Mathématiques · 5e

Angles : mesure et construction

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Pas de panique ! Les angles, c'est simplement une question d'écartement entre deux demi-droites. Avant d'attaquer, on va réveiller les indispensables : la demi-droite, le mot 'sommet', et le degré. Ensuite, on fera le tour de ce que tu dois savoir pour ton contrôle.

Prérequis éclairs

Un angle repose sur deux outils :

La demi-droite : une origine, une direction infinie.
Le degré (°) : unité qui mesure l’écartement entre les deux demi-droites. Un rapporteur est un demi-cercle gradué de 0° à 180°.
Le sommet est le point commun où les demi-droites se rejoignent.

Qu’est-ce qu’un angle ?

Un angle est formé par deux demi-droites (les côtés) issues d'un même point, le sommet. On note l'angle avec un chapeau : $\widehat{BAC}$ signifie que le sommet est $A$, et les côtés passent par $B$ et $C$.

Les six familles d’angles

Nul : 0°
Aigu : entre 0° et 90°
Droit : 90°
Obtus : entre 90° et 180°
Plat : 180° (une droite)
Plein : 360° (tour complet)

À toi de jouer

1. Pour chaque mesure, complète par le type d’angle (aigu, droit, obtus, plat) :
$\widehat{A}=45°$ est un angle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\widehat{B}=90°$ est un angle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\widehat{C}=135°$ est un angle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\widehat{D}=180°$ est un angle $\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

$\widehat{A}=45°$ est un angle aigu.
$\widehat{B}=90°$ est un angle droit.
$\widehat{C}=135°$ est un angle obtus.
$\widehat{D}=180°$ est un angle plat.

2. Observe cette figure. L’angle a pour sommet $O$ et pour côtés $[OA)$ et $[OB)$. Complète la notation : l’angle se note $\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

L’angle se note $\widehat{AOB}$ ou $\widehat{BOA}$.

3. Indique le type de chaque mesure.
$15°$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$
$100°$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$
$0°$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$
$360°$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

$15°$ : aigu
$100°$ : obtus
$0°$ : nul
$360°$ : plein

Ah oui, le rapporteur... Tu te souviens des deux séries de nombres, de la petite astuce pour ne pas te tromper. On va remettre tout ça en ordre avec la méthode pas-à-pas.

Mesurer un angle au rapporteur (méthode)

Place le centre du rapporteur sur le sommet de l'angle.
Aligne le trait 0° avec l’un des côtés.
Lis la graduation là où l’autre côté coupe le rapporteur.
Vérifie la cohérence : si l'angle est aigu, la mesure est < 90° ; s'il est obtus, > 90°.

Construire un angle de mesure donnée

Trace une demi-droite $[AB)$.
Place le centre du rapporteur sur $A$, le zéro sur $[AB)$.
Marque un point $C$ en face de la graduation souhaitée.
Trace la demi-droite $[AC)$.

Angles supplémentaires et complémentaires

Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut $180°$.
Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut $90°$.

À toi de jouer

1. Sur la figure, le rapporteur est correctement placé. L'angle mesure $\underline{\hspace{1.1em}}$°.
(Aide : lis la graduation du milieu, là où passe le côté oblique.)

Corrigé

L'angle mesure 50°.

2. Pour construire l'angle $\widehat{BAC}=110°$, complète les étapes :
1) Trace la demi-droite $[AB)$.
2) Place le centre du rapporteur sur le $\underline{\hspace{1.1em}}$ $A$.
3) Aligne le zéro sur $\underline{\hspace{1.1em}}$.
4) Marque un point $C$ à la graduation $\underline{\hspace{1.1em}}°$.
5) Trace $\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

1) Trace la demi-droite $[AB)$.
2) Place le centre du rapporteur sur le sommet $A$.
3) Aligne le zéro sur la demi-droite $[AB)$.
4) Marque un point $C$ à la graduation 110°.
5) Trace la demi-droite $[AC)$.

3. Calcule les angles demandés.
$\widehat{A}=72°$, son supplément mesure $\underline{\hspace{1.1em}}$° (car $180-72 = \underline{\hspace{1.1em}}$).
$\widehat{B}=31°$, son complément mesure $\underline{\hspace{1.1em}}$°.
Sur une droite, $\widehat{AOB}=118°$, l'angle adjacent $\widehat{BOC}$ doit former un angle plat. $\widehat{BOC} = \underline{\hspace{1.1em}}$°.

Corrigé

Supplément : $180°-72°=108°$.
Complément : $90°-31°=59°$.
$\widehat{BOC}=180°-118°=62°$.

Cinq petits exercices tout simples pour que le calcul et la classification deviennent automatiques. Du même modèle à chaque fois, juste pour renforcer.

