Statistiques : moyenne, étendue, médiane

Les prérequis (tu sais déjà tout ça)

Pour cette leçon, tu as juste besoin de trois gestes que tu maîtrises déjà :

• Additionner puis diviser : pour la moyenne, une grosse addition suivie d'une division.
• Soustraire : pour l'étendue, une seule soustraction.
• Ranger des nombres du plus petit au plus grand : indispensable pour la médiane.

Une série de données, c'est simplement une liste de nombres : des notes, des températures, des tailles… On cherche à la résumer en un ou deux nombres au lieu de tout relire.

L'essentiel et les formules clés

Trois indicateurs, trois questions :

• La moyenne répond à « quel est le niveau moyen ? ». On additionne toutes les valeurs, on divise par leur nombre.
• L'étendue répond à « les valeurs sont-elles serrées ou étalées ? ». C'est la plus grande moins la plus petite.
• La médiane répond à « quelle est la valeur du milieu ? ». On trie la série, on prend celle du centre : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus.

Les formules à retenir :

$$\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$$

$e = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$

Médiane : la valeur du milieu de la série triée.

Un exemple fait en entier

Voici une série : $3 ;\ 7 ;\ 5 ;\ 9 ;\ 6$. On calcule les trois indicateurs, une étape à la fois.

Étape 1 — Trier dans l'ordre croissant : $3 ;\ 5 ;\ 6 ;\ 7 ;\ 9$.

Étape 2 — Étendue. La plus grande valeur est $9$, la plus petite $3$, donc $e = 9 - 3 = 6$.

Étape 3 — Moyenne. $\bar{x} = \dfrac{3+5+6+7+9}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$.

Étape 4 — Médiane. Il y a $5$ valeurs (nombre impair). La valeur du milieu est la $3^{\text{e}}$, c'est $6$. Donc la médiane vaut $6$.

Ici moyenne et médiane sont égales, mais ce n'est pas toujours le cas — tu le verras plus loin.

Moyenne et étendue : définitions et calcul

On travaille sur une série de données, c'est-à-dire une liste de valeurs. Le nombre de valeurs s'appelle l'effectif total, souvent noté $n$.

La moyenne (notée $\bar{x}$, qui se lit « x barre ») résume le niveau général de la série :

$$\bar{x} = \dfrac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$$

L'étendue (notée $e$) mesure la dispersion, c'est-à-dire l'écart entre les valeurs extrêmes :

$e = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$

Exemple. Série de notes : $9 ;\ 12 ;\ 14 ;\ 15$.

Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{9+12+14+15}{4} = \dfrac{50}{4} = 12{,}5$.

Étendue : $e = 15 - 9 = 6$. Les notes vont donc de $9$ à $15$, sur une largeur de $6$ points.

La médiane : méthode pas à pas et les deux cas

La médiane $M$ partage la série triée en deux moitiés de même effectif : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus. Tout dépend de la parité de $n$.

Méthode :

1. Trier la série dans l'ordre croissant.

2. Compter le nombre de valeurs $n$.

3. Si $n$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{n+1}{2}$.

4. Si $n$ est pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2}+1$.

Cas impair. Série $3 ;\ 5 ;\ 6 ;\ 7 ;\ 9$ : $n = 5$, rang du milieu $= \dfrac{5+1}{2} = 3$. La $3^{\text{e}}$ valeur est $6$, donc $M = 6$.

Cas pair. Série $4 ;\ 6 ;\ 7 ;\ 9 ;\ 10 ;\ 15$ : $n = 6$. Les deux valeurs centrales sont de rangs $3$ et $4$, soit $7$ et $9$. Donc $M = \dfrac{7+9}{2} = 8$. La médiane n'est donc pas forcément une valeur présente dans la série.

Moyenne dans un tableau d'effectifs

Souvent les données sont regroupées dans un tableau : chaque valeur apparaît plusieurs fois. On indique alors l'effectif de chaque valeur, c'est-à-dire combien de fois elle apparaît.

Pour la moyenne, on ne divise plus par le nombre de valeurs différentes, mais par l'effectif total :

$\bar{x} = \dfrac{(\text{valeur} \times \text{effectif}) + \dots}{\text{effectif total}}$

Exemple. Notes obtenues par une classe :

Effectif total : $5 + 8 + 4 + 3 = 20$ élèves.

$\bar{x} = \dfrac{8\times 5 + 12\times 8 + 14\times 4 + 16\times 3}{20} = \dfrac{40 + 96 + 56 + 48}{20} = \dfrac{240}{20} = 12$.

