Tu n'as jamais entendu parler du parallélogramme et un contrôle approche ? On part de zéro : le vocabulaire, la définition, les propriétés, et trois exercices pour vérifier que ça tient.
Prérequis express
Quadrilatère : figure fermée à 4 côtés. On nomme ses sommets dans l'ordre, en tournant : $ABCD$.
Côtés opposés : $[AB]$ et $[DC]$, $[AD]$ et $[BC]$. Côtés consécutifs : ils partagent un sommet.
Diagonales : $[AC]$ et $[BD]$. Ce ne sont jamais des côtés.
Droites parallèles : elles ne se coupent jamais (on note $\parallel$).
Milieu d'un segment : le point qui le partage en deux morceaux de même longueur.
Demi-tour : le retournement autour d'un point ; chaque point a une image de l'autre côté, à la même distance.
C'est quoi un parallélogramme ?
Un parallélogramme est un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Sur $ABCD$ : $AB \parallel DC$ et $AD \parallel BC$. C'est la définition du programme, et le point de départ de tout le chapitre.
Le point $O$ où se croisent les diagonales est le centre de symétrie de la figure.
Les propriétés à retenir
On part de « $ABCD$ est un parallélogramme », et on en déduit :
| Propriété | Ce qu'on écrit |
| Côtés opposés de même longueur | $AB = DC$ et $AD = BC$ |
| Angles opposés de même mesure | $\widehat{A} = \widehat{C}$ et $\widehat{B} = \widehat{D}$ |
| Angles consécutifs supplémentaires | $\widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ$ |
| Diagonales de même milieu | le milieu de $[AC]$ est aussi celui de $[BD]$ |
| Aire | $\text{Aire} = b \times h$ (base × hauteur) |
À toi de jouer
Parmi les figures ci-dessous, laquelle est un parallélogramme ? Justifie en une phrase, puis dis ce qu'est chacune des deux autres.
Corrigé
La figure A n'a qu'un seul couple de côtés parallèles : c'est un trapèze, pas un parallélogramme.
La figure C n'a aucun couple de côtés parallèles : c'est un quadrilatère quelconque.
Dans le parallélogramme $ABCD$, les côtés opposés sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$, ainsi que $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Le point d'intersection des diagonales est le $\underline{\hspace{1.1em}}$ de symétrie du parallélogramme.
Les diagonales se coupent en leur $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Le point d'intersection des diagonales est le centre de symétrie.
Les diagonales se coupent en leur milieu.
$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 6$ cm, $AD = 4$ cm et $\widehat{DAB} = 50^\circ$.
a) $DC = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm (car les côtés opposés sont $\underline{\hspace{1.1em}}$).
b) $BC = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
c) $\widehat{BCD} = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$$^\circ$ (car les angles opposés sont $\underline{\hspace{1.1em}}$).
d) $\widehat{ABC} = 180^\circ - $ $\underline{\hspace{1.1em}}$$^\circ = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$$^\circ$.
Corrigé
b) $BC = 4$ cm.
c) $\widehat{BCD} = 50^\circ$ (angles opposés de même mesure).
d) $\widehat{ABC} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$ (angles consécutifs supplémentaires).
Ça te revient. On installe maintenant le point qui rapporte le plus de points au contrôle : la différence entre une propriété et une propriété caractéristique. Puis les parallélogrammes particuliers et les méthodes de construction.
Propriété, réciproque, propriété caractéristique
Une propriété va dans un seul sens : elle part de « c'est un parallélogramme » et en déduit quelque chose. Elle sert à calculer.
Une propriété caractéristique va dans les deux sens : on peut aussi la remonter pour conclure « c'est un parallélogramme ». Elle sert à prouver et à construire.
| Sens direct (pour calculer) | Sens réciproque (pour conclure) |
| Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $AB = DC$ et $AD = BC$. | Si un quadrilatère non croisé vérifie $AB = DC$ et $AD = BC$, alors c'est un parallélogramme. |
| Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors ses diagonales ont le même milieu. | Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme. |
| Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors $AB \parallel DC$ et $AB = DC$. | Si un quadrilatère non croisé vérifie $AB \parallel DC$ et $AB = DC$, alors c'est un parallélogramme. |
Ces trois-là marchent dans les deux sens : ce sont les propriétés caractéristiques du parallélogramme, sur les côtés et sur les diagonales. Une seule suffit pour conclure.
