Pas de panique : cette notion tient sur une seule phrase et une petite grille. Si tu sais tes tables de multiplication et poser une division, tu as déjà 90 % du boulot fait — il ne te reste qu'à gérer le signe. On y va tranquille.
Les 2 prérequis (rien de méchant)
Un nombre relatif, c'est deux informations en une seule : un signe ($+$ ou $-$) et une valeur absolue, c'est-à-dire le nombre débarrassé de son signe. Par exemple, la valeur absolue de $-7$ est $7$.
Deuxième prérequis, encore plus simple : tu sais déjà multiplier et diviser des nombres positifs (tes tables, une division comme $24 \div 6$). C'est vraiment tout ce dont tu as besoin.
L'idée de la leçon tient en une image : pour multiplier ou diviser deux relatifs, on fait deux choses séparées.
1. On calcule avec les nombres sans leur signe (comme en primaire).
2. On ajoute le signe du résultat grâce à la règle des signes.
Ces deux étapes ne se gênent jamais : les chiffres d'un côté, le signe de l'autre.
La règle des signes (la formule à retenir)
Voici tout le secret, en une phrase : deux nombres de même signe donnent un résultat positif ; deux nombres de signes différents donnent un résultat négatif. Et la bonne nouvelle, c'est que c'est exactement pareil pour la multiplication et pour la division.
Même signe, résultat $+$ : $(+)\times(+) = (+)$ et $(-)\times(-) = (+)$.
Signes différents, résultat $-$ : $(+)\times(-) = (-)$ et $(-)\times(+) = (-)$.
Pour la division, tu recopies la même grille : $\dfrac{(-)}{(-)} = (+)$, $\dfrac{(+)}{(-)} = (-)$, $\dfrac{(-)}{(+)} = (-)$.
Un exemple fait en entier
Calculons $(-3) \times (-7)$.
Étape 1 — la valeur absolue. J'ignore les signes et je multiplie comme des positifs : $3 \times 7 = 21$.
Étape 2 — le signe. Les deux nombres ont le même signe (tous les deux négatifs), donc le résultat est positif.
Conclusion : $(-3) \times (-7) = +21$.
Et si on t'avait demandé une division, $(-24) \div 6$ ? La méthode est identique : $24 \div 6 = 4$, les signes sont différents donc le résultat est négatif, soit $(-24) \div 6 = -4$. Tu vois : une seule règle pour les deux opérations.
Ça revient, hein ? On reprend proprement, avec les mots justes et une méthode carrée. L'objectif : que tu saches non seulement appliquer la règle, mais expliquer pourquoi chaque étape tombe juste. C'est ça qui fait la différence sur une copie.
Définition et méthode en deux étapes
Multiplier ou diviser deux nombres relatifs, c'est répondre à deux questions indépendantes.
Question 1 : quelle est la valeur absolue du résultat ? On multiplie (ou on divise) les valeurs absolues, exactement comme avec des nombres positifs.
Question 2 : quel est le signe du résultat ? On le lit directement sur la règle des signes.
Le point à retenir : ces deux questions ne se mélangent jamais. Le calcul des chiffres ne dépend pas des signes, et le choix du signe ne dépend pas des chiffres. C'est précisément ce qui rend la méthode fiable et rapide.
La règle des signes, multiplication et division
La règle tient en une phrase : même signe donne positif, signes différents donne négatif. Détaillée pour la multiplication :
$(+)\times(+)=(+)$ et $(-)\times(-)=(+)$ (même signe, résultat positif).
$(+)\times(-)=(-)$ et $(-)\times(+)=(-)$ (signes différents, résultat négatif).
La division suit la même règle, sans aucune exception :
$\dfrac{(-)}{(-)}=(+)$ $\dfrac{(+)}{(-)}=(-)$ $\dfrac{(-)}{(+)}=(-)$.
Le tableau ci-contre résume tout d'un coup d'œil : tu croises le signe du premier nombre (colonne de gauche) avec celui du second (ligne du haut), et tu lis le signe du résultat dans la case.
Trois exemples traités
Multiplication, signes différents. Calculons $(-5) \times 4$.
Valeur absolue : $5 \times 4 = 20$.
Signes différents (un négatif, un positif), donc le résultat est négatif.
