Tu n'as jamais entendu parler de vitesse moyenne en cours, et pourtant un contrôle arrive ? Pas de panique. On va repartir des bases : la proportionnalité et les conversions heures-minutes. Ensuite, on découvrira la formule magique qui lie distance, durée et vitesse. Tu verras, c'est plus simple qu'il n'y paraît.
Prérequis 1 : la proportionnalité
La vitesse est une relation de proportionnalité entre la distance parcourue et le temps mis pour la parcourir. Si je vais à vitesse constante, quand je double le temps, je double la distance.
Exemple : à 100 km/h, en 1 h je fais 100 km, en 2 h je fais 200 km, en 0,5 h je fais 50 km.
Prérequis 2 : heures décimales
Pour les calculs de vitesse, il faut transformer les minutes en heures. Rappelle-toi : 60 minutes = 1 heure.
- 30 min = 30/60 = 0,5 h
- 15 min = 15/60 = 0,25 h
- 45 min = 45/60 = 0,75 h
Attention : 2 h 30 min = 2,5 h, pas 2,3 h !
La formule de la vitesse
La vitesse moyenne $v$ est le quotient de la distance $d$ par le temps $t$ :
$v = \dfrac{d}{t}$
On peut aussi écrire : $d = v \times t$ et $t = \dfrac{d}{v}$.
Si $d$ est en km et $t$ en h, alors $v$ est en km/h.
À toi de jouer
1. On va le faire ensemble. Un train parcourt 240 km en 3 h. Complète pour trouver sa vitesse moyenne :
$v = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ km/h.
Corrigé
On applique la formule $v = \dfrac{d}{t}$.
$v = \dfrac{240}{3} = 80$ km/h.
Le train roule à 80 km/h.
2. Une voiture roule à 90 km/h pendant 2 h. Complète pour trouver la distance parcourue :
$d = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ km.
Corrigé
On applique la formule $d = v \times t$.
$d = 90 \times 2 = 180$ km.
La voiture parcourt 180 km.
3. Un cycliste parcourt 60 km à la vitesse de 20 km/h. Complète pour trouver le temps mis :
$t = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ h.
Corrigé
On applique la formule $t = \dfrac{d}{v}$.
$t = \dfrac{60}{20} = 3$ h.
Le cycliste met 3 heures.
Ah, la vitesse moyenne, ça te revient ? On va remettre tout ça au propre, avec une méthode claire pour ne plus confondre les trois formules. On verra aussi comment convertir les vitesses entre km/h et m/s, et on fera quelques exercices pour que ça rentre définitivement.
Méthode pas à pas
- Identifie ce que tu cherches : vitesse, distance ou temps ?
- Choisis la bonne formule :
- Pour la vitesse : $v = \dfrac{d}{t}$
- Pour la distance : $d = v \times t$
- Pour le temps : $t = \dfrac{d}{v}$ - Vérifie que les unités sont compatibles (km avec h, m avec s).
- Calcule et n'oublie pas l'unité du résultat.
Conversions km/h ↔ m/s
1 km = 1 000 m, 1 h = 3 600 s.
km/h → m/s : on divise par 3,6.
Exemple : 90 km/h ÷ 3,6 = 25 m/s.
m/s → km/h : on multiplie par 3,6.
Exemple : 25 m/s × 3,6 = 90 km/h.
À toi de jouer
1. Un autobus parcourt 84 km en 1,5 h. Quelle est sa vitesse moyenne ?
Complète : $v = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ km/h.
Corrigé
On cherche la vitesse : $v = \dfrac{d}{t}$.
$v = \dfrac{84}{1,5} = 56$ km/h.
La vitesse moyenne de l'autobus est 56 km/h.
2. Un jogger court à 12 km/h pendant 45 min. Quelle distance parcourt-il ?
Complète : 45 min = $\underline{\hspace{1.1em}}$ h, donc $d = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ km.
Corrigé
45 min = 45/60 = 0,75 h.
$d = v \times t = 12 \times 0,75 = 9$ km.
Le jogger parcourt 9 km.
3. Convertis 108 km/h en m/s. Complète :
$108 \div \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ m/s.
Corrigé
Pour passer de km/h à m/s, on divise par 3,6.
$108 \div 3,6 = 30$ m/s.
108 km/h équivaut à 30 m/s.
On muscle ta mémoire ! Voici cinq exercices quasi identiques pour que la formule de la vitesse devienne un automatisme. Tu vas calculer une vitesse moyenne cinq fois de suite. Simple, efficace, et ça fait du bien de réussir.
À toi de jouer
1. Une voiture parcourt 150 km en 2 h. Calcule sa vitesse moyenne en km/h.
$v = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ km/h.
