Tu as un contrôle sur les triangles semblables et tu n'as jamais vu cette notion ? Pas de panique, on te résume l'essentiel et on te rend opérationnel en un rien de temps. Avant de plonger, on réveille deux ou trois outils de 5e et 4e : la proportionnalité (tableaux, produit en croix), les fractions et les calculs de périmètre et d'aire d'un triangle. Si tu maîtrises ça, tu vas avaler les triangles semblables sans même t'en rendre compte.

1. Triangles semblables : la forme avant tout

Deux triangles sont semblables si leurs trois angles sont deux à deux de même mesure. Ils ont exactement la même forme, mais pas nécessairement la même taille. Regarde les deux triangles ci-dessous : $\widehat{A} = \widehat{A'}$, $\widehat{B} = \widehat{B'}$, $\widehat{C} = \widehat{C'}$.

ABCA'B'C'

2. Le coefficient k, la clé magique

Quand deux triangles sont semblables, leurs côtés sont proportionnels. Il existe un nombre $k$ tel que :
$A'B' = k \times AB$, $B'C' = k \times BC$, $A'C' = k \times AC$.
$k$ s'appelle le coefficient de similitude (ou d'agrandissement/réduction).
Si $k > 1$, le triangle image est un agrandissement de l'original ; si $0 < k < 1$, c'est une réduction.

À toi de jouer

1. On donne un coefficient $k = 0{,}6$. Le triangle $A'B'C'$ est-il un agrandissement ou une réduction du triangle $ABC$ ? Justifie en complétant :
Le triangle $A'B'C'$ est une $\underline{\hspace{1.1em}}$ de $ABC$ car $k \; \underline{\hspace{1.1em}} \; 1$.
Corrigé
Le triangle $A'B'C'$ est une réduction de $ABC$ car $k = 0{,}6 < 1$.
2. Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables. On sait que $k = 1{,}5$ et $AB = 4$ cm. $DE$ est le côté correspondant à $AB$. Calcule $DE$ en complétant :
$DE = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Donc $DE = \_\_\_ \_\_\_$ cm.
Corrigé
$DE = 1{,}5 \times 4 = 6$ cm. Donc $DE = 6$ cm.
3. Les triangles $PQR$ et $STU$ sont semblables. On donne $PQ = 8$ cm et $ST = 6$ cm. $ST$ correspond à $PQ$. Calcule le coefficient $k$ de $STU$ par rapport à $PQR$ et dis s'il s'agit d'un agrandissement ou d'une réduction.
$k = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\dots}{\dots} = \dots$
Ce coefficient $k$ correspond à une $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{6}{8} = 0{,}75$. Ce coefficient $k$ correspond à une réduction ($0{,}75 < 1$).

Ah, oui, les triangles de même forme ! On va remettre tout ça en ordre : petit rappel structuré, méthode pas à pas, et on s'entraîne direct.

Propriétés à connaître par cœur

Si deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont semblables ($ABC \sim A'B'C'$) :

  • $\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{A'C'}{AC} = k$
  • Périmètre de l'image = $k \times$ périmètre original : $\mathcal{P}_{\text{image}} = k \times \mathcal{P}_{\text{original}}$
  • Aire de l'image = $k^{2} \times$ aire originale : $\mathcal{A}_{\text{image}} = k^{2} \times \mathcal{A}_{\text{original}}$

Méthode en 4 étapes

  1. On vérifie (ou on admet) que les triangles sont semblables (donné dans l'énoncé).
  2. On repère les sommets correspondants : $A \leftrightarrow A'$, $B \leftrightarrow B'$, $C \leftrightarrow C'$.
  3. On calcule $k = \dfrac{\text{côté image}}{\text{côté original}}$ à partir d'une paire de côtés connus.
  4. On utilise $k$ pour les autres longueurs (multiplier) et $k^{2}$ pour les aires (multiplier).

