Salut ! Pas de panique, on va voir le théorème des milieux en partant de zéro. Tu as un contrôle bientôt ? Pas de souci, on va vite devenir fonctionnel. On commence par les bases indispensables : milieu, triangle, parallèle. Ensuite, le théorème direct pour calculer une longueur. Allez, on y va !
Prérequis – le b.a.-ba
Avant de parler du théorème, assure-toi de savoir :
Milieu d’un segment : le point qui partage le segment en deux parties égales. Si M est le milieu de [AB], alors AM = MB = AB/2.
Triangle : 3 côtés, 3 sommets. On note les sommets en majuscules, les côtés par deux sommets.
Droites parallèles : deux droites qui ne se coupent jamais, on note (d) // (d’).
Fraction moitié : diviser par 2, c’est multiplier par 1/2.
Le théorème des milieux (sens direct) – pour calculer
Dans un triangle, si tu prends les milieux de deux côtés et que tu les relies, alors ce petit segment (le « segment des milieux ») est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de ce troisième côté.
Autrement dit : si M est le milieu de [AB] et N le milieu de [AC] dans le triangle ABC, alors :
(MN) // (BC) et MN = BC/2
Essayons tout de suite !
À toi de jouer
1. En observant la figure ci-dessus, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. Complète les affirmations suivantes : D’après le théorème des milieux, (MN) est parallèle à (). La longueur MN est égale à la moitié de , donc MN = / 2.
Corrigé
D’après le théorème des milieux, (MN) est parallèle à (BC). La longueur MN est égale à la moitié de BC, donc MN = BC / 2.
2. Dans le triangle DEF, P est le milieu de [DE] et Q est le milieu de [DF]. On sait que EF = 12 cm. Complète les calculs suivants : Par le théorème des milieux, PQ = / 2 = / 2 = cm. De plus, (PQ) // ().
Corrigé
Par le théorème des milieux, PQ = EF / 2 = 12 / 2 = 6 cm. De plus, (PQ) // (EF).
3. Soit un triangle GHI, R milieu de [GH], S milieu de [GI]. Si HI = 10 cm, combien mesure RS ? Justifie en une phrase.
Corrigé
RS = 5 cm car par le théorème des milieux, RS = HI/2.
Ah, tu te souviens un peu ! On va remettre tout ça en place. Je te rappelle le théorème direct (on l’a vu au palier 1) et on ajoute la réciproque : comment prouver qu’un point est un milieu. Avec méthode pas à pas, tu vas gérer.
Le théorème direct
Rappel : Si M et N sont les milieux de [AB] et [AC] dans le triangle ABC, alors : (MN) // (BC) et MN = BC/2.
Utile pour calculer une longueur quand tu connais la longueur du troisième côté.
La réciproque
Maintenant, imagine que tu connais un seul milieu et une droite parallèle. Tu peux en déduire que le point où cette parallèle coupe l'autre côté est aussi un milieu !
Énoncé : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Et en plus, la longueur du segment reliant les deux milieux est toujours la moitié du côté parallèle.
Ainsi, si M milieu de [AB] et (MN) // (BC) avec N sur [AC], alors N est le milieu de [AC] et MN = BC/2.
Attention : La réciproque sert à prouver qu'un point est un milieu.
Méthode en 3 étapes
Identifier le triangle et les points.
Vérifier les hypothèses : deux milieux ? → théorème direct. Un milieu + une parallèle ? → réciproque.
Énoncer la conclusion complète (parallélisme ET longueur, ou milieu ET longueur).
Rédige toujours : « D’après le théorème des milieux… » ou « D’après la réciproque du théorème des milieux… ».
À toi de jouer
1. Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. On donne BC = 18 cm. Complète les phrases suivantes : D’après le du théorème des milieux, (MN) // () et MN = / 2 = cm.
Corrigé
D’après le théorème direct du théorème des milieux, (MN) // (BC) et MN = BC / 2 = 18 / 2 = 9 cm.
2. Dans le triangle DEF, G est le milieu de [DE]. La droite (GH) est parallèle à (DF) et H est sur [EF]. On donne DF = 14 cm. Complète : D’après la du théorème des milieux, H est le de [] et GH = \frac{}{2} = cm.
Corrigé
D’après la réciproque du théorème des milieux, H est le milieu de [EF] et GH = DF/2 = 14/2 = 7 cm.
Maintenant on va répéter le geste 5 fois, sans réfléchir. Ça va rentrer tout seul. Tous ces exercices sont quasiment identiques : même triangle, mêmes milieux, seule la longueur du troisième côté change. Tu vas compléter les trous.
À toi de jouer
1. Exercice 1 : BC = 8 cm. Complète : MN = cm et (MN) // ().
Corrigé
MN = 4 cm et (MN) // (BC).
2. Exercice 2 : BC = 6 cm. (Même figure) Complète : MN = cm et (MN) // ().
Corrigé
MN = 3 cm et (MN) // (BC).
3. Exercice 3 : BC = 10 cm. Complète : MN = cm et (MN) // ().
Corrigé
MN = 5 cm et (MN) // (BC).
4. Exercice 4 : BC = 12 cm. Complète : MN = cm et (MN) // ().
Corrigé
MN = 6 cm et (MN) // (BC).
5. Exercice 5 : BC = 9 cm. Complète : MN = cm et (MN) // ().
Corrigé
MN = 4,5 cm et (MN) // (BC).
