Parallélogramme : propriétés et construction

Les prérequis en 30 secondes

Quatre mots, et on est parés.

• Quadrilatère : une figure fermée à quatre côtés. On nomme ses sommets dans l'ordre, en tournant autour : $ABCD$.
• Côtés opposés : ceux qui se font face, $[AB]$ et $[DC]$ d'un côté, $[AD]$ et $[BC]$ de l'autre. Les côtés consécutifs, eux, partagent un sommet, comme $[AB]$ et $[BC]$.
• Diagonales : les segments $[AC]$ et $[BD]$, qui traversent la figure en reliant deux sommets opposés. Ce ne sont jamais des côtés.
• Droites parallèles : elles gardent toujours le même écart et ne se croisent jamais. On note $AB \parallel DC$.

Un dernier mot pour les angles : deux angles sont supplémentaires quand leurs mesures totalisent $180^\circ$.

L'essentiel et les formules à retenir

Définition (celle du programme). Un parallélogramme est un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux : $AB \parallel DC$ et $AD \parallel BC$.

De cette seule définition découlent quatre propriétés, plus une formule d'aire. Voilà tout le chapitre :

Une image pour tout retenir : le point $I$ où se croisent les diagonales est le centre de symétrie de la figure. Chaque sommet a son jumeau juste de l'autre côté de $I$.

Attention à la hauteur : dans $\text{Aire} = b \times h$, la hauteur $h$ est la distance perpendiculaire entre la base et le côté opposé. Ce n'est pas la longueur du côté incliné.

Les quatre phrases qui font gagner des points

Il y a deux types de questions au contrôle, et il faut savoir dans quel sens tu travailles.

Sens 1 — on te dit que c'est un parallélogramme. Tu utilises alors les propriétés du tableau ci-dessus pour calculer des longueurs et des angles.

Sens 2 — on te demande de prouver que c'en est un. Là, tu ne peux pas utiliser les propriétés : ce serait supposer ce qu'on te demande de montrer. Tu vérifies UNE des quatre conditions suivantes, et une seule suffit :

• ses côtés opposés sont parallèles deux à deux (c'est la définition) ;
• ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur ;
• ses diagonales ont le même milieu ;
• deux côtés opposés sont à la fois parallèles et de même longueur.

Ces quatre-là s'appellent des propriétés caractéristiques : elles fonctionnent dans les deux sens. Le programme de 5e demande justement de savoir s'en servir pour donner la nature d'un quadrilatère.

Un exemple entièrement traité

Énoncé. $ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 5$ cm, $AD = 3$ cm et $\widehat{DAB} = 70^\circ$. Calcule les autres côtés et les autres angles.

Les côtés. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur, donc $DC = AB = 5$ cm et $BC = AD = 3$ cm.

L'angle opposé. Les angles opposés ont la même mesure, donc $\widehat{BCD} = \widehat{DAB} = 70^\circ$.

Les angles voisins. Deux angles consécutifs sont supplémentaires, donc $\widehat{ABC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$, puis $\widehat{ADC} = \widehat{ABC} = 110^\circ$ (angles opposés).

On vérifie. Les quatre angles d'un quadrilatère totalisent $360^\circ$ : $70 + 110 + 70 + 110 = 360$. C'est cohérent.

Conclusion : $DC = 5$ cm, $BC = 3$ cm, $\widehat{BCD} = 70^\circ$, $\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = 110^\circ$ — et rien n'a été mesuré sur le dessin.

1. Définition, vocabulaire et codage

Définition. Un parallélogramme est un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Sur $ABCD$ : $AB \parallel DC$ et $AD \parallel BC$. C'est la définition retenue par le programme, et c'est la seule chose qu'on a le droit de supposer connue au départ. Tout le reste se déduit.

Le codage. Sur une figure, on marque le parallélisme par des chevrons identiques (une simple flèche pour un couple de côtés, une double pour l'autre), l'égalité des longueurs par des traits identiques, et l'angle droit par un petit carré. Savoir lire ce codage fait partie des automatismes attendus : c'est lui qui te dit si tu as affaire à un parallélogramme quelconque, à un rectangle ou à un losange.

