Tu n'as jamais entendu parler de translation ? Pas de panique. On va partir de ce que tu sais déjà (les coordonnées et les nombres relatifs) et en quelques minutes cette nouvelle notion n'aura plus de secret pour toi. Prêt à glisser ?

Prérequis 1 – Se repérer dans un plan quadrillé

Un point se repère par deux nombres, son abscisse $x$ et son ordonnée $y$, notés $(x\,;\,y)$. Sur le quadrillage ci-dessous, le point $A$ a pour abscisse $2$ et pour ordonnée $1$, donc $A(2\,;\,1)$.

12345612345OA(2 ; 1)

Prérequis 2 – Additionner des nombres relatifs

Pour déplacer un point, on ajoute des nombres (positifs ou négatifs) à ses coordonnées.
Exemple : si on part de $x=2$ et qu'on ajoute $-3$, on obtient $2+(-3)=-1$.
Entraîne-toi vite dans ta tête : $5+(-2)=3$ ; $-1+4=3$ ; $0+(-5)=-5$.
Cette gymnastique va te servir dans la minute.

La translation en deux mots

Une translation est un glissement : toute la figure se déplace en bloc, sans tourner ni se retourner. On la définit par un vecteur (une flèche) qui donne la direction, le sens et la longueur du déplacement.

Avec des coordonnées, si le vecteur est $\vec{u}\binom{a}{b}$, l'image d'un point $M(x\,;\,y)$ est le point $M'(x+a\,;\,y+b)$. Un point, c'est tout !

À toi de jouer

1. Observe la figure ci-dessous. Le point $A$ a été translaté en $A'$ par le vecteur $\vec{v}$.
Complète : $\vec{v} = \overrightarrow{AA'} = \binom{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
On a donc ajouté $\underline{\hspace{1.1em}}$ à l'abscisse et $\underline{\hspace{1.1em}}$ à l'ordonnée.
12345612345O+3−1vAA'
Corrigé
$\vec{v} = \binom{3}{-1}$ ; on a ajouté $3$ à l'abscisse et $-1$ à l'ordonnée.
2. Dans un repère, le point $B$ a pour coordonnées $(-1\,;\,2)$. On applique la translation de vecteur $\vec{u}\binom{4}{-2}$.
Complète : $B'(-1+\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,2+\underline{\hspace{1.1em}}) = B'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$B'(-1+4\,;\,2+(-2)) = B'(3\,;\,0)$.
3. Un triangle $EFG$ a pour sommets $E(0\,;\,0)$, $F(3\,;\,1)$, $G(1\,;\,4)$. On le translate du vecteur $\vec{w}\binom{2}{-1}$.
Complète les coordonnées des images : $E'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$, $F'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$, $G'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$E'(2\,;\,-1)$, $F'(5\,;\,0)$, $G'(3\,;\,3)$.

Ah, tu sens que ça te revient ? La translation, ce glissement sans déformation. On va remettre la méthode à plat et s'entraîner avec quelques calculs, encore bien guidés, pour que le déclic soit définitif.

Le cours en rappel

Une translation est définie par un vecteur $\vec{u}\binom{a}{b}$.
Pour tout point $M(x\,;\,y)$, son image $M'$ vérifie $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$ et a pour coordonnées $M'(x+a\,;\,y+b)$.
La translation conserve :

  • les longueurs ($M'N' = MN$),
  • les angles,
  • le parallélisme ($(AB) \parallel (A'B')$).

Méthode pas-à-pas

Pour trouver l'image d'un point :

  1. Repérer les coordonnées $(x\,;\,y)$ du point de départ et les composantes $(a\,;\,b)$ du vecteur.
  2. Calculer $x' = x + a$ et $y' = y + b$ (attention aux signes).
  3. Écrire $M'(x'\,;\,y')$.

Pour retrouver un antécédent : on fait l'opération inverse : $x = x' - a$, $y = y' - b$.

À toi de jouer

1. On donne la translation de vecteur $\vec{v}\binom{-2}{5}$. Pour le point $P(3\,;\,-1)$, complète :
$P' = (3+\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,-1+\underline{\hspace{1.1em}}) = (\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$P' = (3+(-2)\,;\,-1+5) = (1\,;\,4)$.
2. Le point $Q'(7\,;\,0)$ est l'image de $Q$ par la même translation de vecteur $\vec{v}\binom{-2}{5}$.
Pour retrouver $Q$, on effectue l'opération inverse : on soustrait les coordonnées du vecteur.
Complète : $Q(7-\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,0-\underline{\hspace{1.1em}}) = (\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$Q(7-(-2)\,;\,0-5) = Q(9\,;\,-5)$.
3. Un segment $[AB]$ mesure $5,4$ cm et $\widehat{BAC}=35^\circ$. Le triangle $ABC$ subit une translation de vecteur $\vec{w}$.
Complète :
$A'B' = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm ; $\widehat{B'A'C'} = \underline{\hspace{1.1em}}^\circ$.
Justification : la translation conserve les longueurs et les angles.
Corrigé
$A'B' = 5,4$ cm ; $\widehat{B'A'C'} = 35^\circ$. La translation conserve les longueurs et les angles, donc les mesures sont inchangées.