Place au vrai contrôle ! Tu vas faire des exercices comme ceux du brevet. Plus de trous, à toi de rédiger. Rappelle-toi de la méthode : identifier, hypothèse, conclusion. Et n’oublie pas de citer le théorème.
À toi de jouer
1. Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. On donne BC = 12 cm et AB = 8 cm. a) Justifie que (MN) // (BC). b) Calcule MN. c) Calcule AM.
Corrigé
a) Dans le triangle ABC, M milieu de [AB] et N milieu de [AC], donc d’après le théorème des milieux, (MN) // (BC). b) Toujours d’après le théorème des milieux, MN = BC/2 = 12/2 = 6 cm. c) M milieu de [AB] donc AM = AB/2 = 8/2 = 4 cm.
2. Dans le triangle PQR, S est le milieu de [PQ]. La droite passant par S et parallèle à (QR) coupe [PR] en T. On donne QR = 15 cm et PR = 10 cm. a) Que peut-on conclure sur T ? Justifie. b) Calcule ST. c) Calcule TR.
Corrigé
a) Dans le triangle PQR, S milieu de [PQ] et (ST) // (QR) avec T sur [PR], donc d’après la réciproque du théorème des milieux, T est le milieu de [PR]. b) Par le théorème des milieux (ou la réciproque), on a ST = QR/2 = 15/2 = 7,5 cm. c) T milieu de [PR] donc TR = PR/2 = 10/2 = 5 cm.
3. Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [BC]. On donne AC = 9 cm, AB = 12 cm et BC = 14 cm. a) Calcule MN. b) Calcule le périmètre du triangle MBN. c) Calcule le périmètre du triangle ABC. d) Que constates-tu en comparant les deux périmètres ?
Corrigé
a) M milieu de [AB] et N milieu de [BC] donc, d’après le théorème des milieux, MN = AC/2 = 9/2 = 4,5 cm. b) MB = AB/2 = 6 cm, BN = BC/2 = 7 cm. Périmètre MBN = 6 + 7 + 4,5 = 17,5 cm. c) Périmètre ABC = 9 + 12 + 14 = 35 cm. d) On constate que le périmètre de MBN est la moitié de celui de ABC (17,5 = 35/2). Cela s’explique car chaque côté de MBN est la moitié d’un côté de ABC.
4. Un terrain a la forme du triangle ABC avec AB = 24 m, BC = 30 m, AC = 18 m. On place M et N, milieux de [AB] et [AC], et on tend une corde le long de [MN]. a) Justifie que (MN) // (BC). b) Quelle longueur de corde faut-il pour [MN] ? c) Calcule le périmètre du triangle AMN. d) Quelle fraction du périmètre de ABC le périmètre de AMN représente-t-il ?
Corrigé
a) M milieu de [AB], N milieu de [AC] donc d’après le théorème des milieux, (MN) // (BC). b) MN = BC/2 = 30/2 = 15 m. Il faut 15 m de corde. c) AM = AB/2 = 12 m, AN = AC/2 = 9 m, MN = 15 m. Périmètre AMN = 12 + 9 + 15 = 36 m. d) Périmètre ABC = 24 + 30 + 18 = 72 m. Fraction = 36/72 = 1/2.
Maintenant, on va un peu plus loin. Ces deux exercices te montrent comment le théorème des milieux peut servir dans des configurations plus complexes. Le premier est une application élégante dans un rectangle, le second une généralisation à tout quadrilatère. Ça te prépare à la géométrie de l’année prochaine.
À toi de jouer
1. Soit ABCD un rectangle. On note I le milieu de [AB], J le milieu de [BC], K le milieu de [CD], L le milieu de [DA]. a) En utilisant le théorème des milieux dans les triangles ABC et ADC, calcule IJ et LK en fonction des diagonales du rectangle. b) De même, calcule IL et JK. c) Déduis-en la nature du quadrilatère IJKL.
Corrigé
a) Dans le triangle ABC, I milieu de [AB] et J milieu de [BC] donc IJ = AC/2 et (IJ) // (AC). Dans le triangle ADC, L milieu de [AD] et K milieu de [DC] donc LK = AC/2 et (LK) // (AC). Donc IJ = LK et (IJ) // (LK). b) De même, dans les triangles ABD et BCD, on obtient IL = BD/2, JK = BD/2, et (IL) // (BD), (JK) // (BD). c) Dans un rectangle, les diagonales sont égales : AC = BD. Donc IJ = LK = IL = JK. Le quadrilatère IJKL a ses quatre côtés de même longueur, c’est donc un losange.
2. Soit ABCD un quadrilatère quelconque. On nomme I, J, K, L les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD], [DA]. En traçant la diagonale [BD] et en utilisant le théorème des milieux dans les triangles ABD et BCD, montre que IJKL est un parallélogramme.
Corrigé
Dans le triangle ABD, I milieu de [AB] et L milieu de [AD] donc (IL) // (BD) et IL = BD/2. Dans le triangle BCD, J milieu de [BC] et K milieu de [CD] donc (JK) // (BD) et JK = BD/2. Ainsi, (IL) // (JK) et IL = JK. De même, en traçant l’autre diagonale, on montre que (IJ) // (LK) et IJ = LK. Le quadrilatère IJKL a ses côtés opposés parallèles et égaux deux à deux, c’est donc un parallélogramme.
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