Contrôle bientôt, chapitre pas encore ouvert, et toi tu es là. Respire : multiplier et diviser des fractions, ça tient en deux gestes, et on te les donne tout de suite. De quoi ne pas arriver les mains vides.
Ce qu'il faut absolument savoir avant
Pas de panique. Une fraction, c'est un nombre écrit $\dfrac{\text{numérateur}}{\text{dénominateur}}$ : le nombre du haut divisé par le nombre du bas. Tu dois juste savoir la lire et la simplifier (diviser le haut et le bas par un même nombre).
Pour ce contrôle, deux gestes suffisent.
1) Multiplier deux fractions. On multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux : $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$.
2) Diviser par une fraction. On multiplie par son inverse, c'est-à-dire la fraction du diviseur retournée : $\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$.
Le réflexe de la division : on retourne
La division est la seule partie un peu piégeuse, alors retiens l'image : diviser par $\dfrac{c}{d}$, c'est multiplier par $\dfrac{d}{c}$. On retourne la fraction du diviseur, puis on multiplie tout à fait normalement.
La phrase magique à garder en tête : « diviser, c'est multiplier par l'inverse ». Une fois la fraction retournée, tu ne divises plus jamais, tu multiplies.
Un exemple fait du début à la fin
Multiplication. Calcule $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{4}{7}$.
On multiplie les numérateurs : $3\times 4 = 12$.
On multiplie les dénominateurs : $5\times 7 = 35$.
Résultat : $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{12}{35}$. On vérifie : 12 et 35 n'ont aucun diviseur commun, la fraction est déjà irréductible.
Division. Calcule $\dfrac{5}{6}\div\dfrac{2}{3}$.
On retourne le diviseur : $\dfrac{5}{6}\div\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{2}$.
On multiplie : $\dfrac{5\times 3}{6\times 2}=\dfrac{15}{12}$.
On simplifie par 3 : $\dfrac{15}{12}=\dfrac{5}{4}$. Et voilà, tu as les deux gestes du chapitre.
Ça remonte : le trait de fraction, le prof qui répète « on retourne, on ne divise pas ». Reprenons le cours au propre, dans l'ordre, pour que chaque morceau se remette bien en place.
Multiplier deux fractions
Multiplier deux fractions, c'est direct : le produit est la fraction qui a pour numérateur le produit des numérateurs, et pour dénominateur le produit des dénominateurs.
Cas particulier d'un entier fois une fraction : un entier $n$ s'écrit $\dfrac{n}{1}$, donc $n\times\dfrac{a}{b}=\dfrac{n\times a}{b}$. On ne touche qu'au numérateur.
$\dfrac{3}{5}\times\dfrac{4}{7}=\dfrac{3\times 4}{5\times 7}=\dfrac{12}{35}$
L'image qui aide : multiplier deux fractions, c'est prendre une fraction d'une fraction. Prendre $\dfrac{2}{3}$ de $\dfrac{3}{4}$ d'un carré, c'est croiser une bande verticale et une bande horizontale. Il reste $2\times 3=6$ cases coloriées sur $3\times 4=12$ : $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.
L'inverse et la division
L'inverse d'une fraction $\dfrac{c}{d}$ (avec $c\neq 0$) est la fraction retournée $\dfrac{d}{c}$. Leur produit vaut toujours 1 : $\dfrac{c}{d}\times\dfrac{d}{c}=\dfrac{c\times d}{d\times c}=1$.
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. On retourne le diviseur, puis on applique la règle de la multiplication.
$\dfrac{5}{6}\div\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{5\times 3}{6\times 2}=\dfrac{15}{12}=\dfrac{5}{4}$
Attention à l'ordre : on retourne seulement le diviseur (la fraction placée après le signe $\div$), jamais la première.
Simplifier avant de multiplier
Rien n'oblige à multiplier d'abord et à simplifier après. C'est même souvent plus malin de simplifier avant : on manipule de petits nombres et on tombe directement sur une fraction irréductible.
- Écrire le produit sous forme d'une seule fraction $\dfrac{a\times c}{b\times d}$.
- Chercher un diviseur commun entre un numérateur et un dénominateur (sur la même ligne ou en diagonale).
- Diviser ces deux nombres par leur PGCD.
- Multiplier les nombres réduits, puis vérifier que le résultat est bien irréductible.
Calcule $\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{8}$.
