Contrôle bientôt et tu découvres le mot « semblables » ce soir ? Respire. C'est une des notions les plus visuelles du programme : deux triangles de même forme, l'un en taille réelle, l'autre en version photocopie agrandie ou réduite. En dix minutes tu as l'essentiel pour ne pas rester bloqué.

Les prérequis + l'idée en une phrase

À avoir en tête avant
  • Un triangle a 3 côtés et 3 angles.
  • Simplifier une fraction et faire un produit en croix (proportionnalité).
  • Multiplier des nombres décimaux, et élever un nombre au carré (pour $k^2$).

L'idée tient en une phrase : deux triangles sont semblables quand ils ont les mêmes angles. Ils ont alors la même forme, mais pas forcément la même taille. Leurs côtés qui se correspondent sont proportionnels.

Le nombre qui fait passer d'un triangle à l'autre s'appelle le coefficient de similitude, noté $k$. Si $k \gt 1$ le triangle grandit : c'est un agrandissement. Si $0 \lt k \lt 1$ il rétrécit : c'est une réduction.

Les longueurs
côté image $= k \times$ côté objet
Le périmètre
$\mathcal{P}' = k \times \mathcal{P}$
L'aire
$\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}$
Le seul piège à retenir ce soir

Les longueurs se multiplient par $k$, mais l'aire se multiplie par $k^2$ (et jamais par $k$). C'est la faute numéro un.

petitgrand (x k)meme forme

Un exemple fait en entier

Énoncé
Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont semblables. On sait que $AB = 4$ cm, $A'B' = 6$ cm et $BC = 5$ cm. On cherche le coefficient $k$, le côté $B'C'$, puis l'aire de $A'B'C'$ sachant que l'aire de $ABC$ vaut $8$ cm$^2$.
1. Le coefficient
On prend une paire de côtés connus qui se correspondent, $AB$ et $A'B'$ : $k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$.
Comme $1{,}5 \gt 1$, c'est un agrandissement.
2. Le côté manquant
Chaque côté image vaut $k$ fois le côté objet : $B'C' = k \times BC = 1{,}5 \times 5 = 7{,}5$ cm.
3. L'aire
Pour une aire on multiplie par $k^2$ : $\mathcal{A}_{A'B'C'} = k^2 \times \mathcal{A}_{ABC} = (1{,}5)^2 \times 8 = 2{,}25 \times 8 = 18$ cm$^2$.
Conclusion : $k = 1{,}5$, $B'C' = 7{,}5$ cm et l'aire de $A'B'C'$ est $18$ cm$^2$.
ABCA'B'C'memes angles, cotes x k

Ah, ça revient : les triangles qui se ressemblent comme deux gouttes d'eau, dont l'une aurait passé un séjour à la salle de muscu. On reprend tout au propre, dans l'ordre, avec les vrais mots et la méthode complète.

Définition propre : triangles semblables et coefficient k

Définition. Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont les mêmes angles (leurs angles sont égaux deux à deux). Conséquence directe : leurs côtés correspondants sont proportionnels. Même forme, taille éventuellement différente.

On note $ABC \sim A'B'C'$ pour dire que ces deux triangles sont semblables, en respectant l'ordre des sommets. Cet ordre donne la correspondance des sommets :

Correspondance des sommets
  • l'angle en $A$ est égal à l'angle en $A'$, celui en $B$ à celui en $B'$, celui en $C$ à celui en $C'$ ;
  • donc le côté $AB$ correspond à $A'B'$, le côté $BC$ à $B'C'$, et le côté $AC$ à $A'C'$.

