Prisme droit, cylindre et cube : patrons et perspectives

Les 3 prérequis à avoir sous la main

Trois réflexes de 6e suffisent pour démarrer. Si tu les as, tu es prêt.

1. Calculer une aire simple. Rectangle : $\text{aire} = \text{longueur} \times \text{largeur}$. Carré de côté $a$ : $\text{aire} = a \times a$. Triangle rectangle : $\text{aire} = \dfrac{\text{côté} \times \text{côté}}{2}$ (les deux côtés de l’angle droit).

2. Le périmètre du disque et le nombre $\pi$. En 6e tu as vu le tour du disque : $P = 2 \times \pi \times r$, où $r$ est le rayon. Le nombre $\pi$ est fixe, environ $\pi \approx 3{,}14$. On le garde souvent tel quel dans le résultat (par exemple $10\pi$) et on n’en donne la valeur approchée qu’à la fin. L’aire du disque, elle, tu ne l’as pas encore vue : c’est la nouveauté de cette année, et on la construit au palier suivant.

3. Ne pas mélanger les unités. Une aire se mesure en cm² (une surface), un volume en cm³ (la place occupée). Ce sont deux choses différentes.

L’essentiel en une minute

Quatre solides à connaître, construits sur le même principe : deux bases identiques reliées par une surface latérale.

• Le cube : $6$ faces carrées identiques, $12$ arêtes de même longueur $a$, $8$ sommets. Un dé à jouer.
• Le pavé droit : $6$ faces rectangulaires. C’est le prisme droit dont la base est un rectangle ; une boîte à chaussures.
• Le prisme droit : deux bases qui sont des polygones identiques (triangles, rectangles…) et des faces latérales rectangulaires. Une barre de Toblerone.
• Le cylindre de révolution : deux bases qui sont des disques de rayon $r$, reliées par une surface courbe. Une boîte de conserve.

La hauteur $h$ est la distance entre les deux bases (elle leur est perpendiculaire).

Les formules de volume, celles qui rapportent :

• Cube d’arête $a$ : $V = a \times a \times a$.
• Pavé droit : $V = L \times \ell \times h$.
• Prisme droit : $V = A_b \times h$ (aire de la base $\times$ hauteur).
• Cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$.

La nouveauté de l’année : l’aire du disque

C’est la formule que tu n’avais pas encore : l’aire du disque de rayon $r$ vaut $$A = \pi \times r^2$$ Elle sert partout dans ce chapitre, à commencer par le volume du cylindre, dont la base est justement un disque. D’où elle vient ? On le voit au palier suivant — ici, retiens-la.

Exemple, $r = 5$ cm. Aire : $\pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78{,}5$ cm². À ne pas confondre avec le tour du même disque : $2\pi \times 5 = 10\pi \approx 31{,}4$ cm. Une aire en cm², un périmètre en cm.

Un exemple fait en entier

On prend un prisme droit dont la base est un triangle rectangle de côtés $3$ cm et $4$ cm, et de hauteur $h = 8$ cm. Quel est son volume ?

Étape 1 — l’aire de la base. La base est un triangle rectangle : $A_b = \dfrac{3 \times 4}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$ cm².

Étape 2 — le volume. On applique $V = A_b \times h$, donc $V = 6 \times 8 = 48$.

Résultat : le volume est de $48$ cm³. Remarque bien l’unité : des cm³ pour un volume, jamais des cm².

Et pour un cube d’arête $4$ cm ? $V = 4 \times 4 \times 4 = 64$ cm³. Son aire totale, c’est celle de ses $6$ faces carrées : $6 \times (4 \times 4) = 96$ cm². Et voilà, tu tiens déjà l’essentiel.

Quatre solides, un même vocabulaire

Prisme droit. Solide dont les deux bases sont des polygones identiques et parallèles, reliées par des faces latérales qui sont des rectangles. La hauteur $h$ est perpendiculaire aux bases. Selon la base, on parle de prisme triangulaire (base triangle), de pavé droit (base rectangle), etc.

