Contrôle bientôt et tu découvres le mot « équation » ce soir ? Respire. Une équation, c'est une balance : d'un côté un truc avec $x$, de l'autre un nombre, et ton boulot c'est de retrouver la valeur cachée de $x$. Trois gestes bien rangés et tu t'en sors, promis.
Les prérequis à sortir du placard
Avant de résoudre quoi que ce soit, sois à l'aise avec trois petites choses.
Les nombres relatifs. Additionner et soustraire des positifs et des négatifs : $14 - 5 = 9$, mais aussi $1 - 7 = -6$.
Les signes en multipliant et divisant. Un négatif divisé par un négatif donne un positif : $\dfrac{-6}{-2} = 3$.
Les opérations inverses. L'inverse d'« ajouter $5$ », c'est « soustraire $5$ » ; l'inverse de « multiplier par $3$ », c'est « diviser par $3$ ». C'est tout le secret de la résolution.
L'essentiel et la formule clé
Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, presque toujours noté $x$. Résoudre l'équation, c'est trouver la valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie : on l'appelle la solution.
Une équation du premier degré a la forme $ax + b = c$, avec $a \neq 0$ (le nombre devant le $x$ n'est pas nul). Bonne nouvelle : elle a toujours exactement une solution.
Pour la trouver, deux gestes, toujours appliqués des deux côtés du signe $=$ :
1) tu enlèves $b$ pour isoler le terme en $x$ ;
2) tu divises par $a$ pour isoler $x$.
La formule qui résume tout : $x = \dfrac{c - b}{a}$.
Un exemple fait en entier
Résolvons $3x + 5 = 14$.
Ici $a = 3$, $b = 5$, $c = 14$.
On soustrait $5$ des deux côtés : $3x + 5 - 5 = 14 - 5$, donc $3x = 9$.
On divise les deux côtés par $3$ : $\dfrac{3x}{3} = \dfrac{9}{3}$, donc $x = 3$.
Vérification : $3 \times 3 + 5 = 9 + 5 = 14$. L'égalité est vraie, la solution est bien $x = 3$.
Tu as déjà croisé ça en classe, ça te revient par flashs. On remet tout au propre, dans l'ordre et avec les vrais mots : les définitions, la boîte à outils, puis la méthode déroulée sur deux exemples.
Le vocabulaire, au propre
Une équation est une égalité entre deux expressions, appelées les deux membres (celui de gauche et celui de droite), et qui contient une inconnue notée $x$.
Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Chacune de ces valeurs est une solution.
Une équation du premier degré à une inconnue est une équation qui peut s'écrire sous la forme $ax + b = c$ avec $a \neq 0$. « Premier degré » signifie que $x$ apparaît à la puissance $1$ : pas de $x^2$, pas de $\dfrac{1}{x}$.
Résultat central : une telle équation admet une unique solution.
Les règles d'équivalence (la boîte à outils)
Transformer une équation sans changer ses solutions, c'est appliquer une règle d'équivalence. Il y en a deux, et toutes les deux s'appliquent aux deux membres à la fois.
Règle 1 — ajouter ou soustraire. On peut ajouter (ou soustraire) un même nombre $k$ aux deux membres : $A = B$ équivaut à $A + k = B + k$.
Règle 2 — multiplier ou diviser. On peut multiplier (ou diviser) les deux membres par un même nombre $k$ non nul : $A = B$ équivaut à $\dfrac{A}{k} = \dfrac{B}{k}$, avec $k \neq 0$.
Le mot « équivaut » compte : les nouvelles équations ont exactement les mêmes solutions que celle de départ. On ne perd rien, on n'ajoute rien.
En combinant ces deux règles, on aboutit à la formule générale $x = \dfrac{c - b}{a}$.
La méthode pas-à-pas, sur deux exemples
La méthode, toujours la même :
1) repérer $a$, $b$ et $c$ ;
2) isoler le terme en $x$ en ajoutant ou soustrayant $b$ des deux membres, pour obtenir $ax = c - b$ ;
3) diviser les deux membres par $a$, pour obtenir $x = \dfrac{c - b}{a}$ ;
4) vérifier en remplaçant $x$ par la valeur trouvée dans l'équation de départ.
Exemple A — coefficient positif. Résoudre $3x + 5 = 14$.
On soustrait $5$ des deux membres : $3x = 14 - 5 = 9$.
On divise les deux membres par $3$ : $x = \dfrac{9}{3} = 3$.
Vérification : $3 \times 3 + 5 = 14$. Correct.
Exemple B — coefficient négatif. Résoudre $-2x + 7 = 1$.
