ! Les coordonnées, on les utilise pour se repérer, et aussi pour trouver le milieu d'un segment. Tu te rappelles la méthode ? On fait la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées. On va remettre tout ça en place tranquillement.
Méthode pas-à-pas : calculer le milieu d'un segment
Le milieu $I$ d'un segment $[AB]$ est le point situé exactement à mi-chemin entre $A$ et $B$. Ses coordonnées sont les moyennes des coordonnées de $A$ et $B$.
Noter les coordonnées de $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$.
Calculer la moyenne des abscisses : $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}$.
Calculer la moyenne des ordonnées : $y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}$.
Écrire le résultat : $I(x_I ; y_I)$.
Attention : ne pas inverser abscisse et ordonnée ! L'abscisse est toujours le premier nombre.
Pièges à éviter
Inverser l'ordre : écrire $(y ; x)$ au lieu de $(x ; y)$.
Oublier de diviser par 2 la somme.
Se tromper avec les signes négatifs : par exemple, $5 + (-1) = 4$, pas $6$.
À toi de jouer
1. On va calculer le milieu ensemble, en remplissant les trous.
Soient $A(2 ; 4)$ et $B(6 ; 8)$. 1) $x_A = \underline{\hspace{1.1em}}$, $y_A = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $x_B = \underline{\hspace{1.1em}}$, $y_B = \underline{\hspace{1.1em}}$. 2) Abscisse du milieu : $x_I = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$. 3) Ordonnée du milieu : $y_I = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$. 4) Donc le milieu $I$ a pour coordonnées $I(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
On automatise le calcul du milieu. Cinq exercices quasi identiques. Tu vas voir, c'est toujours la même recette : la somme des abscisses divisée par 2, la somme des ordonnées divisée par 2. Prêt ou prête ? On y va !
À toi de jouer
1. Calcule le milieu $I$ de $[AB]$ avec $A(5 ; 3)$ et $B(9 ; 7)$.
Maintenant, on fait de vrais exercices de contrôle. Tu vas devoir lire des coordonnées, placer des points, calculer des milieux, et même retrouver un point à partir du milieu. Montre ce que tu sais faire !
À toi de jouer
1. Voici des points dans un repère. Lis leurs coordonnées.
Sans figure, on te donne les indications suivantes : $A$ est sur l'axe des abscisses, à 4 unités à droite de l'origine. $B$ est sur l'axe des ordonnées, à 3 unités en dessous de l'origine. $C$ a une abscisse de $-2$ et une ordonnée de $5$.
Écris les coordonnées de ces trois points.
Corrigé
$A(4 ; 0)$ car une ordonnée nulle signifie qu'il est sur l'axe des abscisses. $B(0 ; -3)$ car une abscisse nulle signifie qu'il est sur l'axe des ordonnées. $C(-2 ; 5)$ directement d'après l'énoncé.
2. Dans un repère orthogonal, place les points suivants : $E(4 ; 2)$, $F(-3 ; 1)$ et $G(2 ; -3)$. Pour chacun, indique dans quel quadrant il se trouve (1er, 2e, 4e).
Corrigé
$E(4 ; 2)$ : les deux coordonnées sont positives, donc il est dans le 1er quadrant. $F(-3 ; 1)$ : abscisse négative, ordonnée positive, donc 2e quadrant. $G(2 ; -3)$ : abscisse positive, ordonnée négative, donc 4e quadrant.
Pour le placement, $E$ est à 4 unités à droite et 2 vers le haut ; $F$ à 3 unités à gauche et 1 vers le haut ; $G$ à 2 unités à droite et 3 vers le bas.
3. Calcule les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ dans chaque cas suivant : a) $A(1 ; 3)$ et $B(7 ; 9)$ b) $A(-5 ; 6)$ et $B(3 ; -2)$
Corrigé
a) $x_I = \dfrac{1+7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ ; $y_I = \dfrac{3+9}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$. Donc $I(4 ; 6)$. b) $x_I = \dfrac{-5+3}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$ ; $y_I = \dfrac{6+(-2)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$. Donc $I(-1 ; 2)$.
4. Retrouver un point à partir du milieu. Le milieu du segment $[AB]$ est $I(3 ; 1)$. On sait que $A$ a pour coordonnées $A(1 ; -2)$. a) Écris les deux équations qui découlent de la formule du milieu pour trouver $x_B$ et $y_B$. b) Résous ces équations et donne les coordonnées de $B$.