Le coefficient de similitude $k$ est le rapport d'un côté image sur le côté objet correspondant. Selon sa valeur :

Lire k
  • $k \gt 1$ : le second triangle est plus grand, c'est un agrandissement ;
  • $0 \lt k \lt 1$ : le second triangle est plus petit, c'est une réduction ;
  • $k = 1$ : les deux triangles ont exactement la même taille (ils sont identiques, on dit aussi isométriques).
ABCA'B'C'memes angles, cotes x k

Les trois propriétés + la méthode pas à pas

Une fois que deux triangles sont semblables de coefficient $k$, tout se déduit de $k$ :

Côtés proportionnels
$\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{A'C'}{AC} = k$
Périmètre
$\mathcal{P}_{A'B'C'} = k \times \mathcal{P}_{ABC}$
Aire
$\mathcal{A}_{A'B'C'} = k^2 \times \mathcal{A}_{ABC}$
Méthode : résoudre un problème de similitude
  • Vérifier (ou admettre l'énoncé) que les deux triangles sont semblables : ils ont les mêmes angles.
  • Repérer les sommets correspondants grâce à l'ordre d'écriture $ABC \sim A'B'C'$.
  • Calculer $k = \dfrac{\text{côté image}}{\text{côté objet}}$ à partir d'une paire de côtés tous les deux connus.
  • Multiplier chaque côté objet par $k$ pour obtenir le côté image correspondant.
  • Pour une aire, multiplier par $k^2$ (pour un périmètre, par $k$).

Le périmètre suit le même comportement que les longueurs : c'est une somme de côtés, chacun multiplié par $k$, donc la somme entière est multipliée par $k$.

Deux exemples, deux directions

Exemple A : un agrandissement
$ABC \sim A'B'C'$ avec $AB = 4$ cm, $A'B' = 6$ cm, $BC = 5$ cm.
$k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5 \gt 1$ : agrandissement.
$B'C' = k \times BC = 1{,}5 \times 5 = 7{,}5$ cm.
Exemple B : une réduction
$ABC \sim A'B'C'$ avec $AB = 8$ cm, $A'B' = 6$ cm, et le périmètre de $ABC$ vaut $24$ cm.
$k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{6}{8} = 0{,}75$. Comme $0 \lt 0{,}75 \lt 1$, c'est une réduction.
Périmètre image : $\mathcal{P}_{A'B'C'} = k \times \mathcal{P}_{ABC} = 0{,}75 \times 24 = 18$ cm.
On vérifie le sens : $18 \lt 24$, le triangle a bien rétréci. Cohérent.

Maintenant on met les mains dans le cambouis, mais à deux : je rédige chaque ligne comme au tableau, toi tu suis et tu hoches la tête. Trois exemples types, entièrement traités et commentés. L'objectif n'est pas d'aller vite, c'est de comprendre pourquoi chaque ligne existe.

Exemple type 1 : trouver k et un côté manquant

Énoncé
$ABC \sim A'B'C'$. On donne $AB = 5$ cm, $A'B' = 8$ cm et $AC = 7$ cm. Trouver $k$, dire si c'est un agrandissement ou une réduction, puis calculer $A'C'$.
On le fait ensemble
D'abord on repère une paire de côtés connus qui se correspondent : ici $AB$ (objet) et $A'B'$ (image). C'est la seule paire où l'on connaît les deux longueurs.
On pose le coefficient dans le bon sens, image sur objet : $k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6$.
On interprète : $1{,}6 \gt 1$, donc c'est un agrandissement (le triangle image est plus grand).
Le côté cherché $A'C'$ correspond à $AC$. On multiplie donc $AC$ par $k$ : $A'C' = k \times AC = 1{,}6 \times 7 = 11{,}2$ cm.
Conclusion : $k = 1{,}6$, agrandissement, et $A'C' = 11{,}2$ cm.
ABCAB = 5AC = 7A'B'C'A'B' = 8A'C' = ?

Exemple type 2 : une réduction et le périmètre

Énoncé
$ABC \sim A'B'C'$. On sait que $AB = 8$ cm, $A'B' = 6$ cm, et que le périmètre de $ABC$ est $24$ cm. Calculer $k$, puis le périmètre de $A'B'C'$.
On le fait ensemble
Coefficient, image sur objet : $k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{6}{8}$.
On simplifie la fraction : $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$.
Interprétation : $0 \lt 0{,}75 \lt 1$, c'est une réduction. On s'attend donc à un périmètre image plus petit que $24$.
Le périmètre se comporte comme une longueur : on multiplie par $k$ (pas par $k^2$). $\mathcal{P}_{A'B'C'} = k \times \mathcal{P}_{ABC} = 0{,}75 \times 24 = 18$ cm.
Vérification de bon sens : $18 \lt 24$, ça colle avec une réduction. Conclusion : $k = 0{,}75$ et $\mathcal{P}_{A'B'C'} = 18$ cm.

