Contrôle sur les translations bientôt et tu découvres le mot aujourd'hui ? Pas de panique : une translation, c'est juste faire glisser une figure sans la tourner ni la retourner. On installe le strict minimum, tu vas voir, c'est presque trop simple.
Les prérequis, en deux minutes
Deux petites choses à avoir en tête, et tu les connais déjà.
Un vecteur $\vec{u}$, c'est une flèche : elle donne une direction, un sens (vers où on va) et une longueur (de combien on avance). On le décrit par ses coordonnées $\vec{u}\binom{a}{b}$ : $a$ est le déplacement horizontal, $b$ le déplacement vertical.
Un point dans un repère est repéré par deux coordonnées $M(x\,;\,y)$ : $x$ à l'horizontale, $y$ à la verticale. C'est tout ce dont tu as besoin pour démarrer.
L'essentiel et la formule qui sauve
Faire une translation, c'est faire glisser toute la figure d'un même coup : même direction, même distance. Elle ne tourne pas, ne se retourne pas, ne change pas de taille. Même forme, mêmes dimensions, nouvelle position.
Ce glissement est donné par le vecteur de translation $\vec{u}$. Chaque point $M$ rejoint son image $M'$ en suivant exactement ce vecteur :
$\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$
Dans un repère, il n'y a qu'une chose à retenir. Si $\vec{u}\binom{a}{b}$, on ajoute $a$ à l'abscisse et $b$ à l'ordonnée :
$M(x\,;\,y) \longmapsto M'(x+a\,;\,y+b)$
Une addition, rien de plus. Avec ça tu tiens déjà l'essentiel du contrôle.
Un exemple fait en entier
On te donne le vecteur $\vec{u}\binom{3}{-2}$ et le point $A(1\,;\,4)$. Question : où atterrit son image $A'$ ?
On applique la formule $M'(x+a\,;\,y+b)$ avec $x=1$, $y=4$, puis $a=3$ et $b=-2$.
Nouvelle abscisse : $x+a = 1+3 = 4$.
Nouvelle ordonnée : $y+b = 4+(-2) = 2$.
Donc $A'(4\,;\,2)$. Terminé.
Le réflexe à emporter : je repère $a$ et $b$, j'ajoute, je conclus. Fais juste attention au signe de $b=-2$ : ajouter $-2$ revient à descendre de $2$.
Ça y est, « translation » te dit quelque chose : la petite flèche, le glissement... On reprend tout proprement, dans l'ordre, pour transformer ce vague souvenir en méthode solide.
La définition, au propre
Une translation est une transformation du plan qui, à tout point $M$, associe un point image $M'$ tel que le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ soit toujours le même. Ce vecteur commun s'appelle le vecteur de translation, noté $\vec{u}$.
$\overrightarrow{MM'} = \vec{u} \quad \text{pour tout point } M$
« Toujours le même » signifie que ce vecteur a partout les trois mêmes caractéristiques :
— la même direction (l'inclinaison de la flèche) ;
— le même sens (vers la gauche ou la droite, vers le haut ou le bas) ;
— la même longueur (la distance parcourue).
Résultat : la figure image est la copie exacte de la figure de départ, simplement déplacée.
Ce que la translation conserve
Comme la figure ne fait que glisser, tout ce qui la décrit reste intact. Une translation conserve :
— les longueurs : si $M'$ et $N'$ sont les images de $M$ et $N$, alors $M'N' = MN$ ;
— les angles : les mesures d'angles sont inchangées ;
— le parallélisme : $(AB) \parallel (A'B')$, et les droites gardent leurs directions ;
— l'alignement et les milieux : des points alignés le restent, un milieu reste un milieu ;
— les aires : la figure image a exactement la même aire.
On dit que la translation est une isométrie : elle transporte la figure sans jamais la déformer.
La méthode, dans les deux sens
Presque toutes les questions se ramènent à la formule des coordonnées, lue dans un sens ou dans l'autre. On note $\vec{u}\binom{a}{b}$.
Trouver l'image (on connaît $M$, on cherche $M'$) : on ajoute le vecteur.
$M(x\,;\,y) \longmapsto M'(x+a\,;\,y+b)$
Retrouver l'antécédent (on connaît $M'$, on cherche $M$) : on fait l'inverse, on soustrait le vecteur. Si $M'(x'\,;\,y')$, alors $M(x'-a\,;\,y'-b)$.
Construire l'image d'une figure à la règle, sommet par sommet :
1) pour chaque sommet $M$, reporter le vecteur $\vec{u}$ à partir de $M$ ;
2) marquer l'extrémité : c'est $M'$ ;
3) vérifier que $\overrightarrow{MM'}$ a la même direction, le même sens et la même longueur que $\vec{u}$ ;
4) relier les images dans le même ordre pour tracer la figure image.
