Pas de panique ! Tu n'as jamais vu ça en cours mais on va te rendre opérationnel très vite. Une équation, c'est juste une 'machine à remonter le temps' : tu connais le résultat final et il faut retrouver le nombre de départ. Pour y arriver, il faut d'abord être à l'aise avec les prérequis : les nombres relatifs (addition, soustraction, multiplication, division) et la notion d'opposé. On active tout ça et on attaque, tu vas voir, c'est mécanique.
Pour résoudre une équation, tu vas devoir ajouter, soustraire, multiplier et diviser des nombres positifs ET négatifs. Rappel éclair :
Une équation est une égalité contenant une inconnue, souvent notée $x$. Résoudre l'équation, c'est trouver la valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie. Cette valeur s'appelle la solution.
Forme générale : $ax + b = c$ avec $a
eq 0$. Le but : isoler $x$ en effectuant des opérations inverses des DEUX côtés du signe $=$.
Méthode ultra-résumée :
On va le faire ensemble. Résoudre $2x + 3 = 11$.
Complète les étapes :
On soustrait $\underline{\hspace{1.1em}}$ des deux membres : $2x = 11 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
On divise les deux membres par $\underline{\hspace{1.1em}}$ : $x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
La solution est $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
On soustrait $3$ des deux membres : $2x = 11 - 3 = 8$.
On divise les deux membres par $2$ : $x = \dfrac{8}{2} = 4$.
La solution est $x = 4$.
À toi ! Résoudre $x + 5 = 9$.
Complète :
On soustrait $\underline{\hspace{1.1em}}$ : $x = 9 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
On soustrait $5$ : $x = 9 - 5 = 4$. Donc $x = 4$.
Tester une solution. On te propose $x = 5$ pour l'équation $3x - 7 = 8$.
Complète le test : $3 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 7 = \underline{\hspace{1.1em}} - 7 = \underline{\hspace{1.1em}}$. Est-ce égal à $8$ ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non). Donc $x=5$ $\underline{\hspace{1.1em}}$ (est/n'est pas) solution.
$3 \times 5 - 7 = 15 - 7 = 8$. Oui. Donc $x=5$ est solution.
Ah, ces histoires d'équations te reviennent un peu ? On va remettre tout ça au propre. Rappel structuré de la méthode, puis on applique direct. Le truc en plus : on va voir que diviser par un nombre négatif, ça ne change pas la méthode, il faut juste faire attention au signe.
Une équation, c'est une balance. Pour garder l'équilibre, on fait la même chose des deux côtés.
Forme : $ax + b = c$. Solution : $x = \dfrac{c - b}{a}$. Une seule solution !
Erreurs fréquentes : oublier de faire l'opération des deux côtés ; se tromper de signe en divisant (rappel : $-2x = -6$ donne $x = 3$, pas $-3$).
On applique la méthode. Résoudre $5x - 2 = 13$.
Ici, $a = \underline{\hspace{1.1em}}$, $b = \underline{\hspace{1.1em}}$, $c = \underline{\hspace{1.1em}}$.
On isole $5x$ : on ajoute $2$ des deux côtés. $5x = 13 \ \underline{\hspace{1.1em}} \ 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
On divise par $5$ : $x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Vérification : $5 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 2 = \underline{\hspace{1.1em}} - 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$. C'est bien $13$ ? Alors c'est bon.
$a = 5$, $b = -2$, $c = 13$. On isole $5x$ : $5x = 13 + 2 = 15$. On divise par $5$ : $x = \dfrac{15}{5} = 3$. Vérification : $5 \times 3 - 2 = 15 - 2 = 13$. Correct.
Résoudre $-2x + 9 = 1$.
On soustrait $\underline{\hspace{1.1em}}$ des deux membres : $-2x = 1 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
On divise par $\underline{\hspace{1.1em}}$ : $x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
On soustrait $9$ : $-2x = 1 - 9 = -8$. On divise par $-2$ : $x = \dfrac{-8}{-2} = 4$.
Adapte la méthode pour $\dfrac{x}{3} + 2 = 5$.
Indice : $\dfrac{x}{3}$ c'est comme $\dfrac{1}{3}x$, donc $a = \dfrac{1}{3}$.
On soustrait $\underline{\hspace{1.1em}}$ : $\dfrac{x}{3} = 5 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
On multiplie par $\underline{\hspace{1.1em}}$ : $x = 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
On soustrait $2$ : $\dfrac{x}{3} = 5 - 2 = 3$. On multiplie par $3$ : $x = 3 \times 3 = 9$.
L'heure de la répétition mécanique ! Cinq mini-équations quasi identiques. Le but : que la technique devienne un automatisme. Tu vas enchaîner, et à la fin, l'isolation de $x$ et la division par $a$ seront des réflexes. Seule la vigilance sur les signes peut te piéger. Reste concentré.
Résous $3x + 4 = 16$.