4 et 8 ont le facteur commun 4 : $4=4\times 1$ et $8=4\times 2$.
3 et 9 ont le facteur commun 3 : $3=3\times 1$ et $9=3\times 3$.
Après simplification : $\dfrac{4}{9}\times\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$.
On arrête de lire, on met les mains dedans. Trois calculs qu'on déroule ensemble, ligne par ligne. Tu suis, tu ne rédiges rien tout seul pour l'instant, on fait équipe.
Ensemble : une multiplication avec simplification
On y va doucement. Calcule $\dfrac{8}{15}\times\dfrac{25}{12}$.
On écrit tout en une seule fraction. $\dfrac{8}{15}\times\dfrac{25}{12}=\dfrac{8\times 25}{15\times 12}$.
On repère une diagonale. Le 8 du haut et le 12 du bas partagent 4 : $8=4\times 2$, $12=4\times 3$.
Puis l'autre diagonale. Le 25 du haut et le 15 du bas partagent 5 : $25=5\times 5$, $15=5\times 3$.
On remplace par les nombres réduits. $\dfrac{8\times 25}{15\times 12}=\dfrac{2\times 5}{3\times 3}$.
On multiplie. $\dfrac{2\times 5}{3\times 3}=\dfrac{10}{9}$.
10 et 9 n'ont pas de diviseur commun : $\dfrac{10}{9}$ est irréductible. Terminé, et sans jamais manipuler 200 ni 180.
Ensemble : une division
Maintenant une division. Calcule $\dfrac{7}{10}\div\dfrac{14}{5}$.
Premier réflexe : on retourne le diviseur. L'inverse de $\dfrac{14}{5}$ est $\dfrac{5}{14}$, donc $\dfrac{7}{10}\div\dfrac{14}{5}=\dfrac{7}{10}\times\dfrac{5}{14}$.
On n'a plus qu'une multiplication. $\dfrac{7}{10}\times\dfrac{5}{14}=\dfrac{7\times 5}{10\times 14}$.
On simplifie. 7 et 14 partagent 7 : $14=7\times 2$. 5 et 10 partagent 5 : $10=5\times 2$.
$\dfrac{7\times 5}{10\times 14}=\dfrac{1\times 1}{2\times 2}=\dfrac{1}{4}$.
On vérifie : $\dfrac{1}{4}$ est irréductible. C'est fini, et le « retourner » nous a évité un gros calcul.
Ensemble : quand un entier s'invite
Dernier échauffement, avec un nombre entier dans l'histoire.
Un entier fois une fraction. Calcule $4\times\dfrac{5}{6}$. On voit 4 comme $\dfrac{4}{1}$, ou plus simplement on multiplie seulement le numérateur : $4\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{4\times 5}{6}=\dfrac{20}{6}$.
On simplifie par 2 : $\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$.
Un entier divisé par une fraction. Calcule $6\div\dfrac{3}{4}$. On écrit 6 sous la forme $\dfrac{6}{1}$ et on retourne le diviseur : $6\div\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{1}\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{6\times 4}{3}=\dfrac{24}{3}=8$.
Et ça se lit très bien : « combien de fois $\dfrac{3}{4}$ tient-il dans 6 ? » Réponse : 8 fois. La division répond à cette question.
Niveau contrôle et brevet maintenant : les énoncés où il faut deviner soi-même l'opération, et la rédaction qui fait gagner (ou perdre) des points. On verrouille ce qui rapporte vraiment.
Problème concret : combien de verres ?
Voici le type d'énoncé qui tombe : un problème où c'est à toi de choisir l'opération.
Un flacon contient $\dfrac{3}{4}$ de litre de sirop. On remplit des verres de $\dfrac{1}{8}$ de litre chacun. Combien de verres peut-on remplir ?
On traduit. « Combien de fois $\dfrac{1}{8}$ tient dans $\dfrac{3}{4}$ » est une division : $\dfrac{3}{4}\div\dfrac{1}{8}$.
On retourne le diviseur. $\dfrac{3}{4}\div\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{8}{1}$.
On calcule. $\dfrac{3\times 8}{4}=\dfrac{24}{4}=6$.
On répond par une phrase. On peut remplir 6 verres. (Le résultat est un entier, cohérent avec un nombre de verres : bon signe.)
Problème concret : le mot piège « de »
Deuxième classique, avec le petit mot « de » qui cache une multiplication.