Pavé droit et cube. Le pavé droit est le prisme droit dont la base est un rectangle : $6$ faces rectangulaires, $12$ arêtes, $8$ sommets. Le cube en est le cas particulier où les $12$ arêtes ont la même longueur $a$ : ses $6$ faces sont alors des carrés identiques. Vérification utile : appliquer $V = A_b \times h$ à un cube donne $a^2 \times a = a \times a \times a$, ce qui est bien son volume.

Cylindre de révolution. Solide dont les deux bases sont des disques identiques de rayon $r$, parallèles, reliés par une surface latérale courbe. On l’obtient en faisant tourner un rectangle autour d’un de ses côtés : d’où le mot « révolution ».

Le vocabulaire qui revient sans arrêt :

• Base : les deux faces identiques, en haut et en bas.
• Face latérale : les rectangles (prisme, pavé, cube) ou la surface courbe (cylindre) qui relient les bases.
• Arête : le segment où deux faces se rencontrent. Sommet : le point où des arêtes se rejoignent.
• Hauteur $h$ : la distance entre les deux bases.
• Rayon $r$ : pour le cylindre, le rayon des disques de base.

L’aire du disque : d’où sort $\pi r^2$

En 6e, tu as appris à mesurer le tour d’un disque : $P = 2\pi r$. Son aire, c’est nouveau cette année. Voilà comment on l’obtient, sans magie.

• 1. On découpe. Coupe le disque en parts égales, comme une pizza. Chaque part a pour « hauteur » le rayon $r$, et son bord arrondi est un morceau du tour.
• 2. On range tête-bêche. Aligne les parts en alternant : une pointe en bas, une pointe en haut, une pointe en bas… Tu obtiens une figure presque rectangulaire.
• 3. On lit ses dimensions. Sa hauteur, c’est $r$. Sa longueur : une part sur deux pose son bord arrondi en haut, l’autre moitié en bas — la longueur vaut donc la moitié du tour, soit $\dfrac{2\pi r}{2} = \pi r$.
• 4. On conclut. Plus les parts sont fines, plus la figure ressemble à un vrai rectangle. Son aire est longueur $\times$ hauteur : $$A = \pi r \times r = \pi r^2$$

Contrôle de vraisemblance. Le disque tient tout entier dans le carré de côté $2r$, dont l’aire est $4r^2$. Or $\pi r^2 \approx 3{,}14 \times r^2$, un peu moins que $4r^2$ : le compte est bon.

Exemple. $r = 6$ cm donne $A = \pi \times 6^2 = 36\pi \approx 113$ cm². Si l’énoncé te donne le diamètre $d = 12$ cm, commence par $r = d \div 2 = 6$ cm : sinon tu calcules $\pi \times 12^2 = 144\pi$, soit quatre fois trop.

Déplier le solide : le patron

Le patron d’un solide est une figure plane qui, une fois pliée le long des arêtes, reconstitue exactement le solide, sans trou ni superposition. Un même solide a plusieurs patrons différents.

Patron d’un cube : $6$ carrés identiques de côté $a$. Il en existe onze différents ; le plus connu a la forme d’une croix. Attention : six carrés posés n’importe comment ne font pas un patron — il faut que le pliage referme la boîte.

Patron d’un prisme droit : les $2$ bases (les polygones) $+$ autant de rectangles que la base a de côtés. Chaque rectangle a pour hauteur $h$ et pour largeur un côté de la base. Pour un prisme triangulaire : $2$ triangles $+$ $3$ rectangles.

Patron d’un cylindre : $2$ disques (les bases) $+$ $1$ rectangle (la surface latérale déroulée). Le point clé : la largeur de ce rectangle est le périmètre d’une base, soit $2\pi r$, et sa hauteur est $h$. Un disque se pose contre le bord du haut, l’autre contre le bord du bas : les mettre tous les deux du même côté donnerait un solide à deux fonds et sans couvercle.

