Contrôle de maths dans deux jours, et Pythagore tu n'en as jamais entendu parler (ou alors tu croyais que c'était le nom d'un chat) ? Respire. C'est une seule formule, trois côtés, et tu la tiens en dix minutes.
Les prérequis express + l'idée en une phrase
D'abord le décor. Un triangle rectangle, c'est un triangle qui possède un angle droit (un angle de $90^\circ$, le coin d'une feuille). Le côté situé juste en face de cet angle droit porte un nom savant : l'hypoténuse. Retiens deux choses sur elle : c'est le côté opposé à l'angle droit, et c'est toujours le plus long des trois.
Il te faut aussi deux gestes de calcul : élever au carré (multiplier un nombre par lui-même, $6^2 = 6 \times 6 = 36$) et prendre la racine carrée, l'opération inverse ($\sqrt{36} = 6$, car $6^2 = 36$).
L'idée en une phrase : dans un triangle rectangle, si tu connais deux côtés, Pythagore te donne le troisième. Point.
La formule clé + un exemple fait en entier
La formule à graver, avec $c$ l'hypoténuse et $a$, $b$ les deux autres côtés :
$c^2 = a^2 + b^2$
Autrement dit : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Exemple. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. On cherche l'hypoténuse $BC$.
Étape 1 — j'écris Pythagore. L'angle droit est en $A$, donc l'hypoténuse est $BC$ : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
Étape 2 — je remplace : $BC^2 = 6^2 + 8^2$.
Étape 3 — je calcule les carrés puis la somme : $BC^2 = 36 + 64 = 100$.
Étape 4 — je prends la racine carrée pour revenir à la longueur : $BC = \sqrt{100} = 10$ cm.
Et voilà : $BC = 10$ cm. Si tu sais refaire ces quatre lignes, tu as déjà l'essentiel du contrôle.
Ah mais si, ça te revient : le triangle rectangle, l'angle droit, ce fameux « au carré »... On reprend tout proprement, au ralenti, avec les vraies définitions et les deux usages du théorème — le sens direct pour calculer une longueur, la réciproque pour prouver un angle droit.
Le vocabulaire propre et le théorème direct
Triangle rectangle : triangle ayant un angle droit. Hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus long côté. Les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit (ceux qui touchent l'angle droit).
Théorème de Pythagore (sens direct). Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors :
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
Ici l'angle droit est en $A$, donc l'hypoténuse est $BC$ (le côté qui ne touche pas $A$). De façon générale, en notant $c$ l'hypoténuse et $a$, $b$ les côtés de l'angle droit : $c^2 = a^2 + b^2$.
Ce théorème sert dès que tu connais deux longueurs sur trois : il te donne la troisième.
La méthode pas à pas pour calculer une longueur
Quatre étapes, toujours les mêmes :
1. Repérer l'angle droit et identifier l'hypoténuse (le côté opposé, le plus long).
2. Écrire la relation $c^2 = a^2 + b^2$ avec $c$ l'hypoténuse.
3. Remplacer par les valeurs connues.
4. Isoler l'inconnue, puis prendre la racine carrée positive.
Il y a deux directions selon ce qu'on cherche.
On cherche l'hypoténuse (exemple A). Triangle $ABC$ rectangle en $A$, $AB = 6$, $AC = 8$. On additionne les carrés : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, donc $BC = \sqrt{100} = 10$ cm.
On cherche un côté de l'angle droit (exemple B). Triangle $DEF$ rectangle en $D$, hypoténuse $EF = 15$, côté $DE = 9$. L'inconnue $DF$ est un côté de l'angle droit, donc on soustrait : de $EF^2 = DE^2 + DF^2$ on tire $DF^2 = EF^2 - DE^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$, donc $DF = \sqrt{144} = 12$ cm.
Retiens la nuance : on ajoute les carrés pour trouver l'hypoténuse, on soustrait pour trouver un côté de l'angle droit.
La réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle
Le théorème direct part d'un angle droit déjà connu. La réciproque fait le chemin inverse : à partir des trois longueurs, elle prouve qu'un triangle est rectangle, sans mesurer le moindre angle.
Réciproque. Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ (et l'angle droit se trouve en face du plus long côté).
Mode d'emploi : on repère le plus long côté (le candidat hypoténuse), on calcule séparément son carré d'un côté, la somme des carrés des deux autres de l'autre, puis on compare.
Exemple. Un triangle a pour côtés $5$ cm, $12$ cm et $13$ cm. Est-il rectangle ?
Le plus long côté est $13$. Je calcule son carré : $13^2 = 169$.
Je calcule la somme des carrés des deux autres : $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
Les deux résultats sont égaux ($169 = 169$), donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle — l'angle droit est en face du côté de $13$ cm.
