Puissances d'un nombre

Les prérequis et l'idée en 30 secondes

Bonne nouvelle : tu as déjà tout ce qu'il faut. Il suffit de savoir multiplier, de manier les fractions et de connaître les signes des nombres relatifs. Rien de neuf de ce côté.

Une puissance $a^n$ (on lit « $a$ exposant $n$ ») veut simplement dire : on multiplie le nombre $a$ par lui-même, $n$ fois de suite.

Exemple : $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$. Au lieu d'écrire cinq fois le $2$, on note un petit $5$ en haut. Plus court, plus lisible.

Le nombre du bas, $a$, s'appelle la base. Le petit nombre en haut, $n$, s'appelle l'exposant.

Les trois formules à retenir absolument :

• Exposant positif : $a^n = a \times a \times \cdots \times a$ ($n$ facteurs).
• Exposant nul : $a^0 = 1$ (avec $a \neq 0$).
• Exposant négatif : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (avec $a \neq 0$).

Un exemple fait en entier

On calcule $2^5$, tranquillement, en appliquant la définition.

$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ (cinq facteurs égaux à $2$).

On multiplie pas à pas : $2 \times 2 = 4$.

Puis $4 \times 2 = 8$.

Puis $8 \times 2 = 16$.

Puis $16 \times 2 = 32$.

Donc $2^5 = 32$. Voilà, tu sais faire une puissance.

Un exposant négatif ? Même histoire, mais on passe par une fraction : $10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001$. Le signe moins n'a pas rendu le nombre négatif : il l'a transformé en fraction.

Les définitions, au propre

Tout dépend de l'exposant. Il y a trois cas, et le premier se retient par le simple bon sens.

Exposant entier positif ($n \geq 1$) : $a^n$ est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$, c'est-à-dire $a^n = a \times a \times \cdots \times a$.

Exposant nul : pour tout $a \neq 0$, on pose $a^0 = 1$. Oui, n'importe quel nombre non nul à la puissance zéro donne $1$.

Exposant négatif : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (avec $a \neq 0$). Retiens bien : un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif, il l'inverse (il le passe au dénominateur).

Côté vocabulaire, dans $a^n$ le nombre $a$ est la base et $n$ l'exposant. La base peut être positive, négative ou décimale.

Les quatre règles à base identique

Quand on multiplie ou divise des puissances qui ont la même base, on peut calculer directement sur les exposants. Condition impérative : ces règles ne marchent que si les bases sont identiques.

Produit : $a^m \times a^n = a^{m+n}$. On additionne les exposants.

Quotient : $a^m \div a^n = a^{m-n}$ (avec $a \neq 0$). On soustrait les exposants.

Puissance d'une puissance : $(a^m)^n = a^{m \times n}$. On multiplie les exposants.

Puissance d'un produit : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$. L'exposant se distribue sur un produit (mais jamais sur une somme, on y reviendra).

Des exemples déjà traités

Calcul direct : $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.

Avec une base négative : $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$.

Règle du produit : $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$.

Règle du quotient : $3^5 \div 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27$.

Puissance d'une puissance : $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$.

Cas très utile, les puissances de $10$ : $10^3 = 1000$, $10^0 = 1$, $10^{-3} = 0{,}001$. L'exposant te dit directement de combien de rangs on se déplace, comme sur l'échelle ci-contre.

On simplifie un produit et un quotient ensemble

On veut simplifier $5^3 \times 5^4 \div 5^2$. Premier réflexe, la question qu'on se pose toujours : les bases sont-elles identiques ?

Oui, tout est en base $5$. On a donc le droit d'utiliser les règles sur les exposants.

On commence par le produit, qui additionne les exposants : $5^3 \times 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$.

Il reste à diviser par $5^2$, ce qui soustrait : $5^7 \div 5^2 = 5^{7-2} = 5^5$.

On peut s'arrêter à la puissance $5^5$, ou finir le calcul : $5^5 = 3125$.

On mélange puissance d'une puissance et exposant négatif

Objectif : calculer $(2^3)^2 \times 2^{-4}$. Encore une fois, on vérifie : tout est en base $2$, on peut y aller.

On traite d'abord la puissance d'une puissance, qui multiplie les exposants : $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$.

L'expression devient $2^6 \times 2^{-4}$.

C'est un produit de même base : on additionne les exposants, sans oublier que $-4$ est négatif. $2^6 \times 2^{-4} = 2^{6 + (-4)} = 2^{2}$.

Enfin $2^2 = 4$. À remarquer : l'exposant négatif s'est comporté comme un simple nombre relatif dans l'addition $6 + (-4) = 2$.

On gère les signes d'une base négative

On calcule $(-3)^2$. La base est $-3$, l'exposant $2$ : on multiplie deux facteurs égaux à $-3$.