$3x = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$3x = 16 - 4 = 12$ ; $x = \dfrac{12}{3} = 4$.
Résous $3x + 7 = 19$.
$3x = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$3x = 19 - 7 = 12$ ; $x = \dfrac{12}{3} = 4$.
Résous $3x + 10 = 22$.
$3x = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$3x = 22 - 10 = 12$ ; $x = \dfrac{12}{3} = 4$.
Résous $4x - 2 = 10$.
$4x = \underline{\hspace{1.1em}} \ \underline{\hspace{1.1em}} \ 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$4x = 10 + 2 = 12$ ; $x = \dfrac{12}{4} = 3$.
Résous $4x - 5 = 7$.
$4x = \underline{\hspace{1.1em}} \ \underline{\hspace{1.1em}} \ 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$4x = 7 + 5 = 12$ ; $x = \dfrac{12}{4} = 3$.
Place au niveau attendu en contrôle. Tu vas résoudre des équations variées sans filet, tester des solutions, et surtout mettre en équation des problèmes concrets (caisse, périmètre). C'est le coeur de ce qui peut tomber. Montre que tu maîtrises la méthode et la vérification.
Résous chaque équation et vérifie ta solution.
a) $2x + 7 = 15$
b) $6x - 4 = 20$
c) $3x + 8 = 2$
a) $2x = 8 \Rightarrow x = 4$. Vérif : $2\times 4 + 7 = 15$. b) $6x = 24 \Rightarrow x = 4$. Vérif : $24 - 4 = 20$. c) $3x = -6 \Rightarrow x = -2$. Vérif : $-6 + 8 = 2$.
Résous avec des coefficients négatifs ou fractionnaires.
a) $-3x + 10 = 1$
b) $4x + 7 = -5$
c) $\dfrac{x}{4} + 3 = 5$
a) $-3x = -9 \Rightarrow x = 3$. b) $4x = -12 \Rightarrow x = -3$. c) $\dfrac{x}{4} = 2 \Rightarrow x = 8$.
Teste si la valeur proposée est solution.
a) $2x - 9 = 5$ pour $x = 7$.
b) $5x + 6 = -9$ pour $x = -3$.
c) $3x + 2 = 10$ pour $x = 3$.
a) $2\times 7 - 9 = 14 - 9 = 5$. Oui. b) $5\times (-3) + 6 = -15 + 6 = -9$. Oui. c) $3\times 3 + 2 = 11
eq 10$. Non.
Problème de mise en équation. Un commerçant a 200 € en caisse le matin. Il vend des livres à 4 € pièce et a 260 € en caisse le soir. On note $x$ le nombre de livres vendus. Pose l'équation, résous-la, et conclus.
Équation : $4x + 200 = 260$. Résolution : $4x = 60 \Rightarrow x = 15$. Vérification : $4 \times 15 + 200 = 60 + 200 = 260$. Le commerçant a vendu 15 livres.
Périmètre d'un rectangle. Un rectangle a un périmètre de 40 cm. Sa longueur est $(3x + 2)$ cm et sa largeur est $(x - 1)$ cm. Traduis par une équation, résous-la et donne les dimensions.
Périmètre = $2(\text{longueur} + \text{largeur})$, donc $2[(3x+2) + (x-1)] = 40$. Simplification intérieure : $(3x+2+x-1) = 4x + 1$. Équation : $2(4x+1) = 40 \Rightarrow 8x + 2 = 40 \Rightarrow 8x = 38 \Rightarrow x = 4,75$. Dimensions : Longueur = $3\times 4,75 + 2 = 16,25$ cm ; Largeur = $4,75 - 1 = 3,75$ cm. Vérification : $2(16,25 + 3,75) = 2\times 20 = 40$ cm.
Tu gères le programme, alors on prend un peu d'avance. En troisième, les équations se complexifient : l'inconnue $x$ peut apparaître des DEUX côtés du signe égal. La logique reste la même : regrouper les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, puis isoler. On s'entraîne ?
Principe : Pour résoudre $ax + b = cx + d$, on commence par regrouper les termes en $x$ dans un seul membre et les constantes dans l'autre, en utilisant les règles d'équivalence. Ensuite, on isole $x$ comme d'habitude.
Résous l'équation $5x + 3 = 2x + 9$.
Regroupe les $x$ à gauche : $5x - 2x + 3 = 9$, soit $\underline{\hspace{1.1em}} x + 3 = 9$. Isole le terme en $x$ : $\underline{\hspace{1.1em}} x = 9 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$3x + 3 = 9$ ; $3x = 6$ ; $x = 2$.
Résous $7x - 4 = 3x + 8$. Regroupe les $x$ et les constantes, puis résous.
$7x - 3x = 8 + 4 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3$.
Problème d'approfondissement. Un nombre $x$ ajouté à son double donne 21. Écris l'équation ($x + 2x = 3x = 21$) et résous-la pour trouver ce nombre.
$3x = 21 \Rightarrow x = 7$.
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