Le point $I$. Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se croisent en un point $I$. Ce point est le centre de symétrie du parallélogramme : le demi-tour de centre $I$ échange $A$ et $C$, et échange $B$ et $D$. Retiens ce point, il explique tout le reste.

2. Définition, propriété, propriété caractéristique

Trois mots que le programme 2026 demande de ne plus mélanger. La différence est simple, et elle est logique, pas géométrique.

• Une définition dit ce qu'est l'objet. On la pose une fois, on ne la démontre pas.
• Une propriété fonctionne dans un seul sens : elle part de « $ABCD$ est un parallélogramme » et en déduit quelque chose. On l'utilise pour calculer.
• Une propriété caractéristique fonctionne dans les deux sens. On peut donc aussi la remonter : de la condition vers la conclusion « c'est un parallélogramme ». On l'utilise pour prouver et pour construire.

Un exemple, avec la propriété des diagonales :

Ici les deux sens sont vrais : la propriété est donc caractéristique. Mais méfie-toi, ce n'est pas automatique. « Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu » est vraie ; « si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur, alors c'est un parallélogramme » est fausse. Un énoncé et sa réciproque sont deux énoncés différents : chacun se vérifie pour lui-même.

3. Les propriétés du parallélogramme (sens direct)

On part de « $ABCD$ est un parallélogramme ». On en déduit :

• Côtés opposés de même longueur : $AB = DC$ et $AD = BC$.
• Angles opposés de même mesure : $\widehat{A} = \widehat{C}$ et $\widehat{B} = \widehat{D}$.
• Angles consécutifs supplémentaires : $\widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ$, et de même pour chaque couple de sommets voisins.
• Diagonales de même milieu : le milieu de $[AC]$ est aussi le milieu de $[BD]$ ; on l'appelle $I$.
• Centre de symétrie : $I$ est centre de symétrie de la figure.

Un point sur lequel les élèves se font avoir : les diagonales se coupent en leur milieu, mais elles n'ont pas la même longueur. Des diagonales de même longueur, c'est le cas particulier du rectangle.

4. Pourquoi c'est vrai : la démonstration

Le programme demande de dire ce qu'on admet et ce qu'on démontre. Voilà le partage, pour ce chapitre.

Ce qu'on admet (venu du chapitre sur le demi-tour) : un demi-tour conserve les longueurs et les mesures d'angles, et il transforme une droite en une droite parallèle à celle de départ.

Ce qu'on démontre : dans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu, les côtés opposés ont la même longueur et les angles opposés la même mesure.

Démonstration. $ABCD$ est un parallélogramme : $(AB) \parallel (DC)$ et $(AD) \parallel (BC)$. On appelle $I$ le milieu de $[AC]$ et on regarde le demi-tour de centre $I$.

Étape 1. Par définition du milieu, ce demi-tour transforme $A$ en $C$ et $C$ en $A$.

Étape 2. L'image de la droite $(AB)$ est une droite parallèle à $(AB)$ qui passe par l'image de $A$, c'est-à-dire par $C$. Or $(DC)$ est parallèle à $(AB)$ et passe par $C$ ; comme il n'existe qu'une seule parallèle à $(AB)$ passant par $C$, l'image de $(AB)$ est $(DC)$.

Étape 3. De la même façon, l'image de $(BC)$ est la parallèle à $(BC)$ passant par $A$, c'est-à-dire $(AD)$.

Étape 4. $B$ est le point commun de $(AB)$ et $(BC)$. Son image est donc le point commun de $(DC)$ et $(AD)$ : c'est $D$.

Conclusion. Le demi-tour de centre $I$ transforme $B$ en $D$, donc $I$ est aussi le milieu de $[BD]$ : les deux diagonales ont bien le même milieu. Et puisque ce demi-tour conserve les longueurs et les angles, il donne du même coup $AB = DC$, $AD = BC$, $\widehat{A} = \widehat{C}$ et $\widehat{B} = \widehat{D}$.