Astuce pour ne pas te tromper : compte les faces du solide, puis vérifie que ton patron en a exactement autant. Un cube en a $6$, un cylindre $2$ disques et $1$ rectangle, ni plus ni moins.

Les formules et la perspective cavalière

Les formules du chapitre, à bien ranger dans ta tête :

• Aire du disque de rayon $r$ : $A = \pi r^2$.
• Volume du cube d’arête $a$ : $V = a \times a \times a$ ; son aire totale : $6a^2$.
• Volume du prisme droit : $V = A_b \times h$ (avec $A_b$ = aire de la base).
• Volume du cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$.
• Aire latérale du prisme : $A_{\text{lat}} = P_b \times h$ (avec $P_b$ = périmètre de la base).
• Aire latérale du cylindre : $A_{\text{lat}} = 2\pi r h$.

Représenter un solide en perspective cavalière, étape par étape :

• Dessine la face avant en vraie grandeur.
• Trace les arêtes de profondeur (les fuyantes) à 45°, en traçant seulement la moitié de leur longueur réelle.
• Complète en traçant la face arrière, parallèle à la face avant.
• Pour un cylindre, la base arrière se dessine en demi-ellipse (partiellement cachée).
• Mets les arêtes cachées en pointillés.

Ensemble : l’aire d’un disque

Énoncé : calcule l’aire d’un disque de rayon $r = 5$ cm, puis celle d’un disque de diamètre $12$ cm.

Ligne 1 — la formule. $A = \pi \times r^2$. On l’écrit AVANT de remplacer : c’est un point de barème.

Ligne 2 — premier disque. $A = \pi \times 5^2 = 25\pi$ cm². C’est la valeur exacte, celle qu’on garde le plus longtemps possible.

Ligne 3 — valeur approchée. $25\pi \approx 25 \times 3{,}14 = 78{,}5$ cm². Unité : des cm², parce que c’est une aire.

Ligne 4 — deuxième disque, le piège. On te donne le diamètre $d = 12$ cm : commence par le rayon, $r = 12 \div 2 = 6$ cm. Puis $A = \pi \times 6^2 = 36\pi \approx 113{,}0$ cm². Si tu avais gardé $12$, tu aurais trouvé $144\pi$, soit quatre fois trop.

Ensemble : le volume d’un cube, puis d’un prisme

Énoncé : un cube a pour arête $5$ cm ; un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés $3$ cm et $4$ cm, et pour hauteur $h = 8$ cm. On cherche leurs volumes.

Ligne 1 — le cube. $V = 5 \times 5 \times 5 = 125$ cm³. Au passage, son aire totale, c’est $6$ faces carrées : $6 \times (5 \times 5) = 150$ cm². Deux unités différentes pour un même solide : cm³ pour le volume, cm² pour l’aire.

Ligne 2 — on identifie la base du prisme. La base est un triangle : on calcule donc d’abord son aire $A_b$ avant de penser au volume. C’est toujours l’ordre : d’abord la base, ensuite le volume.

Ligne 3 — aire de la base. Triangle rectangle : $A_b = \dfrac{3 \times 4}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$ cm². (On divise par $2$ : c’est la moitié du rectangle $3 \times 4$.)

Ligne 4 — on applique la formule du volume. $V = A_b \times h = 6 \times 8 = 48$ cm³. On n’oublie pas l’unité de volume, les cm³.

Ensemble : le volume, le patron et l’aire latérale d’un cylindre

Énoncé : un cylindre a un rayon $r = 3$ cm et une hauteur $h = 10$ cm. On veut son volume, les dimensions de son patron, puis son aire latérale.

Ligne 1 — la formule du volume. Pour un cylindre, $V = \pi \times r^2 \times h$ : c’est l’aire du disque de base, $\pi r^2$, multipliée par la hauteur. Attention, c’est bien le rayon qu’on met au carré, pas le diamètre.

