Pas de panique : tu n'as pas vu ce chapitre et le contrôle arrive. On part de zéro — le vocabulaire, puis deux lectures très simples. Le reste des paliers montera en difficulté, mais ici on installe juste les mots et le geste.
Le minimum vital
Une droite graduée, c'est une droite, un point $O$ appelé origine qui porte le $0$, et une unité de longueur reportée régulièrement. Le nombre qui repère un point sur cette droite est son abscisse : on écrit $A(3)$.
La demi-droite graduée du primaire, celle qui part de $0$ et ne va que dans un sens, en est la moitié : y placer un décimal comme $2{,}5$ est un réflexe que ce chapitre suppose acquis, et qu'il étend aux nombres négatifs.
Un repère orthogonal du plan, ce sont deux droites graduées perpendiculaires qui se coupent en $O$ : l'axe des abscisses (horizontal) et l'axe des ordonnées (vertical). Un point y est repéré par deux nombres, ses coordonnées : $M(x_M\,;\,y_M)$, l'abscisse d'abord, l'ordonnée ensuite.
Un mot sur le signe $+$ : le chapitre sur les nombres relatifs écrit souvent $A(+3\,;\,+2)$ pour marquer le contraste avec les négatifs ; en géométrie on écrit plutôt $A(3\,;\,2)$. C'est le même point. Le signe $-$, lui, ne s'omet jamais.
À toi de jouer
a) Sur une droite graduée, le point qui porte le $0$ est l'.
b) Le nombre qui repère un point sur une droite graduée est son .
c) Pour graduer une droite, on reporte régulièrement une de longueur.
d) Dans un repère orthogonal, les deux axes sont .
e) Dans $M(4\,;\,-1)$, le nombre $-1$ est l' de $M$.
Corrigé
$A($$)$ ; $B($$)$ ; $C($$)$.
Corrigé
$A$ est à gauche du $0$ : son abscisse est bien négative.
$P($ ; $)$ ; $Q($ ; $)$.
Corrigé
$Q(-2\,;\,-1)$ : $2$ vers la gauche, $1$ vers le bas — les deux coordonnées sont négatives.
Ça te revient ? On remet la méthode au propre — le calcul du pas, la lecture, le placement — puis quatre exercices pour l'appliquer sur une droite et dans le plan.
La méthode, au propre
Le pas de graduation. Il ne vaut pas forcément $1$. On le calcule toujours d'abord :
$$\text{pas} = \dfrac{\text{écart entre deux graduations chiffrées}}{\text{nombre d'intervalles entre elles}}$$
Lire une abscisse. Partir de la graduation chiffrée la plus proche, compter les intervalles jusqu'au point, ajouter autant de fois le pas (vers la droite) ou le retrancher (vers la gauche).
Placer un point d'abscisse donnée. Diviser l'abscisse par le pas : on obtient le nombre de graduations à compter depuis l'origine, à droite si le nombre est positif, à gauche s'il est négatif.
Dans le plan. Pour lire : projeter le point sur l'axe des abscisses (on lit $x$), puis sur l'axe des ordonnées (on lit $y$). Pour placer $M(x\,;\,y)$ : partir de $O$, se déplacer horizontalement de $x$, puis verticalement de $y$.
À toi de jouer
Pas $=$ ; $A($$)$ ; $B($$)$ ; $C($$)$.
Corrigé
$A$ est $3$ graduations à gauche de $0$ : $0 - 3 \times 0{,}5 = -1{,}5$, donc $A(-1{,}5)$.
$B$ est $1$ graduation à droite de $0$ : $B(0{,}5)$.
$C$ est $1$ graduation à gauche de $3$ : $3 - 0{,}5 = 2{,}5$, donc $C(2{,}5)$.
$D$ : graduation(s) vers la .
$E$ : graduation(s) vers la .
b) Recopie (ou imprime) la droite ci-dessous et place-les vraiment : un point net, son nom écrit juste au-dessus.
Corrigé
$1{,}5 \div 0{,}5 = 3$ : $E$ est $3$ graduations vers la droite de l'origine.
b) Contrôle : $D$ tombe entre $-1$ et $0$, $E$ entre $1$ et $2$. Cohérent.
$A($ ; $)$ ; $B($ ; $)$ ; $C($ ; $)$ ; $D($ ; $)$.
