Calcul littéral : développer et factoriser

Passer d'un produit à une somme (développer) ou d'une somme à un produit (factoriser).

1 L'idée

Développer consiste à transformer un produit en une somme en appliquant la distributivité. Factoriser fait l'opération inverse : on repère un facteur commun à tous les termes pour les regrouper en un produit.

Ces deux opérations permettent de simplifier des expressions algébriques, de comparer deux formes ou de préparer la résolution d'une équation.

2 Règles de développement

Distributivité simple

$k(a + b) = ka + kb$

Distributivité avec −

$k(a - b) = ka - kb$

Double distributivité

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

3 Développer

Distributivité simple

$3(2x + 5) = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 6x + 15$

$-2(x - 4) = (-2) \times x + (-2) \times (-4) = -2x + 8$

Double distributivité

$(x + 3)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 3 \cdot x + 3 \cdot 2$

$= x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6$

Méthode — factoriser par le facteur commun

Exemple : $6x^2 - 9x$. Les deux termes sont divisibles par $3x$.
$6x^2 - 9x = 3x(2x - 3)$. Vérif : $3x \times 2x - 3x \times 3 = 6x^2 - 9x$.

Repérer le facteur qui divise chaque terme (nombre et/ou lettre).
Diviser chaque terme par ce facteur : on obtient ce qui restera dans la parenthèse.
Écrire : facteur commun $\times$ (termes restants).
Vérifier en redéveloppant : on doit retrouver l'expression de départ.

Erreurs fréquentes

$-(x - 3) = -x - 3$ : FAUX. Distribuer le signe «$-$» sur chaque terme donne $-x + 3$.
$(x + 4)(x + 2) = x^2 + 8$ : FAUX. Les termes croisés $4x$ et $2x$ ont été oubliés.
Factoriser $3x + 6$ et écrire $3(x + 6)$ : FAUX. Il faut diviser $6$ par $3$, ce qui donne $3(x + 2)$.
Ne développer qu'un terme : $5(2x + 3) = 10x + 3$. FAUX. La distributivité s'applique à tous les termes de la parenthèse.