On enfile le survêt, échauffement tranquille. Je fais trois exemples en entier et je commente chaque ligne à voix haute — objectif : que le geste devienne réflexe. Tu ne fais rien seul ici, tu me regardes faire, puis tu te dis « facile ».
Ensemble — calculer l'hypoténuse
Énoncé. Le triangle $RST$ est rectangle en $R$, avec $RS = 9$ cm et $RT = 12$ cm. On veut la longueur $ST$.
Je repère l'angle droit : il est en $R$. L'hypoténuse est donc le côté opposé à $R$, c'est-à-dire $ST$ — justement ce qu'on cherche. C'est une somme.
J'écris Pythagore avec $ST$ comme hypoténuse : $ST^2 = RS^2 + RT^2$.
Je remplace par les valeurs de l'énoncé : $ST^2 = 9^2 + 12^2$.
Je calcule chaque carré : $9^2 = 81$ et $12^2 = 144$, donc $ST^2 = 81 + 144 = 225$.
$ST^2 = 225$, mais on veut $ST$, pas son carré : je prends la racine carrée. $ST = \sqrt{225} = 15$ cm.
Conclusion : $ST = 15$ cm. On a bien additionné, parce que l'inconnue était l'hypoténuse.
Ensemble — calculer un côté de l'angle droit
Énoncé. Le triangle $MNP$ est rectangle en $M$. Son hypoténuse est $NP = 25$ cm et un côté de l'angle droit vaut $MN = 7$ cm. On cherche $MP$.
Attention au piège : ici l'inconnue $MP$ n'est pas l'hypoténuse (l'hypoténuse, c'est $NP$, en face de l'angle droit $M$). Comme l'inconnue est un côté de l'angle droit, ce sera une soustraction.
J'écris Pythagore avec $NP$ comme hypoténuse : $NP^2 = MN^2 + MP^2$.
J'isole l'inconnue $MP^2$ en passant $MN^2$ de l'autre côté : $MP^2 = NP^2 - MN^2$.
Je remplace : $MP^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$.
Je prends la racine carrée : $MP = \sqrt{576} = 24$ cm.
Conclusion : $MP = 24$ cm. On a soustrait, parce que l'inconnue était un côté de l'angle droit.
Ensemble — vérifier qu'un triangle est rectangle
Énoncé. Un triangle $GHI$ a pour côtés $GH = 8$ cm, $HI = 15$ cm et $GI = 17$ cm. Est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?
On ne connaît aucun angle : c'est un travail pour la réciproque. Premier réflexe, repérer le plus long côté. C'est $GI = 17$ (candidat hypoténuse).
Je calcule le carré du plus long côté, tout seul dans son coin : $GI^2 = 17^2 = 289$.
Je calcule séparément la somme des carrés des deux autres : $GH^2 + HI^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.
Je compare les deux nombres obtenus : $289 = 289$, ils sont égaux.
Conclusion : puisque $GI^2 = GH^2 + HI^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle $GHI$ est rectangle en $H$ (l'angle droit est en face du plus long côté $GI$).
Niveau contrôle et brevet. Ici on gratte les points : un vrai problème concret où le résultat ne tombe pas rond, la rédaction exacte que le correcteur veut lire, et les étourderies qui coûtent cher. On serre les boulons.
Problème concret entièrement résolu — l'échelle contre le mur
Énoncé. Une échelle de $4$ m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est posé à $1{,}20$ m du bas du mur. À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? On arrondira au centimètre.
On modélise. Le mur est vertical, le sol horizontal : ils forment un angle droit à leur rencontre. L'échelle, le sol et le mur dessinent un triangle rectangle dont l'échelle est l'hypoténuse (elle est en face de l'angle droit). Notons $h$ la hauteur cherchée.
Pythagore. $\text{échelle}^2 = \text{base}^2 + h^2$, c'est-à-dire $4^2 = 1{,}20^2 + h^2$.
L'inconnue $h$ est un côté de l'angle droit, donc je soustrais : $h^2 = 4^2 - 1{,}20^2 = 16 - 1{,}44 = 14{,}56$.
$h = \sqrt{14{,}56} \approx 3{,}8158\ldots$ m.
Conclusion. L'échelle touche le mur à environ $3{,}82$ m de hauteur.
Le réflexe qui rapporte : quand le nombre sous la racine n'est pas un carré parfait, on garde plusieurs décimales à la calculatrice et on n'arrondit qu'à la toute fin, comme demandé.
La réciproque au brevet + ce que le correcteur attend
Énoncé. Un triangle $RST$ a pour côtés $RS = 2{,}5$ cm, $ST = 6$ cm et $RT = 6{,}5$ cm. Montrer qu'il est rectangle et préciser en quel sommet.
