Triangles semblables — Agrandissement et réduction

Même forme, tailles différentes : le coefficient de similitude relie longueurs et aires de deux triangles semblables.

1 L'idée

Deux triangles sont semblables s'ils ont les mêmes angles. Ils ont alors la même forme, mais pas nécessairement la même taille : leurs côtés correspondants sont proportionnels.

Le nombre $k$ qui relie les côtés du second triangle à ceux du premier s'appelle le coefficient de similitude. Si $k \gt 1$, c'est un agrandissement ; si $0 \lt k \lt 1$, c'est une réduction.

2 Propriétés fondamentales

Côtés proportionnels

$\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{A'C'}{AC} = k$

Périmètre

$\mathcal{P}_{A'B'C'} = k \times \mathcal{P}_{ABC}$

Aire

$\mathcal{A}_{A'B'C'} = k^2 \times \mathcal{A}_{ABC}$

3 Exemple — trouver k et un côté manquant

Données

Triangles $ABC$ et $A'B'C'$ semblables. $AB = 4$ cm, $A'B' = 6$ cm, $BC = 5$ cm.

Coefficient : $k = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{6}{4} = 1{,}5 \gt 1$ — agrandissement.

Côté manquant : $B'C' = k \times BC = 1{,}5 \times 5 = 7{,}5$ cm.

Aire si $\mathcal{A}_{ABC} = 8$ cm² : $\mathcal{A}_{A'B'C'} = (1{,}5)^2 \times 8 = 2{,}25 \times 8 = 18$ cm².

Méthode — résoudre un problème de similitude

Vérifier (ou admettre) que les deux triangles sont semblables (mêmes angles).
Repérer les sommets correspondants : dans $ABC \sim A'B'C'$, l'angle en $A$ correspond à l'angle en $A'$, etc.
Calculer $k = \dfrac{\text{côté image}}{\text{côté objet}}$ à partir d'une paire de côtés connus.
Multiplier chaque côté objet par $k$ pour obtenir le côté image correspondant.
Pour une aire, multiplier par $k^2$ (et non par $k$).

Erreurs fréquentes

Confondre $k$ et $k^2$ : les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$.
Mal apparier les sommets : dans $ABC \sim A'B'C'$, le côté $AB$ correspond à $A'B'$, pas à $B'C'$.
Croire que $k$ est toujours supérieur à $1$ : une réduction donne $0 \lt k \lt 1$.