V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques4eEspace et geometrieExercices + corrigé

Théorème des milieux — Exercices

Application directe, réciproque, périmètre et problème concret. Corrigé détaillé inclus.
⏱ ~25 min✎ Calculatrice non indispensable
1Application directe/ 4 pts
Dans le triangle $ABC$, $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[AC]$. On donne $BC = 8$ cm et $AB = 10$ cm.
  1. Justifie que $(MN) \parallel (BC)$.
  2. Calcule $MN$.
  3. Calcule $AM$.
2Utiliser la réciproque/ 3 pts
Dans le triangle $PQR$, $S$ est le milieu de $[PQ]$. Le point $T$ est sur $[PR]$ et $(ST) \parallel (QR)$. On donne $QR = 13$ cm et $PR = 6$ cm.
  1. Que peut-on conclure sur le point $T$ ? Justifie.
  2. Calcule $ST$.
  3. Calcule $TR$.
3Périmètre et milieux/ 5 pts
Dans le triangle $ABC$, $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[BC]$. On donne $AC = 9$ cm, $AB = 12$ cm et $BC = 14$ cm.
  1. Calcule $MN$.
  2. Calcule le périmètre du triangle $MBN$.
  3. Calcule le périmètre du triangle $ABC$.
  4. Que constates-tu en comparant les deux périmètres ?
4Problème concret/ 5 pts
Un terrain a la forme du triangle $ABC$ avec $AB = 14$ m, $BC = 18$ m et $AC = 10$ m. Un agriculteur plante des piquets $M$ et $N$ aux milieux de $[AB]$ et $[AC]$, et tend une corde le long de $[MN]$.
  1. Justifie que $(MN) \parallel (BC)$.
  2. Quelle longueur de corde faut-il pour $[MN]$ ?
  3. Calcule le périmètre du triangle $AMN$.
  4. Quelle fraction du périmètre du triangle $ABC$ représente le périmètre du triangle $AMN$ ?
Corrigé détaillé
1Application directe
a) \(M \text{ milieu de } [AB] \text{ et } N \text{ milieu de } [AC] \Rightarrow \text{par le théorème des milieux :}\) \((MN) \parallel (BC)\)
b) \(MN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{8}{2} =\) \(MN = 4 \text{ cm}\)
c) \(AM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{10}{2} =\) \(AM = 5 \text{ cm}\)
2Utiliser la réciproque
a) \(S \text{ milieu de } [PQ],\; (ST) \parallel (QR),\; T \in [PR] \Rightarrow \text{par la réciproque du théorème des milieux :}\) \(T \text{ est le milieu de } [PR]\)
b) \(ST = \dfrac{QR}{2} = \dfrac{13}{2} =\) \(ST = 6{,}5 \text{ cm}\)
c) \(TR = \dfrac{PR}{2} = \dfrac{6}{2} =\) \(TR = 3 \text{ cm}\)
3Périmètre et milieux
a) \(M \text{ milieu de } [AB],\; N \text{ milieu de } [BC] \Rightarrow MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{9}{2} =\) \(MN = 4{,}5 \text{ cm}\)
b) \(MB = \dfrac{AB}{2} = 6 \text{ cm} \;,\quad NB = \dfrac{BC}{2} = 7 \text{ cm} \quad P(MBN) = 6 + 7 + 4{,}5 =\) \(P(MBN) = 17{,}5 \text{ cm}\)
c) \(P(ABC) = AC + AB + BC = 9 + 12 + 14 =\) \(P(ABC) = 35 \text{ cm}\)
d) \(\dfrac{P(MBN)}{P(ABC)} = \dfrac{17{,}5}{35} =\) \(\dfrac{1}{2} \text{ : le périmètre de } MBN \text{ est la moitié du périmètre de } ABC\)
4Problème concret
a) \(M \text{ milieu de } [AB],\; N \text{ milieu de } [AC] \Rightarrow \text{par le théorème des milieux :}\) \((MN) \parallel (BC)\)
b) \(MN = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{18}{2} =\) \(MN = 9 \text{ m}\)
c) \(AM = \dfrac{AB}{2} = 7 \text{ m} \;,\quad AN = \dfrac{AC}{2} = 5 \text{ m} \quad P(AMN) = 7 + 5 + 9 =\) \(P(AMN) = 21 \text{ m}\)
d) \(P(ABC) = 14 + 18 + 10 = 42 \text{ m} \quad \dfrac{P(AMN)}{P(ABC)} = \dfrac{21}{42} =\) \(\dfrac{1}{2}\)