Et les angles consécutifs ? Ils viennent des angles correspondants. Prends un point $E$ sur la demi-droite $[AB)$, au-delà de $B$. Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles, coupées par la sécante $(AB)$ : les angles $\widehat{DAB}$ et $\widehat{CBE}$ sont correspondants, donc de même mesure. Or $\widehat{ABC}$ et $\widehat{CBE}$ sont adjacents et forment un angle plat : leur total vaut $180^\circ$. Donc $\widehat{DAB} + \widehat{ABC} = 180^\circ$.

5. Les propriétés caractéristiques (les deux sens)

Le programme les nomme explicitement, et les limite aux côtés opposés et aux diagonales. Pour un quadrilatère non croisé $ABCD$, les quatre énoncés suivants disent exactement la même chose :

• $AB \parallel DC$ et $AD \parallel BC$ ;
• $AB = DC$ et $AD = BC$ ;
• $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu ;
• $AB \parallel DC$ et $AB = DC$ (un seul couple de côtés opposés suffit, mais il faut les deux conditions à la fois).

Chacun de ces quatre énoncés est donc une propriété caractéristique du parallélogramme : si l'un est vrai, tous le sont, et la figure est un parallélogramme. C'est ce qui te permet aussi bien de conclure que de construire.

Deux précautions. La mention « non croisé » n'est pas décorative : le quadrilatère $ABCD$ de sommets $A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$, $C(0\,;3)$, $D(4\,;3)$ a bien $AB = DC$ et $AD = BC$, mais ses côtés se croisent — ce n'est pas un parallélogramme. Et l'égalité des angles opposés, elle, ne figure pas dans la liste : en 5e on ne s'en sert que dans le sens direct, pour calculer.

6. Les parallélogrammes particuliers

Trois figures connues sont des parallélogrammes avec une condition en plus. Le programme demande de savoir les définir et de connaître leurs propriétés caractéristiques.

Le rectangle : un parallélogramme qui a un angle droit. Il en a alors quatre, et ses diagonales ont la même longueur.

Le losange : un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. Ses quatre côtés sont alors égaux, et ses diagonales sont perpendiculaires.

Le carré : un parallélogramme qui est à la fois rectangle et losange. Quatre angles droits, quatre côtés égaux, diagonales de même longueur et perpendiculaires.

Voilà les propriétés caractéristiques à connaître. Lis bien la première colonne : le point de départ n'est pas le même à gauche et à droite du tableau.

Le piège. « Diagonales perpendiculaires » tout court ne donne pas un losange : il faut d'abord savoir que la figure est un parallélogramme (ou ajouter que les diagonales ont le même milieu). Un cerf-volant a lui aussi des diagonales perpendiculaires, et ce n'est pas un losange.

7. Construire un parallélogramme

Construire, c'est choisir la propriété caractéristique qui colle aux données. Trois situations couvrent presque tous les énoncés.

Situation A — on connaît trois sommets $A$, $B$, $C$. On utilise les diagonales. On trace la diagonale $[AC]$ (attention : $[AC]$, pas un côté), on place son milieu $I$, puis on place $D$ de l'autre côté de $I$ sur la droite $(BI)$, à la même distance : $ID = BI$. Les diagonales ont alors le même milieu, donc $ABCD$ est un parallélogramme.

Situation B — on connaît deux côtés consécutifs, au compas. Par exemple $AB = 6$ cm, $BC = 4$ cm, et on veut $ABCD$. On trace $[AB]$ et $[BC]$. Puis on utilise la propriété caractéristique des côtés : $D$ doit vérifier $DC = AB = 6$ cm et $AD = BC = 4$ cm. On pique donc le compas en $C$ avec un écartement de $6$ cm, puis en $A$ avec un écartement de $4$ cm : $D$ est le point d'intersection des deux arcs, du bon côté.

Situation C — à la règle et à l'équerre. On revient à la définition : par $C$, on trace la parallèle à $(AB)$ ; par $A$, la parallèle à $(BC)$. Leur point commun est $D$.

Construire le milieu au compas. Pour la situation A, on ne repère pas le milieu à l'œil. On pique en $A$, on ouvre le compas de plus de la moitié de $AC$, on trace un arc au-dessus et un en dessous ; sans changer l'écartement, on recommence depuis $C$. La droite qui joint les deux points d'intersection coupe $[AC]$ exactement en son milieu.

