Vitesse moyenne

Les prérequis à avoir en tête

Avant de foncer, trois réflexes suffisent :

• Diviser deux nombres : $300 \div 3 = 100$. C'est tout le cœur du calcul.
• Connaître ses unités : une distance se mesure en kilomètres (km) ou en mètres (m) ; une durée en heures (h), minutes (min) ou secondes (s).
• La proportionnalité : si en $1$ h on parcourt toujours la même distance, alors en $3$ h on en fait $3$ fois plus. La vitesse, c'est justement le combien par heure.

L'essentiel et la formule clé

La vitesse moyenne répond à une seule question : quelle distance est parcourue pendant une unité de temps (par exemple pendant une heure) ?

Une seule formule à retenir pour ton contrôle :

$v = \dfrac{d}{t}$   c'est-à-dire   vitesse $=$ distance $\div$ durée.

Moyen mnémotechnique : le triangle ci-contre. Tu places $d$ en haut, $v$ et $t$ en bas ; tu caches la grandeur cherchée et tu lis ce qui reste. Tu caches $v$, il reste $\dfrac{d}{t}$.

Un exemple fait en entier

Énoncé : une voiture parcourt $300$ km en $3$ h. Quelle est sa vitesse moyenne ?

Étape 1 — je repère les données : distance $d = 300$ km, durée $t = 3$ h.

Étape 2 — je choisis la formule de la vitesse : $v = \dfrac{d}{t}$.

Étape 3 — je remplace par les nombres : $v = \dfrac{300}{3}$.

Étape 4 — je calcule : $v = 100$.

Réponse : la voiture roule en moyenne à $100 \text{ km/h}$. Autrement dit, chaque heure elle avale $100$ km. On n'oublie jamais l'unité dans la réponse.

Définition : une grandeur composée

La vitesse est une grandeur composée : elle ne se mesure pas toute seule, elle combine deux grandeurs par un rapport — une distance (une longueur) et une durée (un temps).

Dire qu'une vitesse vaut $100 \text{ km/h}$, c'est dire : pour chaque heure écoulée, $100$ km sont parcourus. L'unité elle-même le raconte : km par h, où le trait de fraction signifie par.

Les deux unités les plus courantes :

• le km/h (kilomètre par heure) — les transports du quotidien : voiture, train, vélo ;
• le m/s (mètre par seconde) — les sciences physiques.

Les trois formules et le triangle

La vitesse relie trois grandeurs : $v$ (vitesse), $d$ (distance) et $t$ (durée). À partir de la relation de base, on obtient trois formules, une pour chaque grandeur que l'on cherche :

Vitesse :   $v = \dfrac{d}{t}$

Distance :   $d = v \times t$

Durée :   $t = \dfrac{d}{v}$

Ce sont trois écritures de la même relation, pas trois choses à apprendre. Le triangle les retrouve pour toi : $d$ en haut, $v$ et $t$ en bas, on cache la grandeur cherchée. On cache $d$, il reste $v \times t$ ; on cache $t$, il reste $\dfrac{d}{v}$.

Trois exemples traités

Chercher la vitesse. Un train parcourt $450$ km en $3$ h.

$v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{450}{3} = 150 \text{ km/h}$.

Chercher la distance. Un cycliste roule à $20 \text{ km/h}$ pendant $2{,}5$ h.

$d = v \times t = 20 \times 2{,}5 = 50 \text{ km}$.

Chercher la durée. Une voiture roule à $80 \text{ km/h}$ sur $200$ km.

$t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{200}{80} = 2{,}5 \text{ h} = 2 \text{ h } 30 \text{ min}$.

Pourquoi $2{,}5$ h $= 2$ h $30$ min ? Parce que $2{,}5$ h, c'est $2$ h plus $0{,}5$ h, et $0{,}5$ h $= 0{,}5 \times 60 = 30$ min.

Convertir entre km/h et m/s

Pour passer d'une unité à l'autre, on part de deux égalités connues : $1$ km $= 1\,000$ m et $1$ h $= 3\,600$ s.

Donc $1 \text{ km/h} = \dfrac{1\,000 \text{ m}}{3\,600 \text{ s}} = \dfrac{1}{3{,}6} \text{ m/s}$.

