Salut toi ! Tu n'as jamais posé les yeux sur ce chapitre, et pourtant le contrôle approche à grands pas. On va rattraper ça ensemble, dès les fondations. Souviens-toi d'abord de tes prérequis : savoir calculer l'aire d'un rectangle (longueur fois largeur), poser une multiplication, et convertir des unités d'aire (mètres carrés, centimètres carrés...). C'est tout ce qu'il faut pour démarrer. Là, on va se concentrer sur deux nouvelles formules, et je t'accompagne pas à pas.
Prérequis — multiplions, convertissons
Multiplier des nombres décimaux
Exemple : $9 \times 6 = 54$, $7,5 \times 4$ ? On compte le nombre de chiffres après la virgule (1 chiffre dans 7,5, 0 dans 4) et on place la virgule dans le résultat : $75 \times 4 = 300 \rightarrow 30,0$ donc $30$.
Convertir des unités d'aire
Rappel : $1 \text{ m}^2 = 10 000 \text{ cm}^2$ (car $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$ et l'aire se multiplie deux fois).
Pour passer des $\text{m}^2$ aux $\text{cm}^2$, on multiplie par 10 000.
Pour passer des $\text{cm}^2$ aux $\text{m}^2$, on divise par 10 000.
La base et la hauteur, c'est quoi ?
Dans un parallélogramme, on choisit un côté comme base (notée $b$). Ensuite, on trace un segment $h$ qui va du côté opposé jusqu'à cette base, en formant un angle droit avec elle : c'est la hauteur. Ce n'est pas le côté oblique ! La hauteur doit être perpendiculaire à la base.
Aire du parallélogramme
Formule : $\mathcal{A} = b \times h$
On multiplie simplement la base et la hauteur, qui sont perpendiculaires.
Exemple : base $= 6$ cm, hauteur $= 5$ cm → $\mathcal{A} = 6 \times 5 = 30 \text{ cm}^2$.
Aire du losange
Formule : $\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$
On multiplie les longueurs des deux diagonales ($d_1$ et $d_2$), puis on divise le résultat par 2.
Exemple : diagonales $6$ cm et $10$ cm → $\mathcal{A} = \dfrac{6 \times 10}{2} = \dfrac{60}{2} = 30 \text{ cm}^2$.
À toi de jouer
1. Complète les trous.
Un parallélogramme a une base $b = 9$ cm et une hauteur $h = 6$ cm.
$\mathcal{A} = b \times h = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
$\mathcal{A} = b \times h = 9 \times 6 = 54$ cm².
2. Complète les trous pour trouver l'aire du losange.
$d_1 = 4$ cm et $d_2 = 7$ cm.
$\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
$\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2} = \dfrac{4 \times 7}{2} = \dfrac{28}{2} = 14$ cm².
3. Identifie si c'est un parallélogramme ou un losange qu'on calcule, puis associe la bonne formule.
a) Diagonales 5 cm et 12 cm :
Formule à trous : $\mathcal{A} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
b) Base 10 cm, hauteur 3 cm :
Formule à trous : $\mathcal{A} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) Losange : $\mathcal{A} = \dfrac{5 \times 12}{2} = 30$ cm².
b) Parallélogramme : $\mathcal{A} = 10 \times 3 = 30$ cm².
Ah, tu te souviens un peu de la base fois la hauteur et du demi-produit des diagonales ! On va remettre tout ça en ordre, avec la méthode précise pour ne pas confondre hauteur et côté oblique, et pour appliquer chaque formule au bon quadrilatère. On fait le tour de ce qu'il faut avoir en tête, puis tu te lances sur quelques exercices, toujours guidés.
Rappel structuré des deux formules
Parallélogramme : $\mathcal{A} = b \times h$
La hauteur doit être le segment perpendiculaire à la base, pas le côté qui penche.
Losange : $\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$
On utilise les diagonales. Attention à bien diviser par 2 à la fin !
Méthode pas à pas
Pour un parallélogramme
- Choisir un côté qui sera la base $b$.
- Repérer le segment perpendiculaire à cette base allant d'un sommet au côté opposé (ou à son prolongement) : c'est la hauteur $h$.
- Vérifier l'angle droit : la hauteur n'est pas le côté oblique.
- Appliquer $\mathcal{A} = b \times h$.
Pour un losange
- Identifier les deux diagonales $d_1$ et $d_2$.
- Multiplier ces deux longueurs.
- Diviser le produit par 2 : $\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$.
À toi de jouer
1. Complète avec les bonnes valeurs.
Parallélogramme : base $= 15$ cm, hauteur $= 8$ cm.
$\mathcal{A} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
$\mathcal{A} = 15 \times 8 = 120$ cm².
2. Complète pour le losange.
$d_1 = 10$ cm et $d_2 = 14$ cm.
$\mathcal{A} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
$\mathcal{A} = \dfrac{10 \times 14}{2} = \dfrac{140}{2} = 70$ cm².
3. On te donne l'aire $\mathcal{A} = 48$ cm² et une base $= 8$ cm d'un parallélogramme. Trouve la hauteur $h$ en complétant :
$h = \dfrac{\mathcal{A}}{b} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
$h = \dfrac{\mathcal{A}}{b} = \dfrac{48}{8} = 6$ cm.