À toi de jouer

1. 1) $30°$ est un angle $\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

aigu

2. 2) $110°$ est un angle $\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

obtus

3. 3) $180°$ est un angle $\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

plat

4. 4) $90°$ est un angle $\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

droit

5. 5) $75°$ est un angle $\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

aigu

Maintenant on passe aux choses sérieuses : calculs, bissectrice, problème de montre. Comme dans un contrôle, mais tu es prêt.

À toi de jouer

1. Classe les angles suivants en justifiant par un encadrement :
$\widehat{A}=23°$ ; $\widehat{B}=90°$ ; $\widehat{C}=150°$ ; $\widehat{D}=180°$ ; $\widehat{E}=360°$.

Corrigé

$\widehat{A}=23°$ : $0<23<90$, angle aigu.
$\widehat{B}=90°$ : angle droit.
$\widehat{C}=150°$ : $90<150<180$, angle obtus.
$\widehat{D}=180°$ : angle plat.
$\widehat{E}=360°$ : angle plein.

2. Calcule.
a) Le supplément de $58°$
b) Le complément de $22°$
c) Sur une droite, $\widehat{AOB}=105°$. Sachant que $A$, $O$, $C$ sont alignés dans cet ordre, calcule $\widehat{BOC}$.

Corrigé

a) $180°-58°=122°$
b) $90°-22°=68°$
c) $180°-105°=75°$

3. Construis sur ta feuille un angle de $65°$ et un angle de $145°$. Pour chacun, indique son type et vérifie la cohérence au rapporteur.

Corrigé

L'angle de $65°$ est aigu : tracer selon la méthode, constater qu'il est bien plus petit que l'angle droit.
L'angle de $145°$ est obtus : vérifier qu'il est plus grand que $90°$ et plus petit que $180°$.

4. a) $\widehat{XOY}=74°$. Trace sa bissectrice et donne la mesure de chaque angle obtenu.
b) La bissectrice de $\widehat{MON}$ partage l'angle en deux angles de $41°$ chacun. Calcule $\widehat{MON}$.

Corrigé

a) $74° \div 2 = 37°$ pour chaque angle.
b) $2 \times 41° = 82°$, donc $\widehat{MON}=82°$.

5. Le cadran d'une montre comporte 12 graduations régulièrement réparties sur 360°.
a) Calcule l'angle entre deux graduations consécutives (par exemple de 12 h à 1 h).
b) Quelle est la mesure de l'angle formé par les aiguilles à 3 h (aiguille des heures sur 3, aiguille des minutes sur 12) ? Précise son type.
c) À 6 h, les aiguilles sont opposées. S'agit-il d'un angle aigu, droit, obtus ou plat ?

Corrigé

a) $360° \div 12 = 30°$.
b) $3 \times 30° = 90°$, c'est un angle droit.
c) $6 \times 30° = 180°$, c'est un angle plat.

Tu maîtrises les angles de base ? Voyons plus loin : une construction au compas et un petit aperçu des angles alternes-internes, qui te serviront l'an prochain.

À toi de jouer

1. Trace un angle $\widehat{BAC}=120°$. Ensuite, sans rapporteur, construis sa bissectrice au compas (trace un arc de cercle de centre $A$, puis...). Mesure chacun des deux angles obtenus au rapporteur pour vérifier.

Corrigé

Construction : on trace un arc de cercle de centre $A$ qui coupe les deux côtés en $M$ et $N$. Puis on trace deux arcs de même rayon centrés en $M$ et $N$ ; leur intersection $P$ donne la demi-droite $[AP)$, bissectrice. Mesure : $60°$ de chaque côté.

2. Deux droites parallèles $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une droite $(\Delta)$. L'angle $\widehat{1}=55°$ est un angle alterne-interne avec l'angle $\widehat{2}$ situé de l'autre côté de la sécante. Déduis-en la mesure de $\widehat{2}$.

Corrigé

Deux angles alternes-internes formés par deux droites parallèles sont égaux. Donc $\widehat{2}=55°$.

3. Défi horloger : à 3 h 15, l'aiguille des heures a dépassé le 3. Calcule l'angle entre l'aiguille des heures et celle des minutes (on considère que les aiguilles se déplacent de façon continue).
Indice : en 15 minutes, l'aiguille des heures avance d'un quart de 30°.

Corrigé

À 3h00, l'aiguille des heures est sur le 3 (90°). En 15 min, elle avance de $15/60 \times 30° = 7,5°$. Elle est donc à $90°+7,5°=97,5°$. L'aiguille des minutes est sur le 3 ($15$ min = 90°). L'angle entre elles est $97,5°-90°=7,5°$.