Pas de panique ! On va partir de ce que tu sais déjà sur les nombres entiers (ceux de 6e) et construire la notion de nombre relatif en un éclair. L'objectif : que tu sois fonctionnel pour ton contrôle, même si tu découvres tout juste. On y va ensemble, étape par étape.
En 6e, tu as appris à lire, écrire, comparer et ranger les nombres entiers positifs (0, 1, 2, 3...). Sur une demi-droite graduée, plus un nombre est à droite, plus il est grand : $3 < 5$ car $3$ est à gauche de $5$. Aujourd'hui, on va étendre cette idée de l'autre côté du zéro.
Un nombre relatif est un nombre avec un signe + (positif) ou − (négatif). Zéro est le seul nombre ni positif ni négatif.
Exemples concrets :
$-3\,°C$ = 3 degrés sous zéro.
$+200\,\text{m}$ = 200 m au-dessus du niveau de la mer.
$-50\,€$ = une dette de 50 euros.
Sur une droite graduée, les négatifs sont à gauche de 0, les positifs à droite. Ordre croissant = de gauche à droite.
1. Positif > 0 > négatif
Exemple : $+5 > 0 > -3$
2. Entre deux négatifs, le plus proche de 0 est le plus grand
Exemple : $-2 > -7$ (car $-2$ est plus proche de 0 que $-7$)
3. Sur la droite graduée, ordre croissant = de gauche à droite
Exemple : $\cdots < -4 < -1 < 0 < +2 < +5 < \cdots$
Exercice 1 — Comparer (à trous)
Complète avec le symbole $<$, $>$ ou $=$. Aide-toi de la droite graduée : les nombres à gauche sont plus petits.
a) $-4 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +1$
b) $-7 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -2$
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -5$
d) $+3 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +3$
a) $-4 < +1$ (un négatif est toujours plus petit qu'un positif)
b) $-7 < -2$ (entre deux négatifs, le plus proche de 0 est le plus grand ; $-2$ est plus proche de 0 que $-7$, donc $-7 < -2$)
c) $0 > -5$ (0 est plus grand que tout négatif)
d) $+3 = +3$ (c'est le même nombre)
Exercice 2 — Ranger dans l'ordre croissant (à trous)
On te donne les nombres : $-6$ ; $+4$ ; $-1$ ; $0$ ; $-9$ ; $+2$.
Complète la chaîne en rangeant du plus petit au plus grand :
$\underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}}$
Indice : repère-les mentalement sur une droite graduée. Le plus à gauche est le plus petit.
Ordre croissant : $-9 < -6 < -1 < 0 < +2 < +4$
Le plus petit est $-9$, le plus grand est $+4$.
Exercice 3 — Températures (reconnaître le plus froid/le plus chaud)
Voici des températures : lundi $-4\,°C$, mardi $+2\,°C$, mercredi $-7\,°C$, jeudi $-1\,°C$, vendredi $+5\,°C$.
a) Le jour le plus froid est $\underline{\hspace{1.1em}}$ avec $\underline{\hspace{1.1em}}\,°C$.
b) Le jour le plus chaud est $\underline{\hspace{1.1em}}$ avec $\underline{\hspace{1.1em}}\,°C$.
c) Combien de jours ont une température strictement négative ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ jours.
a) Le jour le plus froid est mercredi avec $-7\,°C$ (c'est la température la plus basse).
b) Le jour le plus chaud est vendredi avec $+5\,°C$ (c'est la température la plus haute).
c) 3 jours : lundi ($-4\,°C$), mercredi ($-7\,°C$), jeudi ($-1\,°C$).
Ah, les nombres négatifs, ces fameux... Tu te souviens maintenant ? On va remettre tout ça au clair avec une méthode béton pour comparer, ranger et même repérer des points dans un repère. Après ce palier, tu sauras exactement comment procéder, pas à pas.
Objectif : comparer deux nombres relatifs $a$ et $b$.
Méthode :
Un repère orthogonal est formé de deux droites graduées perpendiculaires :
Elles se croisent à l'origine $O(0\,;\,0)$.
Les coordonnées d'un point s'écrivent $M(x_M\,;\,y_M)$ :
Exercice 1 — Comparaison guidée (à trous)
Applique la méthode pour comparer. Écris le symbole $<$ ou $>$.
a) $-9 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -3$
Les deux sont négatifs. Lequel est le plus proche de 0 ?
b) $+6 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -2$
L'un est positif, l'autre négatif. Que dit la règle ?
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -8$
0 face à un négatif...
a) $-9 < -3$ (car $-3$ est plus proche de 0 que $-9$).
b) $+6 > -2$ (un positif est toujours plus grand qu'un négatif).
c) $0 > -8$ (0 est plus grand que tout négatif).
Exercice 2 — Ordonner une liste (à trous)
Range dans l'ordre croissant : $+3$ ; $-5$ ; $0$ ; $-2$ ; $+7$ ; $-8$.
Complète : $\underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}}$
Ordre croissant : $-8 < -5 < -2 < 0 < +3 < +7$
Exercice 3 — Coordonnées dans un repère (à trous)
Observe le repère ci-dessous et complète les coordonnées des points.
Point A : abscisse $+1$, ordonnée $+1$ → $A(+1\,;\,+1)$
Point B : abscisse $-1$, ordonnée $-1$ → $B(-1\,;\,-1)$
Point C : abscisse $-2$, ordonnée $-2$ → $C(-2\,;\,-2)$
C'est l'heure de la répétition mécanique. Cinq exercices quasi identiques pour ancrer la comparaison des nombres relatifs. Tu vas enchaîner les réussites, c'est garanti. On ne change que les nombres, la tâche reste la même. Let's go !