8. L'aire d'un parallélogramme

Elle appartient au même chapitre que les propriétés — c'est le programme d'Espace et géométrie qui les réunit.

Formule. $\text{Aire} = b \times h$, où $b$ est une base (un côté choisi) et $h$ la hauteur associée : la distance perpendiculaire entre cette base et le côté opposé.

Pourquoi. On découpe le triangle qui dépasse à gauche et on le glisse à droite : le parallélogramme devient un rectangle de même base $b$ et de même hauteur $h$, sans rien perdre ni rien ajouter. Or l'aire d'un rectangle vaut $b \times h$.

L'erreur à ne pas faire : multiplier les deux côtés. Un parallélogramme de côtés $6$ cm et $5$ cm n'a pas une aire de $30$ cm² : sa hauteur est plus petite que $5$ cm dès qu'il est penché.

Figures complexes. On découpe la figure en morceaux dont on sait calculer l'aire (rectangles, parallélogrammes, triangles), on calcule chaque morceau, puis on additionne — ou on soustrait, si un morceau est enlevé.

Sur cette figure : le rectangle vaut $6 \times 4 = 24$ cm², le parallélogramme du dessus vaut $6 \times 2 = 12$ cm². Aire totale : $24 + 12 = 36$ cm².

Les unités d'aire. Quand on passe d'une unité de longueur à la suivante, l'unité d'aire est multipliée par $100$, pas par $10$ :

Le réflexe : avant de multiplier, on convertit tout dans la même unité de longueur. Un parallélogramme de base $1{,}2$ m et de hauteur $80$ cm : on écrit $1{,}2$ m $= 120$ cm, puis $120 \times 80 = 9\,600$ cm², soit $0{,}96$ m².

On calcule les longueurs et les angles ensemble

On se donne : un parallélogramme $EFGH$ avec $EF = 7$ cm, $FG = 4$ cm et $\widehat{FEH} = 65^\circ$. On veut les quatre côtés et les quatre angles.

Étape 1 — repérer les côtés opposés. Dans $EFGH$, $[EF]$ fait face à $[GH]$, et $[FG]$ fait face à $[HE]$. C'est le sens de lecture des sommets qui le dit, pas le dessin.

Je sais que $EFGH$ est un parallélogramme, or dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur, donc $GH = EF = 7$ cm et $HE = FG = 4$ cm.

Étape 2 — l'angle opposé. L'angle $\widehat{FEH}$ est au sommet $E$ ; le sommet opposé est $G$. Les angles opposés ont la même mesure, donc $\widehat{FGH} = \widehat{FEH} = 65^\circ$.

Étape 3 — les angles voisins. $\widehat{FEH}$ et $\widehat{EFG}$ sont consécutifs, donc supplémentaires : $\widehat{EFG} = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$. Puis, par angles opposés, $\widehat{GHE} = \widehat{EFG} = 115^\circ$.

On vérifie. $65 + 115 + 65 + 115 = 360$ : les quatre angles d'un quadrilatère totalisent bien $360^\circ$.

Conclusion : $GH = 7$ cm, $HE = 4$ cm, $\widehat{FGH} = 65^\circ$, $\widehat{EFG} = \widehat{GHE} = 115^\circ$.

Point de vigilance : chaque ligne commence par la propriété, puis donne le résultat. « $GH = 7$ » tout seul ne rapporte pas les points de justification.

On démontre que c'est un parallélogramme ensemble

On se donne : un quadrilatère $ABCD$ dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en $I$, avec $AI = IC = 3{,}5$ cm et $BI = ID = 2{,}8$ cm. On veut démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme, puis donner $AC$ et $BD$.

Attention au sens. Ici on ne sait pas que $ABCD$ est un parallélogramme : c'est ce qu'on doit prouver. Interdiction, donc, d'utiliser les propriétés du parallélogramme. On part dans l'autre sens, avec une propriété caractéristique.

Étape 1. Le point $I$ appartient à $[AC]$ et $AI = IC$ : $I$ est donc le milieu de $[AC]$.