Corrigé
$v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{150}{2} = 75$ km/h.
2. Une moto parcourt 120 km en 1,5 h. Calcule sa vitesse moyenne en km/h.
$v = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ km/h.
Corrigé
$v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{120}{1,5} = 80$ km/h.
3. Un train parcourt 420 km en 3,5 h. Calcule sa vitesse moyenne en km/h.
$v = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ km/h.
Corrigé
$v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{420}{3,5} = 120$ km/h.
4. Un avion parcourt 900 km en 1,2 h. Calcule sa vitesse moyenne en km/h.
$v = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ km/h.
Corrigé
$v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{900}{1,2} = 750$ km/h.
5. Un cycliste parcourt 45 km en 2,5 h. Calcule sa vitesse moyenne en km/h.
$v = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ km/h.
Corrigé
$v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{45}{2,5} = 18$ km/h.
C'est l'heure du vrai contrôle ! Tu vas résoudre des problèmes variés, avec des conversions d'unités et des durées en heures et minutes. Prends ton temps, relis bien chaque énoncé, et applique la méthode. Tu gères !
À toi de jouer
1. Un train part de Bordeaux à 10 h 20 min et arrive à Paris à 13 h 50 min. La distance Bordeaux–Paris est de 581 km.
a) Calcule la durée du trajet en heures et minutes, puis en heures décimales.
b) Calcule la vitesse moyenne du train en km/h.
Corrigé
a) 13 h 50 min - 10 h 20 min = 3 h 30 min.
3 h 30 min = 3,5 h.
b) $v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{581}{3,5} = 166$ km/h.
La vitesse moyenne du train est 166 km/h.
2. Une moto roule à 110 km/h et doit parcourir 330 km. Combien de temps dure le trajet ?
Corrigé
$t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{330}{110} = 3$ h.
Le trajet dure 3 heures.
3. Convertis 15 m/s en km/h. Montre le calcul.
Corrigé
Pour passer de m/s à km/h, on multiplie par 3,6.
$15 \times 3,6 = 54$ km/h.
15 m/s équivaut à 54 km/h.
4. Un radar tronçon mesure le temps mis par une voiture pour franchir 3 m entre deux capteurs. La voiture les franchit en 0,10 s. La limitation est 90 km/h.
a) Calcule la vitesse de la voiture en m/s.
b) Convertis cette vitesse en km/h.
c) La voiture est-elle en infraction ?
Corrigé
a) $v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{3}{0,10} = 30$ m/s.
b) $30 \times 3,6 = 108$ km/h.
c) 108 km/h > 90 km/h, donc oui, la voiture est en infraction.
5. La vitesse du son dans l'air est 340 m/s. Exprime-la en km/h.
Corrigé
$340 \times 3,6 = 1224$ km/h.
La vitesse du son dans l'air est 1224 km/h.
Tu maîtrises la vitesse moyenne ? Voyons ce qui t'attend l'année prochaine. On va combiner vitesse et géométrie, et découvrir la notion de vitesse instantanée. Pas de stress, c'est juste pour voir plus loin !
À toi de jouer
1. Un avion vole à 800 km/h. Il doit parcourir la distance entre Paris et New York, soit environ 5 800 km. Combien de temps mettra-t-il ? Exprime le résultat en heures et minutes.
Corrigé
$t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{5800}{800} = 7,25$ h.
0,25 h = 0,25 × 60 = 15 min.
Le vol dure 7 h 15 min.
2. Deux amis partent en voiture de la même ville. Le premier roule à 100 km/h, le second à 120 km/h. Ils doivent parcourir 300 km. Quelle est la différence de temps d'arrivée entre les deux ?
Corrigé
Premier : $t_1 = \dfrac{300}{100} = 3$ h.
Second : $t_2 = \dfrac{300}{120} = 2,5$ h.
Différence : 3 - 2,5 = 0,5 h = 30 min.
Le second arrive 30 minutes avant le premier.
3. Un cycliste monte un col à 15 km/h sur 12 km, puis le redescend à 45 km/h sur le même trajet. Calcule sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours (montée + descente). Attention, ce n'est pas la moyenne des vitesses !
Corrigé
Temps de montée : $t_m = \dfrac{12}{15} = 0,8$ h.
Temps de descente : $t_d = \dfrac{12}{45} = \dfrac{4}{15} \approx 0,267$ h.
Temps total : $0,8 + 0,267 = 1,067$ h.
Distance totale : 24 km.
Vitesse moyenne : $v = \dfrac{24}{1,067} \approx 22,5$ km/h.