Repérage dans le plan

Ce qu'il faut déjà savoir

Avant de placer des points, tu as besoin de trois réflexes déjà vus :

• lire un nombre sur une droite graduée (compter les cases à partir de zéro) ;
• manipuler les nombres relatifs : un nombre positif va vers la droite ou vers le haut, un nombre négatif vers la gauche ou vers le bas ;
• distinguer un sens horizontal (gauche-droite) et un sens vertical (bas-haut).

Si tu sais faire ça, tu sais déjà l'essentiel du travail.

L'essentiel, en une image

On trace deux axes perpendiculaires (ils forment un angle droit). Ils se croisent en un point appelé l'origine, noté $O(0 \, ; 0)$.

L'axe horizontal est l'axe des abscisses $(Ox)$, l'axe vertical l'axe des ordonnées $(Oy)$.

Chaque point $M$ est repéré par un couple de deux nombres, écrits toujours dans le même ordre : $M(x_M \, ; \, y_M)$. Le premier, $x_M$, est l'abscisse (déplacement horizontal) ; le second, $y_M$, est l'ordonnée (déplacement vertical).

Truc à retenir : abscisse d'abord (le trottoir), ordonnée ensuite (l'ascenseur).

Et la formule du contrôle, le milieu $I$ d'un segment $[AB]$ : $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ et $y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}$. On fait la moyenne, coordonnée par coordonnée.

Un exemple fait en entier

Voici l'exercice le plus classique : trouver le milieu d'un segment. Soient $A(1 \, ; 5)$ et $B(7 \, ; -1)$. On cherche le milieu $I$ de $[AB]$.

On applique la formule pour l'abscisse : $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.

Puis pour l'ordonnée : $y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2} = \dfrac{5 + (-1)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$.

On conclut : $I(4 \, ; 2)$. C'est tout. Deux moyennes, une phrase de conclusion, et le point est trouvé.

Le vocabulaire au propre

Un repère orthogonal du plan est formé de deux axes perpendiculaires (« orthogonal » signifie « à angle droit »). Leur point d'intersection est l'origine du repère, notée $O$, de coordonnées $O(0 \, ; 0)$.

• l'axe horizontal est l'axe des abscisses, noté $(Ox)$ ;
• l'axe vertical est l'axe des ordonnées, noté $(Oy)$.

Tout point $M$ du plan est repéré par un couple de coordonnées $M(x_M \, ; \, y_M)$ :

• $x_M$ est l'abscisse : elle donne la position horizontale (à droite si positive, à gauche si négative) ;
• $y_M$ est l'ordonnée : elle donne la position verticale (en haut si positive, en bas si négative).

L'ordre est une convention fixée : on écrit toujours l'abscisse en premier, l'ordonnée ensuite. $M(x \, ; y)$ et $M(y \, ; x)$ ne désignent pas le même point.

Lire et placer un point

Il y a deux gestes symétriques à bien distinguer.

Lire un point déjà placé : on regarde à quelle graduation on se trouve à l'horizontale (c'est l'abscisse), puis à la verticale (c'est l'ordonnée). On écrit $M(x_M \, ; y_M)$.

Placer un point donné par ses coordonnées $M(x_M \, ; y_M)$ : on part de l'origine $O$, on avance de $x_M$ à l'horizontale (à droite si positif, à gauche si négatif), puis de $y_M$ à la verticale (en haut si positif, en bas si négatif), et on marque le point.

Exemple. Plaçons $A(3 \, ; -2)$ : depuis $O$, 3 cases vers la droite (abscisse $3$), puis 2 cases vers le bas (ordonnée $-2$).

Cas particulier. Le point $B(0 \, ; 4)$ a une abscisse nulle : il ne bouge pas horizontalement, il reste donc sur l'axe des ordonnées. De même, un point d'ordonnée nulle est sur l'axe des abscisses.

Le milieu d'un segment

Le milieu $I$ d'un segment $[AB]$ est le point situé exactement au centre : sa position est la moyenne des positions de $A$ et $B$.

$x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} \qquad y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}$

Méthode pas à pas :

1. relever les coordonnées des deux extrémités $A(x_A \, ; y_A)$ et $B(x_B \, ; y_B)$ ;
2. calculer la moyenne des abscisses : $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ ;
3. calculer la moyenne des ordonnées : $y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}$ ;
4. écrire le résultat sous la forme $I(x_I \, ; y_I)$.

