Tu n'as jamais mis les pieds dans ce chapitre et le contrôle approche ? Pas de panique, on va à l'essentiel. Pour comprendre les prismes droits et les cylindres, tu as juste besoin de savoir ce qu'est un polygone (un triangle, un rectangle...) et comment on calcule l'aire d'un rectangle, d'un triangle rectangle et d'un disque. On va te montrer le minimum vital pour devenir fonctionnel en un temps record !
Polygones de base : un carré, un rectangle, un triangle... Ce sont les formes qui serviront de « bases » au prisme. Le cylindre, lui, a des disques comme bases.
Aires à connaître :
Périmètre du cercle : $2\pi r$ (important pour déplier le cylindre).
Volume : pour tous ces solides droits, la formule magique est Aire de la base × Hauteur. Garde-la en tête !
Un prisme droit, c'est comme une pile de plusieurs feuilles identiques : deux bases parallèles superposables (des polygones) et des faces rectangles qui les relient. La hauteur est la distance entre les bases.
Un cylindre de révolution, c'est une boîte de conserve : deux bases en disque et une surface latérale qui, dépliée, donne un rectangle. Sa largeur est le périmètre du disque ($2\pi r$) et sa hauteur est celle du cylindre.
Pour le patron, imagine que tu ouvres la boîte et que tu mets tout à plat : les bases se détachent et la surface latérale devient un rectangle.
Volume du prisme droit = Aire de la base × Hauteur = $A_b \times h$.
Volume du cylindre = Aire du disque × Hauteur = $\pi r^2 \times h$.
L'aire de la base dépend de la forme de la base. Pour le prisme, cela peut être un triangle, un rectangle... Pour le cylindre, c'est un disque.
Complète la phrase suivante :
Un prisme droit dont la base est un triangle rectangle a pour base un . Son volume se calcule avec la formule $V = \times h$.
On déplie un cylindre pour faire son patron. Complète :
Il est composé de deux et d'un .
La largeur de ce rectangle est égale au de la base, soit $$.
Sa hauteur est celle du .
Un prisme droit a pour base un rectangle de dimensions 5 cm et 3 cm. Sa hauteur est 8 cm. On souhaite calculer son volume.
Complète :
Aire de la base $A_b = 5 \times 3 = $ cm².
Volume $V = A_b \times h = \times 8 = $ cm³.
Ah, les prismes et les cylindres... Tu sens que ça te revient ? Voyons comment structurer tout ça avec la méthode complète pour les patrons, les perspectives et les calculs. On va faire remonter les souvenirs et les appliquer pas-à-pas. Accroche-toi, on monte d'un cran !
Prisme droit :
Cylindre de révolution :
Pour les deux : Volume = Aire de la base × Hauteur.
Prisme (ex : base triangulaire) :
Cylindre :
Pour le cylindre, la base arrière est une demi-ellipse.
Un prisme droit a pour base un losange de côté 4 cm. Sa hauteur est 9 cm. Complète la description.
Il a faces au total : bases losanges et faces latérales. Chaque face latérale est un de dimensions $ \times $ cm.
Décris le patron d'un cylindre de rayon $r = 6$ cm et de hauteur $h = 14$ cm. Complète.
Surface latérale : rectangle de largeur $2\pi r = 2\pi \times 6 = \pi$ cm (valeur exacte) et de hauteur $$ cm.
+ deux disques de rayon $$ cm.
En perspective cavalière, les arêtes fuyantes sont tracées avec un angle de 45° et leur longueur est .
Les arêtes sont représentées en pointillés.
On répète le même geste cinq fois. Calculs de volumes de prismes et de cylindres en série. Simple, mécanique, imparable pour ancrer la formule. Lance-toi, c'est du gâteau !
Volume = Aire de la base × Hauteur
Pour le prisme : $V = A_b \times h$, avec $A_b$ dépendant du polygone de base.
Pour le cylindre : $V = \pi r^2 \times h$.
Calcule le volume d'un prisme droit dont la base est un rectangle de longueur 7 cm et largeur 4 cm, et de hauteur 10 cm. (Aide : $A_b = L \times \ell$)
Aire de la base = cm²
Volume = × 10 = cm³
Calcule le volume d'un prisme droit dont la base est un carré de côté 6 cm, et de hauteur 12 cm. (Aide : $A_b = c \times c$)
Aire de la base = cm²
Volume = × 12 = cm³
Calcule le volume d'un prisme droit dont la base est un triangle rectangle de côtés 8 cm et 6 cm, et de hauteur 15 cm. (Aide : $A_b = \dfrac{a \times b}{2}$)
Aire de la base = $\dfrac{8 \times 6}{2} = $ cm²
Volume = × 15 = cm³
Calcule le volume d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 9 cm. (Aide : $V = \pi r^2 h$, prends $\pi \approx 3{,}14$)
Aire de la base = $\pi \times 3^2 = \pi \approx $ cm²
Volume = $\pi \times 9 \approx $ cm³
Calcule le volume d'un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 8 cm. (Prends $\pi \approx 3{,}14$)
Aire de la base = $\pi \times 5^2 = \pi \approx $ cm²
Volume = $\pi \times 8 \approx $ cm³
Ça y est, tu maîtrises la base. Maintenant, on s'attaque à des exercices type contrôle : calculs d'aires totales, conversions, problèmes concrets et comparaisons. On ne te tient plus la main, mais tu es prêt(e). Fonce !