Étape 1 — je repère le plus long côté. C'est $RT = 6{,}5$ cm : ce sera l'hypoténuse si le triangle est rectangle.
Étape 2 — je calcule les deux membres séparément. D'un côté : $RT^2 = 6{,}5^2 = 42{,}25$. De l'autre : $RS^2 + ST^2 = 2{,}5^2 + 6^2 = 6{,}25 + 36 = 42{,}25$.
Étape 3 — je compare et je conclus. On a $RT^2 = RS^2 + ST^2$ ($42{,}25 = 42{,}25$). Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $RST$ est rectangle en $S$ (l'angle droit est en face du plus long côté $RT$).
Ce que le correcteur attend : les deux calculs menés séparément (jamais l'égalité posée d'avance comme si elle était déjà vraie), la phrase « d'après la réciproque du théorème de Pythagore », et une conclusion qui nomme le sommet de l'angle droit.
Et si ce n'est pas rectangle ? Même méthode. Pour un triangle de côtés $4$, $5$ et $6$ : $6^2 = 36$ tandis que $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$. Comme $36 \neq 41$, le triangle n'est pas rectangle. C'est la contraposée : quand l'égalité est fausse, il n'y a pas d'angle droit.
Les pièges classiques à éviter
Confondre l'hypoténuse et un côté de l'angle droit. L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit, jamais collée à lui. Repère l'angle droit d'abord, le reste suit.
Oublier la racine carrée. $BC^2 = 100$ ne veut pas dire $BC = 100$ ! Il faut $BC = \sqrt{100} = 10$. Écrire $BC = AB^2 + AC^2$ est faux ; c'est $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$.
Additionner au lieu de soustraire (ou l'inverse). Pour l'hypoténuse on ajoute les carrés ; pour un côté de l'angle droit on soustrait : $a^2 = c^2 - b^2$, donc $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, et surtout pas $c - b$.
Bâcler la réciproque. On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres — pas deux côtés pris au hasard.
Arrondir trop tôt. Garde les décimales jusqu'au bout, n'arrondis qu'au résultat final, et respecte l'unité et la précision demandées.
Contrôle en poche ? On regarde par-dessus la clôture. Pourquoi ce théorème est-il vrai (oui, on peut le prouver avec un simple découpage), et où il va te resservir — en trigonométrie, dans un repère, et même dans l'espace.
Pourquoi c'est vrai ? Une idée de démonstration
Un théorème, ça se démontre — et celui-là a une preuve visuelle qu'on comprend sans machinerie. On part de quatre triangles rectangles identiques, de côtés de l'angle droit $a$ et $b$ et d'hypoténuse $c$.
On les range dans un grand carré de côté $a + b$ (voir la figure). Au centre, le trou laissé est un carré incliné de côté $c$.
Première façon de mesurer l'aire du grand carré : c'est un carré de côté $a + b$, donc son aire vaut $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Deuxième façon : c'est le carré central (aire $c^2$) plus les quatre triangles (chacun d'aire $\dfrac{a \times b}{2}$, soit $4 \times \dfrac{ab}{2} = 2ab$ en tout). Total : $c^2 + 2ab$.
Les deux façons décrivent la même aire, donc $a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$. On retire $2ab$ de chaque côté et il reste :
$a^2 + b^2 = c^2$.
C'est exactement le théorème de Pythagore. Remarque au passage que c'est le calcul littéral (développer $(a+b)^2$) qui rend la preuve limpide — une bonne raison de le maîtriser.
Où Pythagore va te resservir
En trigonométrie (dès cette année). Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu relie un angle aux longueurs des côtés. Pythagore reste le compagnon qui te donne le côté manquant avant ou après un calcul d'angle.
Dans un repère (l'an prochain, en 3e). Pour mesurer la distance entre deux points $A$ et $B$ de coordonnées connues, on fabrique un triangle rectangle avec l'écart horizontal et l'écart vertical, et on applique Pythagore : c'est l'origine de la formule de distance.
Dans l'espace. En appliquant Pythagore deux fois de suite, on calcule la grande diagonale d'un pavé droit — le théorème ne se limite pas au plan.
Côté logique. Tu as croisé un théorème, sa réciproque et sa contraposée : trois énoncés à ne pas confondre. C'est un premier pas vers le raisonnement mathématique rigoureux qu'on te demandera de plus en plus.
Pour les curieux. Les triplets d'entiers qui marchent — $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(8,15,17)$... — s'appellent des triplets pythagoriciens. Il en existe une infinité, et les chercher est un petit jeu d'arithmétique vieux de plusieurs millénaires.