Attention : tout ne se retourne pas. « Dans un parallélogramme, les angles opposés sont de même mesure » sert à calculer, mais en 5e on ne s'en sert pas pour conclure. Et « les diagonales ont la même longueur » n'est pas une propriété du parallélogramme du tout : c'est celle du rectangle.
Les parallélogrammes particuliers
Trois figures connues sont des parallélogrammes avec une condition en plus.
| Figure | Définition | Diagonales |
| Rectangle | un parallélogramme qui a un angle droit | même milieu et même longueur |
| Losange | un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur | même milieu et perpendiculaires |
| Carré | un parallélogramme à la fois rectangle et losange | même milieu, même longueur et perpendiculaires |
Et ça marche aussi dans l'autre sens : un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle ; un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.
Méthode : construire un parallélogramme
A. On connaît trois sommets $A$, $B$, $C$ — on passe par les diagonales.
- Tracer le segment $[AC]$ : c'est une diagonale, pas un côté.
- Construire le milieu $I$ de $[AC]$ au compas (deux arcs de même écartement de part et d'autre, depuis $A$ puis depuis $C$).
- Placer $D$ sur la droite $(BI)$, de l'autre côté de $I$, avec $ID = BI$.
- Les diagonales ont alors le même milieu : $ABCD$ est un parallélogramme.
B. Les côtés $[AB]$ et $[BC]$ sont déjà tracés — on passe par les longueurs. Dans $ABCD$ on aura $DC = AB$ et $AD = BC$. On trace donc l'arc de centre $C$ et de rayon $AB$, puis l'arc de centre $A$ et de rayon $BC$ : $D$ est leur point d'intersection, du côté opposé à $B$.
C. À la règle et à l'équerre — on revient à la définition. Par $C$, tracer la parallèle à $(AB)$ ; par $A$, la parallèle à $(BC)$. Leur point commun est $D$.
À toi de jouer
$ABCD$ est un parallélogramme. $AB = 9$ cm, $AD = 5{,}5$ cm, $\widehat{DAB} = 75^\circ$.
a) $DC = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
b) $BC = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
c) $\widehat{BCD} = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$$^\circ$.
d) $\widehat{ABC} = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$$^\circ$.
e) Le périmètre de $ABCD$ vaut $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
b) $BC = 5{,}5$ cm.
c) $\widehat{BCD} = 75^\circ$ (angles opposés de même mesure).
d) $\widehat{ABC} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ (angles consécutifs supplémentaires).
e) Périmètre $= 2 \times (9 + 5{,}5) = 2 \times 14{,}5 = 29$ cm.
Pour chaque situation, dis si tu dois utiliser une propriété (sens direct) ou une propriété caractéristique dans le sens qui conclut (sens réciproque).
a) « $ABCD$ est un parallélogramme, $AB = 7$ cm. Calcule $DC$. »
b) « $EFGH$ est un quadrilatère non croisé avec $EF = GH$ et $FG = HE$. Montre que $EFGH$ est un parallélogramme. »
c) « Les diagonales de $KLMN$ ont le même milieu. Que peux-tu dire de $KLMN$ ? »
d) « $MNPQ$ est un parallélogramme de centre $O$ et $MO = 3$ cm. Calcule $MP$. »
Corrigé
b) Sens réciproque. On ne sait pas encore que c'en est un ; on utilise la propriété caractéristique des côtés opposés de même longueur pour conclure.
c) Sens réciproque. La propriété caractéristique des diagonales permet de conclure que $KLMN$ est un parallélogramme.
d) Sens direct. $O$ est le milieu de $[MP]$, donc $MP = 2 \times 3 = 6$ cm.