Volume prisme : $V = A_b \times h$
Volume cylindre : $V = \pi r^2 \times h$
Aire latérale prisme : $A_{lat} = P_b \times h$, où $P_b$ est le périmètre de la base.
Aire latérale cylindre : $A_{lat} = 2\pi r h$
Aire totale patron : Somme des aires de toutes les faces (bases + latérales).
Conversions : 1 cm³ = 1 mL, 1 L = 1 000 cm³
Un prisme et son patron
Un prisme droit a pour bases des triangles rectangles de côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm (hypoténuse). Sa hauteur mesure 12 cm.
a) Combien ce prisme a-t-il de faces, de sommets et d'arêtes ?
b) Donne les dimensions de chaque face latérale.
c) Calcule l'aire totale du patron de ce prisme (aire des 2 bases + aire latérale).
Aquarium
Un aquarium en forme de prisme droit a pour base un rectangle de 80 cm par 35 cm. Sa hauteur est 45 cm.
a) Calcule le volume de l'aquarium en cm³.
b) Convertis ce volume en litres.
c) On le remplit aux 4/5. Quel volume d'eau contient-il en litres ?
Patron de cylindre
Un cylindre a pour rayon 5 cm et hauteur 14 cm.
a) Calcule le périmètre d'une base. Donne la valeur exacte puis approchée (prends $\pi \approx 3{,}14$).
b) Quelles sont les dimensions du rectangle de la surface latérale ?
c) Calcule l'aire totale du patron (valeur approchée).
Boîte de conserve
Une boîte cylindrique a un rayon de 4,5 cm et une hauteur de 10 cm.
a) Calcule son volume (arrondi au cm³, $\pi \approx 3{,}14$).
b) Exprime ce volume en mL. La boîte contient de la sauce tomate aux 7/8. Calcule le volume de sauce.
Comparaison de bougies
Un artisan fabrique des bougies avec deux moules cylindriques.
Moule A : rayon 3 cm, hauteur 18 cm.
Moule B : rayon 5 cm, hauteur 7 cm.
a) Calcule le volume de cire nécessaire pour chaque moule.
b) Quel moule donne la bougie la plus volumineuse ?
c) On range chaque bougie debout dans une boîte rectangulaire qui l'ajuste exactement. Quelles sont les dimensions minimales (longueur, largeur, hauteur) de chaque boîte ?
Tu veux voir plus loin ? On va combiner les solides, fabriquer des prismes à base de polygones complexes et même effleurer le calcul exact avec racines carrées. Un avant-goût de la quatrième, pour briller dès la rentrée !
En 4e, tu rencontreras des prismes dont les bases sont des parallélogrammes, des trapèzes, voire des polygones réguliers. Le calcul du volume reste $A_b \times h$, mais l'aire de la base demande parfois de décomposer la figure ou d'utiliser des formules avec racines carrées (ex : hauteur d'un triangle équilatéral).
Tu verras aussi des solides emboîtés, des comparaisons de volumes avec des expressions littérales, et la démonstration de l'effet de l'échelle sur le volume.
Prisme à base de triangle équilatéral
Un prisme droit a une base en triangle équilatéral de côté $c = 6$ cm. On admet que l'aire d'un triangle équilatéral de côté $c$ est $\dfrac{\sqrt{3}}{4} c^2$. La hauteur du prisme est 12 cm.
a) Calcule la valeur exacte du volume, puis une valeur approchée ($\sqrt{3} \approx 1{,}732$).
b) Quel serait le volume si on doublait la hauteur ? et si on doublait le côté de la base ?
Solide composé
Un objet est formé d'un prisme droit à base rectangulaire (8 cm sur 5 cm, hauteur 10 cm) surmonté d'un cylindre de révolution (rayon 2 cm, hauteur 6 cm) posé au centre de la face supérieure. Calcule le volume total de l'objet.
Problème de conception
Tu disposes d'une feuille cartonnée rectangulaire de 30 cm sur 20 cm. Tu veux fabriquer le patron de la surface latérale d'un cylindre (sans les bases). Quel est le volume maximal du cylindre que tu peux obtenir ? (Deux choix : enrouler dans le sens de la longueur ou de la largeur). Compare les deux possibilités.
Fiche gratuite créée par Vidyalaya, association d'éducation populaire — soutien scolaire, FLE & DELF, libre et gratuit pour tous.
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