Le piège classique : diviser par $4$ (le nombre de notes différentes) au lieu de $20$ (le nombre d'élèves).

Ensemble 1 — une série à nombre impair de valeurs

On te donne les durées de trajet (en minutes) sur cinq jours : $22 ;\ 18 ;\ 25 ;\ 30 ;\ 15$. On cherche étendue, moyenne et médiane.

On trie d'abord — toujours le premier réflexe : $15 ;\ 18 ;\ 22 ;\ 25 ;\ 30$.

Étendue. La plus grande valeur est $30$, la plus petite $15$ : $e = 30 - 15 = 15$ minutes.

Moyenne. On additionne, puis on divise par $5$ : $\bar{x} = \dfrac{15+18+22+25+30}{5} = \dfrac{110}{5} = 22$ minutes.

Médiane. On compte : $n = 5$, c'est impair. Le rang du milieu est $\dfrac{5+1}{2} = 3$. On lit la $3^{\text{e}}$ valeur de la série triée : $22$. Donc $M = 22$ minutes.

Vérification par le sens : deux valeurs en dessous ($15$ et $18$), deux au-dessus ($25$ et $30$). La médiane est bien pile au centre.

Ensemble 2 — une série à nombre pair de valeurs

Cette fois, six valeurs : $7 ;\ 12 ;\ 9 ;\ 15 ;\ 10 ;\ 8$.

On trie : $7 ;\ 8 ;\ 9 ;\ 10 ;\ 12 ;\ 15$.

Étendue : $e = 15 - 7 = 8$.

Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{7+8+9+10+12+15}{6} = \dfrac{61}{6} \approx 10{,}2$. On garde un chiffre après la virgule, la valeur exacte n'étant pas « ronde ».

Médiane : $n = 6$, c'est pair. Les deux valeurs centrales sont les rangs $3$ et $4$, soit $9$ et $10$. On en fait la moyenne : $M = \dfrac{9+10}{2} = 9{,}5$.

Remarque : $9{,}5$ n'apparaît pas dans la série, et c'est parfaitement normal — pour un effectif pair, la médiane tombe souvent « entre » deux valeurs.

Ensemble 3 — lire un tableau d'effectifs

On interroge $25$ élèves sur leur nombre de frères et sœurs. Voici le tableau :

Effectif total : $8 + 10 + 5 + 2 = 25$ élèves. Bon réflexe : vérifier que le total colle avec l'énoncé.

Moyenne pondérée : chaque valeur compte autant de fois que son effectif :

$\bar{x} = \dfrac{0\times 8 + 1\times 10 + 2\times 5 + 3\times 2}{25} = \dfrac{0 + 10 + 10 + 6}{25} = \dfrac{26}{25} = 1{,}04$.

Médiane : $n = 25$ (impair), rang du milieu $= \dfrac{25+1}{2} = 13$. On avance dans les effectifs cumulés : les $8$ premiers élèves ont $0$ (rangs $1$ à $8$), les $10$ suivants ont $1$ (rangs $9$ à $18$). Le $13^{\text{e}}$ élève tombe dans ce second groupe : sa valeur est $1$. Donc $M = 1$.

Problème type — le piège de la « moyenne des moyennes »

Énoncé. En classe A, $30$ élèves ont eu $11$ de moyenne au devoir. En classe B, $20$ élèves ont eu $14$. Quelle est la moyenne des $50$ élèves réunis ?

Le piège. Beaucoup répondent $\dfrac{11+14}{2} = 12{,}5$. C'est faux : les deux classes n'ont pas le même effectif, on ne peut pas mettre leurs moyennes sur le même pied.

La bonne méthode. On revient aux sommes de points. Classe A : $30 \times 11 = 330$ points. Classe B : $20 \times 14 = 280$ points.

Total des points : $330 + 280 = 610$. Total des élèves : $30 + 20 = 50$.

Moyenne d'ensemble : $\bar{x} = \dfrac{610}{50} = 12{,}2$.

La vraie moyenne ($12{,}2$) est plus proche de $11$ que de $14$, parce que la classe A est plus nombreuse : c'est une moyenne pondérée par les effectifs.

Moyenne et médiane ne disent pas la même chose

Considérons sept notes déjà triées : $12 ;\ 13 ;\ 13 ;\ 14 ;\ 18 ;\ 19 ;\ 20$.