Donc $(-5) \times 4 = -20$.
Multiplication, même signe. Calculons $(-3) \times (-7)$.
Valeur absolue : $3 \times 7 = 21$.
Même signe (deux négatifs), donc le résultat est positif.
Donc $(-3) \times (-7) = +21$.
Division. Calculons $(-24) \div 6$.
Valeur absolue : $24 \div 6 = 4$.
Signes différents, donc le résultat est négatif.
Donc $(-24) \div 6 = -4$.
Maintenant on met les mains dedans, ensemble. Je rédige chaque ligne comme tu devrais le faire sur ta copie, en commentant à voix haute. Suis bien le fil : ce sont exactement les mêmes gestes que tu referas ensuite tout seul.
On le fait ensemble — une multiplication
Objectif : calculer $(-8) \times 5$. On se parle à voix haute.
« D'abord les chiffres, sans les signes. » → $8 \times 5 = 40$. Voilà la valeur absolue du résultat.
« Maintenant le signe. Un nombre négatif, un nombre positif : signes différents. » → le résultat est négatif.
« Je recolle les deux morceaux. » → $(-8) \times 5 = -40$.
Petite astuce de relecture : compte les facteurs négatifs. Ici il y en a un seul (nombre impair), ce qui confirme un résultat négatif. Sur la droite graduée ci-contre, multiplier par $5$ revient à faire $5$ sauts de $-8$ en partant de $0$.
On le fait ensemble — une division
Objectif : calculer $(-42) \div (-7)$.
« Les chiffres seuls. » → $42 \div 7 = 6$.
« Les signes : deux nombres négatifs, donc même signe. » → le résultat est positif.
« On assemble. » → $(-42) \div (-7) = +6$.
Vérification maligne : une division, c'est une multiplication à l'envers. Est-ce que $(-7) \times (+6) = -42$ ? Signes différents donc négatif, et $7 \times 6 = 42$ : oui, on retombe bien sur $-42$. C'est cohérent, on est bons.
On le fait ensemble — plusieurs facteurs
Objectif : calculer $(-2) \times 3 \times (-5)$. Avec plusieurs facteurs, on garde exactement la même logique.
Les chiffres : on multiplie toutes les valeurs absolues : $2 \times 3 \times 5 = 30$.
Le signe : je compte les facteurs négatifs. Ici ce sont $-2$ et $-5$, soit deux facteurs négatifs. Deux, c'est un nombre pair, donc le résultat est positif.
Bilan : $(-2) \times 3 \times (-5) = +30$.
Change un seul signe pour voir la mécanique : $(-2) \times (-3) \times (-5)$ a maintenant trois facteurs négatifs (impair), donc résultat négatif, soit $-30$. La règle « pair donne $+$, impair donne $-$ » ne se trompe jamais.
Ici on chasse les points bêtement perdus. La règle, tu la connais ; ce qui coûte des points sur une copie, ce sont les parenthèses, le zéro et les fractions. On blinde tout ça, et je te dis noir sur blanc ce que le correcteur veut voir écrit.
Le piège numéro 1 : les parenthèses
C'est l'erreur la plus fréquente et la plus coûteuse. Compare bien ces deux écritures :
$(-3)^2 = (-3) \times (-3)$. Deux facteurs de même signe, donc résultat positif : $(-3)^2 = +9$.
$-3^2 = -(3 \times 3)$. Ici l'exposant ne concerne que le $3$, pas le signe $-$ placé devant. Donc $-3^2 = -9$.
La leçon : ce sont les parenthèses qui décident de ce qui est élevé au carré. $(-3)^2$ et $-3^2$ ne sont pas le même calcul. Au brevet comme au contrôle, on te teste précisément sur cette distinction, alors ralentis à chaque fois que tu vois un carré collé à un signe.
Zéro et fractions : deux réflexes
Le zéro n'a pas de signe. Multiplier n'importe quel relatif par $0$ donne $0$, sans $+$ ni $-$ : $(-8) \times 0 = 0$. N'écris jamais $-0$ ni $+0$, ça n'existe pas.
La règle des signes vaut aussi pour les fractions, tout simplement parce qu'une fraction est une division déguisée. Par exemple $\dfrac{-6}{-2} = +3$ : deux négatifs, même signe, donc positif.