Assez lu, on met les mains dans le cambouis. On fait les calculs ensemble, ligne par ligne — tu regardes par-dessus mon épaule et tu vois pourquoi chaque étape tombe.
Échauffement 1 — l'image d'un point
Vecteur $\vec{u}\binom{-4}{3}$, point $P(5\,;\,1)$. On cherche l'image $P'$.
On cherche une image, donc on ajoute le vecteur, coordonnée par coordonnée.
On repère les valeurs : $x=5$, $y=1$, $a=-4$, $b=3$.
Abscisse de $P'$ : $x+a = 5+(-4) = 1$.
Ordonnée de $P'$ : $y+b = 1+3 = 4$.
Donc $P'(1\,;\,4)$.
Petit contrôle de bon sens : $a=-4$ est négatif, on part vers la gauche ; $b=3$ est positif, on monte. L'image est bien plus à gauche et plus haut que $P$.
Échauffement 2 — retrouver l'antécédent
Même calcul, sens inverse. Vecteur $\vec{u}\binom{2}{-5}$. On sait que l'image est $Q'(3\,;\,-2)$ et on cherche le point de départ $Q$.
Ici on connaît l'arrivée et on remonte au départ : on soustrait le vecteur (l'erreur classique serait de l'ajouter).
Formule : $Q(x'-a\,;\,y'-b)$ avec $x'=3$, $y'=-2$, $a=2$, $b=-5$.
Abscisse : $x'-a = 3-2 = 1$.
Ordonnée : $y'-b = -2-(-5) = -2+5 = 3$.
Donc $Q(1\,;\,3)$.
On vérifie en repartant vers l'avant : $Q(1\,;\,3) \longmapsto (1+2\,;\,3+(-5)) = (3\,;\,-2) = Q'$. Ça retombe juste, c'est gagné.
Échauffement 3 — l'image d'un triangle
On passe à une figure entière. Triangle $A(1\,;\,1)$, $B(4\,;\,1)$, $C(2\,;\,4)$, à translater par $\vec{u}\binom{2}{1}$.
Une translation agit sommet par sommet : on ajoute $\vec{u}$ à chacun.
$A(1\,;\,1) \longmapsto A'(1+2\,;\,1+1) = A'(3\,;\,2)$.
$B(4\,;\,1) \longmapsto B'(4+2\,;\,1+1) = B'(6\,;\,2)$.
$C(2\,;\,4) \longmapsto C'(2+2\,;\,4+1) = C'(4\,;\,5)$.
Il ne reste qu'à placer $A'$, $B'$, $C'$ et à les relier dans le même ordre.
Vérifions au passage la conservation des longueurs. Le côté $[AB]$ va de $(1\,;\,1)$ à $(4\,;\,1)$ : longueur $3$. Le côté image $[A'B']$ va de $(3\,;\,2)$ à $(6\,;\,2)$ : longueur $3$ aussi. Même figure, simplement déplacée.
Niveau contrôle : on ne se contente plus de trouver le bon point, on rédige comme le correcteur aime et on repère les pièges avant qu'ils ne grignotent des points.
Problème type 1 — translater une figure et justifier
Énoncé : dans un repère, on donne le triangle $A(1\,;\,5)$, $B(3\,;\,6)$, $C(4\,;\,3)$ et le vecteur $\vec{u}\binom{4}{-1}$. Construire l'image du triangle par la translation de vecteur $\vec{u}$, puis vérifier que $A'B' = AB$.
On calcule l'image de chaque sommet en ajoutant $\vec{u}\binom{4}{-1}$ :
$A'(1+4\,;\,5+(-1)) = A'(5\,;\,4)$.
$B'(3+4\,;\,6+(-1)) = B'(7\,;\,5)$.
$C'(4+4\,;\,3+(-1)) = C'(8\,;\,2)$.
On place $A'$, $B'$, $C'$ et on trace le triangle image.
Vérification de la longueur. Le déplacement de $A(1\,;\,5)$ à $B(3\,;\,6)$ est $(3-1\,;\,6-5) = (2\,;\,1)$, donc $AB = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$.
Le déplacement de $A'(5\,;\,4)$ à $B'(7\,;\,5)$ est $(7-5\,;\,5-4) = (2\,;\,1)$, donc $A'B' = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$.
On obtient bien $A'B' = AB = \sqrt{5}$ : la translation a conservé la longueur, comme attendu.
Ce que le correcteur attend : que tu calcules les images séparément et proprement, et que la vérification s'appuie sur un vrai calcul (le déplacement, puis la longueur avec Pythagore), pas sur un « c'est pareil parce que c'est une translation » lâché sans justification.
Problème type 2 — reconnaître une translation (le parallélogramme)
Énoncé : on donne $A(2\,;\,1)$, $B(5\,;\,3)$ et un point $M(1\,;\,4)$. Construire l'image $M'$ de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$, puis justifier que $ABM'M$ est un parallélogramme.
