Théorème de Pythagore

Dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

1 L'idée

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse : c'est toujours le plus long des trois côtés. Le théorème de Pythagore relie les longueurs des trois côtés et permet de calculer n'importe lequel dès que les deux autres sont connus.

La réciproque permet, à partir des trois longueurs données, de prouver qu'un triangle est rectangle — sans mesurer d'angle.

2 Le théorème et sa réciproque

Théorème (direct)

$\text{Triangle } ABC \text{ rectangle en } A \implies BC^2 = AB^2 + AC^2$

Réciproque

$BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies \text{Triangle } ABC \text{ rectangle en } A$

Notation générale

$c^2 = a^2 + b^2 \quad \text{où } c \text{ est l'hypoténuse}$

3 Exemples

Exemple A — Calculer l'hypoténuse

Triangle $ABC$ rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. Calculer $BC$.

D'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$

$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Donc $BC = \sqrt{100} = 10$ cm.

Exemple B — Calculer un côté de l'angle droit

Triangle $DEF$ rectangle en $D$, avec $EF = 15$ cm et $DE = 9$ cm. Calculer $DF$.

D'après le théorème de Pythagore : $EF^2 = DE^2 + DF^2$

Donc $DF^2 = EF^2 - DE^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$

Donc $DF = \sqrt{144} = 12$ cm.

Méthode — Appliquer le théorème de Pythagore

Repérer l'angle droit et identifier l'hypoténuse (le côté qui lui est opposé, toujours le plus long).
Écrire la relation : $c^2 = a^2 + b^2$ où $c$ désigne l'hypoténuse.
Substituer les valeurs connues dans la relation.
Isoler l'inconnue, puis prendre la racine carrée positive pour conclure.

Erreurs fréquentes

Confondre l'hypoténuse et un côté de l'angle droit : l'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit, jamais adjacente à lui.
Oublier la racine carrée : on ne peut pas écrire $BC = AB^2 + AC^2$. Il faut $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$.
Pour un côté de l'angle droit, bien soustraire les carrés : $a^2 = c^2 - b^2$, donc $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, pas $c - b$.
Appliquer la réciproque sans comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.