Pas de panique : le chapitre Angles de 5e tient dans une seule question — que disent les angles sur le parallélisme de deux droites ? On réveille d'abord les réflexes du cycle 3, puis on installe les trois mots du chapitre : sécante, alternes internes, correspondants.
Prérequis éclairs
- Un angle aigu mesure entre $0°$ et $90°$, un angle droit exactement $90°$, un angle obtus entre $90°$ et $180°$, un angle plat $180°$.
- Deux angles supplémentaires ont pour somme $180°$ ; deux angles complémentaires, $90°$.
- Deux angles adjacents ont le même sommet et un côté commun, de part et d'autre de ce côté : leurs mesures s'ajoutent.
- Deux angles opposés par le sommet, formés par deux droites qui se croisent, sont toujours égaux.
- La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet qui le partage en deux angles de même mesure.
- Le rapporteur reste ton outil de vérification ; en 5e, il ne remplace jamais une justification écrite.
La configuration du chapitre
Une droite qui en coupe deux autres s'appelle une sécante. Elle crée deux points d'intersection, donc huit angles.
Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$ en $A$ et $B$ (figure non à l'échelle).
Les angles alternes internes sont entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante : c'est le Z. Les angles correspondants sont du même côté de la sécante, l'un interne et l'autre externe : c'est le F.
À toi de jouer
La droite qui coupe $(d_1)$ et $(d_2)$ s'appelle une $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Elle forme $\underline{\hspace{1.1em}}$ angles en tout.
Les angles situés entre $(d_1)$ et $(d_2)$ sont dits $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; les autres sont dits $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
8 angles (quatre à chaque point d'intersection)
internes ; externes
Corrigé
Externes : $\widehat{1}$, $\widehat{2}$, $\widehat{7}$, $\widehat{8}$.
a) $\widehat{1}$ et $\widehat{3}$ sont opposés par le sommet.
b) $\widehat{3}$ et $\widehat{5}$ sont alternes internes.
c) $\widehat{1}$ et $\widehat{5}$ sont alternes internes.
d) $\widehat{4}$ et $\widehat{6}$ sont des angles correspondants.
Corrigé
b) Vrai : tous deux internes, de part et d'autre de $(\Delta)$.
c) Faux : $\widehat{1}$ est externe. $\widehat{1}$ et $\widehat{5}$ sont correspondants.
d) Faux : ils sont tous les deux internes et de part et d'autre de $(\Delta)$, donc alternes internes.
Le Z et le F te reviennent. Ce qui compte maintenant : savoir dans quel sens on lit la propriété, et l'écrire correctement sur la copie.
Les deux propriétés
Sens direct. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes internes sont égaux, et les angles correspondants aussi.
Réciproque. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes internes égaux — ou deux angles correspondants égaux — alors ces deux droites sont parallèles.
À part. Deux angles internes situés du même côté de la sécante ($\widehat{3}$ et $\widehat{6}$, par exemple) ne sont pas égaux quand les droites sont parallèles : leur somme vaut $180°$.
Méthode — rédiger en trois temps
- Je nomme la configuration : « $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$. »
- Je nomme la paire : « $\widehat{3}$ et $\widehat{5}$ sont alternes internes. »
- J'applique et je conclus : « Or $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, donc $\widehat{5} = \widehat{3}$. »
Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$ en $A$ et $B$ (figure non à l'échelle).
À toi de jouer
Corrigé
a) Donne $\widehat{6}$ et justifie.
b) Donne $\widehat{4}$ et justifie.
Corrigé
b) $\widehat{2}$ et $\widehat{4}$ ont le même sommet $A$ et sont opposés par le sommet : $\widehat{4} = 118°$.
Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ et coupées par la $\underline{\hspace{1.1em}}$ $(\Delta)$.
Les angles $\widehat{4}$ et $\widehat{6}$ sont $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc ils ont $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Les angles $\widehat{4}$ et $\widehat{6}$ sont alternes internes.
Donc ils ont la même mesure.
