V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques4eEspace et geometrieExercices + corrigé

Translation — Exercices

Du vecteur au repère : construire, calculer, raisonner.
⏱ ~25 min✎ Calculatrice inutile
1Lire un vecteur de translation/ 3 pts

Dans un repère orthogonal, $A(2\,;\,5)$ et $A'(6\,;\,3)$ sont image l'un de l'autre par une translation de vecteur $\vec{u}$.

  1. Calculer les coordonnées de $\vec{u} = \overrightarrow{AA'}$.
  2. Le point $B(-1\,;\,0)$ est translaté par $\vec{u}$. Calculer les coordonnées de $B'$.
  3. Le point $C'(1\,;\,-2)$ est l'image d'un point $C$ par $\vec{u}$. Calculer les coordonnées de $C$.
2Calcul de coordonnées/ 4 pts

On considère la translation de vecteur $\vec{v} = \binom{-3}{2}$. Calculer les coordonnées des images des points suivants.

  1. $P(4\,;\,1)$
  2. $Q(-2\,;\,-5)$
  3. $R(0\,;\,3)$
  4. Le point $S'(0\,;\,4)$ est l'image de $S$ par $\vec{v}$. Calculer les coordonnées de $S$.
3Propriétés de la translation/ 4 pts

Un quadrilatère $ABCD$ a les mesures suivantes : $AB = 6$ cm, $BC = 4$ cm, $\widehat{ABC} = 70°$. Il est translaté par un vecteur $\vec{w}$ pour donner $A'B'C'D'$.

  1. Donner la longueur $A'B'$ et la mesure de $\widehat{A'B'C'}$.
  2. Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont-elles parallèles ? Justifier.
  3. Peut-on dire que les quadrilatères $ABCD$ et $A'B'C'D'$ sont superposables ? Pourquoi ?
4Problème — Fresque géométrique/ 5 pts

Dans un repère, un triangle a pour sommets $T_1(0\,;\,0)$, $T_2(2\,;\,0)$, $T_3(1\,;\,2)$. On sait que $T_1T_3 = \sqrt{5}$ cm.

  1. On applique la translation de vecteur $\vec{a} = \binom{2}{0}$. Calculer les coordonnées de $T_1'$, $T_2'$, $T_3'$.
  2. On applique ensuite la translation de vecteur $\vec{b} = \binom{0}{3}$ au triangle $T_1'T_2'T_3'$. Calculer les coordonnées de $T_1''$, $T_2''$, $T_3''$.
  3. Quelle translation unique aurait permis d'aller directement de $T_1, T_2, T_3$ à $T_1'', T_2'', T_3''$ ? Donner son vecteur.
  4. Donner la longueur $T_1''T_3''$. Justifier.
Corrigé détaillé
1Lire un vecteur de translation
a) \(\vec{u} = \overrightarrow{AA'} : (6-2\,;\,3-5) =\) \(\vec{u} = \binom{4}{-2}\)
b) \(B'(-1+4\,;\,0+(-2)) =\) \(B'(3\,;\,-2)\)
c) \(C = C' - \vec{u} : (1-4\,;\,-2-(-2)) =\) \(C(-3\,;\,0)\)
2Calcul de coordonnées
P' \((4+(-3)\,;\,1+2) =\) \(P'(1\,;\,3)\)
Q' \((-2+(-3)\,;\,-5+2) =\) \(Q'(-5\,;\,-3)\)
R' \((0+(-3)\,;\,3+2) =\) \(R'(-3\,;\,5)\)
S \(S = S' - \vec{v} : (0-(-3)\,;\,4-2) =\) \(S(3\,;\,2)\)
3Propriétés de la translation
a) \(\text{La translation conserve longueurs et angles :}\) \(A'B' = 6 \text{ cm} \quad \widehat{A'B'C'} = 70°\)
b) \(\text{Une translation conserve le parallélisme : tout segment est parallèle à son image.}\) \(\text{Oui, } (AB) \parallel (A'B')\)
c) \(\text{La translation conserve toutes les longueurs et tous les angles : côtés et angles identiques.}\) \(\text{Oui, } ABCD \text{ et } A'B'C'D' \text{ sont superposables (congruents).}\)
4Problème — Fresque géométrique
a) \(T_1'(0+2\,;\,0+0),\; T_2'(2+2\,;\,0+0),\; T_3'(1+2\,;\,2+0) =\) \(T_1'(2\,;\,0),\quad T_2'(4\,;\,0),\quad T_3'(3\,;\,2)\)
b) \(T_1''(2+0\,;\,0+3),\; T_2''(4+0\,;\,0+3),\; T_3''(3+0\,;\,2+3) =\) \(T_1''(2\,;\,3),\quad T_2''(4\,;\,3),\quad T_3''(3\,;\,5)\)
c) \(\vec{a}+\vec{b} = \binom{2}{0}+\binom{0}{3} = \binom{2}{3}. \text{ Vérif. : } T_1(0;0)+(2;3)=(2;3)=T_1'' \checkmark\) \(\text{Vecteur } \binom{2}{3}\)
d) \(\text{La translation conserve les longueurs : } T_1''T_3'' = T_1T_3 =\) \(T_1''T_3'' = \sqrt{5} \text{ cm}\)