Exemple. Avec $A(1 \, ; 5)$ et $B(7 \, ; -1)$ : $x_I = \dfrac{1 + 7}{2} = 4$ et $y_I = \dfrac{5 + (-1)}{2} = 2$, donc $I(4 \, ; 2)$.

On lit et on place, ensemble

On se donne un repère et on manipule plusieurs points, ligne par ligne.

Point $A(3 \, ; -2)$ : abscisse $3$, donc on part de $O$ et on compte 3 cases vers la droite. Ordonnée $-2$, le signe est négatif, donc 2 cases vers le bas. On est en bas à droite.

Point $B(0 \, ; 4)$ : abscisse $0$, on ne bouge pas à l'horizontale, on reste collé à l'axe vertical. Ordonnée $4$, on monte de 4. Conclusion : $B$ est sur l'axe des ordonnées.

Point $C(-3 \, ; 0)$ : abscisse $-3$, 3 cases vers la gauche ; ordonnée $0$, on ne monte pas. $C$ est sur l'axe des abscisses.

Le réflexe à garder : on lit toujours l'abscisse en premier, l'ordonnée en second, et le signe indique le sens.

On calcule un milieu, ensemble

On reprend $A(1 \, ; 5)$ et $B(7 \, ; -1)$, et on veut le milieu $I$ de $[AB]$, en commentant chaque étape.

Étape 1 — je repère les coordonnées. $x_A = 1$, $y_A = 5$, $x_B = 7$, $y_B = -1$. Je les note à part pour ne pas les mélanger.

Étape 2 — la moyenne des abscisses. $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.

Étape 3 — la moyenne des ordonnées. $y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2} = \dfrac{5 + (-1)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$.

Étape 4 — je conclus. $I(4 \, ; 2)$. Sur la figure, on voit bien que $I$ tombe pile au milieu du segment.

On dompte les nombres négatifs

La faute la plus fréquente n'est pas dans la formule, mais dans le calcul de la somme d'un positif et d'un négatif. On s'entraîne.

Prenons $A(3 \, ; 2)$ et $B(-5 \, ; 8)$. Pour l'abscisse du milieu : $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{3 + (-5)}{2}$.

Au numérateur, $3 + (-5)$, cela fait $3 - 5 = -2$. Donc $x_I = \dfrac{-2}{2} = -1$. Attention : ce n'est pas $4$ ! On additionne d'abord (en tenant compte du signe), on divise ensuite.

Pour l'ordonnée : $y_I = \dfrac{2 + 8}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$. Ici pas de piège, les deux nombres sont positifs.

Bilan : $I(-1 \, ; 5)$. Le seul endroit où l'on se plante, c'est le petit $3 + (-5)$ : prends-le au sérieux.

Les subtilités et ce que le correcteur attend

Au contrôle, le résultat seul ne suffit pas. Voici ce qui rapporte (ou coûte) des points.

• Écrire la formule avant de remplacer. Poser $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ puis remplacer montre que tu sais ce que tu fais.
• Une phrase de conclusion. On termine par « donc $I(4 \, ; 2)$ », pas par un nombre isolé.
• Le bon ordre des coordonnées. Toujours (abscisse ; ordonnée). Inverser, c'est désigner un autre point.

Pièges classiques à éviter :

• inverser abscisse et ordonnée dans $M(x \, ; y)$ ;
• multiplier par $2$ au lieu de diviser par $2$ pour le milieu ;
• oublier le signe négatif dans la somme : $\dfrac{3 + (-5)}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$, et surtout pas $4$ ;
• confondre les cas « point sur un axe » : abscisse nulle donne un point sur l'axe des ordonnées ; ordonnée nulle donne un point sur l'axe des abscisses.

Problème type 1 — le parallélogramme

Énoncé. On donne $A(1 \, ; 1)$, $B(2 \, ; 4)$, $C(5 \, ; 5)$ et $D(4 \, ; 2)$. Montrer que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ du quadrilatère $ABCD$ ont le même milieu.

Ce que le correcteur attend : calculer les deux milieux séparément, puis comparer et conclure.

Milieu de $[AC]$. $x = \dfrac{x_A + x_C}{2} = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$ et $y = \dfrac{y_A + y_C}{2} = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$. Le milieu de $[AC]$ est donc le point $(3 \, ; 3)$.