Cinq questions très courtes, toujours le même geste : je regarde la paire, je dis son nom, j'applique. Juste pour que ça devienne automatique.
À toi de jouer
Corrigé
Corrigé
Corrigé
Corrigé
Corrigé
Niveau contrôle : on ne demande plus un nombre, on demande une justification rédigée — et parfois de répondre « non » proprement. Cinq exercices, comme sur le sujet.
À toi de jouer
Corrigé
$\widehat{3}$ : il a le même sommet $A$ que l'angle de $63°$ et leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre : ils sont opposés par le sommet, donc $\widehat{3} = 63°$.
$\widehat{5}$ : $\widehat{3}$ et $\widehat{5}$ sont alternes internes ; comme $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, $\widehat{5} = \widehat{3} = 63°$.
$\widehat{6}$ : $\widehat{5}$ et $\widehat{6}$ sont adjacents et forment ensemble l'angle plat de $(d_2)$, donc $\widehat{6} = 180° - 63° = 117°$.
Corrigé
Non. Si $(d_1)$ et $(d_2)$ étaient parallèles, ces deux angles alternes internes seraient égaux. Or $55° \neq 50°$. Donc $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles.
Corrigé
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont coupées par la sécante $(AC)$.
Les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{ACD}$ sont situés entre $(AB)$ et $(CD)$, et de part et d'autre de $(AC)$ : ce sont des angles alternes internes.
Ils sont égaux (tous les deux $47°$). D'après la réciproque, $(AB)$ et $(CD)$ sont donc parallèles.
a) « Deux angles situés du même côté de la sécante, l'un interne et l'autre externe, sont des angles alternes internes. »
b) « Ces deux angles alternes internes mesurent $70°$ et $80°$, donc les deux droites sont parallèles. »
Corrigé
b) Faux : la réciproque exige que les deux angles soient égaux. Ici $70 \neq 80$, donc on conclut au contraire que les deux droites ne sont pas parallèles.
Corrigé
Oui. La traverse est une sécante des deux barreaux $(r_1)$ et $(r_2)$.
Les deux angles décrits sont entre les barreaux et de part et d'autre de la traverse : ce sont des angles alternes internes.
Ils sont égaux ($72°$ chacun), donc d'après la réciproque, $(r_1)$ et $(r_2)$ sont parallèles. Le menuisier a raison.
Ces deux propriétés sont des outils de démonstration. Voilà trois exercices pour t'en servir comme on le fera en 4e — et pour voir d'où elles viennent.
À toi de jouer
Corrigé
$\widehat{1}$ et $\widehat{3}$ ont le même sommet $A$ et sont opposés par le sommet : $\widehat{1} = \widehat{3}$.
$\widehat{3}$ et $\widehat{5}$ sont alternes internes, et $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles : $\widehat{3} = \widehat{5}$.
Donc $\widehat{1} = \widehat{5}$. On vient de redémontrer la propriété des angles correspondants à partir des deux autres.
a) Laquelle des deux propriétés de ta leçon reconnais-tu ?
b) Énonce celle qui va dans l'autre sens.
Corrigé
b) L'autre sens : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes internes qu'elles forment sont égaux.
a) Pourquoi $\widehat{xAB} = \widehat{ABC}$ ?
b) Pourquoi $\widehat{yAC} = \widehat{ACB}$ ?
c) Que vaut $\widehat{xAB} + \widehat{BAC} + \widehat{CAy}$ ? Qu'en déduis-tu pour les trois angles du triangle ?
Corrigé
b) Même raisonnement avec la sécante $(AC)$ : $\widehat{yAC}$ et $\widehat{ACB}$ sont alternes internes, donc égaux.
c) Les trois angles se suivent le long de la droite $(d)$ : ensemble ils forment un angle plat, donc $\widehat{xAB} + \widehat{BAC} + \widehat{CAy} = 180°$. En remplaçant grâce à a) et b) : $\widehat{ABC} + \widehat{BAC} + \widehat{ACB} = 180°$. Les trois angles d'un triangle totalisent toujours $180°$ — et tu viens de le démontrer.