Statistiques : moyenne, étendue, médiane

Trois indicateurs pour résumer une série de données en un coup d'œil : niveau moyen, dispersion et valeur centrale.

1 L'idée

En statistiques, on dispose d'une série de données (notes, températures, durées…). Trois indicateurs permettent de la décrire rapidement sans lister toutes les valeurs.

La moyenne donne un niveau « moyen » de la série.
L'étendue mesure l'écart entre la plus grande et la plus petite valeur : elle renseigne sur la dispersion.
La médiane partage la série triée en deux moitiés égales : autant de valeurs en dessous qu'au-dessus.

2 Les formules

Moyenne

$\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$

Étendue

$e = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$

Médiane — n impair

$M = \text{valeur de rang } \dfrac{n+1}{2} \text{ (série triée)}$

Médiane — n pair

$M = \dfrac{\text{valeur de rang } \frac{n}{2} + \text{valeur de rang } \left(\frac{n}{2}+1\right)}{2}$

3 Exemple complet

Série : 3, 7, 5, 9, 6

Tri : $3 ;\ 5 ;\ 6 ;\ 7 ;\ 9$.

Étendue : $e = 9 - 3 = 6$.

Moyenne : $\bar{x} = \dfrac{3+5+6+7+9}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$.

Médiane : $n = 5$ (impair), rang central $= \dfrac{5+1}{2} = 3$. La 3e valeur de la série triée est $6$. Médiane $= 6$.

Méthode — trouver la médiane pas à pas

Trier la série dans l'ordre croissant.
Compter le nombre de valeurs $n$.
Si $n$ est impair : la médiane est la valeur de rang $\dfrac{n+1}{2}$.
Si $n$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2}+1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de trier la série avant de chercher la médiane : on obtient alors la mauvaise valeur.
Confondre médiane et moyenne : la médiane se lit sur la liste triée, elle ne s'obtient pas en additionnant.
Diviser par le mauvais effectif lors du calcul de la moyenne (notamment dans un tableau avec fréquences).
Calculer la moyenne globale de deux groupes en faisant la moyenne de leurs moyennes : c'est faux si les groupes n'ont pas le même effectif.