Prisme droit et cylindre — Exercices

Patrons, volumes et problèmes concrets. Corrigé complet en fin de document.

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1Éléments d'un prisme/ 3 pts

On considère un prisme droit dont les bases sont des triangles rectangles de côtés (de l'angle droit) $5$ cm et $12$ cm (hypoténuse : $13$ cm). La hauteur du prisme est $h = 8$ cm.

Combien ce prisme possède-t-il de faces, de sommets et d'arêtes ?
Donne les dimensions de chacune des trois faces latérales.
Calcule l'aire totale du patron de ce prisme.

2Volume d'un prisme droit/ 3 pts

Un aquarium a la forme d'un prisme droit à base rectangulaire. La base mesure $60$ cm de longueur et $30$ cm de largeur. La hauteur de l'aquarium est $40$ cm.

Calcule l'aire de la base.
Calcule le volume de l'aquarium en cm³.
Convertis ce volume en litres (rappel : $1$ L $= 1\,000$ cm³).

3Patron d'un cylindre/ 4 pts

Un cylindre a un rayon de base $r = 4$ cm et une hauteur $h = 10$ cm.

Calcule le périmètre d'une base. Donne la valeur exacte puis une valeur approchée.
Quelles sont les dimensions du rectangle qui forme la surface latérale déroulée ?
Calcule l'aire totale du patron (surface latérale + deux bases). Donne une valeur approchée.

4Volume d'un cylindre/ 3 pts

Une boîte de conserve cylindrique a un rayon $r = 4{,}2$ cm et une hauteur $h = 11$ cm.

Calcule le volume de cette boîte (arrondi au cm³).
Exprime ce volume en millilitres (rappel : $1$ cm³ $= 1$ mL).
La boîte est remplie aux $\dfrac{9}{10}$ de sa contenance. Quel volume de produit contient-elle ?

5Problème — choix d'un moule/ 4 pts

Un artisan fabrique des bougies cylindriques avec deux moules :

Moule A : rayon $3$ cm, hauteur $15$ cm.
Moule B : rayon $5$ cm, hauteur $6$ cm.

Calcule le volume de cire nécessaire pour remplir chaque moule.
Quel moule produit la bougie la plus volumineuse ?
L'artisan veut glisser chaque bougie dans une boîte rectangulaire à base carrée qui l'ajuste exactement. Quelles sont les dimensions minimales de chaque boîte ?

Corrigé détaillé

1Éléments d'un prisme

a) $\text{Prisme triangulaire : } 2 \text{ bases triangulaires} + 3 \text{ faces latérales rectangulaires} = 5 \text{ faces}$ $5 \text{ faces} \quad 6 \text{ sommets} \quad 9 \text{ arêtes}$

b) $\text{Chaque face latérale est un rectangle de largeur égale à un côté de la base et de hauteur } h = 8 \text{ cm}$ $\text{Face 1 : } 5 \times 8 \text{ cm} \quad \text{Face 2 : } 12 \times 8 \text{ cm} \quad \text{Face 3 : } 13 \times 8 \text{ cm}$

c) $A_\text{bases} = 2 \times \dfrac{5 \times 12}{2} = 60 \text{ cm}^2 \qquad A_\text{lat} = (5 + 12 + 13) \times 8 = 30 \times 8 = 240 \text{ cm}^2$ $A_\text{totale} = 60 + 240 = 300 \text{ cm}^2$

2Volume d'un prisme droit

a) $A_b = 60 \times 30 =$ $1\,800 \text{ cm}^2$

b) $V = A_b \times h = 1\,800 \times 40 =$ $72\,000 \text{ cm}^3$

c) $72\,000 \div 1\,000 =$ $72 \text{ L}$

3Patron d'un cylindre

a) $C = 2\pi r = 2 \times \pi \times 4 = 8\pi$ $8\pi \approx 25{,}1 \text{ cm}$

b) $\text{Largeur} = 2\pi r = 8\pi \approx 25{,}1 \text{ cm} \qquad \text{Hauteur} = h = 10 \text{ cm}$ $\text{Rectangle de } 8\pi \approx 25{,}1 \text{ cm par } 10 \text{ cm}$

c) $A_\text{lat} = 2\pi r h = 8\pi \times 10 = 80\pi \approx 251{,}2 \text{ cm}^2 \qquad A_\text{bases} = 2 \times \pi \times 4^2 = 32\pi \approx 100{,}5 \text{ cm}^2$ $A_\text{totale} = 80\pi + 32\pi = 112\pi \approx 351{,}7 \text{ cm}^2$

4Volume d'un cylindre

a) $V = \pi \times r^2 \times h = 3{,}14 \times 4{,}2^2 \times 11 = 3{,}14 \times 17{,}64 \times 11 = 3{,}14 \times 194{,}04 \approx$ $609 \text{ cm}^3$

b) $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL} \Rightarrow 609 \text{ cm}^3 =$ $609 \text{ mL}$

c) $\dfrac{9}{10} \times 609 = 548{,}1 \approx$ $548 \text{ mL}$

5Problème — choix d'un moule

a) $V_A = 3{,}14 \times 3^2 \times 15 = 3{,}14 \times 9 \times 15 = 3{,}14 \times 135 = 423{,}9 \text{ cm}^3 \qquad V_B = 3{,}14 \times 5^2 \times 6 = 3{,}14 \times 25 \times 6 = 3{,}14 \times 150 = 471 \text{ cm}^3$ $V_A \approx 423{,}9 \text{ cm}^3 \qquad V_B = 471 \text{ cm}^3$

b) $471 \gt 423{,}9$ $\text{Le moule B produit la bougie la plus volumineuse.}$

c) $\text{La base carrée doit contenir le disque : côté} = 2r. \quad \text{Boîte A : } 2 \times 3 = 6 \text{ cm}, \; h = 15 \text{ cm.} \quad \text{Boîte B : } 2 \times 5 = 10 \text{ cm}, \; h = 6 \text{ cm.}$ $\text{Boîte A : } 6 \times 6 \times 15 \text{ cm} \qquad \text{Boîte B : } 10 \times 10 \times 6 \text{ cm}$