Ligne 2 — on remplace. $V = \pi \times 3^2 \times 10 = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi$ cm³.

Ligne 3 — valeur approchée. $90\pi \approx 282{,}7$ cm³. On garde $90\pi$ comme valeur exacte et on n’arrondit qu’à la toute fin.

Ligne 4 — le patron. Le rectangle latéral a pour largeur $2\pi r = 2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18{,}8$ cm et pour hauteur $10$ cm ; on lui ajoute deux disques de rayon $3$ cm, l’un contre le bord du haut, l’autre contre le bord du bas.

Ligne 5 — l’aire latérale. C’est l’aire de ce rectangle : $A_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2\pi \times 3 \times 10 = 60\pi \approx 188{,}5$ cm². Vérifie la logique : le rectangle mesure $6\pi$ cm de large sur $10$ cm de haut, donc son aire vaut $6\pi \times 10 = 60\pi$ cm². On retrouve exactement la même chose — tout se tient.

Et pour un prisme ? Même idée : on remplace $2\pi r$ (le périmètre du disque) par $P_b$, le périmètre de la base, et on obtient $A_{\text{lat}} = P_b \times h$.

Problème type : l’aire totale d’une boîte de conserve

Énoncé : une boîte de conserve cylindrique a un rayon $r = 4$ cm et une hauteur $h = 12$ cm. Quelle surface de métal faut-il pour la fabriquer, c’est-à-dire son aire totale ?

Étape 1 — comprendre l’aire totale. $A_{\text{totale}} = A_{\text{lat}} + \text{les deux bases}$. Une boîte fermée a bien deux disques (le dessus et le dessous).

Étape 2 — l’aire latérale. $A_{\text{lat}} = 2\pi r h = 2\pi \times 4 \times 12 = 96\pi$ cm².

Étape 3 — les deux bases. C’est ici que sert l’aire du disque. Une base : $\pi r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi$ cm². Les deux : $2 \times 16\pi = 32\pi$ cm².

Étape 4 — on additionne. $A_{\text{totale}} = 96\pi + 32\pi = 128\pi \approx 402{,}1$ cm².

Problème type : un volume à convertir en litres

Énoncé : un aquarium a la forme d’un pavé droit (un prisme droit à base rectangulaire) de longueur $40$ cm, de largeur $30$ cm et de hauteur $25$ cm. Combien de litres d’eau contient-il, plein à ras bord ?

Étape 1 — l’aire de la base. La base est un rectangle : $A_b = 40 \times 30 = 1200$ cm².

Étape 2 — le volume. $V = A_b \times h = 1200 \times 25 = 30\,000$ cm³.

Étape 3 — convertir. On retient l’égalité clé : $1$ L $= 1$ dm³ $= 1000$ cm³. Donc $30\,000$ cm³ $= 30\,000 \div 1000 = 30$ L.

L’aquarium contient $30$ litres. Passer du volume à la capacité (en litres) est un grand classique de fin d’énoncé : ne te laisse pas surprendre.

Problème type : remonter d’une aire vers une arête

Énoncé : un cube a une aire totale de $150$ cm². Quelle est la longueur de son arête ? Quel est son volume ?

Étape 1 — une face. Le cube a $6$ faces carrées identiques, donc une face mesure $150 \div 6 = 25$ cm².

Étape 2 — l’arête. Cette face est un carré d’aire $25$ cm², or $5 \times 5 = 25$ : l’arête mesure $5$ cm.

Étape 3 — le volume. $V = 5 \times 5 \times 5 = 125$ cm³.

Ce sens de lecture — de l’aire vers la longueur — tombe souvent en fin de sujet. Le réflexe : diviser d’abord par le nombre de faces.

Ce que le correcteur attend (et les pièges qui coûtent des points)

Ce qui rapporte les points :

• Écrire la formule littérale AVANT de remplacer par les nombres (par exemple $V = \pi r^2 h$, puis $V = \pi \times 3^2 \times 10$).
• Mettre la bonne unité à chaque résultat : cm² pour une aire, cm³ pour un volume.
• Garder la valeur exacte avec $\pi$ (comme $90\pi$) et ne donner l’arrondi qu’à la fin, avec la précision demandée.

