V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques4eEspace et geometrieExercices + corrigé

Triangles semblables — Exercices

Coefficient, côtés manquants, périmètre, aire. Corrigé détaillé à la suite.
⏱ ~25 min✎ Calculatrice autorisée
1Coefficient de similitude/ 3 pts
Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont semblables ($ABC \sim DEF$). On donne $AB = 5$ cm, $DE = 8$ cm et $BC = 6$ cm.
  1. Calcule le coefficient de similitude $k$ de $DEF$ par rapport à $ABC$.
  2. S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ? Justifie.
  3. Calcule $EF$.
2Côtés manquants et périmètre/ 4 pts
Les triangles $PQR$ et $P'Q'R'$ sont semblables. On sait que $PQ = 9$ cm, $P'Q' = 6$ cm, $QR = 12$ cm et $PR = 15$ cm.
  1. Calcule le coefficient de similitude $k$ de $P'Q'R'$ par rapport à $PQR$.
  2. Calcule $Q'R'$ et $P'R'$.
  3. Calcule les périmètres $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$, puis vérifie que leur rapport est bien $k$.
3Agrandissement et aire/ 3 pts
Un triangle rectangle $ABC$ a pour côtés de l'angle droit $AB = 3$ cm et $BC = 4$ cm (hypoténuse $AC = 5$ cm). On réalise un agrandissement de coefficient $k = 2$.
  1. Donne les longueurs des trois côtés du triangle image $A'B'C'$.
  2. Calcule l'aire de $ABC$.
  3. Calcule l'aire de $A'B'C'$ en utilisant $k^2$, puis vérifie directement à partir des dimensions du triangle image.
4Plan à l'échelle/ 4 pts
Sur un plan à l'échelle $\dfrac{1}{200}$, un terrain triangulaire est représenté par un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $3$ cm et $4$ cm (hypoténuse $5$ cm) sur le plan.
  1. Quel est le coefficient de similitude $k$ du terrain réel par rapport au plan ?
  2. Calcule les dimensions réelles des trois côtés en mètres.
  3. L'aire du triangle sur le plan est $6$ cm². Calcule l'aire réelle du terrain en m² en utilisant $k^2$.
  4. Vérifie en calculant directement l'aire réelle à partir des dimensions réelles.
5Calcul malin — coefficient par les périmètres/ 3 pts
Deux triangles semblables $ABC$ et $A'B'C'$ ont des périmètres respectifs de $36$ cm et $27$ cm. L'aire de $ABC$ vaut $72$ cm² et $AB = 16$ cm.
  1. Calcule le coefficient de similitude $k$ de $A'B'C'$ par rapport à $ABC$ à partir des périmètres.
  2. Calcule l'aire de $A'B'C'$.
  3. Calcule $A'B'$.
Corrigé détaillé
1Coefficient de similitude
a) \(k = \dfrac{DE}{AB} = \dfrac{8}{5} =\) \(1{,}6\)
b) \(k = 1{,}6 \gt 1\) \(\text{Agrandissement : } DEF \text{ est plus grand que } ABC.\)
c) \(EF = k \times BC = 1{,}6 \times 6 =\) \(9{,}6 \text{ cm}\)
2Côtés manquants et périmètre
a) \(k = \dfrac{P'Q'}{PQ} = \dfrac{6}{9} =\) \(\dfrac{2}{3}\)
b) \(Q'R' = \dfrac{2}{3} \times 12 = 8 \text{ cm} \qquad P'R' = \dfrac{2}{3} \times 15 =\) \(10 \text{ cm}\)
c) \(\mathcal{P} = 9 + 12 + 15 = 36 \text{ cm} \quad \mathcal{P}' = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ cm} \quad \dfrac{24}{36} =\) \(\dfrac{2}{3} = k \quad \checkmark\)
3Agrandissement et aire
a) \(A'B' = 2 \times 3 = 6 \text{ cm},\quad B'C' = 2 \times 4 = 8 \text{ cm},\quad A'C' = 2 \times 5 =\) \(10 \text{ cm}\)
b) \(\mathcal{A}(ABC) = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{3 \times 4}{2} =\) \(6 \text{ cm}^2\)
c) \(\mathcal{A}(A'B'C') = k^2 \times 6 = 4 \times 6 = 24 \text{ cm}^2 \quad \text{Vérif. : } \dfrac{6 \times 8}{2} =\) \(24 \text{ cm}^2 \quad \checkmark\)
4Plan à l'échelle
a) \(\text{Échelle } \tfrac{1}{200} \Rightarrow\) \(k = 200\)
b) \(3 \times 200 = 600 \text{ cm} = 6 \text{ m} \quad 4 \times 200 = 800 \text{ cm} = 8 \text{ m} \quad 5 \times 200 = 1000 \text{ cm} =\) \(10 \text{ m}\)
c) \(\mathcal{A}_{\text{réelle}} = k^2 \times 6 = 200^2 \times 6 = 40\,000 \times 6 = 240\,000 \text{ cm}^2 =\) \(24 \text{ m}^2\)
d) \(\mathcal{A}_{\text{réelle}} = \dfrac{6 \times 8}{2} =\) \(24 \text{ m}^2 \quad \checkmark\)
5Calcul malin — coefficient par les périmètres
a) \(k = \dfrac{\mathcal{P}'}{\mathcal{P}} = \dfrac{27}{36} =\) \(\dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
b) \(\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 \times 72 = \dfrac{9}{16} \times 72 = \dfrac{648}{16} =\) \(40{,}5 \text{ cm}^2\)
c) \(A'B' = k \times AB = \dfrac{3}{4} \times 16 =\) \(12 \text{ cm}\)