Prisme droit, cylindre et cube : patrons et perspectives

Prérequis indispensables

Polygones de base : un carré, un rectangle, un triangle... Ce sont les formes qui serviront de « bases » au prisme. Le cube est le solide dont les six faces sont des carrés identiques. Le cylindre, lui, a des disques comme bases.

Aires à connaître :

• Aire du rectangle = Longueur × largeur = $L \times \ell$
• Aire du triangle rectangle = (côté1 × côté2) ÷ 2 = $\dfrac{a \times b}{2}$
• Aire du carré de côté $c$ = $c \times c$

Périmètre du disque (vu en 6e) : $2\pi r$, le tour du disque — important pour déplier le cylindre.

La formule NOUVELLE de l’année — l’aire du disque : $A = \pi \times r \times r = \pi r^2$. En 6e tu n’avais que le tour du disque ; son aire, c’est cette année. D’où elle sort : découpe le disque en fines parts de pizza et range-les tête-bêche, tu obtiens un presque-rectangle de hauteur $r$ et de longueur $\pi r$ (la moitié du tour), donc d’aire $\pi r \times r = \pi r^2$.

Volume : pour tous ces solides droits, la formule magique est Aire de la base × Hauteur. Garde-la en tête !

L'essentiel sur le cube, le prisme droit et le cylindre

Un cube, c'est un dé à jouer : $6$ faces carrées identiques, $12$ arêtes de même longueur $a$, $8$ sommets. C'est un cas particulier de pavé droit, donc de prisme droit — sa base est un carré.

Un prisme droit, c'est comme une pile de plusieurs feuilles identiques : deux bases parallèles superposables (des polygones) et des faces rectangles qui les relient. La hauteur est la distance entre les bases.

Un cylindre de révolution, c'est une boîte de conserve : deux bases en disque et une surface latérale qui, dépliée, donne un rectangle. Sa largeur est le périmètre du disque ($2\pi r$) et sa hauteur est celle du cylindre.

Pour le patron, imagine que tu ouvres la boîte et que tu mets tout à plat : les bases se détachent et la surface latérale devient un rectangle.

Volume : la formule universelle

Volume du cube d'arête $a$ = $a \times a \times a$.

Volume du prisme droit = Aire de la base × Hauteur = $A_b \times h$.

Volume du cylindre = Aire du disque × Hauteur = $\pi r^2 \times h$.

L'aire de la base dépend de la forme de la base. Pour le prisme, cela peut être un triangle, un rectangle... Pour le cylindre, c'est un disque.

Caractéristiques des solides

Cube :

• 6 faces carrées identiques de côté $a$, 12 arêtes, 8 sommets.
• Patron : 6 carrés identiques ; il en existe onze différents, le plus connu a la forme d'une croix.
• Volume $a \times a \times a$, aire totale $6a^2$.

Prisme droit :

• 2 bases = polygones identiques et parallèles.
• Faces latérales = toujours des rectangles.
• Nombre de faces latérales = nombre de côtés de la base.
• Hauteur = distance entre les bases (perpendiculaire).

Cylindre de révolution :

• 2 bases = disques de rayon $r$.
• 1 surface latérale courbe qui, dépliée, forme un rectangle.
• Hauteur $h$ du cylindre = distance entre les bases.

Pour les deux : Volume = Aire de la base × Hauteur.

Méthode : construire un patron

Prisme (ex : base triangulaire) :

1. Dessine les 2 bases (triangles) à des endroits stratégiques.
2. Accroche à chaque côté d'une base un rectangle dont une dimension est la hauteur du prisme.
3. Organise l'assemblage pour que le pliage reconstitue le solide.

Cube : six carrés identiques accrochés les uns aux autres de façon que le pliage referme la boîte — la croix ci-dessous est le patron le plus courant.

Cylindre :

1. Trace un rectangle de largeur $2\pi r$ (périmètre du disque) et de hauteur $h$.
2. Place un disque contre le bord du haut et un disque contre le bord du bas (jamais les deux du même côté : le solide aurait deux fonds et pas de couvercle).

Méthode : perspective cavalière

1. Dessine la face avant en vraie grandeur.
2. Trace les arêtes fuyantes (profondeur) à 45°, en ne traçant que la moitié de leur longueur réelle.
3. Trace la face arrière, parallèle à l'avant.
4. Arêtes cachées = pointillés.

Pour le cylindre, la base arrière est une demi-ellipse.

Rappel éclair des formules

Aire du disque : $A = \pi r^2$ (attention, le tour du disque, lui, vaut $2\pi r$).

Volume = Aire de la base × Hauteur.

Pour le cube d'arête $a$ : $V = a \times a \times a$.

Pour le prisme : $V = A_b \times h$, avec $A_b$ dépendant du polygone de base.

Pour le cylindre : $V = \pi r^2 \times h$.

Valeurs approchées : prends $\pi \approx 3{,}14$.

Récapitulatif des formules utiles

Aire du disque : $A = \pi r^2$ — à ne pas confondre avec son périmètre $2\pi r$.

Volume cube : $V = a \times a \times a$ ; aire totale $6a^2$.

Volume prisme : $V = A_b \times h$

Volume cylindre : $V = \pi r^2 \times h$

Aire latérale prisme : $A_{lat} = P_b \times h$, où $P_b$ est le périmètre de la base.

Aire latérale cylindre : $A_{lat} = 2\pi r h$

Aire totale patron : Somme des aires de toutes les faces (bases + latérales).

Conversions : 1 cm³ = 1 mL, 1 L = 1 000 cm³

Au-delà du programme de 5e

En 4e, tu rencontreras des prismes dont les bases sont des parallélogrammes, des trapèzes, voire des polygones réguliers. Le calcul du volume reste $A_b \times h$, mais l'aire de la base demande parfois de décomposer la figure ou d'utiliser des formules avec racines carrées (ex : hauteur d'un triangle équilatéral).

Tu verras aussi des solides emboîtés, des comparaisons de volumes avec des expressions littérales, et des solides posés les uns sur les autres dont il faut additionner les volumes.

Côté culture, le cube est l'un des cinq solides de Platon (tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre). Sur n'importe quel solide à faces planes sans trou, la formule d'Euler $S - A + F = 2$ est vérifiée : pour le cube, $8 - 12 + 6 = 2$ ; pour un prisme droit à base triangulaire, $6 - 9 + 5 = 2$.