Les pièges classiques à éviter :

• Confondre l’aire du disque, $\pi r^2$ (en cm²), et son périmètre, $2\pi r$ (en cm).
• Utiliser le diamètre $d = 2r$ à la place du rayon $r$ dans $\pi r^2$ : le résultat est alors quatre fois trop grand.
• Confondre la hauteur $h$ du solide avec un côté de la base.
• Oublier les deux bases dans le patron ou dans l’aire totale.
• Pour le cube, compter $4$ faces au lieu de $6$ : on oublie le dessus et le dessous.
• Mélanger les unités : cm² (aire) et cm³ (volume).
• En perspective cavalière, tracer les fuyantes en vraie grandeur au lieu de la moitié.

D’où vient la formule 2πr h ? On déroule le cylindre

La formule de l’aire latérale n’est pas tombée du ciel. Imagine que tu décolles l’étiquette d’une boîte de conserve et que tu l’étales bien à plat : tu obtiens un rectangle.

Sa hauteur est celle du cylindre, $h$. Sa largeur correspond à un tour complet de la base, c’est-à-dire le périmètre du disque : $2\pi r$.

Comme l’aire d’un rectangle vaut largeur $\times$ hauteur, on obtient directement $A_{\text{lat}} = 2\pi r \times h = 2\pi r h$. Autrement dit, le patron n’est pas qu’un joli dessin : c’est la preuve visuelle de la formule — exactement comme la pizza découpée l’était pour $\pi r^2$. C’est ça, faire des maths : comprendre pourquoi, pas seulement appliquer.

Le cube, les solides de Platon et la formule d’Euler

Le cube n’est pas un solide comme les autres : il fait partie des cinq solides de Platon, les seuls dont toutes les faces sont un même polygone régulier et dont tous les sommets se ressemblent. Ils sont exactement cinq : le tétraèdre ($4$ triangles), le cube ($6$ carrés), l’octaèdre ($8$ triangles), le dodécaèdre ($12$ pentagones) et l’icosaèdre ($20$ triangles).

Sur ces solides — et plus généralement sur tout solide à faces planes sans trou — une égalité surprenante est toujours vraie, la formule d’Euler : $$S - A + F = 2$$ où $S$ est le nombre de sommets, $A$ le nombre d’arêtes et $F$ le nombre de faces.

• Cube : $8$ sommets, $12$ arêtes, $6$ faces. $8 - 12 + 6 = 2$.
• Prisme droit à base triangulaire : $6$ sommets, $9$ arêtes, $5$ faces. $6 - 9 + 5 = 2$.
• Prisme droit à base pentagonale : $10$ sommets, $15$ arêtes, $7$ faces. $10 - 15 + 7 = 2$.

Le cylindre, lui, n’est pas un solide à faces planes : sa surface latérale est courbe, et la formule ne s’y applique pas. Et si tu veux voir des maths jouer avec l’espace, cherche les gravures de l’artiste Escher : des cubes empilés et des escaliers qui ne peuvent pas exister.

L’an prochain : pyramides, cônes, puis sphères

Le prisme et le cylindre ne sont qu’un début. Deux familles t’attendent :

• En 4e, la pyramide et le cône : même logique de base et de hauteur, mais avec un tiers, $V = \dfrac{1}{3} \times A_b \times h$. Un cône est à un cylindre ce qu’une pyramide est à un prisme.
• En 3e, la boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ pour son volume ; la sphère qui la borde a pour aire $4\pi r^2$.

Tu apprendras aussi à couper un solide (la section plane) pour voir la figure qui apparaît, et à relier tout cela aux capacités en litres, très utiles en physique-chimie. Les bases posées ici te resserviront à chaque fois : rien n’est perdu.