On en tire deux gestes simples, résumés par le schéma ci-contre :

• de km/h vers m/s : on divise par $3{,}6$. Exemple : $90 \div 3{,}6 = 25$, donc $90 \text{ km/h} = 25 \text{ m/s}$.
• de m/s vers km/h : on multiplie par $3{,}6$. Exemple : $25 \times 3{,}6 = 90$, donc $25 \text{ m/s} = 90 \text{ km/h}$.

Ensemble : une vitesse quand la durée est en minutes

Énoncé : un cycliste parcourt $12$ km en $48$ min. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

On lit d'abord les données. Distance $d = 12$ km, durée $t = 48$ min.

On repère le piège. On veut un résultat en km/h, donc la durée doit être en heures, pas en minutes. On convertit avant tout calcul.

On convertit la durée : $48$ min $= \dfrac{48}{60}$ h $= 0{,}8$ h.

On applique la formule : $v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{12}{0{,}8}$.

On calcule : $\dfrac{12}{0{,}8} = 15$.

On conclut avec l'unité : $v = 15 \text{ km/h}$. Le cycliste roule en moyenne à $15$ km/h.

Ensemble : une durée, donnée en h et min

Énoncé : une randonneuse marche à $4 \text{ km/h}$. Combien de temps lui faut-il pour parcourir $10$ km ?

Données : vitesse $v = 4$ km/h, distance $d = 10$ km ; on cherche la durée $t$.

On choisit la bonne formule (on cache $t$ dans le triangle) : $t = \dfrac{d}{v}$.

On fait attention à l'ordre : c'est la distance divisée par la vitesse, donc $\dfrac{10}{4}$ et surtout pas $\dfrac{4}{10}$.

On calcule : $t = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$ h.

On traduit en heures et minutes : $2{,}5$ h $= 2$ h $+ 0{,}5$ h, et $0{,}5 \times 60 = 30$ min.

Réponse : $t = 2$ h $30$ min. Attention : $2{,}5$ h, ce n'est pas $2$ h $50$ min.

Ensemble : convertir km/h et m/s

Énoncé : une voiture roule à $90 \text{ km/h}$ ; combien cela fait-il en m/s ? Et à l'inverse, un objet à $30 \text{ m/s}$, cela fait combien en km/h ?

Sens km/h vers m/s. On divise par $3{,}6$ : $90 \div 3{,}6 = 25$, donc $90 \text{ km/h} = 25 \text{ m/s}$.

Sens m/s vers km/h. On fait le geste inverse, on multiplie par $3{,}6$ : $30 \times 3{,}6 = 108$, donc $30 \text{ m/s} = 108 \text{ km/h}$.

Le réflexe pour ne pas se tromper de sens : une même vitesse donne un plus petit nombre en m/s qu'en km/h ($25$ en m/s pour $90$ en km/h). Si en convertissant vers les m/s ton nombre grandit, tu t'es trompé de sens.

Problème résolu : la vitesse moyenne sur tout un trajet

Énoncé : une voiture parcourt d'abord $150$ km d'autoroute en $1$ h $30$ min, puis $60$ km de route en $1$ h. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet ?

Le piège à éviter. On serait tenté de calculer la vitesse de chaque portion, puis d'en faire la moyenne. C'est faux. La vitesse moyenne se calcule toujours avec la distance totale et la durée totale : $v = \dfrac{d_{\text{total}}}{t_{\text{total}}}$.

Distance totale : $150 + 60 = 210$ km.

Durée totale : $1$ h $30$ min $= 1{,}5$ h, donc $1{,}5 + 1 = 2{,}5$ h.

Vitesse moyenne : $v = \dfrac{210}{2{,}5} = 84 \text{ km/h}$.

Pourquoi ce n'est pas $80$. Les vitesses des deux portions valent $\dfrac{150}{1{,}5} = 100 \text{ km/h}$ et $\dfrac{60}{1} = 60 \text{ km/h}$. Leur moyenne simple donnerait $\dfrac{100 + 60}{2} = 80 \text{ km/h}$. Mais la voiture a roulé plus longtemps ($1{,}5$ h) à la vitesse rapide qu'à la vitesse lente ($1$ h) : la vraie moyenne penche vers $100$, elle vaut $84$ et non $80$. À retenir : on divise les totaux, on ne moyenne pas des vitesses.

