Cosinus d'un angle aigu

Les 3 mots à connaître avant tout

On travaille toujours dans un triangle rectangle : un triangle qui possède un angle droit (un angle de $90^{\circ}$, marqué par un petit carré). C'est le décor obligatoire du cosinus.

Trois mots seulement à retenir, sur l'exemple du triangle $ABC$ rectangle en $C$ :

• Hypoténuse : le côté situé juste en face de l'angle droit. C'est toujours le côté le plus long. Ici c'est $AB$.
• Angle aigu : un angle plus petit que $90^{\circ}$ (par exemple l'angle $\hat{A}$). C'est de lui qu'on prend le cosinus.
• Côté adjacent à un angle : le côté qui touche cet angle sans être l'hypoténuse. Pour l'angle $\hat{A}$, c'est $AC$.

Retiens l'image : l'adjacent est « collé » au sommet de l'angle, l'hypoténuse est « en face » de l'angle droit.

L'essentiel, la formule, un exemple

Le cosinus d'un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1. On l'obtient par une seule formule, résumée par le moyen mnémotechnique CAH (Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse) :

$$\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$$

Avant de taper $\cos$ à la calculatrice, vérifie qu'elle est bien en mode DEGRÉ (souvent affiché « DEG »).

Exemple entièrement traité. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, on donne $AB = 8$ cm et $\hat{A} = 40^{\circ}$. On cherche la longueur $AC$.

Étape 1 — On repère : angle droit en $C$, hypoténuse $AB = 8$ cm, et $AC$ est le côté adjacent à $\hat{A}$.

Étape 2 — On écrit la formule : $\cos(\hat{A}) = \dfrac{AC}{AB}$.

Étape 3 — On isole $AC$ : $AC = AB \times \cos(\hat{A}) = 8 \times \cos(40^{\circ})$.

Étape 4 — À la calculatrice (en degrés) : $\cos(40^{\circ}) \approx 0{,}766$.

Étape 5 — On termine : $AC = 8 \times 0{,}766 \approx 6{,}1$ cm.

Le vocabulaire, au propre

Un triangle rectangle a un angle droit ; les deux autres angles sont aigus. On choisit un de ces angles aigus (ici $\hat{A}$ dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$) et on nomme les côtés par rapport à lui :

• Hypoténuse — $AB$ : toujours le côté opposé à l'angle droit, et toujours le plus long. Elle ne dépend pas de l'angle choisi.
• Côté adjacent à $\hat{A}$ — $AC$ : il touche le sommet $A$ et n'est pas l'hypoténuse.
• Côté opposé à $\hat{A}$ — $BC$ : celui qui ne touche pas $A$ (il lui fait face). On ne s'en sert pas pour le cosinus, mais il faut savoir le distinguer de l'adjacent.

Point clé souvent oublié : « adjacent » et « opposé » changent selon l'angle qu'on regarde. Si on s'intéressait à $\hat{B}$, le côté adjacent deviendrait $BC$, et l'opposé deviendrait $AC$. Seule l'hypoténuse ne bouge jamais.

La définition du cosinus et ses variantes

Définition. Le cosinus d'un angle aigu est le rapport (la division) du côté adjacent par l'hypoténuse. C'est un nombre entre 0 et 1 :

$$\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$$

De cette seule égalité on tire trois « versions », selon ce qu'on cherche :

• Pour trouver le côté adjacent : $\text{adjacent} = \text{hypoténuse} \times \cos(\hat{A})$.
• Pour trouver l'hypoténuse : $\text{hypoténuse} = \dfrac{\text{adjacent}}{\cos(\hat{A})}$.
• Pour trouver l'angle : $\hat{A} = \arccos\!\left(\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right)$.

Ici $\arccos$ (touche $\cos^{-1}$ de la calculatrice) est l'opération inverse : elle prend un cosinus et te rend l'angle qui lui correspond. Et on n'oublie pas : calculatrice en degrés.

Les deux directions : chercher un côté ou chercher un angle

Tous les exercices se rangent dans l'une de ces deux directions.

Direction 1 — on connaît l'angle et un côté, on cherche un autre côté.

Exemple : $ABC$ rectangle en $C$, $AB = 8$ cm, $\hat{A} = 40^{\circ}$, on cherche $AC$.

$\cos(\hat{A}) = \dfrac{AC}{AB}$ donc $AC = 8 \times \cos(40^{\circ}) \approx 8 \times 0{,}766 \approx 6{,}1$ cm.

Direction 2 — on connaît deux côtés (l'adjacent et l'hypoténuse), on cherche l'angle.

Exemple : $DEF$ rectangle en $F$, $DE = 10$ cm, $DF = 6$ cm, on cherche $\hat{D}$.

$DF$ touche $D$ sans être l'hypoténuse : c'est l'adjacent. $DE$ est l'hypoténuse. Donc $\cos(\hat{D}) = \dfrac{DF}{DE} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$.