Réponds Vrai ou Faux et cite la propriété (ou donne un contre-exemple).
a) Dans un parallélogramme, les diagonales ont toujours la même longueur.
b) Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont complémentaires.
c) Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
d) Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles, alors c'est un parallélogramme.
Corrigé
b) Faux. Ils sont supplémentaires : leur total vaut $180^\circ$, pas $90^\circ$.
c) Vrai. C'est la propriété caractéristique des diagonales, dans le sens qui conclut.
d) Faux. Contre-exemple : un trapèze quelconque a deux côtés parallèles et n'est pas un parallélogramme. Il faut soit les deux couples de côtés parallèles, soit un couple qui soit à la fois parallèle et de même longueur.
On veut construire le parallélogramme $ABCD$ connaissant $A$, $B$ et $C$. Complète :
1) Trace le segment $[AC]$ : c'est une $\underline{\hspace{1.1em}}$.
2) Construis le milieu $I$ de $[AC]$ avec le $\underline{\hspace{1.1em}}$.
3) Place $D$ sur la droite $(BI)$ tel que $ID = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$.
4) Les deux diagonales ont alors le même $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc $ABCD$ est un $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
2) avec le compas.
3) $ID = BI$.
4) le même milieu, donc $ABCD$ est un parallélogramme.
Même mécanique, cinq fois d'affilée. Le but : que les propriétés deviennent des réflexes. Trois exercices sur les côtés et les angles, deux sur les diagonales. Seuls les nombres changent.
Petit rappel avant de foncer
Dans un parallélogramme :
- les côtés opposés ont la même longueur ;
- les angles opposés ont la même mesure ;
- deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur total vaut $180^\circ$) ;
- les diagonales ont le même milieu : le point d'intersection coupe chacune en deux moitiés égales.
À toi de jouer
$EFGH$ est un parallélogramme. $EF = 5$ cm, $FG = 3$ cm, $\widehat{FEH} = 70^\circ$.
$GH = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm ; $HE = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm ; $\widehat{FGH} = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$$^\circ$ ; $\widehat{EFG} = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$$^\circ$.
Corrigé
$EFGH$ est un parallélogramme. $EF = 8$ cm, $FG = 4{,}5$ cm, $\widehat{FEH} = 55^\circ$.
$GH = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm ; $HE = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm ; $\widehat{FGH} = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$$^\circ$ ; $\widehat{EFG} = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$$^\circ$.
Corrigé
$EFGH$ est un parallélogramme. $EF = 6{,}2$ cm, $FG = 5$ cm, $\widehat{FEH} = 110^\circ$.
$GH = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm ; $HE = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm ; $\widehat{FGH} = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$$^\circ$ ; $\widehat{EFG} = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$$^\circ$.
Corrigé
$ABCD$ est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en $O$. On donne $AO = 3{,}5$ cm et $BO = 2$ cm.
$AC = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm ; $BD = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm ; $OC = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
$O$ est aussi le milieu de $[BD]$, donc $BD = 2 \times 2 = 4$ cm.
$OC = AO = 3{,}5$ cm.
$KLMN$ est un parallélogramme dont les diagonales se coupent en $O$. On donne $KM = 11$ cm et $LN = 6{,}4$ cm.
$KO = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm ; $ON = $ $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
$O$ est le milieu de $[LN]$, donc $ON = 6{,}4 \div 2 = 3{,}2$ cm.
Niveau contrôle. Ici on te demande de justifier, de démontrer et de donner la nature exacte d'une figure. Le résultat seul ne suffit plus : c'est la rédaction qui rapporte.
Le modèle de rédaction en trois lignes
Je sais que… l'hypothèse (l'énoncé, ou le codage de la figure).
Or… la propriété du cours, énoncée en entier.
Donc… la conclusion, et rien d'autre.
Exemple : « Je sais que $ABCD$ est un parallélogramme. Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Donc $DC = AB = 5$ cm. »
Les pièges à éviter
- Utiliser les propriétés du parallélogramme avant d'avoir démontré que c'en est un.
- Confondre côtés et diagonales : dans $ABCD$, $[AC]$ et $[BD]$ sont les diagonales.
- Croire que les diagonales sont toujours de même longueur : c'est faux, sauf dans un rectangle.
