Translation

Faire glisser une figure sans la retourner ni la faire tourner — même forme, même taille, nouvelle position.

1 L'idée

Une translation est une transformation du plan qui fait correspondre à tout point $M$ un point image $M'$ tel que le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ est toujours le même : même direction, même sens, même longueur. Ce vecteur s'appelle le vecteur de translation $\vec{u}$.

La figure image est identique à la figure de départ : même forme, mêmes dimensions, mêmes angles — elle a simplement changé de position.

2 Ce qu'il faut retenir

Définition

$\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$

Coordonnées dans un repère

$\vec{u} = \binom{a}{b} \Rightarrow M(x\,;\,y) \mapsto M'(x+a\,;\,y+b)$

Conservation des longueurs

$M'N' = MN$

Conservation du parallélisme

$(AB) \parallel (A'B')$

3 Exemples

Exemple A — Image d'un point dans un repère

Vecteur $\vec{u} = \binom{3}{-2}$, point $A(1\,;\,4)$.

Image : $A'(1+3\,;\,4+(-2)) = A'(4\,;\,2)$.

Exemple B — Retrouver un antécédent

Vecteur $\vec{u} = \binom{3}{-2}$. On cherche $B$ tel que $B'(7\,;\,1)$.

$B = B' - \vec{u}$ : $B(7-3\,;\,1-(-2)) = B(4\,;\,3)$.

Méthode — Construire l'image d'une figure à la règle

Pour chaque sommet $M$ de la figure, reporter le vecteur $\vec{u}$ à partir de $M$.
Marquer l'extrémité : c'est $M'$, l'image de $M$.
Vérifier que $\overrightarrow{MM'}$ est parallèle, de même sens et de même longueur que $\vec{u}$.
Relier les images des sommets dans le même ordre pour tracer la figure image.

Erreurs fréquentes

Confondre translation et rotation : la translation ne fait pas tourner la figure.
Oublier le signe : $\vec{u} = \binom{-3}{2}$ déplace vers la gauche et vers le haut.
Calculer $x - a$ au lieu de $x + a$ quand $a$ est déjà négatif — ne pas rajouter un signe supplémentaire.
Pour retrouver l'antécédent, soustraire $\vec{u}$ (pas l'ajouter).