Étape 2. De la même façon, $I$ appartient à $[BD]$ et $BI = ID$ : $I$ est le milieu de $[BD]$.

Étape 3. Les deux diagonales de $ABCD$ ont donc le même milieu $I$. Or, si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Conclusion : $ABCD$ est un parallélogramme.

Étape 4 — et seulement maintenant. Une fois la nature établie, on a le droit de s'en servir. $I$ étant le milieu de chaque diagonale : $AC = 2 \times 3{,}5 = 7$ cm et $BD = 2 \times 2{,}8 = 5{,}6$ cm.

Point de vigilance : l'ordre compte. Tant que la conclusion « c'est un parallélogramme » n'est pas écrite, ses propriétés ne sont pas utilisables. Beaucoup de copies font l'inverse et perdent tout le raisonnement.

On donne la nature exacte du quadrilatère ensemble

On se donne : un parallélogramme $MNPQ$ dont les diagonales $[MP]$ et $[NQ]$ se coupent en $O$. Sur la figure, les deux diagonales portent la même marque : $MP = NQ$. Quelle est la nature exacte de $MNPQ$ ?

Étape 1 — lire le codage. Deux marques identiques sur $[MP]$ et sur $[NQ]$ signifient que ces deux longueurs sont égales : les diagonales ont la même longueur. C'est une information en plus : elle est fausse dans un parallélogramme quelconque.

Étape 2 — choisir la bonne propriété caractéristique. $MNPQ$ est déjà un parallélogramme. Or un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.

Conclusion : $MNPQ$ est un rectangle.

Étape 3 — jusqu'où aller ? Peut-on dire « carré » ? Non. Pour un carré, il faudrait en plus que les diagonales soient perpendiculaires, ou que deux côtés consécutifs soient égaux. Rien ne le dit ici. « Nature exacte » veut dire : la figure la plus précise qu'on peut justifier, pas la plus jolie qu'on devine sur le dessin.

Point de vigilance : l'hypothèse « $MNPQ$ est un parallélogramme » est indispensable. Un quadrilatère quelconque dont les diagonales ont la même longueur n'est pas un rectangle — il faudrait ajouter qu'elles ont aussi le même milieu.

Le modèle de rédaction en trois lignes

Toute justification de géométrie tient dans le même moule. Trois lignes, toujours les mêmes mots :

• Je sais que… — l'hypothèse, recopiée de l'énoncé ou du codage de la figure.
• Or… — la propriété du cours, énoncée en entier, telle qu'elle est écrite.
• Donc… — la conclusion, et elle seule.

Exemple : « Je sais que $ABCD$ est un parallélogramme. Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Donc $DC = AB = 5$ cm. »

Admis ou démontré ? En 5e, on admet les propriétés du demi-tour et celles des angles entre parallèles. Tout le reste du chapitre — côtés opposés égaux, angles opposés égaux, diagonales de même milieu — se démontre à partir de la définition, comme on l'a fait dans le cours. Quand un énoncé dit « démontre », il attend cette chaîne-là, pas une mesure sur le dessin.

Le piège n°1 : le sens de la propriété

C'est l'erreur qui coûte le plus cher, et elle ne se voit pas au brouillon. Avant d'écrire quoi que ce soit, demande-toi : qu'est-ce que je sais, et qu'est-ce que je cherche ?

Et deux énoncés qui se ressemblent mais ne disent pas la même chose :

• « Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu » : vrai, sens direct.
• « Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme » : vrai aussi, c'est la réciproque. La propriété est caractéristique.
• « Si les diagonales d'un quadrilatère ont la même longueur, alors c'est un parallélogramme » : faux. Contre-exemple : un trapèze isocèle (non rectangle) a deux diagonales de même longueur, et pourtant ce n'est pas un parallélogramme.

Problème type 1 — démontrer, rédaction complète

Énoncé. $ABCD$ est un parallélogramme. $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ est le milieu de $[DC]$. Démontre que $AMND$ est un parallélogramme.

Le repérage préalable. Dans le quadrilatère $AMND$, les côtés opposés sont $[AM]$ et $[ND]$ d'une part, $[MN]$ et $[DA]$ d'autre part. On va travailler sur le premier couple : $[AM]$ est porté par $(AB)$, $[ND]$ par $(DC)$.

