Prisme droit et cylindre : patrons et perspectives

Reconnaître, déplier, représenter et calculer — les deux solides incontournables du cycle 4.

1 Définitions

Un prisme droit est un solide dont les deux bases sont des polygones identiques et parallèles, reliées par des faces latérales rectangulaires. La hauteur $h$ est perpendiculaire aux bases.

Exemples : le pavé droit (bases rectangulaires), le prisme triangulaire (bases triangulaires), une barre de Toblerone.

Un cylindre de révolution est un solide dont les deux bases sont des disques de rayon $r$, parallèles et reliés par une surface latérale courbe. Sa hauteur est $h$. Exemple concret : une boîte de conserve.

2 Le patron

Le patron d'un solide est une figure plane qui, pliée le long de ses arêtes, reconstitue exactement le solide sans trou ni superposition. Un même solide peut avoir plusieurs patrons différents.

Prisme droit triangulaire : 2 triangles (les bases) + 3 rectangles (les faces latérales).
Cylindre : 2 disques + 1 rectangle. La largeur du rectangle est le périmètre d'une base : $2\pi r$ ; sa hauteur est $h$.

3 Formules

Volume — prisme droit

$V = A_b \times h \quad (A_b = \text{aire de la base})$

Volume — cylindre

$V = \pi \times r^2 \times h$

Aire latérale — prisme

$A_\text{lat} = P_b \times h \quad (P_b = \text{périmètre de la base})$

Aire latérale — cylindre

$A_\text{lat} = 2\pi r h$

4 Exemples calculés

Prisme à base triangulaire

Base : triangle rectangle de côtés $3$ cm et $4$ cm $\Rightarrow$ $A_b = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6$ cm².

Hauteur du prisme : $h = 8$ cm.

Volume : $V = 6 \times 8 = 48$ cm³.

Cylindre

Rayon $r = 3$ cm, hauteur $h = 10$ cm.

Volume : $V = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi \approx 282{,}6$ cm³.

Patron : rectangle de largeur $2\pi \times 3 = 6\pi \approx 18{,}8$ cm et de hauteur $10$ cm, plus deux disques de rayon $3$ cm.

Méthode — Représenter en perspective cavalière

Dessiner la face avant en vraie grandeur.
Tracer les arêtes de profondeur à 45°, en réduisant leur longueur de moitié.
Compléter en traçant la face arrière, parallèle à la face avant.
Pour un cylindre : la base arrière se représente en demi-ellipse (partiellement visible).
Mettre les arêtes cachées en pointillés.

Erreurs fréquentes

Confondre la hauteur $h$ du solide avec un côté de la base.
Oublier les deux bases dans le patron : ne tracer que la partie latérale.
Pour le cylindre : utiliser le diamètre $d = 2r$ à la place du rayon $r$ dans $\pi r^2$.
Confondre les unités : l'aire se mesure en cm², le volume en cm³.
En perspective cavalière : oublier de réduire les arêtes de profondeur de moitié.