Parallélogramme : propriétés et construction

Un quadrilatère aux côtés deux à deux parallèles — cinq propriétés fondamentales et une méthode de construction au compas.

1 L'idée

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Les sommets sont notés dans l'ordre : $ABCD$, avec $AB \parallel DC$ et $AD \parallel BC$.

Le point d'intersection des diagonales est un centre de symétrie du parallélogramme : chaque sommet est le symétrique du sommet opposé par rapport à ce point.

Le rectangle, le losange et le carré sont des cas particuliers du parallélogramme.

2 Les cinq propriétés

Côtés opposés parallèles

$AB \parallel DC \quad \text{et} \quad AD \parallel BC$

Côtés opposés égaux

$AB = DC \quad \text{et} \quad AD = BC$

Angles opposés égaux

$\widehat{A} = \widehat{C} \quad \text{et} \quad \widehat{B} = \widehat{D}$

Angles consécutifs

$\widehat{A} + \widehat{B} = 180°$

Diagonales en leur milieu

$\text{Les diagonales } [AC] \text{ et } [BD] \text{ ont le même milieu.}$

3 Exemples

Exemple A — Calculer des longueurs et des angles

$ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 5$ cm, $AD = 3$ cm et $\widehat{DAB} = 70°$.

Côtés opposés égaux : $DC = AB = 5$ cm et $BC = AD = 3$ cm.

Angles opposés égaux : $\widehat{BCD} = \widehat{DAB} = 70°$.

Angles consécutifs supplémentaires : $\widehat{ABC} = 180° - 70° = 110°$.

Exemple B — Trouver le quatrième sommet

On connaît $A$, $B$, $C$ ; on cherche $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu $I$.

On construit $I$, milieu de $[AC]$, puis $D$, symétrique de $B$ par rapport à $I$.

Méthode — Construire un parallélogramme connaissant trois sommets

Tracer les trois sommets connus $A$, $B$, $C$ et le segment $[AC]$ (une diagonale).
Construire le milieu $I$ de $[AC]$ au compas (arcs de cercle de même rayon de part et d'autre).
Reporter la distance $BI$ de l'autre côté de $I$ : $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $I$, donc $BI = DI$.
Vérifier en mesurant : $AB = DC$ et $AD = BC$.

Erreurs fréquentes

Confondre côtés et diagonales : dans $ABCD$, $[AC]$ et $[BD]$ sont les diagonales, pas des côtés.
Croire que les diagonales sont égales en longueur : c'est vrai uniquement pour le rectangle, pas pour tout parallélogramme.
Penser que les angles consécutifs sont égaux : $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ valent ensemble $180°$, mais chacun n'est pas forcément $90°$.
Prendre le milieu de $[BC]$ pour construire le 4e sommet : le milieu doit être celui de la diagonale $[AC]$, pas d'un côté.