La translation qui transforme $A$ en $B$ a pour vecteur $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$. Ses coordonnées : arrivée moins départ, soit $\overrightarrow{AB}(5-2\,;\,3-1) = \overrightarrow{AB}(3\,;\,2)$.
Image de $M$ : on ajoute ce vecteur. $M'(1+3\,;\,4+2) = M'(4\,;\,6)$.
Justification. Par définition de la translation, $\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}$.
Or un quadrilatère dont deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur est un parallélogramme, et c'est exactement ce que traduit l'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MM'}$. Donc $ABM'M$ est un parallélogramme.
À retenir : « translater un point de $A$ vers $B$ » et « former le parallélogramme $ABM'M$ », c'est la même chose. C'est souvent sous cette forme que la translation apparaît en géométrie.
Les pièges qui coûtent des points
Les fautes classiques, à désamorcer avant le jour J.
Translation n'est pas rotation. Une translation ne fait pas tourner la figure et ne la retourne pas : elle se contente de glisser. Si ton image est « penchée » par rapport à l'originale, tu as fait autre chose qu'une translation.
Le signe se respecte. Avec $\vec{u}\binom{-3}{2}$, on va vers la gauche ($-3$) et vers le haut ($+2$). On ne « redresse » jamais un signe qui dérange.
Ajouter, même quand $a$ est négatif. La formule est $x+a$, toujours. Si $a=-3$, on écrit $x+(-3)$, pas $x-(-3)$ : on n'invente pas de signe supplémentaire.
Antécédent : on soustrait. Pour remonter d'une image $M'$ à son point de départ $M$, on retire le vecteur ($x'-a$, $y'-b$). L'ajouter de nouveau est l'erreur la plus fréquente.
Tu tiens le niveau du contrôle ? Alors prenons un peu d'avance. Voici d'où vient la translation, ses cousines, et surtout là où elle va t'emmener l'an prochain — direction les vecteurs.
Enchaîner deux translations
Que se passe-t-il si on translate une figure, puis qu'on la translate encore ? On glisse, puis on glisse de nouveau : au total... on a encore glissé. Deux translations enchaînées font une seule translation.
Et son vecteur est simplement la somme des deux. Si la première a pour vecteur $\vec{u}\binom{a}{b}$ et la seconde $\vec{v}\binom{c}{d}$, la translation totale a pour vecteur :
$\vec{u} + \vec{v}\;\binom{a+c}{b+d}$
Partons de $A(1\,;\,1)$, avec $\vec{u}\binom{3}{-1}$ puis $\vec{v}\binom{2}{4}$.
Première translation : $A \longmapsto B(1+3\,;\,1-1) = B(4\,;\,0)$.
Seconde : $B \longmapsto C(4+2\,;\,0+4) = C(6\,;\,4)$.
Directement avec le vecteur somme $\vec{u}+\vec{v}\binom{5}{3}$ : $A \longmapsto (1+5\,;\,1+3) = (6\,;\,4) = C$. Même point d'arrivée.
Les cousines de la translation
La translation appartient à une famille : les isométries, ces transformations qui déplacent une figure sans jamais la déformer. Tu en connais déjà, tu en découvriras d'autres.
— La symétrie axiale (vue en 6e) retourne la figure de l'autre côté d'une droite, comme dans un miroir.
— La symétrie centrale (vue en 5e) la fait basculer autour d'un point, façon demi-tour.
— La rotation (que tu verras en 3e) la fait tourner d'un certain angle autour d'un centre.
Toutes conservent les longueurs et les angles ; ce qui les distingue, c'est le mouvement. La translation est la seule qui se contente de glisser, sans point fixe : si $\vec{u} \neq \vec{0}$, aucun point n'est à sa place initiale. Cas limite amusant : la translation de vecteur nul $\vec{u} = \vec{0}$ ne bouge rien du tout — chaque point est sa propre image.
Cap sur les vecteurs (l'an prochain)
Le vrai héros de cette fiche, c'est le vecteur. Cette année il te sert à décrire une translation ; l'an prochain, en seconde, il devient un objet de calcul à part entière.
La relation de Chasles. Enchaîner deux déplacements, c'est exactement ce qu'on vient de faire. On l'écrira $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ : aller de $A$ à $B$ puis de $B$ à $C$, c'est aller de $A$ à $C$. La composition des translations, c'est ça, en langage vecteurs.
Le point de vue « égalité de vecteurs ». Dire $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{MM'}$ (donc $ABM'M$ parallélogramme) deviendra la définition même de deux vecteurs égaux. La translation est ta toute première rencontre avec le calcul vectoriel.
Et la géométrie repérée. Additionner des coordonnées $\binom{a}{b}$, comme tu l'as fait tout du long, se généralisera à toutes les opérations sur les vecteurs, puis au repérage dans l'espace à trois coordonnées. Bref : maîtriser la translation aujourd'hui, c'est prendre une longueur d'avance sur toute la géométrie du lycée.