On soustrait $7$ des deux membres : $-2x = 1 - 7 = -6$.
On divise les deux membres par $-2$ : $x = \dfrac{-6}{-2} = 3$.
Vérification : $-2 \times 3 + 7 = -6 + 7 = 1$. Correct.
On enlève les petites roues. Je résous devant toi en disant tout haut ce que je pense à chaque ligne. Tu suis, tu hoches la tête, et à la fin tu te dis « ah oui, c'est que ça ».
On refait l'exemple A, en se parlant
On reprend $3x + 5 = 14$, mais cette fois je te raconte chaque geste.
Je regarde d'abord l'équation : le $x$ est « emballé » dans un $\times 3$ puis un $+5$. Pour le libérer, je défais dans l'ordre inverse — d'abord le $+5$, ensuite le $\times 3$.
Le $+5$ me gêne, je m'en débarrasse en soustrayant $5$, mais des deux côtés, sinon je casse l'équilibre : $3x + 5 - 5 = 14 - 5$.
À gauche, $+5 - 5$ s'annule, il reste $3x$. À droite, $14 - 5 = 9$. J'obtiens $3x = 9$.
Reste le $\times 3$. Je le défais en divisant par $3$, encore des deux côtés : $\dfrac{3x}{3} = \dfrac{9}{3}$, soit $x = 3$.
Réflexe final : je vérifie. Je remplace $x$ par $3$ dans l'équation de départ : $3 \times 3 + 5 = 9 + 5 = 14$. Ça tombe juste, donc $x = 3$ est bien la solution.
Le coefficient négatif, là où ça pique
On attaque $-2x + 7 = 1$. Le piège ici, c'est le signe.
Comme avant, je vire le $+7$ en soustrayant $7$ des deux côtés : $-2x + 7 - 7 = 1 - 7$.
À gauche il reste $-2x$. À droite, $1 - 7 = -6$. Donc $-2x = -6$.
Maintenant je divise par $-2$ (le coefficient, signe compris) des deux côtés : $x = \dfrac{-6}{-2}$.
Un négatif divisé par un négatif donne un positif : $\dfrac{-6}{-2} = 3$. Donc $x = 3$.
L'erreur classique serait d'écrire $x = -3$ en oubliant que « moins divisé par moins » donne « plus ». Je vérifie pour être sûr : $-2 \times 3 + 7 = -6 + 7 = 1$. C'est bon.
Un dernier pour la route : quand la solution n'est pas entière
On corse un peu avec $4x - 5 = 2$. Nouveauté : le terme constant est négatif ($-5$), et la solution ne va pas tomber ronde.
Pour enlever le $-5$, j'ajoute $5$ des deux côtés (l'inverse de « $-5$ ») : $4x - 5 + 5 = 2 + 5$.
À gauche, $-5 + 5$ s'annule, il reste $4x$. À droite, $2 + 5 = 7$. Donc $4x = 7$.
Je divise les deux côtés par $4$ : $x = \dfrac{7}{4}$.
Cette fraction est la solution exacte ; en écriture décimale, $x = 1{,}75$. Une solution peut très bien être un nombre non entier, c'est tout à fait normal.
Vérification : $4 \times \dfrac{7}{4} - 5 = 7 - 5 = 2$. Parfait.
Là on joue le match : ce que le correcteur veut voir noir sur blanc, les problèmes déguisés en petite histoire, et les pièges où tout le monde tombe une fois — une seule, après tu les vois venir.
Ce que le correcteur veut voir (et les pièges)
Au contrôle, la bonne réponse ne suffit pas : c'est la rédaction qui rapporte les points. Voici ce qu'un correcteur attend.
Écris chaque étape. On doit lire, ligne après ligne, l'opération que tu fais (« je soustrais $5$ », « je divise par $3$ »). Une réponse tombée du ciel, sans calcul, est pénalisée.
Applique l'opération aux deux membres. Règle d'or : tout ce que tu fais à gauche, tu le fais à droite. Modifier un seul côté fausse tout.
Termine par la vérification. Remplacer $x$ par la valeur trouvée et retomber sur l'égalité de départ prouve que tu ne t'es pas trompé.
Les pièges classiques à éviter :
• Ne modifier qu'un seul membre au lieu des deux.
• Confondre le coefficient et le résultat : $3x = 9$ donne $x = 3$ (on divise par $a = 3$), et surtout pas $x = 9$.
• Se tromper de signe : $-2x = -6$ donne $x = 3$, pas $x = -3$.
• Zapper la vérification, qui est justement là pour rattraper une étourderie.