On remonte à l'angle : $\hat{D} = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}1^{\circ}$.

Ensemble — trouver un côté (l'adjacent)

Énoncé : triangle $ABC$ rectangle en $C$, $AB = 8$ cm, $\hat{A} = 40^{\circ}$. Calculer $AC$.

On lit la figure : l'angle droit est en $C$, donc l'hypoténuse est le côté d'en face, $AB = 8$ cm.

Le côté $AC$ touche le sommet $A$ et n'est pas l'hypoténuse : c'est le côté adjacent à $\hat{A}$. On a un angle et l'hypoténuse, on cherche l'adjacent : le cosinus est l'outil idéal.

On écrit la formule littérale d'abord : $\cos(\hat{A}) = \dfrac{AC}{AB}$.

L'inconnue $AC$ est en haut de la fraction ; pour l'isoler, on multiplie par $AB$ : $AC = AB \times \cos(\hat{A})$.

On remplace par les valeurs : $AC = 8 \times \cos(40^{\circ})$.

Calculatrice (mode degré) : $\cos(40^{\circ}) \approx 0{,}766$.

Donc $AC = 8 \times 0{,}766 \approx 6{,}1$ cm. Bon réflexe : $6{,}1$ cm est plus court que l'hypoténuse $8$ cm, c'est cohérent.

Ensemble — trouver un angle

Énoncé : triangle $DEF$ rectangle en $F$, $DE = 10$ cm, $DF = 6$ cm. Calculer $\hat{D}$.

Angle droit en $F$, donc l'hypoténuse est $DE = 10$ cm (le côté d'en face, et le plus long).

Le côté $DF$ touche $D$ sans être l'hypoténuse : c'est l'adjacent à $\hat{D}$. On connaît l'adjacent et l'hypoténuse, on cherche l'angle : c'est exactement le cas du cosinus, à l'envers.

Formule : $\cos(\hat{D}) = \dfrac{DF}{DE}$.

On remplace : $\cos(\hat{D}) = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$.

On a le cosinus, on veut l'angle : on utilise $\arccos$ (touche $\cos^{-1}$) : $\hat{D} = \arccos(0{,}6)$.

Calculatrice (mode degré) : $\hat{D} \approx 53{,}1^{\circ}$. Vérification : $53{,}1^{\circ}$ est bien un angle aigu (plus petit que $90^{\circ}$), tout va bien.

Ensemble — trouver l'hypoténuse

Énoncé : triangle $GHI$ rectangle en $I$, $\hat{G} = 35^{\circ}$, $GI = 5$ cm. Calculer l'hypoténuse $GH$.

Angle droit en $I$, donc l'hypoténuse est le côté d'en face : $GH$. C'est justement l'inconnue.

Le côté $GI$ touche $G$ sans être l'hypoténuse : c'est l'adjacent à $\hat{G}$.

Formule : $\cos(\hat{G}) = \dfrac{GI}{GH}$, c'est-à-dire $\cos(35^{\circ}) = \dfrac{5}{GH}$.

Cette fois l'inconnue $GH$ est en bas de la fraction. On l'isole en la faisant passer de l'autre côté : $GH = \dfrac{GI}{\cos(\hat{G})} = \dfrac{5}{\cos(35^{\circ})}$.

Calculatrice : $\cos(35^{\circ}) \approx 0{,}819$, donc $GH \approx \dfrac{5}{0{,}819} \approx 6{,}1$ cm.

Contrôle de bon sens : l'hypoténuse $6{,}1$ cm est plus longue que l'adjacent $5$ cm — normal, l'hypoténuse est toujours le plus grand côté.

Problème résolu — l'échelle contre le mur

Énoncé : une échelle de $4$ m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé au sol, à $1{,}2$ m du mur. Quel angle $\alpha$ l'échelle fait-elle avec le sol ? (Arrondir au degré.)

On modélise : le sol est horizontal, le mur est vertical, et ils forment un angle droit au pied du mur. Le triangle a donc un angle droit.

L'échelle est le côté opposé à cet angle droit : c'est l'hypoténuse, longueur $4$ m.

La distance entre le pied de l'échelle et le mur, $1{,}2$ m, touche l'angle $\alpha$ sans être l'hypoténuse : c'est le côté adjacent à $\alpha$.

On connaît l'adjacent et l'hypoténuse, on cherche l'angle : formule $\cos(\alpha) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{1{,}2}{4}$.

Calcul : $\dfrac{1{,}2}{4} = 0{,}3$, donc $\cos(\alpha) = 0{,}3$.

On remonte à l'angle : $\alpha = \arccos(0{,}3) \approx 72{,}5^{\circ}$, soit $73^{\circ}$ arrondi au degré.

Phrase de conclusion (à écrire sur la copie) : l'échelle forme un angle d'environ $73^{\circ}$ avec le sol.

