Probabilités : expérience aléatoire et fréquence

Les prérequis (à checker en 30 secondes)

Rien de compliqué, mais assure-toi d'être à l'aise avec ces trois gestes, car une probabilité est une fraction :

• Écrire et simplifier une fraction : $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ en divisant le haut et le bas par $3$.
• Passer une fraction en écriture décimale : $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ et $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$.
• Compter combien il y a d'objets dans une liste. Oui, c'est tout.

L'essentiel en mots simples

Une expérience aléatoire, c'est une expérience dont tu ne peux pas deviner le résultat à l'avance, mais dont tu connais tous les résultats possibles. Lancer un dé, tirer une carte, jouer à pile ou face : voilà des expériences aléatoires.

Le vocabulaire minimal :

• une issue = un résultat possible (par exemple « faire un 3 ») ;
• l'univers $\Omega$ = la liste de toutes les issues ;
• un événement = un paquet d'issues (par exemple « faire un nombre pair »).

La probabilité d'un événement, c'est la chance qu'il se produise, mesurée par un nombre entre $0$ et $1$. Quand toutes les issues ont la même chance de sortir (on dit qu'elles sont équiprobables), il y a une seule formule à retenir :

$$P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$$

Et toujours, sans exception : $0 \le P(A) \le 1$.

Un exemple entièrement traité : le dé

Énoncé. On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Étape 1 — l'univers. Les résultats possibles sont $\Omega = \{1 \,;\, 2 \,;\, 3 \,;\, 4 \,;\, 5 \,;\, 6\}$, soit $6$ issues. Le dé est équilibré, donc elles sont équiprobables : la formule s'applique.

Étape 2 — les favorables. L'événement $A$ « obtenir un nombre pair » regroupe les issues $\{2 \,;\, 4 \,;\, 6\}$, soit $3$ issues favorables.

Étape 3 — la formule. $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

Étape 4 — le contrôle. $0 \le 0{,}5 \le 1$ : le résultat est cohérent. Tu as une chance sur deux de faire pair. C'est logique, il y a autant de nombres pairs que d'impairs.

Le vocabulaire du hasard, au propre

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, mais dont on connaît d'avance tous les résultats possibles.

Les mots clés, avec leurs notations :

• Une issue est un résultat possible de l'expérience.
• L'univers, noté $\Omega$, est l'ensemble de toutes les issues.
• Un événement est un ensemble d'issues. Sur un dé, « obtenir un nombre pair » est l'événement $\{2 \,;\, 4 \,;\, 6\}$.

Attention à ne pas confondre une issue (un seul résultat précis, comme « faire un 4 ») et un événement (un paquet qui peut contenir plusieurs issues).

Deux cas extrêmes existent :

• l'événement certain se produit toujours : c'est $\Omega$ lui-même, et $P(\Omega) = 1$ ;
• l'événement impossible ne se produit jamais : il ne contient aucune issue, on le note $\varnothing$, et $P(\varnothing) = 0$.

Fréquence et probabilité : deux choses différentes

C'est LE point à ne pas rater, car ce sont deux nombres qu'on obtient de deux manières opposées.

La fréquence d'un événement se mesure après avoir réalisé l'expérience un certain nombre de fois. C'est un résultat observé, expérimental :

$$f(A) = \dfrac{\text{nombre de fois où } A \text{ est réalisé}}{\text{nombre total d'expériences}}$$

La probabilité, elle, est une valeur théorique, fixée à l'avance par la nature de l'expérience. C'est la valeur vers laquelle la fréquence se rapproche et se stabilise quand on répète l'expérience un très grand nombre de fois. Ce phénomène porte un nom : la loi des grands nombres.

Autrement dit : plus tu répètes l'expérience, plus la fréquence observée $f(A)$ se rapproche de la probabilité théorique $P(A)$. Sur le graphique, la courbe des fréquences danse au début (peu de lancers), puis se colle à la ligne de la probabilité.

Calculer une probabilité : la méthode

Quand toutes les issues sont équiprobables (elles ont exactement la même chance de sortir), la probabilité se calcule sans faire aucune expérience :

$$P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \dfrac{k}{n}$$

La marche à suivre, dans l'ordre :

• 1. Lister toutes les issues de $\Omega$ et compter le total $n$.
• 2. Vérifier que les issues sont bien équiprobables (sinon la formule est interdite).
• 3. Lister les issues favorables à $A$ et les compter : $k$.
• 4. Appliquer $P(A) = \dfrac{k}{n}$, puis simplifier la fraction.
• 5. Contrôler que $0 \le P(A) \le 1$.

Exemple traité. Un dé équilibré, événement $B$ « obtenir au moins 5 ».

1 et 2. $\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$, donc $n = 6$ issues équiprobables (dé équilibré).