- Croire que deux angles consécutifs sont égaux : ils sont supplémentaires.
- Multiplier les deux côtés pour trouver l'aire : c'est base × hauteur, et la hauteur est perpendiculaire à la base.
- Conclure d'après le dessin : seuls le codage et l'énoncé comptent.
À toi de jouer
$ABCD$ est un parallélogramme. Réponds Vrai ou Faux et cite la propriété utilisée.
a) $AB = CD$
b) $AB = BC$
c) Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.
d) $\widehat{ABC} = \widehat{ADC}$
e) $AC = BD$
Corrigé
b) Faux. $[AB]$ et $[BC]$ sont des côtés consécutifs ; ils ne sont égaux que dans un losange.
c) Vrai. C'est la propriété des diagonales.
d) Vrai. Les sommets $B$ et $D$ sont opposés, donc les angles ont la même mesure.
e) Faux. Rien n'impose que les diagonales aient la même longueur — ce serait un rectangle.
$EFGH$ est un parallélogramme avec $EF = 8$ cm, $FG = 5$ cm et $\widehat{FEH} = 60^\circ$. Ses diagonales se coupent en $I$.
a) Donne $GH$ et $HE$.
b) Donne $\widehat{FGH}$ et $\widehat{EFG}$.
c) Calcule le périmètre de $EFGH$.
d) Sachant que $EG = 11{,}4$ cm, calcule $EI$. Justifie.
Corrigé
b) $\widehat{FGH} = \widehat{FEH} = 60^\circ$ (angles opposés). $\widehat{EFG} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (angles consécutifs supplémentaires).
c) Périmètre $= 2 \times (8 + 5) = 26$ cm.
d) Dans un parallélogramme les diagonales ont le même milieu, donc $I$ est le milieu de $[EG]$ : $EI = 11{,}4 \div 2 = 5{,}7$ cm.
$ABCD$ est un quadrilatère. Ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en $I$, et on sait que $AI = IC = 4$ cm et $BI = ID = 2{,}5$ cm.
a) Démontre que $ABCD$ est un parallélogramme, en rédigeant avec « Je sais que / Or / Donc ».
b) Déduis-en $AC$, $BD$, puis $DC$ sachant que $AB = 6$ cm.
Corrigé
b) $AC = 2 \times 4 = 8$ cm et $BD = 2 \times 2{,}5 = 5$ cm.
Maintenant que la nature est établie, on peut utiliser les propriétés : les côtés opposés ont la même longueur, donc $DC = AB = 6$ cm.
Construis un parallélogramme $ABCD$ tel que $AB = 6$ cm, $AD = 4$ cm et $AC = 8$ cm, où $[AC]$ est une diagonale.
Décris ton programme de construction, puis justifie que la figure obtenue est bien un parallélogramme.
Corrigé
1. Tracer $[AC]$ de $8$ cm.
2. Dans $ABCD$, on aura $BC = AD = 4$ cm : tracer l'arc de centre $A$ et de rayon $6$ cm, puis l'arc de centre $C$ et de rayon $4$ cm. Leur point d'intersection est $B$.
3. Construire au compas le milieu $I$ de $[AC]$.
4. Placer $D$ sur la droite $(BI)$, de l'autre côté de $I$, avec $ID = BI$.
5. Tracer $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$.
Justification. Par construction, $I$ est le milieu de $[AC]$ et aussi celui de $[BD]$. Or, si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme. Donc $ABCD$ est un parallélogramme.
Vérification à la règle : on doit trouver $DC = 6$ cm et $AD = 4$ cm.
Les trois figures ci-dessous sont des parallélogrammes. Pour chacune, dis quelle est sa nature exacte et cite la propriété caractéristique qui le justifie.
Corrigé
Fig. 2 : deux angles droits sont codés. Or un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Les côtés consécutifs ne sont pas codés égaux : ce n'est pas un carré.
Fig. 3 : seul le parallélisme des côtés opposés est codé. C'est un parallélogramme quelconque : ni rectangle, ni losange.