Tu as pigé le principe ? Super. Maintenant on le fait en boucle pour que ça devienne un réflexe. Cinq mini-exos, tous pareils dans l'esprit, juste les chiffres qui changent. Tu vas les remplir les doigts dans le nez.

La formule magique

Pour tout point $M(x\,;\,y)$ et tout vecteur $\vec{u}\binom{a}{b}$, l'image est $M'(x+a\,;\,y+b)$.

À toi de jouer

1. Soit $\vec{v}\binom{2}{1}$ et $A(3\,;\,4)$.
Complète : $A'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$A'(3+2\,;\,4+1) = A'(5\,;\,5)$.
2. Soit $\vec{v}\binom{-3}{0}$ et $B(1\,;\,-2)$.
Complète : $B'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$B'(1+(-3)\,;\,-2+0) = B'(-2\,;\,-2)$.
3. Soit $\vec{v}\binom{0}{4}$ et $C(-1\,;\,3)$.
Complète : $C'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$C'(-1+0\,;\,3+4) = C'(-1\,;\,7)$.
4. Soit $\vec{v}\binom{5}{-2}$ et $D(-2\,;\,-3)$.
Complète : $D'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$D'(-2+5\,;\,-3+(-2)) = D'(3\,;\,-5)$.
5. Soit $\vec{v}\binom{-1}{-1}$ et $E(4\,;\,1)$.
Complète : $E'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$E'(4+(-1)\,;\,1+(-1)) = E'(3\,;\,0)$.

Place au contrôle ! Tu vas devoir réinvestir tout ce que tu sais sans filet : plus de trous, des problèmes complets. Mais si tu as bien suivi, ça va rouler. Allez, on montre ce qu'on sait faire.

Petit rappel avant de se lancer

La translation de vecteur $\vec{u}\binom{a}{b}$ transforme $M(x\,;\,y)$ en $M'(x+a\,;\,y+b)$. Elle conserve longueurs, angles, parallélisme.
Pour retrouver un antécédent, on soustrait le vecteur : $M = M' - \vec{u}$, c'est-à-dire $x = x' - a$, $y = y' - b$.

À toi de jouer

1. Dans un repère, $A(2\,;\,4)$ et $A'(6\,;\,3)$ sont image l'un de l'autre par une translation de vecteur $\vec{u}$.
a) Calcule les coordonnées de $\vec{u} = \overrightarrow{AA'}$.
b) Le point $B(-3\,;\,1)$ est translaté par $\vec{u}$. Calcule les coordonnées de $B'$.
c) Le point $C'(5\,;\,-2)$ est l'image d'un point $C$ par $\vec{u}$. Calcule les coordonnées de $C$.
Corrigé
a) $\vec{u} = \binom{6-2}{3-4} = \binom{4}{-1}$.
b) $B'(-3+4\,;\,1+(-1)) = B'(1\,;\,0)$.
c) $C = C' - \vec{u} \;:\; C(5-4\,;\,-2-(-1)) = C(1\,;\,-1)$.
2. On considère la translation de vecteur $\vec{v}\binom{-3}{2}$.
a) Calcule les coordonnées de l'image des points suivants :
$P(1\,;\,4)$ ; $Q(-2\,;\,-5)$ ; $R(0\,;\,3)$.
b) Le point $S'( -1\,;\,3)$ est l'image de $S$ par $\vec{v}$. Calcule les coordonnées de $S$.
Corrigé
a) $P'(1-3\,;\,4+2) = P'(-2\,;\,6)$ ;
$Q'(-2-3\,;\,-5+2)= Q'(-5\,;\,-3)$ ;
$R'(0-3\,;\,3+2)= R'(-3\,;\,5)$.
b) $S = S' - \vec{v} \;:\; S(-1-(-3)\,;\,3-2) = S(2\,;\,1)$.
3. Un triangle $ABC$ a les mesures suivantes : $AB = 8$ cm, $AC = 6$ cm et $\widehat{BAC}=55^\circ$. Il est translaté par un vecteur $\vec{w}$ pour donner $A'B'C'$.
a) Donne la longueur $A'B'$ et la mesure de l'angle $\widehat{B'A'C'}$.
b) Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont-elles parallèles ? Justifie.
c) Peut-on dire que les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont superposables ? Pourquoi ?
Corrigé
a) Une translation conserve les longueurs et les angles, donc $A'B' = 8$ cm et $\widehat{B'A'C'} = 55^\circ$.
b) Oui, $(AB) \parallel (A'B')$ car la translation conserve le parallélisme.
c) Oui, les deux triangles sont superposables (isométriques) car tous leurs côtés et leurs angles sont conservés.
4. Dans un repère, un triangle a pour sommets $T_1(0\,;\,0)$, $T_2(3\,;\,0)$, $T_3(1\,;\,4)$. On sait que $T_1T_3 = \sqrt{17}$. On applique la translation de vecteur $\vec{a}\binom{2}{0}$.
a) Calcule les coordonnées de $T_1'$, $T_2'$, $T_3'$.
On applique ensuite la translation de vecteur $\vec{b}\binom{0}{3}$ au triangle $T_1'T_2'T_3'$.
b) Calcule les coordonnées de $T_1''$, $T_2''$, $T_3''$.
c) Quelle translation unique aurait permis d'aller directement de $T_1,T_2,T_3$ à $T_1'',T_2'',T_3''$ ? Donne son vecteur.
d) Donne la longueur $T_1''T_3''$. Justifie.
Corrigé
a) $T_1'(2\,;\,0)$, $T_2'(5\,;\,0)$, $T_3'(3\,;\,4)$.
b) $T_1''(2\,;\,3)$, $T_2''(5\,;\,3)$, $T_3''(3\,;\,7)$.
c) Le vecteur unique est $\vec{a}+\vec{b}=\binom{2}{0}+\binom{0}{3}=\binom{2}{3}$.
d) La translation conserve les longueurs, donc $T_1''T_3'' = T_1T_3 = \sqrt{17}$ cm.
5. On donne $A(3\,;\,1)$ et $B(6\,;\,4)$. La translation de vecteur $\vec{v}\binom{1}{-3}$ transforme $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$.
a) Calcule les coordonnées de $A'$ et $B'$.
b) Quelle est la nature du quadrilatère $AA'B'B$ ? Justifie en utilisant une propriété de la translation.
Corrigé
a) $A'(4\,;\,-2)$, $B'(7\,;\,1)$.
b) On constate que $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \vec{v}\binom{1}{-3}$. Ces deux vecteurs sont donc égaux : ils ont même direction, même sens et même longueur. Par conséquent, les côtés $[AA']$ et $[BB']$ sont parallèles et de même longueur. Le quadrilatère $AA'B'B$ est donc un parallélogramme (il suffit qu'une paire de côtés opposés soit parallèle et de même longueur).

