Puissances d'un nombre

Multiplications répétées, exposants négatifs et règles de calcul : le langage des très grands et très petits nombres.

1 L'idée

La puissance $a^n$ (lire : «$a$ exposant $n$») est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$. Elle compacte les multiplications répétées : $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.

$a$ est la base, $n$ est l'exposant. L'exposant peut être un entier positif, nul ou négatif.

2 Définitions

Exposant positif

$a^n = a \times a \times \cdots \times a \quad (n \text{ facteurs},\ n \ge 1)$

Exposant nul

$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$

Exposant négatif

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \quad (a \neq 0,\ n \ge 1)$

3 Règles de calcul (base identique)

Produit

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

Quotient

$a^m \div a^n = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$

Puissance d'une puissance

$(a^m)^n = a^{m \times n}$

Puissance d'un produit

$(a \times b)^n = a^n \times b^n$

4 Exemples de calculs

Calcul direct

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

$(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$

$10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001$

Règle du produit

$2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Règle du quotient

$3^5 \div 3^2 = 3^{5-2} = 3^3 = 27$

Puissance d'une puissance

$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$

Méthode — Simplifier une expression avec des puissances

Vérifier que les bases sont identiques : les règles s'appliquent uniquement à bases égales.
Produit : additionner les exposants. Ex. $a^3 \times a^5 = a^8$.
Quotient : soustraire les exposants. Ex. $a^7 \div a^2 = a^5$.
Puissance d'une puissance : multiplier les exposants. Ex. $(a^3)^4 = a^{12}$.
Exposant négatif : passer en fraction. Ex. $5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$.

Erreurs fréquentes

$2^3 \neq 2 \times 3 = 6$ : l'exposant indique une multiplication répétée, pas un simple produit. $2^3 = 8$.
$a^3 \times a^5 \neq a^{15}$ : on additionne les exposants (résultat : $a^8$), on ne les multiplie pas.
$a^{-2}$ n'est pas un nombre négatif : $a^{-2} = \dfrac{1}{a^2} \gt 0$ si $a \gt 0$.
$(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ : la puissance ne se distribue pas sur une addition.