Problème concret 1 : le taxi
Énoncé. Un taxi facture $4$ € de prise en charge, puis $2$ € par kilomètre parcouru. Une course a coûté $20$ €. Combien de kilomètres a-t-elle parcourus ?
Mise en équation. J'appelle $x$ le nombre de kilomètres. Le prix total, c'est « $2$ € par km » plus « $4$ € fixes », soit $2x + 4$. Ce prix vaut $20$, d'où l'équation $2x + 4 = 20$.
Résolution. Je soustrais $4$ des deux membres : $2x = 20 - 4 = 16$.
Je divise les deux membres par $2$ : $x = \dfrac{16}{2} = 8$.
Vérification. $2 \times 8 + 4 = 16 + 4 = 20$. On retrouve bien le prix annoncé.
Phrase de conclusion. La course a parcouru $8$ kilomètres. N'oublie jamais cette phrase : le correcteur veut une réponse au problème, pas seulement un « $x = 8$ » tout sec.
Problème concret 2 : un peu de géométrie
Énoncé. Un rectangle a une largeur de $7$ cm et un périmètre de $40$ cm. Quelle est sa longueur ?
Mise en équation. J'appelle $x$ la longueur, en cm. Le périmètre d'un rectangle vaut $2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})$, soit $2 \times (x + 7)$. En développant : $2x + 14$. Ce périmètre vaut $40$, d'où $2x + 14 = 40$.
Résolution. Je soustrais $14$ des deux membres : $2x = 40 - 14 = 26$.
Je divise les deux membres par $2$ : $x = \dfrac{26}{2} = 13$.
Vérification. Périmètre $= 2 \times (13 + 7) = 2 \times 20 = 40$ cm. C'est bien la valeur donnée.
Conclusion. La longueur du rectangle est de $13$ cm.
La subtilité de ce problème : l'équation n'était pas donnée toute faite. Il a fallu développer $2 \times (x + 7)$ pour se ramener à la forme $ax + b = c$. Beaucoup de problèmes de brevet fonctionnent ainsi.
Le programme de 4e s'arrête là, mais toi non. Petit aperçu de la suite : pourquoi la recette marche vraiment, et le lien secret entre une équation et une droite.
Pourquoi il y a toujours pile une solution
Reprenons la méthode et demandons-nous pourquoi elle donne toujours une solution, et une seule.
Chaque étape est une équivalence (le fameux « équivaut à ») : soustraire $b$ des deux membres, puis diviser par $a$, ne perd aucune solution et n'en invente aucune. En les enchaînant, $ax + b = c$ équivaut exactement à $x = \dfrac{c - b}{a}$.
Cette dernière écriture donne une valeur précise, et une seule. Voilà pourquoi l'équation a une unique solution.
Et le fameux $a \neq 0$ ? Il est indispensable : la dernière étape divise par $a$, et diviser par $0$ est interdit. Si $a = 0$, l'équation devient $b = c$, où $x$ a disparu : soit c'est vrai pour tout $x$ (une infinité de solutions), soit c'est faux (aucune solution). La condition $a \neq 0$ est exactement ce qui garantit « une seule solution ».
Le lien caché avec les droites
L'an prochain, tu rencontreras les fonctions affines, du type $y = ax + b$, dont la représentation graphique est une droite.
Résoudre $ax + b = c$, c'est alors répondre à la question : « pour quelle valeur de $x$ la droite $y = ax + b$ atteint-elle la hauteur $y = c$ ? »
Graphiquement, la solution est l'abscisse du point d'intersection entre la droite $y = ax + b$ et la droite horizontale $y = c$.
Par exemple, notre équation $3x + 5 = 14$ revient à croiser la droite $y = 3x + 5$ avec la droite $y = 14$ : elles se coupent au point d'abscisse $x = 3$, exactement la solution qu'on avait calculée.
Le niveau au-dessus
Deux prolongements t'attendent bientôt.
L'inconnue des deux côtés. Des équations comme $5x + 2 = 3x + 10$ ont un $x$ dans chaque membre. L'idée reste la même : on regroupe d'abord les $x$ d'un seul côté (ici en soustrayant $3x$ des deux membres) pour se ramener à la forme $ax + b = c$, déjà connue.
Les inéquations. On remplace le signe $=$ par $\lt$ ou $\gt$, et on cherche non plus une valeur mais tout un intervalle de valeurs. La méthode se ressemble beaucoup, avec un piège nouveau : quand on divise (ou multiplie) les deux membres par un nombre négatif, il faut changer le sens de l'inégalité. Une bizarrerie qui n'existe pas avec le signe $=$, mais garde-la dans un coin de ta tête pour l'an prochain.