Autre exemple : $\dfrac{15}{-3} = -5$, signes différents, donc négatif. Retiens la version rapide : une fraction qui ne contient qu'un seul signe $-$ (au numérateur, au dénominateur, ou devant la barre) est négative ; s'il y a deux $-$, ils s'annulent et elle est positive.
Un problème type, entièrement résolu
Énoncé : calcule $A = (-4) \times (-5) \times (-2)$ puis $B = \dfrac{-56}{-8}$, en rédigeant chaque étape.
Calcul de $A$.
Valeurs absolues : $4 \times 5 \times 2 = 40$.
Nombre de facteurs négatifs : trois ($-4$, $-5$, $-2$), c'est impair, donc le résultat est négatif.
Donc $A = -40$.
Calcul de $B$.
Valeurs absolues : $56 \div 8 = 7$.
Signes : deux nombres négatifs, même signe, donc le résultat est positif.
Donc $B = +7$.
Ce que le correcteur attend : que les deux étapes soient visibles — la valeur absolue d'un côté, la justification du signe de l'autre. Un résultat juste mais sans la règle du signe écrite peut te faire perdre des points ; un signe justifié en toutes lettres (« trois facteurs négatifs, donc négatif ») les sécurise.
Tu maîtrises la règle ? Regardons d'où elle vient et où elle t'emmène. Spoiler : cette petite règle des signes va te resservir en puissances, en calcul littéral, et encore au lycée. Autant comprendre pourquoi elle est vraie plutôt que de l'apprendre par cœur.
Pourquoi « moins par moins fait plus » ?
Ce n'est pas une règle tombée du ciel : on peut la démontrer. Admets juste deux choses que tu connais déjà : $(-1) \times 0 = 0$, et $-1 + 1 = 0$.
Partons de $(-1) \times 0 = 0$ et remplaçons $0$ par $-1 + 1$ :
$(-1) \times (-1 + 1) = 0$.
On distribue, c'est-à-dire qu'on multiplie $(-1)$ par chaque terme de la parenthèse (la distributivité, que tu revois en calcul littéral) :
$(-1) \times (-1) + (-1) \times 1 = 0$.
Or $(-1) \times 1 = -1$, donc l'égalité devient : $(-1) \times (-1) + (-1) = 0$.
Pour que cette somme fasse $0$, il faut absolument que $(-1) \times (-1) = +1$. Autrement dit, « moins par moins fait plus » n'est pas un caprice de prof : c'est forcé par le reste des règles de calcul. Si on choisissait l'inverse, toutes les mathématiques se contrediraient.
Le lien avec les puissances
Souviens-toi de l'astuce « compter les facteurs négatifs ». Une puissance, c'est justement un produit de facteurs identiques : $(-2)^4 = (-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)$.
Il y a quatre facteurs négatifs (pair), donc résultat positif : $(-2)^4 = +16$. En revanche $(-2)^3 = (-2)\times(-2)\times(-2)$ a trois facteurs négatifs (impair), donc négatif : $(-2)^3 = -8$.
La règle générale que tu approfondiras ensuite : un nombre négatif élevé à une puissance paire est positif ; élevé à une puissance impaire, il reste négatif. C'est exactement la parité du nombre de facteurs négatifs, vue sous un autre angle. Tu tiens déjà l'idée, il ne manquera que le vocabulaire.
Ce qui t'attend ensuite
En calcul littéral (dès cette année, puis en 3e). La règle des signes pilote tous les développements : $-(-x) = +x$, ou encore $-3 \times (x - 2) = -3x + 6$ (le $-3$ multiplie chaque terme, signe compris). Sans cette règle, impossible de développer ou de réduire proprement une expression.
Au lycée. Tu retrouveras ces signes absolument partout : dans les équations, dans l'étude du signe d'un produit ou d'un quotient (pour savoir quand une expression est positive ou négative), et dans tout le calcul avec des lettres. La mécanique reste strictement la même que celle d'aujourd'hui, appliquée à des objets un peu plus gros.
Autrement dit, les quelques minutes que tu passes à sécuriser la règle des signes en 4e, tu les rentabilises pendant des années. Franchement, pas le pire des investissements.