Milieu de $[BD]$. $x = \dfrac{x_B + x_D}{2} = \dfrac{2 + 4}{2} = 3$ et $y = \dfrac{y_B + y_D}{2} = \dfrac{4 + 2}{2} = 3$. Le milieu de $[BD]$ est donc le point $(3 \, ; 3)$.

Conclusion. Les deux diagonales ont le même milieu $(3 \, ; 3)$. On peut ajouter l'interprétation : quand les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, ce quadrilatère est un parallélogramme.

Problème type 2 — retrouver un point manquant

Énoncé. $I(2 \, ; 3)$ est le milieu de $[AB]$, et on connaît $A(-1 \, ; 4)$. Trouver les coordonnées de $B$.

L'idée. On part de la formule du milieu et on la « remonte ». Puisque $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}$, on multiplie par $2$ des deux côtés : $2\,x_I = x_A + x_B$, donc $x_B = 2\,x_I - x_A$. Même raisonnement pour l'ordonnée : $y_B = 2\,y_I - y_A$.

Calcul de l'abscisse. $x_B = 2 \times 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$.

Calcul de l'ordonnée. $y_B = 2 \times 3 - 4 = 6 - 4 = 2$.

Conclusion. $B(5 \, ; 2)$. Vérification rapide : le milieu de $[AB]$ vaut $\left( \dfrac{-1 + 5}{2} \, ; \, \dfrac{4 + 2}{2} \right) = (2 \, ; 3) = I$. C'est cohérent.

D'où vient la formule du milieu ?

La formule $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ n'est pas tombée du ciel : c'est exactement la moyenne de deux nombres, la même que pour une moyenne de notes.

Pourquoi la moyenne ? Le milieu est le point à égale distance de $A$ et de $B$, aligné avec eux. Sur l'axe horizontal, être « au centre » entre $x_A$ et $x_B$, c'est être à la valeur qui laisse le même écart de chaque côté : le nombre situé au milieu de l'intervalle, donc la moyenne. On raisonne de la même façon sur l'axe vertical, indépendamment.

C'est aussi une histoire de symétrie : $I$ est le centre de symétrie du segment $[AB]$. Le symétrique de $A$ par rapport à $I$ est $B$, et réciproquement, ce qui est une autre manière de dire « même écart des deux côtés ».

Calculer une longueur : rendez-vous avec Pythagore

Une question naturelle que le programme de 4e ne traite pas encore : quelle est la longueur du segment $[AB]$, c'est-à-dire la distance entre deux points ? L'astuce, que tu verras plus tard, réutilise le théorème de Pythagore.

On fabrique un triangle rectangle : un côté horizontal dont la longueur est l'écart des abscisses, un côté vertical dont la longueur est l'écart des ordonnées, et l'hypoténuse qui est justement $[AB]$.

Sur la figure, avec $A(1 \, ; 1)$ et $B(4 \, ; 5)$ : l'écart horizontal vaut $4 - 1 = 3$, l'écart vertical vaut $5 - 1 = 4$. Pythagore donne alors $AB^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$, donc $AB = 5$.

Ce n'est pas au programme de ton contrôle, mais tu vois que tout ce que tu apprends aujourd'hui — lire des coordonnées, calculer des écarts — sert de brique à la suite.

Vers la seconde : vecteurs et symétries

Quelques portes que le repérage t'ouvre pour la suite :

• Les vecteurs (seconde) : un déplacement se code par deux nombres, exactement comme un point. Les coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ se calculent avec des écarts, $x_B - x_A$ et $y_B - y_A$, les mêmes écarts que pour Pythagore.
• La symétrie centrale : tu as vu que le milieu est un centre de symétrie ; le repère permet de calculer le symétrique d'un point par rapport à un autre.
• Le repère orthonormé : si en plus les deux axes ont la même unité, on peut mesurer directement des longueurs et des distances — c'est le cadre de la géométrie analytique du lycée.
• Les fonctions et les graphiques : une courbe n'est qu'une collection de points $(x \, ; y)$ dans un repère ; savoir lire des coordonnées, c'est déjà savoir lire un graphique.

Autrement dit, le petit couple $(x \, ; y)$ que tu manipules en 4e est l'un des outils les plus réutilisés de toutes les maths.