3. « Au moins 5 » veut dire 5 ou 6, donc $B = \{5\,;\,6\}$ et $k = 2$.

4. $P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$.

5. $0 \le \dfrac{1}{3} \le 1$ : c'est cohérent.

Exemple 1 — pile ou face (on démarre doux)

Énoncé. On lance une pièce équilibrée. Probabilité d'obtenir « face » ?

On lit d'abord l'univers : une pièce a deux côtés, donc $\Omega = \{\text{pile}\,;\,\text{face}\}$. Ça fait $n = 2$ issues.

On vérifie l'équiprobabilité : la pièce est équilibrée, pile et face ont la même chance. Feu vert pour la formule.

On repère les favorables : l'événement $F$ « obtenir face » ne contient qu'une seule issue, donc $k = 1$.

On applique : $P(F) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

On contrôle : $0 \le 0{,}5 \le 1$. Parfait. Retiens ce réflexe en quatre temps (univers, équiprobabilité, favorables, formule), on le rejoue à chaque fois.

Exemple 2 — le dé, et le lien avec la fréquence

Énoncé. Un dé équilibré à 6 faces. (a) Probabilité d'obtenir un nombre pair ? (b) On l'a lancé $200$ fois et on a obtenu un nombre pair $98$ fois : que vaut la fréquence, et est-ce normal ?

(a) Univers : $\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$, donc $n = 6$ issues équiprobables.

Favorables : « pair » $= \{2\,;\,4\,;\,6\}$, donc $k = 3$.

Formule : $P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$. Contrôle : $0 \le 0{,}5 \le 1$. La probabilité théorique vaut $0{,}5$.

(b) Ici on utilise l'autre formule, celle de la fréquence, car on a des résultats observés : $f(A) = \dfrac{98}{200} = 0{,}49$.

Est-ce normal ? Oui, complètement. La fréquence observée $0{,}49$ est très proche de la probabilité $0{,}5$. Loi des grands nombres : plus on lance, plus la fréquence se colle à $0{,}5$. On ne tombera presque jamais pile sur $0{,}5$, mais on rôde autour.

Exemple 3 — un tirage dans un sac

Énoncé. Un sac contient $3$ jetons rouges et $5$ jetons verts, tous de même taille et impossibles à distinguer au toucher. On en tire un au hasard. Probabilité de tirer un rouge ?

Combien d'issues en tout ? Un jeton parmi $3 + 5 = 8$ jetons, donc $n = 8$.

Sont-elles équiprobables ? Les jetons sont identiques au toucher, on tire au hasard : chaque jeton a la même chance d'être choisi. Oui.

Combien de favorables à « tirer un rouge » ? Il y a $3$ jetons rouges, donc $k = 3$.

On applique : $P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$.

On contrôle : $0 \le 0{,}375 \le 1$. Au passage, note qu'ici on compte les jetons, pas les couleurs : les issues équiprobables, ce sont les $8$ jetons, pas les $2$ couleurs (qui, elles, n'ont pas la même chance).

La subtilité qui rapporte : équiprobable ou pas ?

La formule $P(A) = \dfrac{k}{n}$ n'a le droit d'être utilisée que si toutes les issues ont la même chance. C'est la condition qu'on oublie le plus souvent, et le correcteur la guette.

Un dé équilibré, une pièce équilibrée, des jetons indiscernables : équiprobable, formule autorisée.

Une roue de loterie avec des secteurs de tailles inégales, un dé pipé, une punaise qui retombe plus souvent d'un côté : pas équiprobable. Interdit d'écrire $\dfrac{k}{n}$ ! Dans ce cas, on ne connaît pas la probabilité théorique : on l'estime en réalisant l'expérience un grand nombre de fois et en calculant la fréquence (loi des grands nombres).

Problème type entièrement résolu. Une roue de loterie a un gros secteur et des petits, de tailles inégales. Sur $500$ tours, le secteur « gros lot » est sorti $25$ fois. Quelle est la probabilité estimée de gagner le gros lot ?

Réflexe : les secteurs sont inégaux, donc les issues ne sont PAS équiprobables. La formule $\dfrac{k}{n}$ est interdite.

On passe par la fréquence : $f(\text{gros lot}) = \dfrac{25}{500} = 0{,}05$.

Comme on a répété beaucoup de fois ($500$), cette fréquence est une bonne estimation de la probabilité : $P(\text{gros lot}) \approx 0{,}05$, soit environ $5\,\%$.

Un problème type de contrôle, entièrement rédigé

Énoncé. Dans une classe, on écrit sur des papiers identiques les $12$ mois de l'année, un par papier, puis on en tire un au hasard. Soit $E$ l'événement « le mois tiré compte exactement $30$ jours ». Calculer $P(E)$ et donner le résultat en fraction simplifiée, puis en écriture décimale arrondie au centième.

