Tu n'as jamais entendu parler du parallélogramme mais un contrôle approche. Pas de panique : on part de zéro avec les bases – quadrilatère, parallèles, milieu – et on te rend fonctionnel en un rien de temps.
Prérequis express
Quadrilatère : figure à 4 côtés. Droites parallèles : elles ne se coupent jamais (on note //). Milieu d'un segment : point qui le partage en deux morceaux égaux. Symétrie centrale : transformation par rapport à un point ; chaque point a un symétrique de l'autre côté, à égale distance.
C'est quoi un parallélogramme ?
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. On nomme ses sommets dans l'ordre : $ABCD$ signifie que $AB \parallel DC$ et $AD \parallel BC$. Le point où se croisent les diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.
Première propriété (côtés égaux)
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont égaux. $AB = DC$ et $AD = BC$. Cela permet de trouver une longueur quand on connaît le côté opposé.
À toi de jouer
1.1. Reconnais un parallélogramme Parmi les figures ci-dessous, entoure celle qui est un parallélogramme. Justifie en une phrase.
Corrigé
La figure B est un parallélogramme car ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (on voit un glissement identique entre AB et DC, et AD et BC).
2.2. Complète le texte à trous Dans le parallélogramme $ABCD$, les côtés opposés sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$, ainsi que $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$. Le point d'intersection des diagonales est le $\underline{\hspace{1.1em}}$ de symétrie du parallélogramme. Les diagonales se coupent en leur $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Dans le parallélogramme $ABCD$, les côtés opposés sont $AB$ et $DC$, ainsi que $AD$ et $BC$. Le point d'intersection des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme. Les diagonales se coupent en leur milieu.
3.3. Utilise la propriété des côtés $ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 6$ cm, $AD = 4$ cm. Complète : $DC = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm (car les côtés opposés sont $\underline{\hspace{1.1em}}$). $BC = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm (car les côtés opposés sont $\underline{\hspace{1.1em}}$).
Corrigé
$DC = 6$ cm (car les côtés opposés sont égaux). $BC = 4$ cm (car les côtés opposés sont égaux).
Ah oui, c'est ça ! On reprend les cinq propriétés du parallélogramme avec une méthode pas à pas pour le construire. Tu vas voir, tout s'emboîte.
Les cinq propriétés (à connaitre par cœur)
Propriété
Ce qu'elle dit
1. Côtés opposés parallèles
$AB \parallel DC$ et $AD \parallel BC$
2. Côtés opposés égaux
$AB = DC$ et $AD = BC$
3. Angles opposés égaux
$\widehat{A} = \widehat{C}$ et $\widehat{B} = \widehat{D}$
Le milieu de $[AC]$ est aussi le milieu de $[BD]$. C'est le centre de symétrie.
Méthode : construire un parallélogramme (on connaît trois sommets $A$, $B$, $C$)
Tracer le segment $[AC]$ (c'est une diagonale).
Construire le milieu $I$ de $[AC]$ au compas (arcs de cercle de même rayon de part et d'autre de $[AC]$).
Reporter la distance $BI$ de l'autre côté de $I$ : le point $D$ est tel que $I$ est le milieu de $[BD]$. $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $I$.
$ABCD$ est alors un parallélogramme.
À toi de jouer
1.1. Calcule avec les propriétés (exercice à trous) $ABCD$ est un parallélogramme. $AB = 9$ cm, $AD = 5{,}5$ cm, $\widehat{DAB} = 75°$. Complète : a) $DC = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm (côtés opposés $\underline{\hspace{1.1em}}$). b) $BC = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm (côtés opposés $\underline{\hspace{1.1em}}$). c) $\widehat{BCD} = \underline{\hspace{1.1em}}°$ (angles opposés $\underline{\hspace{1.1em}}$). d) $\widehat{ABC} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$ (angles consécutifs $\underline{\hspace{1.1em}}$).
Corrigé
a) $DC = 9$ cm (côtés opposés égaux). b) $BC = 5{,}5$ cm (côtés opposés égaux). c) $\widehat{BCD} = 75°$ (angles opposés égaux). d) $\widehat{ABC} = 180° - 75° = 105°$ (angles consécutifs supplémentaires).