$(-3)^2 = (-3) \times (-3)$. Moins par moins donne plus : $(-3)^2 = 9$.

Maintenant $(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3)$. Les deux premiers facteurs donnent $+9$, puis $9 \times (-3) = -27$.

Le bilan à garder en tête : une base négative donne un résultat positif si l'exposant est pair, et négatif si l'exposant est impair.

Les pièges classiques que le correcteur adore

Piège 1 — confondre puissance et multiplication. $2^3$ n'est pas $2 \times 3 = 6$. L'exposant compte des facteurs répétés : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.

Piège 2 — multiplier les exposants dans un produit. $a^3 \times a^5$ ne fait pas $a^{15}$. Dans un produit de même base, on additionne : $a^3 \times a^5 = a^8$.

Piège 3 — croire qu'un exposant négatif rend le nombre négatif. $a^{-2} = \dfrac{1}{a^2}$ ; donc si $a > 0$, alors $a^{-2} > 0$. Par exemple $5^{-2} = \dfrac{1}{25}$, bien positif.

Piège 4 — distribuer la puissance sur une somme. $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$. La puissance se distribue sur un produit, jamais sur une addition.

Piège 5 — la place des parenthèses avec un signe moins. Fais bien la différence : $(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$, alors que $-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$. Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le $2$, pas sur le signe.

Un problème type entièrement résolu

Énoncé. Écris $A = \dfrac{(3^2)^3 \times 3^4}{3^5}$ sous la forme d'une seule puissance de $3$, puis donne sa valeur.

Étape 1 — la puissance d'une puissance, au numérateur : $(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6$.

Étape 2 — le produit au numérateur : $3^6 \times 3^4 = 3^{6+4} = 3^{10}$.

Étape 3 — le quotient : $A = 3^{10} \div 3^5 = 3^{10-5} = 3^5$.

Étape 4 — la valeur : $3^5 = 243$.

Ce que le correcteur attend : que tu justifies chaque règle (puissance d'une puissance, produit, quotient) au moment où tu l'utilises, que tu gardes la même base $3$ du début à la fin, et que tu fournisses bien les deux formes demandées : la puissance $3^5$ et sa valeur $243$.

Bonus contrôle : les puissances de 10 en contexte

Un grand classique aussi : calcule $B = \dfrac{10^5 \times 10^{-2}}{10^{4}}$.

Au numérateur, produit de même base : $10^5 \times 10^{-2} = 10^{5 + (-2)} = 10^3$.

Puis le quotient : $B = 10^3 \div 10^4 = 10^{3-4} = 10^{-1}$.

Valeur : $B = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$.

Avec les puissances de $10$, l'exposant se lit tout seul : positif, il compte les zéros d'un grand nombre ($10^3 = 1000$) ; négatif, il compte les rangs après la virgule ($10^{-3} = 0{,}001$). Un contrôle adore ce va-et-vient.

Pourquoi ces règles sont vraies (l'idée de la démonstration)

La règle du produit n'a rien de magique : il suffit de compter les facteurs. Prends $a^2 \times a^3$. Cela fait $(a \times a) \times (a \times a \times a)$, soit cinq facteurs $a$ à la suite, donc $a^5$. Et deux plus trois font bien cinq : $a^m \times a^n = a^{m+n}$.

D'où vient $a^0 = 1$ ? De la règle du quotient. On sait que $\dfrac{a^n}{a^n} = 1$ (un nombre divisé par lui-même). Mais la règle du quotient dit aussi $\dfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$. Les deux résultats doivent coïncider, donc $a^0 = 1$.

Et l'exposant négatif ? Même raisonnement : $\dfrac{a^0}{a^n} = a^{0-n} = a^{-n}$, or $\dfrac{a^0}{a^n} = \dfrac{1}{a^n}$. On retrouve $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. Autrement dit, les définitions de $a^0$ et $a^{-n}$ ont été choisies exprès pour que les règles restent vraies avec tous les exposants.

Les liens avec le reste du programme

Calcul littéral. Le piège $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ se répare dès la 3e avec une identité remarquable : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. La puissance ne se distribue pas sur une somme, mais on sait tout de même la développer proprement.

Écriture scientifique. Les puissances de $10$ servent à écrire les très grands et très petits nombres sans aligner des zéros. Un nombre en écriture scientifique s'écrit $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$. Par exemple $53\,000 = 5{,}3 \times 10^4$ et $0{,}0007 = 7 \times 10^{-4}$. C'est la suite directe de ce chapitre, au programme cette année et omniprésente en physique-chimie.

Au lycée. L'exposant, aujourd'hui entier, deviendra un nombre quelconque : $a^{1/2}$ voudra dire racine carrée, et la fonction $x \mapsto a^x$ (exponentielle) prolongera exactement ces mêmes règles à tous les nombres réels. Les quatre règles que tu viens d'apprendre, elles, ne changeront jamais.