Tu n'as jamais entendu parler de puissances mais tu as un contrôle bientôt ? Pas de panique. On va partir des bases que tu connais déjà — la multiplication — et construire tout doucement. Une puissance, c'est juste une façon de ne pas écrire dix fois le même nombre. On va te donner les réflexes pour t'en sortir vite et bien.
Prérequis : ce que tu sais déjà
Avant de parler de puissances, vérifions que tu maîtrises deux choses :
- Multiplier des nombres : $3 \times 3 = 9$, $(-2) \times (-2) = 4$, $10 \times 10 = 100$. Tu sais faire.
- L'opposé d'un nombre : l'opposé de $5$ est $-5$, l'opposé de $-3$ est $3$. Utile pour les signes avec les exposants négatifs.
Si c'est bon, on peut y aller.
L'idée : une multiplication répétée
La puissance $a^n$ (on lit « $a$ exposant $n$ ») est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$.
Exemple : $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
$a$ s'appelle la base, $n$ s'appelle l'exposant.
L'exposant peut être un entier positif, nul ou négatif. On va voir chaque cas.
Définitions à connaître par coeur
- Exposant positif ($n \ge 1$) : $a^n = a \times a \times \cdots \times a$ ($n$ facteurs).
- Exposant nul : $a^0 = 1$ (pour $a
eq 0$). - Exposant négatif : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (pour $a
eq 0$, $n \ge 1$).
Exemples : $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ ; $9^0 = 1$ ; $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.
Règles de calcul (quand les bases sont les mêmes)
- Produit : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ (on additionne les exposants).
- Quotient : $a^m \div a^n = a^{m-n}$ (on soustrait les exposants).
- Puissance d'une puissance : $(a^m)^n = a^{m \times n}$ (on multiplie les exposants).
Exemples : $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$ ; $3^5 \div 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27$ ; $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$.
À toi de jouer
1. Complète les phrases pour reconnaître une puissance. On le fait ensemble.
a) $2^4$ signifie qu'on multiplie le nombre $\underline{\hspace{1.1em}}$ par lui-même $\underline{\hspace{1.1em}}$ fois.
b) Dans $5^3$, la base est $\underline{\hspace{1.1em}}$ et l'exposant est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) $10^0$ vaut toujours $\underline{\hspace{1.1em}}$ (pour $10
eq 0$).
d) $3^{-2}$ est égal à $\dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
a) $2^4$ signifie qu'on multiplie le nombre $2$ par lui-même $4$ fois.
b) Dans $5^3$, la base est $5$ et l'exposant est $3$.
c) $10^0$ vaut toujours $1$ (pour $10
eq 0$).
d) $3^{-2}$ est égal à $\dfrac{1}{3^2}$.
2. Transforme chaque puissance en multiplication, puis calcule. Complète les trous.
a) $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $(-2)^3 = (-2) \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $10^{-2} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
b) $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$
c) $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$
3. Applique la règle du produit en complétant.
$2^4 \times 2^3 = 2^{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = 2^{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$2^4 \times 2^3 = 2^{4+3} = 2^7 = 128$
Ah oui, les puissances ! Tu te souviens maintenant : c'est cette notation qui évite d'écrire $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$. On va reprendre le cours proprement, avec la méthode pas-à-pas pour ne plus jamais se tromper entre additionner et multiplier les exposants.
Le cours complet en un coup d'oeil
Définitions
- Exposant positif $n \ge 1$ : $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$
- Exposant nul : $a^0 = 1$ ($a
eq 0$) - Exposant négatif : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ($a
eq 0$)
Règles de calcul (bases identiques)
- Produit : $a^m \times a^n = a^{m+n}$
- Quotient : $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- Puissance d'une puissance : $(a^m)^n = a^{m \times n}$
- Puissance d'un produit : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
Erreurs à ne pas faire
- $2^3
eq 2 \times 3 = 6$ : l'exposant indique une multiplication répétée, pas un produit. $2^3 = 8$. - $a^3 \times a^5
eq a^{15}$ : on additionne les exposants, pas on les multiplie. $a^3 \times a^5 = a^8$. - $a^{-2}$ n'est pas un nombre négatif : $a^{-2} = \dfrac{1}{a^2} > 0$ si $a > 0$.
Méthode pas-à-pas
Pour simplifier une expression avec des puissances :
- Vérifie que les bases sont identiques (les règles ne s'appliquent que si les bases sont les mêmes).