Problème résolu — la distance sur un sentier

Énoncé : un sentier rectiligne de $500$ m monte en faisant un angle de $15^{\circ}$ avec l'horizontale. Quelle distance horizontale $d$ le marcheur a-t-il parcourue ? (Arrondir au mètre.)

On modélise par un triangle rectangle : le sentier est l'hypoténuse ($500$ m), la distance horizontale $d$ est le côté adjacent à l'angle de $15^{\circ}$, et la hauteur gagnée est le côté vertical (opposé), avec l'angle droit au pied.

On connaît l'angle et l'hypoténuse, on cherche l'adjacent : formule $\cos(15^{\circ}) = \dfrac{d}{500}$.

On isole $d$ : $d = 500 \times \cos(15^{\circ})$.

Calculatrice (degrés) : $\cos(15^{\circ}) \approx 0{,}966$.

Donc $d = 500 \times 0{,}966 \approx 483$ m.

Conclusion : le marcheur a avancé d'environ $483$ m à l'horizontale. C'est logique que ce soit un peu moins que les $500$ m parcourus, puisqu'une partie du trajet servait à monter.

Ce que le correcteur attend et les pièges classiques

Ce qui rapporte les points :

• Justifier quel côté est l'hypoténuse (celui face à l'angle droit, le plus long) et lequel est l'adjacent, avant même d'écrire la formule.
• Écrire la formule littérale ($\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$) avant de remplacer par les nombres.
• Donner un résultat arrondi comme demandé, avec la bonne unité (cm, m, ou degré) et une phrase de conclusion.

Les pièges qui coûtent des points :

• Confondre côté adjacent et côté opposé : l'adjacent partage le sommet de l'angle étudié et n'est jamais l'hypoténuse.
• Inverser la fraction : $\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, et surtout pas l'inverse.
• Laisser la calculatrice en radians : toujours vérifier le mode DEGRÉ avant de taper $\cos$ ou $\arccos$.
• Se tromper d'hypoténuse : seul le côté face à l'angle droit l'est.

Astuce de vérification : comme un cosinus tombe toujours entre 0 et 1, si tu obtiens un cosinus plus grand que 1, c'est le signe que tu as inversé la fraction. Reprends le calcul.

Pourquoi le cosinus est-il toujours entre 0 et 1 ?

On a répété que le cosinus d'un angle aigu est « un nombre entre 0 et 1 ». Voici pourquoi, ce qui vaut une petite justification.

Le cosinus est le rapport $\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. Or, dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est toujours le côté le plus long : le côté adjacent est donc plus court qu'elle.

Quand on divise un nombre positif par un nombre plus grand que lui, on obtient forcément un résultat compris entre 0 et 1. C'est exactement ce qui se passe ici : $0 \lt \cos(\hat{A}) \lt 1$ pour tout angle aigu.

Pour l'intuition (au-delà du programme) : si l'angle est tout petit, le côté adjacent est presque aussi long que l'hypoténuse, et le cosinus s'approche de 1. Si l'angle s'approche de $90^{\circ}$, le côté adjacent devient minuscule, et le cosinus s'approche de 0. Le cosinus mesure en quelque sorte « à quel point l'angle est fermé ».

Bientôt en 3e — sinus, tangente et « SOH CAH TOA »

Le cosinus n'est que le premier des trois rapports du triangle rectangle. L'an prochain, en 3e, deux camarades le rejoignent, construits sur le même modèle avec le côté opposé :

$$\sin(\hat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan(\hat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$$

Pour tout retenir d'un coup, on utilise le moyen mnémotechnique SOH · CAH · TOA :

• SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse.
• CAH : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse — celui que tu maîtrises déjà, c'est le morceau du milieu.
• TOA : Tangente = Opposé / Adjacent.

Bonne nouvelle : la méthode reste identique (repérer l'angle droit, l'hypoténuse, l'adjacent et l'opposé, choisir le bon rapport). Tu as donc déjà fait un tiers du chemin.

Des ponts avec d'autres notions

Avec le théorème de Pythagore (vu aussi en 4e). Dans un triangle rectangle de côtés $a$ et $b$ et d'hypoténuse $c$, on a $a^2 + b^2 = c^2$. Pythagore relie les longueurs entre elles ; le cosinus, lui, relie une longueur à un angle. Ensemble, ces deux outils permettent de calculer tout ce qui manque dans un triangle rectangle.

Plus tard, en 2nde. Les angles se liront sur un cercle trigonométrique : le cosinus y devient tout simplement l'abscisse (la coordonnée horizontale) d'un point du cercle. C'est là que le « nombre entre 0 et 1 » prend un vrai sens géométrique, et que le cosinus s'étendra même à des angles non aigus.

Un aperçu pour la route. Certains angles ont des valeurs de cosinus exactes et remarquables, que tu rencontreras dans les années suivantes — par exemple $\cos(60^{\circ}) = 0{,}5$. De quoi vérifier un calcul de tête, sans calculatrice.