Problème résolu : jongler avec m/s et km/h

Énoncé : un guépard lancé à pleine vitesse court à $108 \text{ km/h}$. (a) Exprime cette vitesse en m/s. (b) Quelle distance parcourt-il en $3$ s à cette allure ?

(a) Conversion. De km/h vers m/s, on divise par $3{,}6$ : $108 \div 3{,}6 = 30$, donc $108 \text{ km/h} = 30 \text{ m/s}$.

(b) Distance. Maintenant la vitesse est en m/s et la durée en s : les unités vont ensemble, on peut appliquer $d = v \times t$.

$d = 30 \times 3 = 90 \text{ m}$.

Pourquoi convertir d'abord ? En gardant $108$ km/h avec $3$ s, on aurait mélangé des heures et des secondes : résultat faux. Règle d'or : toutes les grandeurs dans des unités compatibles (km avec h, ou m avec s) avant de calculer.

Ce que le correcteur attend (et les pièges classiques)

Pour décrocher tous les points :

• écris la formule avant de remplacer les nombres (elle est souvent comptée à part) ;
• montre l'étape de conversion quand il y en a une, ne la fais pas de tête ;
• termine toujours par l'unité : $15$ tout court ne vaut rien, $15 \text{ km/h}$ oui.

Les pièges qui coûtent des points :

• Unités incompatibles : une distance en km et une durée en minutes ne donnent pas des km/h. Convertis la durée en heures d'abord.
• Heures décimales confondues avec des minutes : $2{,}5$ h $= 2$ h $30$ min, et non $2$ h $50$ min. Le $0{,}5$ se multiplie par $60$.
• Formule inversée : pour la durée, $t = \dfrac{d}{v}$, donc $\dfrac{200}{80}$ et jamais $\dfrac{80}{200}$.
• Moyenne de vitesses : sur plusieurs portions, on divise la distance totale par la durée totale, on ne moyenne pas les vitesses.

La vitesse, c'est de la proportionnalité déguisée

À vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée : rouler $2$ h fait deux fois plus de chemin que rouler $1$ h. Le coefficient de proportionnalité, c'est justement la vitesse.

Si tu traces la distance en fonction du temps, tu obtiens une droite qui passe par l'origine (schéma ci-contre). Et le point clé pour l'an prochain : la pente de cette droite (son coefficient directeur), c'est la vitesse. Plus la droite monte vite, plus on va vite.

C'est le même objet que la quatrième proportionnelle et le produit en croix que tu as déjà vus : $v = \dfrac{d}{t}$ est un rapport, exactement comme un coefficient de proportionnalité.

D'autres grandeurs composées, même logique

La vitesse n'est que la plus connue d'une grande famille : les grandeurs composées, obtenues en divisant une grandeur par une autre. Tu en croiseras d'autres :

• le débit : un volume par unité de temps (L/min, pour un robinet ou une rivière) ;
• la masse volumique : une masse par unité de volume (kg/m$^3$, pour savoir si ça flotte ou ça coule) ;
• le prix au kilo (€/kg), la consommation d'une voiture (L/100 km)...

À chaque fois, le mot par (le trait de fraction) trahit une grandeur composée, et la même mécanique de calcul s'applique.

En physique : moyenne contre instantanée, et d'où sort le 3,6

Vitesse moyenne contre vitesse instantanée. Ce que tu calcules ici est une moyenne sur tout le trajet : elle ne dit pas si tu as accéléré ou freiné en chemin. L'an prochain, en physique, apparaîtra la vitesse instantanée — celle que lit le compteur à un instant précis. Sur un trajet à vitesse constante (un mouvement dit uniforme), les deux coïncident.

D'où sort le fameux 3,6 ? Convertir des km/h en m/s, c'est enchaîner deux conversions : passer des km aux m (multiplier par $1\,000$) et des heures aux secondes (diviser par $3\,600$). Bilan : multiplier par $\dfrac{1\,000}{3\,600} = \dfrac{1}{3{,}6}$, c'est-à-dire diviser par $3{,}6$. Le $3{,}6$ n'a rien de magique : c'est tout simplement $\dfrac{3\,600}{1\,000}$.