À toi de jouer

1. Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont semblables. On donne $AB = 5$ cm, $A'B' = 7{,}5$ cm, $BC = 4$ cm, $AC = 6$ cm.
a) Écris le coefficient $k$ : $k = \dfrac{A'B'}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\dots}{\dots} = \dots$
b) Calcule $B'C'$ : $B'C' = k \times \underline{\hspace{1.1em}} = \dots \times \dots = \dots$ cm.
c) Calcule $A'C'$ : $A'C' = \dots \times \dots = \dots$ cm.
Corrigé
a) $k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5$
b) $B'C' = 1{,}5 \times BC = 1{,}5 \times 4 = 6$ cm.
c) $A'C' = 1{,}5 \times AC = 1{,}5 \times 6 = 9$ cm.
2. Les triangles $DEF$ et $D'E'F'$ sont semblables avec un coefficient $k = 0{,}8$ (réduction). $DE = 10$ cm, $EF = 12$ cm, $DF = 15$ cm.
Calcule les côtés image en complétant.
$D'E' = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \dots$ cm
$E'F' = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \dots$ cm
$D'F' = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \dots$ cm
Corrigé
$D'E' = 0{,}8 \times 10 = 8$ cm
$E'F' = 0{,}8 \times 12 = 9{,}6$ cm
$D'F' = 0{,}8 \times 15 = 12$ cm
3. On donne l'aire du triangle $ABC$ : $\mathcal{A}_{ABC} = 32$ cm² et $k = 1{,}25$. L'aire du triangle image $A'B'C'$ s'obtient par :
$\mathcal{A}_{A'B'C'} = \underline{\hspace{1.1em}}^{\underline{\hspace{1.1em}}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \dots$ cm².
(Calcule la valeur exacte).
Corrigé
$\mathcal{A}_{A'B'C'} = 1{,}25^{2} \times 32 = 1{,}5625 \times 32 = 50$ cm².

Cinq petits calculs presque identiques pour automatiser le réflexe $k$, côté manquant. Tu vas voir, c'est toujours le même principe.

À toi de jouer

1. Triangle $ABC$ et $A'B'C'$ semblables. $AB = 3$ cm, $A'B' = 9$ cm, $BC = 4$ cm.
$k = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$B'C' = k \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm
Corrigé
$k = \dfrac{9}{3} = 3$
$B'C' = 3 \times 4 = 12$ cm
2. Triangle $PQR$ et $P'Q'R'$ semblables. $PQ = 5$ cm, $P'Q' = 2$ cm, $QR = 8$ cm.
$k = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$Q'R' = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm
Corrigé
$k = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$
$Q'R' = 0{,}4 \times 8 = 3{,}2$ cm
3. Triangle $XYZ$ et $X'Y'Z'$ semblables. $XY = 6$ cm, $X'Y' = 4$ cm, $YZ = 10$ cm.
$k = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$Y'Z' = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm
Corrigé
$k = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667$
$Y'Z' = \dfrac{2}{3} \times 10 = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67$ cm
4. Triangle $ABC$ et $A'B'C'$ semblables. $AB = 2{,}5$ cm, $A'B' = 5$ cm, $BC = 3{,}2$ cm.
$k = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$B'C' = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm
Corrigé
$k = \dfrac{5}{2{,}5} = 2$
$B'C' = 2 \times 3{,}2 = 6{,}4$ cm
5. Triangle $RST$ et $R'S'T'$ semblables. $RS = 9$ cm, $R'S' = 12$ cm, $ST = 7$ cm.
$k = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$S'T' = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm
Corrigé
$k = \dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}3333$
$S'T' = \dfrac{4}{3} \times 7 = \dfrac{28}{3} \approx 9{,}33$ cm

Tu es prêt(e) pour l'évaluation. Voici des exercices semblables à ceux que tu peux rencontrer en contrôle ou au brevet blanc. Prends ton temps, rédige bien.