Tu as compris le principe, on va répéter la même manipulation plusieurs fois pour que les formules deviennent automatiques. Tous les exercices se ressemblent, seuls les nombres changent. Prends ton temps, c'est du renforcement positif total !
À toi de jouer
1. Parallélogramme : base $= 7$ cm, hauteur $= 3$ cm. Calcule son aire.
Complète : $\mathcal{A} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
$\mathcal{A} = 7 \times 3 = 21$ cm².
2. Parallélogramme : base $= 9$ cm, hauteur $= 5$ cm. Calcule son aire.
Complète : $\mathcal{A} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
$\mathcal{A} = 9 \times 5 = 45$ cm².
3. Losange : diagonales $d_1 = 6$ cm et $d_2 = 8$ cm. Calcule son aire.
Complète : $\mathcal{A} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
$\mathcal{A} = \dfrac{6 \times 8}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$ cm².
4. Losange : diagonales $d_1 = 12$ cm et $d_2 = 5$ cm. Calcule son aire.
Complète : $\mathcal{A} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
$\mathcal{A} = \dfrac{12 \times 5}{2} = \dfrac{60}{2} = 30$ cm².
5. Losange : diagonales $d_1 = 9$ cm et $d_2 = 4$ cm. Calcule son aire.
Complète : $\mathcal{A} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
$\mathcal{A} = \dfrac{9 \times 4}{2} = \dfrac{36}{2} = 18$ cm².
Maintenant, on passe aux exercices type contrôle. Les questions sont variées : calcul d'aire, recherche de hauteur manquante, conversion d'unités, problèmes concrets. Tu vas devoir choisir la bonne formule et l'appliquer sans filet. C'est tout à fait dans tes cordes après les échauffements.
À toi de jouer
1. Calcule l'aire d'un parallélogramme de base $11$ cm et de hauteur $3{,}5$ cm.
Corrigé
$\mathcal{A} = 11 \times 3{,}5 = 38{,}5 \text{ cm}^2$.
2. Calcule l'aire d'un losange dont les diagonales mesurent $9$ cm et $16$ cm.
Corrigé
$\mathcal{A} = \dfrac{9 \times 16}{2} = \dfrac{144}{2} = 72 \text{ cm}^2$.
3. Un parallélogramme a une aire de $54$ cm² et une base de $9$ cm. Quelle est sa hauteur ?
Corrigé
$h = \dfrac{54}{9} = 6 \text{ cm}$.
4. Un carreleur pose des carreaux en forme de losange dont les diagonales mesurent $20$ cm et $30$ cm. La surface totale à carreler est de $6$ m². Combien de carreaux faut-il prévoir ?
Corrigé
Aire d'un carreau : $\dfrac{20 \times 30}{2} = 300 \text{ cm}^2$.
Conversion de la surface : $6 \text{ m}^2 = 6 \times 10\,000 = 60\,000 \text{ cm}^2$.
Nombre de carreaux : $\dfrac{60\,000}{300} = 200$.
5. Un parallélogramme a une base de $12$ cm et une hauteur de $5$ cm. Un losange a la même aire que ce parallélogramme. L'une de ses diagonales mesure $8$ cm. Quelle est la longueur de l'autre diagonale ?
Corrigé
Aire du parallélogramme : $12 \times 5 = 60 \text{ cm}^2$.
Donc pour le losange : $\dfrac{8 \times d_2}{2} = 60 \Rightarrow 4 \times d_2 = 60 \Rightarrow d_2 = 15 \text{ cm}$.
Tu maîtrises les bases, voici deux exercices pour aller un cran plus loin. On va mélanger les aires, manipuler des égalités et toucher un avant-goût de 4e : calcul littéral appliqué aux formules. Moins mécanique, plus stratégique, pour te préparer aux résolutions d'équations.
À toi de jouer
1. Un parallélogramme a une hauteur de $x$ cm. Sa base mesure $3x$ cm. Exprime son aire en fonction de $x$, puis calcule cette aire pour $x = 4$ cm.
Corrigé
Aire : $\mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} = 3x \times x = 3x^2 \text{ cm}^2$.
Pour $x = 4 \text{ cm}$ : $\mathcal{A} = 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48 \text{ cm}^2$.
2. Un losange a pour diagonales $d_1 = 2a$ cm et $d_2 = a+4$ cm. Exprime son aire en fonction de $a$, puis calcule-la pour $a = 5$ cm.
Corrigé
Aire : $\dfrac{2a \times (a+4)}{2} = a(a+4) = a^2 + 4a \text{ cm}^2$.
Pour $a = 5$ : $5^2 + 4 \times 5 = 25 + 20 = 45 \text{ cm}^2$.
3. On souhaite fabriquer un cerf-volant en forme de losange d'aire $300 \text{ cm}^2$. Si l'une des diagonales mesure $20$ cm, quelle sera la longueur de l'autre diagonale ?
(Pense à poser l'équation associée)
Corrigé
$\dfrac{20 \times d_2}{2} = 300 \Rightarrow 10 \times d_2 = 300 \Rightarrow d_2 = 30 \text{ cm}$.