Tu maîtrises la translation en 4e ? Parfait. On va pousser un peu pour te montrer ce qui t'attend l'an prochain : l'addition de vecteurs et les compositions de translations. Rien de méchant, tu vas adorer.

Addition de vecteurs (aperçu 3e)

Quand on enchaîne deux translations, on peut les remplacer par une seule translation dont le vecteur est la somme des deux vecteurs. Si $\vec{u}\binom{a}{b}$ et $\vec{v}\binom{c}{d}$, alors la translation de vecteur $\vec{u}+\vec{v} = \binom{a+c}{b+d}$ donne directement l'image finale.

Cela signifie que pour un point $M$, $M \xrightarrow{\vec{u}} M' \xrightarrow{\vec{v}} M''$ revient à $M \xrightarrow{\vec{u}+\vec{v}} M''$.

À toi de jouer

1. Translations successives
On considère le point $K(1\,;\,-1)$. On lui applique d'abord la translation de vecteur $\vec{u}\binom{2}{3}$ puis celle de vecteur $\vec{v}\binom{-4}{1}$.
a) Calcule les coordonnées de $K'$, image de $K$ par $\vec{u}$.
b) Calcule les coordonnées de $K''$, image de $K'$ par $\vec{v}$.
c) Quel est le vecteur de la translation unique qui transforme directement $K$ en $K''$ ?
Corrigé
a) $K'(1+2\,;\,-1+3) = K'(3\,;\,2)$.
b) $K''(3-4\,;\,2+1) = K''(-1\,;\,3)$.
c) Le vecteur cherché est $\vec{u}+\vec{v} = \binom{2+(-4)}{3+1} = \binom{-2}{4}$, ce qu'on retrouve en faisant $\overrightarrow{KK''}=(-1-1\,;\,3-(-1)) = (-2,4)$.
2. Défi : retrouver le vecteur
Dans un repère, un triangle $ABC$ a pour sommets $A(-2\,;\,1)$, $B(0\,;\,4)$ et $C(3\,;\,2)$. Son image par une translation est le triangle $A'B'C'$ tel que $A'(1\,;\,3)$ et $B'(3\,;\,6)$.
a) Détermine le vecteur $\vec{u}$ de la translation.
b) Sans calculer les coordonnées de $C'$ autrement qu'avec le vecteur, détermine $C'$.
c) Vérifie en calculant $C'$ directement par la translation.
Corrigé
a) $\vec{u} = \overrightarrow{AA'} = (1-(-2)\,;\,3-1) = \binom{3}{2}$.
b) $C' = C + \vec{u} = (3+3\,;\,2+2) = (6\,;\,4)$.
c) En appliquant la même règle : $C'(3+3\,;\,2+2) = (6\,;\,4)$, ce qui est cohérent.