Corrigé
Le cas de $D$ vaut le détour : il est sur l'axe des ordonnées, donc son abscisse vaut $0$.
a) $M(-4\,;\,2)$ — b) $N(3\,;\,-1)$ — c) $R(0\,;\,-5)$ — d) $S(2\,;\,0)$.
Corrigé
b) $3$ vers la droite, puis $1$ vers le bas.
c) aucun déplacement horizontal (abscisse nulle), puis $5$ vers le bas : $R$ est sur l'axe des ordonnées.
d) $2$ vers la droite, puis aucun déplacement vertical : $S$ est sur l'axe des abscisses.
C'est l'heure de la répétition mécanique. Cinq exercices très proches les uns des autres, pour que le calcul du pas et l'ordre des coordonnées deviennent des réflexes.
Rappel express
$\text{pas} = \dfrac{\text{écart}}{\text{nombre d'intervalles}}$ — et dans le plan, on écrit toujours l'abscisse avant l'ordonnée, séparées par un point-virgule.
À toi de jouer
a) une unité partagée en $5$ intervalles : pas $=$
b) une unité partagée en $4$ intervalles : pas $=$
c) $5$ intervalles entre les graduations $0$ et $10$ : pas $=$
d) $6$ intervalles entre les graduations $0$ et $3$ : pas $=$
Corrigé
b) $1 \div 4 = 0{,}25$
c) $10 \div 5 = 2$
d) $3 \div 6 = 0{,}5$
Pas $=$ ; $A($$)$ ; $B($$)$.
Corrigé
$A$ est $3$ graduations après $0$ : $3 \times 0{,}2 = 0{,}6$, donc $A(0{,}6)$.
$B$ est $2$ graduations après $1$ : $1 + 2 \times 0{,}2 = 1{,}4$, donc $B(1{,}4)$.
a) $0{,}75$ — b) $-1$ — c) $1{,}5$ — d) $-0{,}5$
Corrigé
b) $-1 \div 0{,}25 = -4$ : $4$ graduations à gauche.
c) $1{,}5 \div 0{,}25 = 6$ : $6$ graduations à droite.
d) $-0{,}5 \div 0{,}25 = -2$ : $2$ graduations à gauche.
$A($ ; $)$ ; $B($ ; $)$ ; $C($ ; $)$.
Corrigé
a) $E$ a pour abscisse $-2$ et pour ordonnée $5$.
b) $F$ a pour ordonnée $-3$ et pour abscisse $4$.
c) $G$ est sur l'axe des abscisses et son abscisse vaut $-1$.
d) $H$ est l'origine du repère.
Corrigé
b) $F(4\,;\,-3)$ — l'énoncé donne l'ordonnée en premier, mais on écrit toujours l'abscisse en premier : c'est exactement le piège.
c) $G(-1\,;\,0)$ — sur l'axe des abscisses, l'ordonnée est nulle.
d) $H(0\,;\,0)$
Exercices type contrôle. Le pas n'est jamais $1$, les graduations chiffrées se font rares, et on te demande de rédiger. Prends ton temps : c'est exactement ce qui tombera.
Ce que le correcteur attend
• Le calcul du pas écrit noir sur blanc, avant toute lecture d'abscisse : trois lectures justes sans le pas rapportent moins que deux lectures justes avec la méthode apparente.
• Des intervalles comptés, pas des traits.
• L'abscisse en premier, l'ordonnée en second, séparées par un point-virgule.
• Une phrase de justification quand on demande « pourquoi » : « $A$ et $B$ ont la même ordonnée, donc $[AB]$ est horizontal ».
À toi de jouer
b) Donne les abscisses de $A$, $B$ et $C$.
Corrigé
b) $A$ est $3$ graduations à gauche de $0$ : $0 - 3 \times 0{,}25 = -0{,}75$, donc $A(-0{,}75)$.
$B$ est $1$ graduation à droite de $0$ : $B(0{,}25)$.
$C$ est $2$ graduations à droite de $1$ : $1 + 2 \times 0{,}25 = 1{,}5$, donc $C(1{,}5)$.
a) Combien y a-t-il d'intervalles entre $0$ et $4$ ? Déduis-en le pas.
b) Lis les abscisses de $D$, $E$ et $F$.
Corrigé
b) $D$ est $1$ graduation à gauche de $0$ : $D(-0{,}5)$.
$E$ est $3$ graduations à droite de $0$ : $3 \times 0{,}5 = 1{,}5$, donc $E(1{,}5)$.