Exemple type 3 : l'aire, là où tout le monde se trompe

Énoncé
$ABC \sim A'B'C'$ de coefficient $k = 3$. L'aire de $ABC$ est $20$ cm$^2$. Calculer l'aire de $A'B'C'$.
On le fait ensemble
Réflexe piège : on pourrait écrire $3 \times 20 = 60$. C'est faux : ça, c'est ce qu'on ferait pour une longueur.
Pour une aire, on multiplie par le carré du coefficient : $\mathcal{A}_{A'B'C'} = k^2 \times \mathcal{A}_{ABC}$.
On calcule d'abord $k^2 = 3^2 = 9$.
Puis $\mathcal{A}_{A'B'C'} = 9 \times 20 = 180$ cm$^2$.
Conclusion : l'aire est multipliée par $9$ (et non par $3$), elle vaut $180$ cm$^2$. Une image trois fois plus longue est neuf fois plus grande en surface.

Niveau contrôle : c'est ici qu'on gagne ou qu'on perd les points bêtement. On blinde les subtilités, on regarde ce que le correcteur attend vraiment, puis on déroule un vrai problème complet et son piège inverse.

Les subtilités et ce que le correcteur attend

Ce que le correcteur veut voir
  • La justification que les triangles sont semblables (ou la mention qu'on l'admet d'après l'énoncé).
  • Le calcul de $k$ écrit en entier, dans le bon sens : image sur objet.
  • Chaque longueur avec son unité, et une phrase de conclusion qui répond à la question.
Une astuce qui rassure : deux angles suffisent

Pour prouver que deux triangles sont semblables, il n'est pas nécessaire de vérifier les trois angles. Comme la somme des angles d'un triangle vaut toujours $180$ degrés, deux angles égaux forcent le troisième à l'être aussi. Montrer deux paires d'angles égaux suffit donc.

Le retour en arrière : de l'image vers l'objet

Si on connaît l'image et qu'on cherche l'objet, on ne multiplie plus par $k$, on divise par $k$ (ce qui revient à multiplier par $\dfrac{1}{k}$). Autrement dit, passer de $A'B'C'$ à $ABC$ se fait avec le coefficient $\dfrac{1}{k}$.

Pièges classiques à éviter
  • Confondre $k$ et $k^2$ : les longueurs et le périmètre se multiplient par $k$, les aires par $k^2$.
  • Mal apparier les sommets : dans $ABC \sim A'B'C'$, le côté $AB$ correspond à $A'B'$, pas à $B'C'$.
  • Croire que $k$ est toujours plus grand que $1$ : une réduction donne $0 \lt k \lt 1$.

Problème type entièrement résolu

Énoncé
$ABC$ est un triangle rectangle en $B$ avec $AB = 3$ cm, $BC = 4$ cm et $AC = 5$ cm. Le triangle $A'B'C'$ est semblable à $ABC$ (dans cet ordre) et $A'B' = 4{,}5$ cm. Calculer $k$, les côtés $B'C'$ et $A'C'$, le périmètre puis l'aire de $A'B'C'$.
1. Correspondance et coefficient
L'ordre $ABC \sim A'B'C'$ donne $A \leftrightarrow A'$, $B \leftrightarrow B'$, $C \leftrightarrow C'$ : donc $AB$ correspond à $A'B'$.
$k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{4{,}5}{3} = 1{,}5 \gt 1$ : agrandissement.
2. Les côtés manquants
$B'C' = k \times BC = 1{,}5 \times 4 = 6$ cm.
$A'C' = k \times AC = 1{,}5 \times 5 = 7{,}5$ cm.
3. Le périmètre
Périmètre de $ABC$ : $\mathcal{P}_{ABC} = 3 + 4 + 5 = 12$ cm.
$\mathcal{P}_{A'B'C'} = k \times \mathcal{P}_{ABC} = 1{,}5 \times 12 = 18$ cm.
4. L'aire
$ABC$ est rectangle en $B$ : ses côtés de l'angle droit sont $AB$ et $BC$, donc $\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{AB \times BC}{2} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6$ cm$^2$.
$\mathcal{A}_{A'B'C'} = k^2 \times \mathcal{A}_{ABC} = (1{,}5)^2 \times 6 = 2{,}25 \times 6 = 13{,}5$ cm$^2$.
Conclusion : $k = 1{,}5$, $B'C' = 6$ cm, $A'C' = 7{,}5$ cm, périmètre $18$ cm et aire $13{,}5$ cm$^2$.
BAC3 cm4 cm5 cm