Dans un collège, $\dfrac{5}{6}$ des élèves sont demi-pensionnaires. Parmi ces demi-pensionnaires, $\dfrac{3}{5}$ prennent le bus. Quelle fraction de tous les élèves du collège sont des demi-pensionnaires qui prennent le bus ?
On traduit. « $\dfrac{3}{5}$ de $\dfrac{5}{6}$ » se traduit par une multiplication : $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{6}$.
On écrit une seule fraction. $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{3\times 5}{5\times 6}$.
On simplifie. Le 5 du dénominateur et le 5 du numérateur se simplifient ; puis 3 et 6 partagent 3 : $\dfrac{3\times 5}{5\times 6}=\dfrac{1}{2}$.
Phrase de conclusion. La moitié des élèves du collège sont des demi-pensionnaires qui prennent le bus.
Ce que le correcteur attend, et les pièges
Au brevet comme au contrôle, la note se joue autant sur la rédaction que sur le résultat final.
- La ligne où tu écris l'opération avant de calculer (surtout pour une division : montre le passage à l'inverse).
- Le détail $\dfrac{a\times c}{b\times d}$, pas seulement le résultat sorti du chapeau.
- Une fraction finale irréductible (ou un entier si ça tombe juste).
- Pour un problème, une phrase-réponse qui répond vraiment à la question posée.
- Diviser en multipliant par la même fraction au lieu de son inverse : $\dfrac{3}{4}\div\dfrac{2}{5}\neq\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{5}$. Il faut retourner le diviseur et écrire $\times\dfrac{5}{2}$.
- Additionner les dénominateurs dans une multiplication : $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}\neq\dfrac{a\times c}{b+d}$. On multiplie aussi les dénominateurs.
- Croire qu'il faut un dénominateur commun pour multiplier : non, ça, c'est pour l'addition. Pour multiplier, on prend les fractions telles quelles.
- Oublier de simplifier : $\dfrac{6}{4}$ doit devenir $\dfrac{3}{2}$.
Le contrôle est dans la poche ? Regardons devant. D'où vient la règle « on retourne et on multiplie », et tout ce que ce petit chapitre te prépare pour les années d'après. Spoiler : il resservira souvent.
Pourquoi diviser, c'est multiplier par l'inverse ?
Tu appliques la règle « on retourne et on multiplie », mais d'où sort-elle ? Voici l'idée, sans démonstration lourde.
Diviser par un nombre, c'est répondre à : « par combien faut-il multiplier le diviseur pour retrouver le dividende ? » Or l'inverse $\dfrac{d}{c}$ est justement le nombre qui, multiplié par $\dfrac{c}{d}$, donne 1 (on l'a vu : $\dfrac{c}{d}\times\dfrac{d}{c}=1$).
Multiplier par $\dfrac{d}{c}$ « annule » donc la division par $\dfrac{c}{d}$. On peut aussi le voir avec une fraction à étages : $\dfrac{\;\frac{a}{b}\;}{\;\frac{c}{d}\;}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{d}{c}$, en multipliant le haut et le bas de la grande fraction par $\dfrac{d}{c}$ pour faire disparaître le dénominateur.
En 3e et au lycée, ces quotients d'écritures fractionnaires reviendront, souvent avec des lettres à la place des nombres. La règle, elle, ne change pas.
Les portes que ça ouvre
Ce petit chapitre est une brique de base pour beaucoup de choses à venir.
- Puissances d'une fraction : $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{2}=\dfrac{a}{b}\times\dfrac{a}{b}=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}$. Multiplier une fraction par elle-même, tu sais déjà le faire.
- Calcul littéral : les mêmes règles marchent avec des lettres, par exemple $\dfrac{x}{2}\times\dfrac{3}{x}=\dfrac{3}{2}$ (quand $x\neq 0$). C'est le cœur des fractions rationnelles vues plus tard.
- Proportionnalité et produit en croix : chercher une quatrième proportionnelle, c'est de la multiplication et de la division de fractions un peu déguisées.
- Fonction inverse (2de) : l'inverse d'un nombre, celui qui te sert à diviser, deviendra une fonction à part entière, $x\mapsto\dfrac{1}{x}$.
Autrement dit : bien maîtriser « retourner et multiplier » aujourd'hui, c'est t'éviter des sueurs froides pendant trois ans. Plutôt rentable comme investissement.