Fractions : multiplication et division

Multiplier : numérateur par numérateur, dénominateur par dénominateur. Diviser : multiplier par l'inverse du diviseur.

1 L'idée

En 4e, on étend les opérations sur les fractions à la multiplication et à la division. Multiplier deux fractions est direct : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse (on retourne le diviseur).

Avant de calculer, repérer les facteurs communs entre un numérateur et un dénominateur permet de travailler avec de petits nombres et d'obtenir directement un résultat irréductible.

2 Les règles de calcul

Multiplication

$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$

Division

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \times d}{b \times c}$

Entier et fraction

$n \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \times a}{b}$

3 Exemples

Multiplication directe

$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{7} = \dfrac{3 \times 4}{5 \times 7} = \dfrac{12}{35}$

Division

$\dfrac{5}{6} \div \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 2} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}$

Simplification avant de multiplier

$\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$ : 4 et 8 ont le facteur commun 4 ; 3 et 9 ont le facteur commun 3.

$\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$

Méthode — simplifier avant de multiplier

Écrire le produit sous forme d'une seule fraction $\dfrac{a \times c}{b \times d}$.
Chercher un diviseur commun entre un numérateur et un dénominateur (en ligne ou en diagonale).
Diviser ces deux nombres par leur PGCD.
Multiplier les nombres réduits et vérifier que la fraction résultat est irréductible.

Erreurs fréquentes

Diviser en multipliant par la même fraction au lieu de son inverse : $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} \neq \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5}$. Il faut retourner le diviseur et écrire $\times \dfrac{5}{2}$.
Additionner les dénominateurs lors d'une multiplication : $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} \neq \dfrac{a \times c}{b + d}$.
Laisser un résultat non simplifié : $\dfrac{6}{4}$ doit être réduit en $\dfrac{3}{2}$.