Médiane : $n = 7$, rang $\dfrac{7+1}{2} = 4$ : la $4^{\text{e}}$ valeur est $14$.

Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{12+13+13+14+18+19+20}{7} = \dfrac{109}{7} \approx 15{,}6$.

La moyenne ($15{,}6$) est nettement plus haute que la médiane ($14$), car les grandes notes ($18$, $19$, $20$) « tirent » la moyenne vers le haut. La médiane, elle, ne regarde que la valeur du milieu : elle résiste aux valeurs extrêmes.

À retenir : quand quelques valeurs sont très grandes (ou très petites), la médiane décrit souvent mieux « le cas typique » que la moyenne.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

La rédaction attendue au contrôle :

• Écris la série triée : le correcteur veut voir le tri, même si tu l'as fait de tête.
• Pour la médiane, précise l'effectif $n$ et le rang utilisé (« $n = 7$, rang $4$ »). Une médiane annoncée sans justification rapporte moins.
• Donne les unités quand il y en a (minutes, points, °C) et une valeur arrondie proprement si le calcul ne tombe pas juste.

Les pièges qui coûtent des points :

• Oublier de trier avant de chercher la médiane : on lit alors la mauvaise valeur.
• Confondre médiane et moyenne : la médiane se lit sur la liste triée, elle ne s'obtient pas en additionnant tout.
• Diviser par le mauvais effectif dans un tableau : on divise par l'effectif total, pas par le nombre de valeurs différentes.
• Faire la moyenne de deux moyennes sans tenir compte des effectifs (le piège de la première partie).
• Pour un effectif pair, ne pas oublier de prendre la moyenne des deux valeurs centrales : une seule ne suffit pas.

Après la médiane : quartiles, écart interquartile, diagramme en boîte

La médiane coupe la série en deux. L'an prochain (3e, puis en 2nde) on la coupe en quatre : ce sont les quartiles. Le premier quartile $Q_1$ laisse au moins un quart des valeurs en dessous, le troisième $Q_3$ en laisse au moins trois quarts.

L'écart entre les deux, $Q_3 - Q_1$, s'appelle l'écart interquartile. C'est une mesure de dispersion plus fine que l'étendue : contrairement à elle, il ignore les valeurs extrêmes et décrit la dispersion du « cœur » de la série.

Tout cela se dessine dans un diagramme en boîte (ou « boîte à moustaches ») : une boîte de $Q_1$ à $Q_3$, un trait pour la médiane, et deux « moustaches » jusqu'au minimum et au maximum. En un coup d'œil, on lit à la fois la position centrale et la dispersion.

Pourquoi ça marche : médiane, moyenne et idée d'équilibre

Pourquoi la médiane « partage en deux ». Par construction, on choisit la valeur (ou le milieu des deux valeurs centrales) telle qu'il y ait autant de données de chaque côté. C'est une définition, pas un calcul mystérieux : la justifier revient à compter les rangs, exactement comme tu l'as fait.

Pourquoi la moyenne « se laisse tirer ». On peut voir la moyenne comme le point d'équilibre de la série : si on posait chaque valeur comme un poids sur une règle graduée, la moyenne serait le point où la règle tiendrait en équilibre. Ajoute une valeur très loin, et le point d'équilibre se déplace vers elle — d'où la sensibilité de la moyenne aux valeurs extrêmes, que la médiane n'a pas.

Un cran plus loin. Au lycée, on mesurera la dispersion autrement qu'avec l'étendue : avec la variance et l'écart-type, qui regardent à quel point les valeurs s'écartent de la moyenne. C'est la même question que l'étendue — « les données sont-elles serrées ? » — mais en utilisant toutes les valeurs, pas seulement les deux extrêmes.

Les fils qui relient cette leçon au reste du programme

Vers les fréquences et les probabilités. Un tableau d'effectifs devient un tableau de fréquences en divisant chaque effectif par l'effectif total. Ces fréquences sont exactement les proportions que tu manipules en proportionnalité, et elles annoncent les probabilités (la fréquence d'un résultat quand on répète une expérience).

Vers la lecture de graphiques. Diagrammes en bâtons, histogrammes, courbes : savoir en extraire moyenne, étendue et médiane, c'est la compétence « organisation et gestion de données » qui te suivra jusqu'au bac.

En résumé : tu ne révises jamais ces trois mots pour rien. Moyenne, étendue et médiane sont les toutes premières briques de la statistique, et elles reviennent chaque année, un peu mieux outillées.