À toi de jouer

1. Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables ($ABC \sim DEF$). On donne $AB = 6$ cm, $DE = 9$ cm et $AC = 8$ cm.
a) Calcule le coefficient de similitude $k$ de $DEF$ par rapport à $ABC$. S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ?
b) Déduis-en $DF$.
Corrigé
a) $k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$. Comme $k > 1$, c'est un agrandissement.
b) $DF = k \times AC = 1{,}5 \times 8 = 12$ cm.
2. Les triangles $PQR$ et $P'Q'R'$ sont semblables. On sait que $PQ = 12$ cm, $P'Q' = 9$ cm, $QR = 16$ cm et $PR = 20$ cm.
a) Calcule le coefficient $k$ de $P'Q'R'$ par rapport à $PQR$.
b) Calcule $Q'R'$ et $P'R'$.
c) Calcule les périmètres $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$, puis vérifie que leur rapport est bien $k$.
Corrigé
a) $k = \dfrac{P'Q'}{PQ} = \dfrac{9}{12} = 0{,}75$
b) $Q'R' = 0{,}75 \times 16 = 12$ cm ; $P'R' = 0{,}75 \times 20 = 15$ cm.
c) $\mathcal{P} = 12+16+20 = 48$ cm ; $\mathcal{P}' = 9+12+15 = 36$ cm. Rapport $\dfrac{36}{48} = 0{,}75 = k$. Vérifié.
3. Un triangle rectangle $ABC$ a pour côtés de l'angle droit $AB = 5$ cm et $BC = 12$ cm (hypoténuse $AC = 13$ cm). On réalise un agrandissement de coefficient $k = 3$.
a) Donne les longueurs des trois côtés du triangle image $A'B'C'$.
b) Calcule l'aire de $ABC$.
c) Calcule l'aire de $A'B'C'$ en utilisant $k^{2}$, puis vérifie directement à partir des dimensions du triangle image.
Corrigé
a) $A'B' = 3 \times 5 = 15$ cm ; $B'C' = 3 \times 12 = 36$ cm ; $A'C' = 3 \times 13 = 39$ cm.
b) $\mathcal{A}(ABC) = \dfrac{5 \times 12}{2} = 30$ cm².
c) $\mathcal{A}(A'B'C') = 3^{2} \times 30 = 9 \times 30 = 270$ cm². Vérification : $\dfrac{15 \times 36}{2} = \dfrac{540}{2} = 270$ cm². C'est cohérent.
4. Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{250}$, un terrain triangulaire est représenté par un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $2$ cm et $5$ cm (hypoténuse $\sqrt{29} \approx 5{,}39$ cm) sur le plan.
a) Quel est le coefficient de similitude $k$ du terrain réel par rapport au plan ?
b) Calcule les dimensions réelles des trois côtés en mètres.
c) L'aire du triangle sur le plan est $5$ cm². Calcule l'aire réelle du terrain en m² en utilisant $k^{2}$, puis vérifie en calculant directement l'aire réelle à partir des dimensions réelles.
Corrigé

a) L'échelle $\dfrac{1}{250}$ signifie qu'une mesure sur le plan est 250 fois plus petite que la mesure réelle. Le coefficient de similitude du terrain réel par rapport au plan est donc $k = 250$.

b) On multiplie chaque côté du plan par $k = 250$ :
$2 \times 250 = 500$ cm $= 5$ m
$5 \times 250 = 1\,250$ cm $= 12{,}5$ m
Hypoténuse : $\sqrt{29} \times 250 \approx 5{,}39 \times 250 = 1\,347{,}5$ cm $= 13{,}475$ m $\approx 13{,}48$ m

c) En utilisant $k^2$ :
$\mathcal{A}_{\text{réelle}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{plan}} = 250^2 \times 5 = 62\,500 \times 5 = 312\,500$ cm² $= 31{,}25$ m²

Vérification directe (les deux côtés de l'angle droit mesurent $5$ m et $12{,}5$ m) :
$\mathcal{A}_{\text{réelle}} = \dfrac{5 \times 12{,}5}{2} = \dfrac{62{,}5}{2} = 31{,}25$ m² ✓

5. Deux triangles semblables $ABC$ et $A'B'C'$ ont des périmètres respectifs de $45$ cm et $30$ cm. L'aire de $ABC$ vaut $90$ cm² et $AB = 18$ cm.
a) Calcule le coefficient de similitude $k$ de $A'B'C'$ par rapport à $ABC$ à partir des périmètres.
b) Calcule l'aire de $A'B'C'$.
c) Calcule $A'B'$.
Corrigé
a) $k = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667$
b) $\mathcal{A}_{A'B'C'} = k^{2} \times 90 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} \times 90 = \dfrac{4}{9} \times 90 = 40$ cm².
c) $A'B' = \dfrac{2}{3} \times 18 = 12$ cm.

