Repérage dans le plan

Lire et placer des points, calculer le milieu d'un segment — les essentiels du repère orthogonal.

1 L'idée

Un repère orthogonal est formé de deux axes perpendiculaires qui se coupent en un point appelé origine $O(0 ; 0)$. L'axe horizontal est l'axe des abscisses $(Ox)$, l'axe vertical l'axe des ordonnées $(Oy)$. Tout point $M$ du plan est alors repéré par un couple $(x_M ; y_M)$ : $x_M$ est l'abscisse (position horizontale) et $y_M$ l'ordonnée (position verticale).

2 Coordonnées et milieu

Point M

$M(x_M \, ; \, y_M)$

Milieu I de [AB]

$x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} \qquad y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}$

3 Exemples calculés

Exemple A — Lire et placer

Dans un repère, le point $A(3 ; -2)$ est à l'abscisse $3$ (3 cases à droite de $O$) et à l'ordonnée $-2$ (2 cases sous $O$).

Le point $B(0 ; 4)$ a une abscisse nulle : il est sur l'axe des ordonnées.

Exemple B — Milieu d'un segment

Soient $A(1 ; 5)$ et $B(7 ; -1)$. On cherche le milieu $I$ de $[AB]$.

$x_I = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$

$y_I = \dfrac{5 + (-1)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$

Donc $I(4 ; 2)$.

Méthode — Calculer le milieu d'un segment

Relever les coordonnées des deux extrémités $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$.
Calculer la moyenne des abscisses : $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}$.
Calculer la moyenne des ordonnées : $y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}$.
Écrire le résultat sous la forme $I(x_I ; y_I)$.

Erreurs fréquentes

Inverser abscisse et ordonnée : dans $M(x ; y)$, $x$ est toujours la coordonnée horizontale.
Écrire $M(y ; x)$ au lieu de $M(x ; y)$ — l'ordre est fixé par convention.
Multiplier au lieu de diviser par 2 pour le milieu.
Oublier le signe négatif dans la somme : $\dfrac{3 + (-5)}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$, et non $4$.