Équations du premier degré

Trouver la valeur de l'inconnue en isolant x des deux membres de l'égalité.

1 L'idée

Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent notée $x$). Résoudre l'équation, c'est trouver la valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie : cette valeur s'appelle la solution.

Une équation du premier degré à une inconnue a la forme $ax + b = c$ avec $a \neq 0$. Elle admet une unique solution, obtenue en effectuant des opérations inverses successives sur les deux membres.

2 Règles d'équivalence

Forme générale

$ax + b = c \quad (a \neq 0)$

Ajouter / soustraire

$A = B \iff A + k = B + k$

Diviser les deux membres par k

$A = B \iff \dfrac{A}{k} = \dfrac{B}{k} \quad (k \neq 0)$

Solution

$x = \dfrac{c - b}{a}$

3 Résoudre pas-à-pas

Exemple A

Résoudre $3x + 5 = 14$.

On soustrait $5$ des deux membres : $3x = 14 - 5 = 9$.

On divise les deux membres par $3$ : $x = \dfrac{9}{3} = 3$.

Vérification : $3 \times 3 + 5 = 9 + 5 = 14$ ✓

Exemple B — coefficient négatif

Résoudre $-2x + 7 = 1$.

On soustrait $7$ des deux membres : $-2x = 1 - 7 = -6$.

On divise les deux membres par $-2$ : $x = \dfrac{-6}{-2} = 3$.

Vérification : $-2 \times 3 + 7 = -6 + 7 = 1$ ✓

Méthode — résoudre ax + b = c

Repérer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
Isoler le terme en $x$ : ajouter ou soustraire $b$ des deux membres pour obtenir $ax = c - b$.
Diviser les deux membres par $a$ pour obtenir $x = \dfrac{c - b}{a}$.
Vérifier la solution en la substituant dans l'équation initiale.

Erreurs fréquentes

Modifier un seul membre : toujours appliquer la même opération des deux côtés du signe $=$.
$3x = 9$ donne $x = 3$ (on divise par $a = 3$), pas $x = 9$.
Erreur de signe : $-2x = -6 \Rightarrow x = 3$, et non $x = -3$.
Omettre la vérification : elle permet de détecter une erreur de calcul.