2.2. Construction guidée (texte à trous) On veut construire le parallélogramme $ABCD$ connaissant les points $A$, $B$ et $C$. Complète la méthode : 1) Trace le segment $[AC]$, c'est une $\underline{\hspace{1.1em}}$. 2) Construis le milieu $I$ de $[AC]$ avec le $\underline{\hspace{1.1em}}$. 3) Place $D$ tel que $D$ soit le $\underline{\hspace{1.1em}}$ de $B$ par rapport à $I$. Alors $ABCD$ est un $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
1) Trace le segment $[AC]$, c'est une diagonale. 2) Construis le milieu $I$ de $[AC]$ avec le compas. 3) Place $D$ tel que $D$ soit le symétrique de $B$ par rapport à $I$. Alors $ABCD$ est un parallélogramme.
3.3. Vrai ou Faux (avec justification) Pour chaque affirmation, réponds Vrai ou Faux et cite la propriété qui justifie. a) Dans un parallélogramme, les diagonales ont toujours la même longueur. b) Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont complémentaires (somme 90°).
Corrigé
a) Faux. Les diagonales se coupent en leur milieu, mais elles ne sont égales que dans un rectangle (cas particulier). b) Faux. Les angles consécutifs sont supplémentaires (somme 180°), pas complémentaires.
Même mécanique cinq fois d'affilée. Le but : que le calcul des longueurs et des angles devienne un réflexe. C'est quasi le même énoncé, seuls les nombres changent.
Petit rappel avant de foncer
Dans un parallélogramme : - les côtés opposés sont égaux ; - les angles opposés sont égaux ; - deux angles consécutifs sont supplémentaires (leur somme fait $180°$).
À toi de jouer
1.Exercice 1 $EFGH$ est un parallélogramme. On donne $EF = 5$ cm, $FG = 3$ cm, $\widehat{FEH} = 70°$. Complète : $GH = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm ; $EH = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm ; $\widehat{FGH} = \underline{\hspace{1.1em}}°$ ; $\widehat{EFG} = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
Place au niveau contrôle. Des exercices où il faut justifier, construire et résoudre des équations avec les diagonales. Tu as toutes les cartes en main.
Les pièges à éviter
Confondre côtés et diagonales : dans $ABCD$, $[AC]$ et $[BD]$ sont les diagonales, pas des côtés.
Croire que les diagonales sont toujours égales : c'est faux dans un parallélogramme quelconque (vrai seulement dans un rectangle).
Penser que deux angles consécutifs sont égaux : ils sont supplémentaires, pas forcément égaux.
Prendre le milieu d'un côté pour construire le 4e sommet : il faut prendre le milieu de la diagonale $[AC]$.
À toi de jouer
1.1. Vrai ou faux ? $ABCD$ est un parallélogramme. Pour chaque affirmation, réponds Vrai ou Faux et justifie en citant la propriété utilisée. a) $AB = CD$ b) $AB = BC$ c) Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu. d) $\widehat{ABC} = \widehat{ADC}$
Corrigé
a) Vrai. Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux. b) Faux. $AB$ et $BC$ sont consécutifs ; ils ne sont égaux que dans un losange (cas particulier). c) Vrai. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent toujours en leur milieu. d) Vrai. $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ADC}$ sont des angles opposés, donc égaux.
2.2. Calculer des mesures $EFGH$ est un parallélogramme avec $EF = 8$ cm, $FG = 5$ cm et $\widehat{FEH} = 60°$. Les diagonales se coupent en $I$ et $EI = 5$ cm. a) Donne la longueur de $GH$. b) Donne la longueur de $EH$. c) Donne la mesure de $\widehat{FGH}$. d) Donne la mesure de $\widehat{EFG}$. e) Donne la longueur de la diagonale $[EG]$.
Corrigé
a) $GH = EF = 8$ cm (côtés opposés égaux). b) $EH = FG = 5$ cm (côtés opposés égaux). c) $\widehat{FGH} = \widehat{FEH} = 60°$ (angles opposés égaux). d) $\widehat{EFG} + \widehat{FEH} = 180°$ donc $\widehat{EFG} = 180° - 60° = 120°$. e) $I$ milieu de $[EG]$, donc $EG = 2 \times EI = 2 \times 5 = 10$ cm.
3.3. Construction Construis un parallélogramme $ABCD$ tel que $AB = 7$ cm, $BC = 3$ cm et $\widehat{ABC} = 65°$. Décris ta méthode de construction en quelques phrases.