Tu as déjà un bon niveau, alors on te propose un petit aperçu de la manière dont les triangles semblables te serviront l'an prochain (homothéties, Thalès, config emboîtée). En route pour les défis.

À toi de jouer

1. Un triangle $ABC$ rectangle en $A$ a pour côtés $AB = 4$ cm et $AC = 3$ cm. On l'agrandit pour obtenir un triangle $A'B'C'$ dont l'aire est $9$ fois plus grande que celle de $ABC$.
a) Détermine le coefficient d'agrandissement $k$ à partir du rapport des aires.
b) Calcule les longueurs des côtés de $A'B'C'$.
Corrigé
a) $\dfrac{\mathcal{A}_{A'B'C'}}{\mathcal{A}_{ABC}} = k^{2} = 9$, donc $k = 3$ (car $k > 0$).
b) $A'B' = 3 \times 4 = 12$ cm ; $A'C' = 3 \times 3 = 9$ cm. L'hypoténuse $BC = 5$ cm (par Pythagore), donc $B'C' = 3 \times 5 = 15$ cm.
2. Deux triangles sont semblables. Le rapport de leurs aires est $\dfrac{49}{25}$.
a) Quel est le coefficient de similitude $k$ (du grand vers le petit) ?
b) Si le périmètre du grand triangle est $42$ cm, quel est celui du petit ?
c) Si un côté du petit triangle mesure $10$ cm, quelle est la longueur du côté correspondant du grand ?
Corrigé

Le rapport des aires est $\dfrac{49}{25}$. Comme $49 > 25$, le premier triangle est le plus grand.

a) Coefficient de similitude $k$ du grand vers le petit
Lorsque l'on passe du grand triangle au petit avec le coefficient $k$, les aires sont multipliées par $k^2$. On a donc :
$$k^2 = \frac{\text{aire du petit}}{\text{aire du grand}} = \frac{25}{49}$$
d'où $k = \sqrt{\dfrac{25}{49}} = \dfrac{5}{7}$.
Comme $\dfrac{5}{7} < 1$, il s'agit bien d'une réduction, ce qui est cohérent.

b) Périmètre du petit triangle
Les longueurs (et donc les périmètres) sont multipliées par $k$ lorsque l'on passe du grand au petit :
$$\text{Périmètre du petit} = k \times 42 = \frac{5}{7} \times 42 = 30 \text{ cm}$$

c) Côté correspondant du grand triangle
Le coefficient du petit vers le grand est $\dfrac{1}{k} = \dfrac{7}{5}$. Donc :
$$\text{Côté du grand} = \frac{7}{5} \times 10 = 14 \text{ cm}$$

3. On considère deux triangles emboîtés : $ABC$ et $ADE$ sont tels que $D$ est sur $[AB]$, $E$ sur $[AC]$ et $(DE) \parallel (BC)$. On donne $AD = 3$ cm, $AB = 5$ cm, $DE = 4$ cm et $AE = 2$ cm. Les triangles $ADE$ et $ABC$ sont-ils semblables ? Si oui, calcule $BC$ et $AC$.
ABCDEAD = 3 cmAB = 5 cmAE = 2 cmDE = 4 cmBC = ?AC = ?
Corrigé
$(DE) \parallel (BC)$ entraîne que les angles correspondants sont égaux : $\widehat{ADE} = \widehat{ABC}$ et $\widehat{AED} = \widehat{ACB}$, et $\widehat{A}$ est commun. Donc $ADE$ et $ABC$ sont semblables. Le coefficient de similitutde de $ABC$ par rapport à $ADE$ (du petit vers le grand) est $k = \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{5}{3}$.
Alors $BC = k \times DE = \dfrac{5}{3} \times 4 = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67$ cm, et $AC = k \times AE = \dfrac{5}{3} \times 2 = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33$ cm.