Parallélogramme — Exercices

Propriétés, calculs, construction et équations. Corrigé en fin de fiche.

⏱ ~25 min✎ Règle, compas, rapporteur

1Vrai ou faux ?/ 4 pts

$ABCD$ est un parallélogramme. Pour chaque affirmation, réponds Vrai ou Faux et justifie en citant la propriété utilisée.

$AB = CD$
$AB = BC$
Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu.
$\widehat{ABC} = \widehat{ADC}$

2Calculer des mesures/ 5 pts

$EFGH$ est un parallélogramme avec $EF = 7$ cm, $FG = 4{,}5$ cm et $\widehat{FEH} = 65°$. Les diagonales se coupent en $I$ avec $EI = 4$ cm.

Donne la longueur de $GH$.
Donne la longueur de $EH$.
Donne la mesure de $\widehat{FGH}$.
Donne la mesure de $\widehat{EFG}$.
Donne la longueur de la diagonale $[EG]$.

3Construire un parallélogramme/ 3 pts

Construis le parallélogramme $ABCD$.

Trace le segment $[AB]$ de longueur $6$ cm.
Place le point $C$ tel que $BC = 4$ cm et $\widehat{ABC} = 55°$ (utilise le rapporteur).
Construis le point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. Décris ta méthode.

4Propriété des diagonales/ 4 pts

$KLMN$ est un parallélogramme. Les diagonales se coupent en $O$. On sait que $KO = (3x - 1)$ cm et $OM = (x + 5)$ cm.

Explique pourquoi $KO = OM$.
Écris une équation, puis résous-la pour trouver $x$.
Déduis la longueur de la diagonale $[KM]$.

5Problème — périmètre et diagonale/ 4 pts

$PQRS$ est un parallélogramme avec $PQ = 3x$ cm et $QR = (x + 4)$ cm. Le périmètre du parallélogramme est $40$ cm. Les diagonales se coupent en $O$ avec $PO = 9$ cm.

Écris une équation reliant $x$ et le périmètre, puis résous-la.
Calcule la longueur de chaque côté.
Calcule la longueur de la diagonale $[PR]$.

Corrigé détaillé

1Vrai ou faux ?

a) $AB \text{ et } CD \text{ sont des côtés opposés : ils sont égaux dans tout parallélogramme.}$ $\textbf{Vrai.}$

b) $AB \text{ et } BC \text{ sont des côtés consécutifs. Rien ne garantit } AB = BC \text{ (sauf dans un losange).}$ $\textbf{Faux.}$

c) $\text{C'est la propriété du centre de symétrie : les diagonales se coupent en leur milieu.}$ $\textbf{Vrai.}$

d) $\widehat{ABC} \text{ et } \widehat{ADC} \text{ sont des angles opposés, donc égaux.}$ $\textbf{Vrai.}$

2Calculer des mesures

a) $GH = EF \quad (\text{côtés opposés égaux})$ $GH = 7 \text{ cm}$

b) $EH = FG \quad (\text{côtés opposés égaux})$ $EH = 4{,}5 \text{ cm}$

c) $\widehat{FGH} = \widehat{FEH} \quad (\text{angles opposés égaux})$ $\widehat{FGH} = 65°$

d) $\widehat{EFG} + \widehat{FEH} = 180° \Rightarrow \widehat{EFG} = 180° - 65° =$ $\widehat{EFG} = 115°$

e) $I \text{ est le milieu de } [EG] \Rightarrow EG = 2 \times EI = 2 \times 4 =$ $EG = 8 \text{ cm}$

3Construire un parallélogramme

1. $\text{Tracer le segment } [AB] \text{ avec } AB = 6 \text{ cm.}$ $\text{Tracé.}$

2. $\text{En } B, \text{ rapporteur : angle de } 55°, \text{ puis compas : } BC = 4 \text{ cm.}$ $\text{Tracé.}$

3. $\text{Construire } I = \text{milieu de } [AC]. \text{ Puis } D \text{ symétrique de } B \text{ par rapport à } I : BI = DI, \text{ points } B, I, D \text{ alignés.}$ $ABCD \text{ est un parallélogramme.}$

4Propriété des diagonales

a) $\text{Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc } O \text{ est le milieu de } [KM].$ $KO = OM$

b) $3x - 1 = x + 5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow$ $x = 3$

c) $KO = 3 \times 3 - 1 = 8 \text{ cm} \Rightarrow KM = 2 \times 8 =$ $KM = 16 \text{ cm}$

5Problème — périmètre et diagonale

a) $2(PQ + QR) = 40 \Rightarrow 2(3x + x + 4) = 40 \Rightarrow 2(4x + 4) = 40 \Rightarrow 4x + 4 = 20 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow$ $x = 4$

b) $PQ = 3 \times 4 = 12 \text{ cm},\quad QR = 4 + 4 = 8 \text{ cm},\quad RS = PQ = 12 \text{ cm},\quad SP = QR = 8 \text{ cm}$ $PQ = RS = 12 \text{ cm},\quad QR = SP = 8 \text{ cm}$

c) $O \text{ est le milieu de } [PR] \Rightarrow PR = 2 \times PO = 2 \times 9 =$ $PR = 18 \text{ cm}$