Multiplication et division de nombres relatifs

Le signe du résultat ne dépend que des signes des deux termes — une règle unique pour la multiplication et la division.

1 L'idée

Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs, on procède en deux étapes indépendantes :

On calcule la valeur absolue du résultat (en ignorant les signes, comme avec des entiers positifs).
On détermine le signe du résultat grâce à la règle des signes.

Cette règle s'applique de la même façon à la multiplication et à la division.

2 La règle des signes

Même signe → +

$(+)\times(+) = (+) \qquad (-)\times(-) = (+)$

Signes différents → −

$(+)\times(-) = (-) \qquad (-)\times(+) = (-)$

Division : même règle

$\dfrac{(-)}{(-)} = (+) \qquad \dfrac{(+)}{(-)} = (-) \qquad \dfrac{(-)}{(+)} = (-)$

3 Exemples

Signes différents — multiplication

Calculer $(-5) \times 4$.

Valeur absolue : $5 \times 4 = 20$.

Un seul facteur négatif (impair) → résultat négatif.

$(-5) \times 4 = -20$

Même signe — multiplication

Calculer $(-3) \times (-7)$.

Valeur absolue : $3 \times 7 = 21$.

Deux facteurs négatifs (pair) → résultat positif.

$(-3) \times (-7) = +21$

Division

Calculer $(-24) \div 6$.

Valeur absolue : $24 \div 6 = 4$.

Signes différents → résultat négatif.

$(-24) \div 6 = -4$

Méthode — produit de plusieurs facteurs

Exemple : $(-2) \times 3 \times (-5)$ contient 2 facteurs négatifs (pair) $\Rightarrow$ résultat positif ; $2 \times 3 \times 5 = 30$, donc $(-2) \times 3 \times (-5) = +30$.

Calculer la valeur absolue : multiplier les valeurs absolues de tous les facteurs.
Compter le nombre de facteurs négatifs.
Nombre pair de facteurs négatifs → résultat positif.
Nombre impair de facteurs négatifs → résultat négatif.

Erreurs fréquentes

$(-3) \times (-3) = +9$, pas $-9$ : deux négatifs donnent un positif.
Attention aux parenthèses : $(-3)^2 = +9$ mais $-3^2 = -9$.
Ne pas oublier : $(-a) \times 0 = 0$, le zéro est sans signe.
La règle des signes vaut aussi pour les fractions : $\dfrac{-6}{-2} = +3$.