Rédaction attendue.

Il y a $12$ papiers identiques tirés au hasard : les $12$ issues sont équiprobables, donc $n = 12$. On peut appliquer la formule.

Les mois de $30$ jours sont avril, juin, septembre et novembre. Ça fait $k = 4$ issues favorables. (Les mois de $31$ jours et février sont exclus.)

On applique : $P(E) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$.

En écriture décimale : $P(E) \approx 0{,}33$ (arrondi au centième).

Contrôle : $0 \le \dfrac{1}{3} \le 1$, cohérent.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

Pour empocher tous les points, ta copie doit montrer :

• l'univers écrit ou au moins le nombre total d'issues $n$ clairement annoncé ;
• une phrase qui justifie l'équiprobabilité (« dé équilibré », « papiers identiques », « jetons indiscernables ») — sans elle, la formule n'est pas justifiée ;
• le décompte des favorables $k$, avec la liste si possible ;
• le résultat sous forme de fraction simplifiée (et en décimal si l'énoncé le demande) ;
• le petit contrôle final $0 \le P(A) \le 1$.

Les quatre pièges qui coûtent des points :

• Confondre fréquence et probabilité. La fréquence est observée (après l'expérience), la probabilité est théorique (avant).
• Oublier de vérifier l'équiprobabilité. Si les issues n'ont pas la même chance, $\dfrac{k}{n}$ ne veut plus rien dire ; on passe par la fréquence.
• Un résultat hors de $[0\,;\,1]$. Une probabilité plus grande que $1$ ou négative, c'est forcément une erreur de calcul : on reprend.
• Confondre issue et événement. « Faire un 4 » est une issue ; « faire un nombre pair » est un événement qui contient plusieurs issues.

L'événement contraire : une astuce et sa justification

Le contraire d'un événement $A$, noté souvent « non $A$ », c'est l'événement qui se réalise exactement quand $A$ ne se réalise pas. Sur le dé, si $A$ = « pair » $= \{2\,;\,4\,;\,6\}$, alors non $A$ = « impair » $= \{1\,;\,3\,;\,5\}$.

La propriété très pratique : $P(\text{non } A) = 1 - P(A)$.

Vérifions-la sur le dé : $P(A) = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$ et $P(\text{non } A) = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$. On a bien $0{,}5 + 0{,}5 = 1$.

Pourquoi c'est vrai (idée de démonstration). Chaque issue de $\Omega$ est soit dans $A$, soit dans non $A$, jamais dans les deux, jamais dans aucun. Donc le nombre de favorables à $A$ plus le nombre de favorables à non $A$ égale le nombre total d'issues. En divisant tout par ce total, on obtient $P(A) + P(\text{non } A) = 1$, d'où la formule. Cette astuce fait gagner un temps fou : pour calculer « au moins un », il est souvent plus rapide de calculer « aucun » et de faire $1$ moins le résultat.

Vers la 3e : deux épreuves et les arbres

En 4e, on reste sur une seule expérience. L'an prochain, on enchaînera deux épreuves : lancer deux fois une pièce, tirer deux jetons, lancer deux dés.

L'outil qui débarque, c'est l'arbre des possibles. Pour deux lancers d'une pièce, il donne quatre chemins, donc quatre issues équiprobables : $\Omega = \{\text{PP}\,;\,\text{PF}\,;\,\text{FP}\,;\,\text{FF}\}$.

La formule d'équiprobabilité, elle, ne change pas. Par exemple, la probabilité d'obtenir « deux fois pile » vaut $P(\text{PP}) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ : une seule issue favorable (PP) sur quatre au total.

Tu vois que tout ce que tu apprends aujourd'hui — univers, issues, favorables, équiprobabilité — se réutilise tel quel. L'arbre ne fait que t'aider à ne pas oublier d'issues.

Le grand principe (et un pont vers les stats)

La probabilité n'est pas une boule de cristal. Dire que $P(\text{face}) = 0{,}5$ ne veut PAS dire que sur $10$ lancers tu auras exactement $5$ faces. Ça veut dire que, sur un très grand nombre de lancers, la proportion de faces se rapprochera de la moitié. La probabilité prédit une tendance à long terme, jamais un résultat individuel.

Deux ponts pour finir :

• Avec la proportionnalité : une probabilité est une proportion. « $3$ jetons rouges sur $8$ » se lit comme $\dfrac{3}{8}$, exactement comme un pourcentage ou une part.
• Avec les statistiques : la fréquence que tu calcules sur des données réelles (sondages, mesures) est la version « observée » d'une probabilité. La loi des grands nombres est le fil qui relie les deux : les statistiques mesurent, les probabilités prévoient.