Mathématiques4eGrandeurs et mesuresFiche de cours
Cosinus d'un angle aigu
Dans un triangle rectangle, le cosinus est le rapport entre le côté adjacent et l'hypoténuse.
1 L'idée
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1. Il se calcule en divisant la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse.
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ :
- Hypoténuse : le côté $AB$, opposé à l'angle droit — c'est le côté le plus long.
- Côté adjacent à $\hat{A}$ : le côté $AC$ (partage le sommet $A$ sans être l'hypoténuse).
- Côté adjacent à $\hat{B}$ : le côté $BC$ (partage le sommet $B$ sans être l'hypoténuse).
2 La formule — mnémotechnique CAH
Définition (CAH)
\(\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\)
Trouver adj
\(\text{adj} = \text{hyp} \times \cos(\hat{A})\)
Trouver hyp
\(\text{hyp} = \dfrac{\text{adj}}{\cos(\hat{A})}\)
Trouver l'angle
\(\hat{A} = \arccos\!\left(\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\right)\)
3 Exemples
Exemple A — Trouver un côté adjacent
Triangle $ABC$ rectangle en $C$, $AB = 8$ cm, $\hat{A} = 40^{\circ}$. Calculer $AC$.
On a $\cos(\hat{A}) = \dfrac{AC}{AB}$, donc $AC = AB \times \cos(40^{\circ})$.
$AC = 8 \times 0{,}766 \approx 6{,}1$ cm.
Exemple B — Trouver un angle
Triangle $DEF$ rectangle en $F$, $DE = 10$ cm, $DF = 6$ cm. Calculer $\hat{D}$.
$\cos(\hat{D}) = \dfrac{DF}{DE} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$.
$\hat{D} = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}1^{\circ}$.
Méthode — résoudre un problème avec le cosinus
- Repérer l'angle droit et nommer les trois sommets.
- Identifier l'hypoténuse : côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long.
- Repérer le côté adjacent à l'angle connu ou cherché (il partage ce sommet sans être l'hypoténuse).
- Écrire la relation $\cos(\hat{A}) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$.
- Isoler l'inconnue : adj $=$ hyp $\times \cos(\hat{A})$, ou hyp $= \dfrac{\text{adj}}{\cos(\hat{A})}$, ou $\hat{A} = \arccos\!\left(\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\right)$.
Erreurs fréquentes
- Confondre côté adjacent et côté opposé : le côté adjacent partage le sommet de l'angle étudié et n'est pas l'hypoténuse.
- Inverser la fraction : $\cos(\hat{A}) \neq \dfrac{\text{hyp}}{\text{adj}}$.
- Calculatrice en radians : toujours vérifier que le mode est en DEGRÉS avant de taper $\cos$ ou $\arccos$.
- Confondre l'hypoténuse avec un autre côté : seul le côté face à l'angle droit est l'hypoténuse.