- Produit : additionne les exposants. Ex. $a^3 \times a^5 = a^{3+5} = a^8$.
- Quotient : soustrais les exposants. Ex. $\dfrac{a^7}{a^2} = a^{7-2} = a^5$.
- Puissance d'une puissance : multiplie les exposants. Ex. $(a^3)^4 = a^{3 \times 4} = a^{12}$.
- Exposant négatif : passe en fraction. Ex. $5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$.
À toi de jouer
1. Simplifie en écrivant le résultat sous la forme d'une seule puissance. Complète.
a) $2^4 \times 2^3 = 2^{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = 2^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
b) $5^8 \div 5^5 = 5^{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}} = 5^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $(2^3)^2 = 2^{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = 2^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
d) $10^3 \times 10^{-5} = 10^{\underline{\hspace{1.1em}} + (\underline{\hspace{1.1em}})} = 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
a) $2^4 \times 2^3 = 2^{4+3} = 2^7$
b) $5^8 \div 5^5 = 5^{8-5} = 5^3$
c) $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$
d) $10^3 \times 10^{-5} = 10^{3+(-5)} = 10^{-2}$
2. Calcule chaque puissance en détaillant. Complète.
a) $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $9^0 = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) $10^{-2} = \dfrac{1}{10^{\underline{\hspace{1.1em}}}} = \dfrac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
b) $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$
c) $9^0 = 1$
d) $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$
3. Applique la méthode pour simplifier cette expression. Complète les étapes.
$\dfrac{3^6 \times 3^{-2}}{3^2}$
Étape 1 — Numérateur : $3^6 \times 3^{-2} = 3^{\underline{\hspace{1.1em}} + (\underline{\hspace{1.1em}})} = 3^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Étape 2 — Quotient : $\dfrac{3^{\underline{\hspace{1.1em}}}}{3^2} = 3^{\underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}} = 3^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Étape 3 — Calcul final : $3^{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Étape 1 — Numérateur : $3^6 \times 3^{-2} = 3^{6+(-2)} = 3^4$
Étape 2 — Quotient : $\dfrac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2$
Étape 3 — Calcul final : $3^2 = 9$
Maintenant que la méthode est claire, on va faire cinq mini-exercices quasi identiques pour que le geste devienne automatique. Même structure, juste les nombres qui changent. Tu vas voir, à la fin tu le feras sans même réfléchir.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Calcule $2^5$.
Complète : $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$
2. Exercice 2 — Calcule $4^3$.
Complète : $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$
3. Exercice 3 — Calcule $5^4$.
Complète : $5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$
4. Exercice 4 — Calcule $10^3$.
Complète : $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$
5. Exercice 5 — Calcule $3^3$.
Complète : $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$
Tu es prêt pour le contrôle. On va faire des exercices au niveau exact de ce qu'on te demandera : calcul direct, règles de calcul, écriture scientifique, et un peu de réflexion pour briller. Cette fois, pas de trous : tu te débrouilles tout seul, comme en devoir.
Écriture scientifique — rappel éclair
Un nombre est en écriture scientifique quand il s'écrit $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ et $n$ entier relatif.
Méthode :
- Pour un grand nombre ($47\,000$) : on décale la virgule vers la gauche jusqu'à avoir un nombre entre 1 et 10, et on compte les rangs décalés. $47\,000 = 4{,}7 \times 10^4$.
- Pour un petit nombre ($0{,}0036$) : on décale la virgule vers la droite jusqu'à avoir un nombre entre 1 et 10, et on compte les rangs décalés (exposant négatif). $0{,}0036 = 3{,}6 \times 10^{-3}$.
À toi de jouer
1. Calcule chaque expression.
a) $3^4$
b) $(-2)^3$
c) $9^0$
d) $10^{-2}$
Corrigé
a) $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
b) $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$
c) $9^0 = 1$
d) $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$
2. Simplifie en écrivant le résultat sous la forme d'une seule puissance, puis calcule.
a) $2^4 \times 2^3$
b) $5^8 \div 5^5$
c) $(2^3)^2$
d) $10^3 \times 10^{-5}$
Corrigé
a) $2^4 \times 2^3 = 2^{4+3} = 2^7 = 128$
b) $5^8 \div 5^5 = 5^{8-5} = 5^3 = 125$
c) $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$
d) $10^3 \times 10^{-5} = 10^{3+(-5)} = 10^{-2} = 0{,}01$
3. Écriture scientifique.
a) Écris en écriture scientifique (forme $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$).