Corrigé
1. Tracer le segment $[AB]$ de 7 cm. 2. En $B$, avec le rapporteur, construire un angle de $65°$ ; sur la demi-droite obtenue, placer $C$ à 3 cm de $B$ ($BC = 3$ cm). 3. Tracer la diagonale $[AC]$, puis construire son milieu $I$ au compas. 4. Placer $D$ symétrique de $B$ par rapport à $I$ (reporter $BI$ de l'autre côté de $I$). 5. Relier $C$, $D$ et $A$. $ABCD$ est le parallélogramme demandé.
4.4. Propriété des diagonales et équation $KLMN$ est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent en $O$. On sait que $KO = (2x + 1)$ cm et $OM = (3x - 4)$ cm. a) Explique pourquoi $KO = OM$. b) Écris une équation puis résous-la pour trouver $x$. c) Déduis la longueur de la diagonale $[KM]$.
Corrigé
a) Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. $O$ est le milieu de $[KM]$, donc $KO = OM$. b) $2x + 1 = 3x - 4$ $1 + 4 = 3x - 2x$ $5 = x$ donc $x = 5$. c) $KO = 2\times 5 + 1 = 11$ cm. $KM = 2 \times KO = 22$ cm.
5.5. Problème – périmètre et diagonale $PQRS$ est un parallélogramme avec $PQ = 4x$ cm et $QR = (x + 3)$ cm. Le périmètre du parallélogramme est $42$ cm. Les diagonales se coupent en $O$ et on a $PO = 8$ cm. a) Écris une équation reliant $x$ et le périmètre, puis résous-la. b) Calcule la longueur de chaque côté. c) Calcule la longueur de la diagonale $[PR]$.
Corrigé
a) Périmètre $= 2 \times (PQ + QR) = 2 \times (4x + x + 3) = 2 \times (5x + 3) = 10x + 6$. $10x + 6 = 42$ → $10x = 36$ → $x = 3{,}6$. b) $PQ = 4 \times 3{,}6 = 14{,}4$ cm ; $QR = 3{,}6 + 3 = 6{,}6$ cm. c) $O$ est le milieu de $[PR]$, donc $PR = 2 \times PO = 2 \times 8 = 16$ cm.
Tu veux déjà voir ce qui t'attend en 4e ? On apprend à prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme et on joue avec les coordonnées. C'est la suite logique, et tu vas y arriver.
Réciproque des propriétés (aperçu 4e)
Pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme, on peut montrer que : - ses diagonales se coupent en leur milieu, ou - ses côtés opposés sont égaux deux à deux, ou - deux côtés opposés sont à la fois parallèles et égaux.
À toi de jouer
1.1. Prouver avec les diagonales Soit $ABCD$ un quadrilatère. Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en $I$. On sait que $I$ est le milieu de $[AC]$ et que $I$ est aussi le milieu de $[BD]$. Montre que $ABCD$ est un parallélogramme en citant la propriété utilisée.
Corrigé
Puisque les diagonales se coupent en leur milieu, le quadrilatère est un parallélogramme. C'est la réciproque de la propriété des diagonales : si dans un quadrilatère les diagonales ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme.
2.2. Coordonnées dans un repère Dans un repère, place les points $A(0,0)$, $B(4,2)$, $C(6,5)$. Trouve les coordonnées de $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme. Indice : les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ doivent avoir le même milieu.
Corrigé
Milieu $I$ de $[AC]$ : $I\left(\frac{0+6}{2} ; \frac{0+5}{2}\right) = (3 ; 2{,}5)$. $I$ est aussi le milieu de $[BD]$, donc si $D(x,y)$ : $\frac{4+x}{2} = 3$ et $\frac{2+y}{2} = 2{,}5$. D'où $4+x = 6$ → $x = 2$, et $2+y = 5$ → $y = 3$. Donc $D(2 ; 3)$.
3.3. Construction avec vérification Construis un parallélogramme $MNPQ$ tel que $MN = 6$ cm, $NP = 4$ cm et $\widehat{MNP} = 110°$. Mesure ensuite les diagonales et vérifie qu'elles se coupent en leur milieu.
Corrigé
1. Tracer $[MN]$ de 6 cm. 2. En $N$, construire un angle de $110°$ et placer $P$ tel que $NP = 4$ cm. 3. Tracer la diagonale $[MP]$, trouver son milieu $I$. 4. Placer $Q$ symétrique de $N$ par rapport à $I$. En mesurant, on constate que $I$ est le milieu de $[NQ]$ et de $[MP]$ : les diagonales se coupent bien en leur milieu, caractéristique du parallélogramme.
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