$F$ est $1$ graduation à gauche de $4$ : $4 - 0{,}5 = 3{,}5$, donc $F(3{,}5)$.
a) Que remarques-tu sur les coordonnées de $A$ et $B$ ? Et sur celles de $B$ et $C$ ?
b) Détermine les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un rectangle.
c) Les deux axes portent la même unité. Calcule $AB$ et $BC$ en unités du repère.
d) Calcule le périmètre et l'aire du rectangle $ABCD$.
Corrigé
b) Pour fermer le rectangle, $D$ doit avoir la même abscisse que $A$ (soit $-3$) et la même ordonnée que $C$ (soit $-1$). Donc $D(-3\,;\,-1)$.
c) $AB = 1 - (-3) = 4$ unités et $BC = 2 - (-1) = 3$ unités.
d) Périmètre $= 2 \times (4 + 3) = 14$ unités de longueur ; aire $= 4 \times 3 = 12$ unités d'aire.
a) Un point a pour ordonnée $0$. Sur quel axe se trouve-t-il ?
b) Le point $K$ a pour abscisse $-5$ et se trouve sur l'axe des abscisses. Quelles sont ses coordonnées ?
c) Deux points ont la même abscisse. Que peut-on dire du segment qui les joint ?
d) Un élève écrit « le point $L$ a pour coordonnées $(2\,;\,-7)$, donc son ordonnée vaut $2$ ». Où est l'erreur ?
Corrigé
b) $K(-5\,;\,0)$.
c) Il est vertical : les deux points sont l'un au-dessus de l'autre.
d) L'élève a inversé : dans $(2\,;\,-7)$, le premier nombre est l'abscisse ($2$) et le second l'ordonnée ($-7$). L'ordonnée de $L$ vaut donc $-7$.
$M(-2\,;\,3)$ — $N(4\,;\,-1)$ — $P(0\,;\,-3)$ — $Q(-4\,;\,0)$.
Puis réponds : lesquels de ces points sont sur un axe, et lequel ?
Corrigé
$P$ a une abscisse nulle : il est sur l'axe des ordonnées. $Q$ a une ordonnée nulle : il est sur l'axe des abscisses. $M$ et $N$ ne sont sur aucun axe.
Tu lis et tu places sans hésiter ? On va se servir du repère pour faire autre chose que le lire : calculer un milieu, compléter un parallélogramme, lire un pas minuscule. Rien de tout ça ne tombera au contrôle de 5e — mais tout est à ta portée.
Ce que le repère va devenir
Placer un point, c'est la première marche. Dès cette année, tu t'en serviras en statistiques et dans le chapitre Proportionnalité, fonctions, pour placer les points d'un tableau de valeurs et lire un nuage de points. En 4e viendra le calcul des longueurs grâce au théorème de Pythagore ; en 3e, le vocabulaire des fonctions (image, antécédent).
Les trois défis ci-dessous vont plus loin encore. La formule du milieu $I$ de $[AB]$ — $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ et $y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}$ — est un objectif de seconde : elle n'est pas exigible ici, mais elle ne demande qu'une moyenne, et tu peux la vérifier à l'œil sur une figure.
À toi de jouer
Corrigé
Contrôle : $1$ est bien entre $-3$ et $5$, et $2$ entre $1$ et $3$.
Corrigé
Milieu de $[AC]$ : $\left(\dfrac{-2 + 3}{2}\,;\,\dfrac{1 + 0}{2}\right) = (0{,}5\,;\,0{,}5)$.
Ce point est aussi le milieu de $[BD]$. Si $D(x\,;\,y)$, alors $\dfrac{1 + x}{2} = 0{,}5$ donc $x = 0$, et $\dfrac{3 + y}{2} = 0{,}5$ donc $y = -2$.
Donc $D(0\,;\,-2)$.
a) Détermine le pas.
b) Lis les abscisses de $A$ et $B$.
Corrigé
b) $A$ est $3$ graduations après $0$ : $3 \times 0{,}1 = 0{,}3$, donc $A(0{,}3)$.
$B$ est $3$ graduations après $0{,}5$ : $0{,}5 + 3 \times 0{,}1 = 0{,}8$, donc $B(0{,}8)$.
Corrigé
La règle « ordonnée positive = au-dessus » n'est donc pas une loi de la nature : elle dépend du repère choisi. Avant de lire des coordonnées, on regarde toujours comment les axes sont orientés.