Corrigé
a) $\dfrac{1 + x_B}{2} = 3$ et $\dfrac{-2 + y_B}{2} = 1$. b) La première donne $1 + x_B = 6$, donc $x_B = 5$. La seconde donne $-2 + y_B = 2$, donc $y_B = 4$. $B$ a pour coordonnées $(5 ; 4)$.
5. Un rectangle $ABCD$ a pour sommets $A(2 ; 1)$, $B(8 ; 1)$, $C(8 ; 7)$ et $D(2 ; 7)$. a) Calcule les coordonnées du milieu $I$ de la diagonale $[AC]$. b) Calcule les coordonnées du milieu $J$ de la diagonale $[BD]$. c) Que remarques-tu ? Quelle propriété géométrique cela illustre-t-il ?
Corrigé
a) $x_I = \dfrac{2+8}{2} = 5$ ; $y_I = \dfrac{1+7}{2} = 4$. Donc $I(5 ; 4)$. b) $x_J = \dfrac{8+2}{2} = 5$ ; $y_J = \dfrac{1+7}{2} = 4$. Donc $J(5 ; 4)$. c) On remarque que $I$ et $J$ ont exactement les mêmes coordonnées. Cela illustre la propriété selon laquelle les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu commun, qui est aussi le centre de symétrie du rectangle.
Prêt pour un aperçu de la 3e ? On va utiliser les coordonnées pour calculer des distances. L'outil magique de l'an prochain s'appelle le théorème de Pythagore, mais aujourd'hui on va déjà voir comment un repère permet de faire le lien avec la géométrie.
Coordonnées et distance (aperçu 3e)
Pour calculer la distance entre deux points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ dans un repère orthogonal, on peut construire un triangle rectangle dont $[AB]$ est l'hypoténuse. La différence des abscisses donne un côté horizontal, la différence des ordonnées un côté vertical. La longueur $AB$ est alors donnée par la formule : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. C'est une application directe du théorème de Pythagore que tu verras en détail l'année prochaine.
À toi de jouer
1. On considère les points $A(1 ; 2)$ et $B(5 ; 5)$. a) Calcule la différence des abscisses : $x_B - x_A = \underline{\hspace{1.1em}}$. b) Calcule la différence des ordonnées : $y_B - y_A = \underline{\hspace{1.1em}}$. c) On admet que $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$. Calcule $AB^2$ puis déduis-en $AB$ en utilisant une racine carrée simple (valeur exacte).
Corrigé
a) Différence des abscisses : $x_B - x_A = 5 - 1 = 4$. b) Différence des ordonnées : $y_B - y_A = 5 - 2 = 3$. c) $AB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$. Donc $AB = \sqrt{25} = 5$.
2. Même principe avec des coordonnées contenant des négatifs. $A(-2 ; 4)$ et $B(3 ; -1)$. a) Calcule la différence des abscisses : $\underline{\hspace{1.1em}} - (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$. b) Calcule la différence des ordonnées : $\underline{\hspace{1.1em}} - (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$. c) Calcule $AB^2$ avec la même formule qu'avant, puis $AB$ (valeur exacte).
Corrigé
a) Différence des abscisses : $3 - (-2) = 3 + 2 = 5$. b) Différence des ordonnées : $-1 - 4 = -5$. c) $AB^2 = 5^2 + (-5)^2 = 25 + 25 = 50$. Donc $AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ (valeur exacte).
3. Défi : les points $A(3 ; 4)$, $B(7; 4)$ et $C(3 ; 1)$ forment un triangle rectangle en $A$. Vérifie que $AB = 4$ et $AC = 3$. Sans nouveau calcul, quelle est la longueur $BC$ ? Justifie.
Corrigé
$A(3 ; 4)$ et $B(7 ; 4)$ ont la même ordonnée, donc $AB = 7 - 3 = 4$. $A(3 ; 4)$ et $C(3 ; 1)$ ont la même abscisse, donc $AC = 4 - 1 = 3$. Comme le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, on peut appliquer le théorème de Pythagore (anticipation) : $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$, donc $BC = 5$. Remarque : on retrouve le même triangle 3-4-5 que dans l'exercice 1, déplacé dans le repère.
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