Rédaction attendue.

« Je sais que $ABCD$ est un parallélogramme. Or, par définition, les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles. Donc $(AB) \parallel (DC)$, et par conséquent $(AM) \parallel (ND)$, puisque $M$ est sur $(AB)$ et $N$ sur $(DC)$.

Je sais aussi que dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur, donc $AB = DC$.

Or $M$ est le milieu de $[AB]$, donc $AM = \dfrac{AB}{2}$ ; et $N$ est le milieu de $[DC]$, donc $ND = \dfrac{DC}{2}$. Comme $AB = DC$, on en déduit $AM = ND$.

Le quadrilatère $AMND$ a donc deux côtés opposés, $[AM]$ et $[ND]$, à la fois parallèles et de même longueur. Or, si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés à la fois parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme. Donc $AMND$ est un parallélogramme. »

Ce que le correcteur attend : les deux conditions établies séparément (le parallélisme, puis l'égalité des longueurs), et la propriété caractéristique citée en entier avant la conclusion. Écrire « les côtés sont parallèles donc c'est un parallélogramme » ne suffit pas : un trapèze aussi a deux côtés parallèles.

Problème type 2 — construire et justifier

Énoncé. Construis un parallélogramme $ABCD$ tel que $AB = 6$ cm, $AD = 4$ cm et $AC = 8$ cm, où $[AC]$ est une diagonale. Justifie que la figure obtenue est bien un parallélogramme.

a) Le programme de construction.

1. Je trace le segment $[AC]$ de $8$ cm — c'est la diagonale, pas un côté.

2. Dans le parallélogramme $ABCD$, on aura $BC = AD = 4$ cm. Je trace donc l'arc de cercle de centre $A$ et de rayon $6$ cm, puis l'arc de centre $C$ et de rayon $4$ cm : leur point d'intersection est $B$.

3. Je place ensuite $I$, le milieu de $[AC]$, au compas.

4. $D$ est le point de la droite $(BI)$ situé de l'autre côté de $I$, avec $ID = BI$.

5. Je trace $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$.

b) La justification. « Par construction, $I$ est le milieu de $[AC]$, et $D$ a été placé de façon que $I$ soit aussi le milieu de $[BD]$. Les diagonales de $ABCD$ ont donc le même milieu. Or, si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme. Donc $ABCD$ est un parallélogramme. »

c) Le contrôle final. Je vérifie à la règle : $DC$ doit mesurer $6$ cm et $AD$ doit mesurer $4$ cm. Si ce n'est pas le cas, c'est le tracé qui a dérivé, pas la méthode.

Ce que le correcteur attend : que la propriété caractéristique utilisée soit nommée. Une belle figure sans phrase de justification est notée comme une figure, pas comme une démonstration.

Problème type 3 — aire d'une figure complexe

Énoncé. Un fanion a la forme de la figure du cours : un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm surmonté d'un parallélogramme de base $6$ cm et de hauteur $2$ cm.
a) Calcule son aire en cm².
b) Donne cette aire en mm².
c) Un atelier fabrique $25$ fanions identiques. Quelle surface de tissu, en m², faut-il prévoir ?

a) Je découpe la figure en deux morceaux dont je connais l'aire.

Rectangle : $\text{Aire} = 6 \times 4 = 24$ cm².

Parallélogramme : $\text{Aire} = b \times h = 6 \times 2 = 12$ cm². La hauteur est bien $2$ cm, mesurée perpendiculairement à la base — pas la longueur du côté penché.

Les deux morceaux ne se chevauchent pas, donc on additionne : $24 + 12 = 36$.

Aire du fanion : $36$ cm².

b) $1$ cm² $= 100$ mm², donc $36$ cm² $= 36 \times 100 = 3\,600$ mm².

c) $25 \times 36 = 900$ cm². Comme $1$ m² $= 10\,000$ cm², on divise : $900 \div 10\,000 = 0{,}09$.

Il faut prévoir $0{,}09$ m² de tissu.

