Probabilités : expérience aléatoire et fréquence

Modéliser le hasard et mesurer la chance qu'un événement se réalise.

1 L'idée

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, mais dont tous les résultats possibles sont connus. Chaque résultat possible s'appelle une issue. L'ensemble de toutes les issues s'appelle l'univers, noté $\Omega$.

Un événement est un ensemble d'issues. Par exemple, sur un dé à 6 faces, l'événement « obtenir un nombre pair » regroupe les issues $\{2, 4, 6\}$.

La fréquence d'un événement est mesurée après avoir réalisé l'expérience plusieurs fois. La probabilité est la valeur théorique vers laquelle la fréquence se stabilise quand le nombre d'expériences devient très grand : c'est la loi des grands nombres.

2 Formules essentielles

Fréquence (expérimentale)

$f(A) = \dfrac{\text{nombre de fois où } A \text{ est réalisé}}{\text{nombre total d'expériences}}$

Probabilité (équiprobabilité)

$P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$

Encadrement

$0 \le P(A) \le 1$

Événement certain / impossible

$P(\Omega) = 1 \qquad P(\varnothing) = 0$

3 Exemples

Dé à 6 faces équilibré

Univers : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ — 6 issues équiprobables.

Événement $A$ = « obtenir un nombre pair » $= \{2, 4, 6\}$ — 3 issues favorables.

$P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$

Fréquence vs probabilité

On lance ce même dé 200 fois et on obtient un nombre pair 98 fois.

Fréquence observée : $f(A) = \dfrac{98}{200} = 0{,}49$.

La fréquence $0{,}49$ est proche de la probabilité théorique $0{,}5$ : plus on répète, plus elles se rapprochent.

Méthode — Calculer la probabilité d'un événement

Lister toutes les issues de $\Omega$ et compter le nombre total $n$.
Vérifier que les issues sont équiprobables (même chance pour chaque issue).
Lister les issues favorables à l'événement $A$ et les compter : $k$.
Appliquer $P(A) = \dfrac{k}{n}$.
Contrôler que $0 \le P(A) \le 1$.

Erreurs fréquentes

Confondre fréquence et probabilité : la fréquence est un résultat observé (expérimental) ; la probabilité est une valeur théorique.
Oublier de vérifier l'équiprobabilité : la formule $P(A) = \dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$ ne s'applique que si toutes les issues ont la même chance de sortir.
Probabilité hors de $[0\,;\,1]$ : un résultat supérieur à 1 ou négatif signale une erreur de calcul.
Confondre issue (un résultat précis) et événement (un ensemble d'issues pouvant en contenir plusieurs).