La pièce ci-dessous est un parallélogramme de base $9$ cm et de hauteur $4$ cm, dans lequel on a découpé un rectangle de $3$ cm sur $2$ cm.
a) Calcule l'aire du parallélogramme.
b) Calcule l'aire de la pièce restante, en cm².
c) Donne cette aire en mm².
d) On fabrique $40$ pièces identiques : quelle surface de métal, en m², faut-il ?
Corrigé
b) Aire du rectangle découpé : $3 \times 2 = 6$ cm². On soustrait : $36 - 6 = 30$ cm².
c) $1$ cm² $= 100$ mm², donc $30$ cm² $= 30 \times 100 = 3\,000$ mm².
d) $40 \times 30 = 1\,200$ cm². Or $1$ m² $= 10\,000$ cm², donc $1\,200 \div 10\,000 = 0{,}12$ m².
Tu maîtrises ? On pousse un peu. D'abord le parallélogramme dans un repère — c'est encore du programme de 5e, chapitre Repérage. Puis un coup d'œil à ce qui t'attend en 4e, quand ce chapitre deviendra celui des translations.
Le parallélogramme dans un repère
Avec des coordonnées, plus besoin de compas : la propriété caractéristique des diagonales se calcule.
Le milieu d'un segment s'obtient en faisant la moyenne des abscisses d'un côté, et la moyenne des ordonnées de l'autre. Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, il faut et il suffit que le milieu de $[AC]$ soit aussi celui de $[BD]$.
Ce qui t'attend : translations et vecteurs
Dire que $ABCD$ est un parallélogramme, c'est dire que le déplacement qui mène de $A$ à $B$ est exactement le même que celui qui mène de $D$ à $C$ : même direction, même sens, même longueur.
En 4e ce déplacement s'appellera une translation, et au lycée on lui donnera un nom de calcul : un vecteur. La figure ne change pas ; c'est le langage qui devient plus court.
À toi de jouer
Dans un repère, on place $A(0\,;0)$, $B(4\,;2)$ et $C(6\,;5)$.
Trouve les coordonnées de $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Indice : les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ doivent avoir le même milieu.
Corrigé
$I$ doit aussi être le milieu de $[BD]$. Si $D(x\,;y)$ : $\dfrac{4+x}{2} = 3$, donc $4 + x = 6$, donc $x = 2$.
Et $\dfrac{2+y}{2} = 2{,}5$, donc $2 + y = 5$, donc $y = 3$.
Donc $D(2\,;3)$.
Dans un repère, $E(1\,;1)$, $F(5\,;2)$, $G(6\,;5)$ et $H(2\,;4)$.
a) Pour aller de $E$ à $F$, de combien avance-t-on horizontalement ? verticalement ?
b) Même question pour aller de $H$ à $G$.
c) Que peux-tu en conclure pour $EFGH$ ?
Corrigé
b) De $H(2\,;4)$ à $G(6\,;5)$ : on avance de $6 - 2 = 4$ vers la droite et de $5 - 4 = 1$ vers le haut.
c) C'est le même déplacement, donc $[EF]$ et $[HG]$ sont parallèles et de même longueur. Or, si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. Donc $EFGH$ est un parallélogramme.
$ABCD$ est un parallélogramme. $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[DC]$.
Démontre que $AMND$ est un parallélogramme.
Indice : travaille sur les côtés opposés $[AM]$ et $[ND]$.
Corrigé
Je sais aussi que dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur, donc $AB = DC$.
Or $M$ est le milieu de $[AB]$, donc $AM = \dfrac{AB}{2}$ ; et $N$ est le milieu de $[DC]$, donc $ND = \dfrac{DC}{2}$. Comme $AB = DC$, on obtient $AM = ND$.
Le quadrilatère $AMND$ a donc deux côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur. Or, si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. Donc $AMND$ est un parallélogramme. »
Le mouvement en deux temps : on utilise d'abord les propriétés de $ABCD$ (sens direct), puis une propriété caractéristique pour conclure sur $AMND$ (sens réciproque). C'est exactement ce qu'on te demandera en 4e, en plus long.