$47\,000$
$0{,}0036$
b) Écris sous forme décimale.
$5{,}8 \times 10^3$
$2{,}1 \times 10^{-2}$
Corrigé
a1) $47\,000 = 4{,}7 \times 10^4$ (virgule décalée de 4 rangs à gauche).
a2) $0{,}0036 = 3{,}6 \times 10^{-3}$ (virgule décalée de 3 rangs à droite).
b1) $5{,}8 \times 10^3 = 5{,}8 \times 1000 = 5\,800$
b2) $2{,}1 \times 10^{-2} = 2{,}1 \times 0{,}01 = 0{,}021$
4. Simplifie l'expression suivante en appliquant les règles de calcul, puis donne sa valeur.
$\dfrac{3^6 \times 3^{-2}}{3^2}$
Corrigé
Numérateur : $3^6 \times 3^{-2} = 3^{6+(-2)} = 3^4$.
Quotient : $\dfrac{3^4}{3^2} = 3^{4-2} = 3^2$.
Résultat : $3^2 = 9$.
5. Calcul malin — Simplifie $\dfrac{4^5}{2^7}$ sans calculatrice en réécrivant $4$ comme une puissance de $2$, puis calcule le résultat.
Corrigé
Étape 1 : $4 = 2^2$, donc $4^5 = (2^2)^5 = 2^{2 \times 5} = 2^{10}$.
Étape 2 : $\dfrac{4^5}{2^7} = \dfrac{2^{10}}{2^7} = 2^{10-7} = 2^3$.
Résultat : $2^3 = 8$.
Tu maîtrises les puissances en 4e ? Alors regarde ce qui t'attend l'an prochain : on va utiliser les puissances de 10 pour manipuler des nombres gigantesques ou microscopiques, et même combiner puissances et racines carrées. C'est le même principe, poussé un peu plus loin.
Puissances de 10 et préfixes (année prochaine)
En 3e, tu utiliseras les puissances de 10 pour exprimer des grandeurs physiques avec les préfixes : kilo ($10^3$), méga ($10^6$), giga ($10^9$), milli ($10^{-3}$), micro ($10^{-6}$), nano ($10^{-9}$).
Exemple : $1 \text{ km} = 10^3 \text{ m}$, $1 \text{ mg} = 10^{-3} \text{ g}$.
Puissances et racines carrées (année prochaine)
Tu verras aussi que $\sqrt{a}$ peut s'écrire $a^{1/2}$ (exposant fractionnaire).
Exemple : $\sqrt{9} = 9^{1/2} = 3$.
Les règles de calcul restent les mêmes : $(a^{1/2})^2 = a^{1/2 \times 2} = a^1 = a$.
À toi de jouer
1. Un peu d'avance — Exprime chaque grandeur avec une puissance de 10.
a) $1$ kilogramme en grammes : $1 \text{ kg} = 10^{\underline{\hspace{1.1em}}} \text{ g}$ (complète l'exposant).
b) $1$ millimètre en mètres : $1 \text{ mm} = 10^{\underline{\hspace{1.1em}}} \text{ m}$ (complète l'exposant).
c) Si $1 \text{ Mo} = 10^6 \text{ octets}$, combien d'octets dans $3$ Mo ? Écris le résultat sous forme d'une puissance de 10.
Corrigé
a) $1 \text{ kg} = 10^3 \text{ g}$ (kilo = mille = $10^3$).
b) $1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$ (milli = un millième = $10^{-3}$).
c) $3 \text{ Mo} = 3 \times 10^6$ octets.
2. Racine carrée et puissance — Vérifie que $\sqrt{16} = 16^{1/2}$ en calculant $(16^{1/2})^2$.
Complète : $(16^{1/2})^2 = 16^{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = 16^{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$(16^{1/2})^2 = 16^{1/2 \times 2} = 16^1 = 16$. On retrouve bien le nombre de départ, ce qui confirme que $16^{1/2} = \sqrt{16} = 4$.
3. Défi — Simplifie l'expression $\dfrac{10^8 \times 10^{-3}}{10^2}$ en une seule puissance de 10, puis donne le résultat en écriture décimale.
Corrigé
Numérateur : $10^8 \times 10^{-3} = 10^{8+(-3)} = 10^5$.
Quotient : $\dfrac{10^5}{10^2} = 10^{5-2} = 10^3$.
Résultat décimal : $10^3 = 1\,000$.