Point de vigilance : le facteur entre deux unités d'aire voisines est $100$, jamais $10$. Écrire $36$ cm² $= 360$ mm² est l'erreur classique du chapitre.

Les pièges qui coûtent des points

• Utiliser une propriété avant d'avoir prouvé la nature. Tant que tu n'as pas conclu « c'est un parallélogramme », tu n'as pas le droit à ses propriétés.
• Confondre côtés et diagonales. Dans $ABCD$, $[AC]$ et $[BD]$ sont les diagonales. Pour construire le quatrième sommet, c'est le milieu de la diagonale $[AC]$ qu'il faut, jamais celui d'un côté.
• Croire que les diagonales sont égales. Elles ont le même milieu, c'est tout. Même longueur : c'est le rectangle.
• Croire que les angles consécutifs sont égaux. Ils totalisent $180^\circ$ ; ils ne sont égaux que s'ils valent $90^\circ$ chacun, c'est-à-dire dans un rectangle.
• Multiplier les deux côtés pour l'aire. C'est base × hauteur, et la hauteur est perpendiculaire à la base.
• Oublier « non croisé ». Dans les propriétés caractéristiques qui portent sur les côtés, la mention fait partie de l'énoncé.
• Conclure d'après le dessin. Un dessin qui a l'air d'un losange ne prouve rien. Seul le codage et l'énoncé comptent.

Le parallélogramme dans un repère (cette année aussi)

Le chapitre Repérage dans le plan, au programme de 5e lui aussi, permet de retrouver le quatrième sommet sans compas — juste avec des calculs de milieux.

Exemple. On place $A(1\,;1)$, $B(5\,;2)$ et $C(6\,;5)$. Quelles sont les coordonnées de $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme ?

On utilise la propriété caractéristique des diagonales : $[AC]$ et $[BD]$ doivent avoir le même milieu.

Milieu de $[AC]$ : son abscisse est $\dfrac{1+6}{2} = 3{,}5$ et son ordonnée $\dfrac{1+5}{2} = 3$. Le milieu est donc $I(3{,}5\,;3)$.

$I$ doit aussi être le milieu de $[BD]$. Si $D$ a pour abscisse $x$, alors $\dfrac{5+x}{2} = 3{,}5$, donc $5 + x = 7$, donc $x = 2$. De même pour l'ordonnée $y$ : $\dfrac{2+y}{2} = 3$, donc $2 + y = 6$, donc $y = 4$.

Conclusion : $D(2\,;4)$. On vérifie : pour aller de $A$ à $B$ on avance de $4$ et on monte de $1$ ; pour aller de $D$ à $C$, on avance de $6 - 2 = 4$ et on monte de $5 - 4 = 1$. Le même déplacement : c'est bien un parallélogramme.

Plus tard : translations et vecteurs

Cette vérification « le même déplacement » n'est pas une astuce : c'est la définition qui t'attend en 4e. On dira qu'on passe de $A$ à $B$ par une translation, et que la même translation fait passer de $D$ à $C$.

Au lycée, ce déplacement reçoit un nom et une notation : un vecteur. Dire « $ABCD$ est un parallélogramme » deviendra une seule égalité entre deux déplacements. La figure ne change pas, c'est le langage qui devient plus court — et c'est comme ça que la géométrie et le calcul finissent par se rejoindre.

Ce que devient la démonstration

Ce chapitre est celui où l'on apprend à distinguer une définition, une propriété et une propriété caractéristique. Ça a l'air d'un détail de vocabulaire ; c'est en réalité l'entrée dans le raisonnement mathématique.

En 4e, les démonstrations s'allongent : on enchaînera plusieurs propriétés à la suite, et le parallélogramme servira souvent de maillon intermédiaire — on démontre d'abord qu'une figure en est un, puis on utilise ses propriétés pour conclure autre chose. Exactement le mouvement en deux temps du problème type 1.

Un dernier mot sur les figures. Un dessin sert à voir ce qu'il faut prouver, jamais à le prouver. Le jour où une figure te semble évidente et que tu n'arrives pas à écrire pourquoi, c'est qu'il te manque une propriété du cours — pas de la vue.