Le piège inverse : remonter des aires ou du périmètre à k

Le contrôle aime retourner la question : on te donne les aires et on te demande le coefficient. Là, il faut penser à l'envers.

Énoncé
$ABC \sim A'B'C'$. L'aire de $ABC$ est $5$ cm$^2$ et celle de $A'B'C'$ est $45$ cm$^2$. Trouver $k$.
On le fait ensemble
On part de la relation des aires : $\mathcal{A}_{A'B'C'} = k^2 \times \mathcal{A}_{ABC}$.
Donc $k^2 = \dfrac{\mathcal{A}_{A'B'C'}}{\mathcal{A}_{ABC}} = \dfrac{45}{5} = 9$.
On cherche le nombre positif dont le carré vaut $9$ : $k = 3$ (car $3^2 = 9$).
Conclusion : $k = 3$. Attention, $k$ n'est pas $9$ : $9$ est le rapport des aires, pas des longueurs.
À ne pas confondre
  • À partir du rapport des longueurs ou des périmètres, on lit $k$ directement.
  • À partir du rapport des aires, on obtient $k^2$ : il faut ensuite chercher le nombre dont c'est le carré pour retrouver $k$.

Tu maîtrises le contrôle ? On regarde par-dessus la clôture : d'où sort exactement ce $k^2$, et quelles notions vont réutiliser la même idée l'an prochain. Rien à apprendre par cœur ici, juste de quoi comprendre plus loin.

Pourquoi l'aire est multipliée par k au carré

Le fameux $k^2$ n'est pas une règle tombée du ciel, il se comprend. Une aire, c'est fondamentalement un produit de deux longueurs (base fois hauteur, divisé par deux pour un triangle).

Quand on agrandit d'un coefficient $k$, la base devient $k$ fois plus grande et la hauteur aussi. L'aire, elle, est multipliée par $k \times k = k^2$. Une seule multiplication par $k$ pour chaque longueur, donc deux au total pour l'aire.

La figure le montre sans calcul : en doublant les côtés ($k = 2$), le grand triangle se découpe exactement en 4 petits triangles identiques à l'original. Or $4 = 2^2$. L'aire a bien été multipliée par $k^2$.

L'échelle des dimensions (à retenir pour la vie)
  • les longueurs se multiplient par $k$ ;
  • les aires se multiplient par $k^2$ ;
  • l'an prochain, pour les solides, les volumes se multiplieront par $k^3$ (trois longueurs).
1234cote x 2 aire x 4

Les grands frères de la similitude

La même idée de « même forme, taille différente » revient partout après la 4e. De quoi arriver en terrain connu :

Ce qui t'attend
  • L'homothétie (3e) : une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un centre et d'un rapport. C'est exactement l'agrandissement-réduction, mais formalisé et applicable à n'importe quelle figure, pas seulement les triangles.
  • Le théorème de Thalès (3e) : quand deux droites parallèles coupent deux sécantes, elles fabriquent deux triangles semblables et donnent directement des rapports de longueurs égaux. C'est la machine à produire du $k$.
  • La trigonométrie : le cosinus (déjà cette année), puis le sinus et la tangente, reposent sur le fait que deux triangles rectangles de mêmes angles sont semblables. Mêmes angles, donc mêmes rapports de côtés : c'est ce qui rend ces rapports fiables quelle que soit la taille du triangle.
Comment on prouvera qu'ils sont semblables

Cette année on admet souvent que deux triangles sont semblables. Plus tard, on le démontre : il suffit de montrer que deux angles de l'un sont égaux à deux angles de l'autre. Le troisième suit automatiquement, puisque la somme des angles d'un triangle vaut toujours $180$ degrés. Deux angles égaux, et toute la proportionnalité des côtés en découle.