Mini-exercice 1
Compare avec $<$ ou $>$ :
a) $-5 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +2$
b) $-1 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -9$
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -3$
a) $-5 < +2$
b) $-1 > -9$
c) $0 > -3$
Mini-exercice 2
Compare avec $<$ ou $>$ :
a) $-8 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +1$
b) $-4 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -6$
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -7$
a) $-8 < +1$
b) $-4 > -6$
c) $0 > -7$
Mini-exercice 3
Compare avec $<$ ou $>$ :
a) $-2 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +5$
b) $-3 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -10$
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -1$
a) $-2 < +5$
b) $-3 > -10$
c) $0 > -1$
Mini-exercice 4
Compare avec $<$ ou $>$ :
a) $-12 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +3$
b) $-7 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -2$
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -9$
a) $-12 < +3$
b) $-7 < -2$
c) $0 > -9$
Mini-exercice 5
Compare avec $<$ ou $>$ :
a) $-15 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +8$
b) $-5 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -11$
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -4$
a) $-15 < +8$
b) $-5 > -11$
c) $0 > -4$
Maintenant que les bases sont solides, on passe au niveau contrôle. Problèmes, repérage dans le plan, classements... Tu vas devoir mobiliser tout ce que tu as appris, sans filet (ou presque). Montre de quoi tu es capable !
Exercice 1 — Comparer (type contrôle, 4 points)
Complète chaque comparaison avec le symbole $<$, $>$ ou $=$.
a) $-4 \;\ldots\; +1$
b) $-7 \;\ldots\; -2$
c) $+3 \;\ldots\; +3$
d) $0 \;\ldots\; -5$
a) $-4 < +1$ (négatif < positif)
b) $-7 < -2$ (entre deux négatifs, le plus proche de 0 est le plus grand)
c) $+3 = +3$ (même nombre)
d) $0 > -5$ (0 > tout négatif)
Exercice 2 — Ordonner (type contrôle, 4 points)
Classe les nombres suivants dans l'ordre croissant, puis indique le plus grand et le plus petit.
$-6$ ; $+4$ ; $-1$ ; $0$ ; $-9$ ; $+2$
Ordre croissant : $-9 < -6 < -1 < 0 < +2 < +4$
Plus petit : $-9$
Plus grand : $+4$
Exercice 3 — Repérage dans le plan (type contrôle, 6 points)
On donne les informations suivantes :
Le point $A$ a pour abscisse $+3$ et pour ordonnée $-2$.
Le point $B$ a pour abscisse $-4$ et pour ordonnée $+1$.
Le point $C$ a pour abscisse $-2$ et pour ordonnée $-3$.
a) Écris les coordonnées de chaque point sous la forme $M(x\,;\,y)$.
b) Le point $D$ a la même abscisse que $B$ et la même ordonnée que $A$. Quelles sont ses coordonnées ?
c) Quel point est le plus bas dans le repère (ordonnée la plus petite) ?
a) $A(+3\,;\,-2)$ ; $B(-4\,;\,+1)$ ; $C(-2\,;\,-3)$
b) Abscisse de $B$ : $-4$ ; ordonnée de $A$ : $-2$. Donc $D(-4\,;\,-2)$.
c) Ordonnées : $A$ : $-2$, $B$ : $+1$, $C$ : $-3$. La plus petite est $-3$, donc le point $C$ est le plus bas.
Exercice 4 — Problème : températures (type contrôle, 4 points)
Les températures minimales relevées durant une semaine sont : lundi $-4\,°C$, mardi $+2\,°C$, mercredi $-7\,°C$, jeudi $-1\,°C$, vendredi $+5\,°C$.
a) Quel jour a-t-il fait le plus froid ?
b) Quel jour a-t-il fait le plus chaud ?
c) Classe les cinq températures dans l'ordre croissant.
d) Combien de jours la température minimale était-elle strictement négative ?
a) Le jour le plus froid est mercredi ($-7\,°C$).
b) Le jour le plus chaud est vendredi ($+5\,°C$).
c) $-7\,°C < -4\,°C < -1\,°C < +2\,°C < +5\,°C$
d) 3 jours : lundi, mercredi, jeudi.
Exercice 5 — Calcul malin : compter les entiers (type contrôle, 4 points)
On considère tous les entiers relatifs strictement compris entre $-4$ et $+3$ (les bornes $-4$ et $+3$ sont exclues).
a) Liste tous ces entiers dans l'ordre croissant.
b) Combien sont-ils au total ?
c) Parmi eux, combien sont strictement négatifs ?
a) Entiers strictement compris entre $-4$ et $+3$ : $-3$ ; $-2$ ; $-1$ ; $0$ ; $+1$ ; $+2$.
b) Total : 6 entiers.
c) Strictement négatifs : $-3$, $-2$, $-1$ → 3 entiers.
Tu maîtrises le repérage et la comparaison ? Parfait. On va maintenant jeter un œil à ce qui t'attend l'an prochain : additionner et soustraire des nombres relatifs, et même les utiliser dans des contextes un peu plus abstraits. Curieux ? C'est parti.
En 4e, tu ne te contenteras plus de comparer des relatifs : tu les additionneras et les soustrairas. L'idée clé : ajouter un négatif, c'est reculer sur la droite graduée. Soustraire un négatif, c'est avancer.
Exemple : $(-3) + (-2) = -5$ (on recule de 2 depuis $-3$).
$(-3) - (-2) = -3 + 2 = -1$ (soustraire $-2$ revient à ajouter $+2$).
Exercice 1 — Somme de deux relatifs (initiation)
Calcule en imaginant un déplacement sur la droite graduée.
a) $(-5) + (-3) = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $(-5) + (+3) = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $(+4) + (-7) = \underline{\hspace{1.1em}}$
a) $(-5) + (-3) = -8$ (on part de $-5$ et on recule de 3).
b) $(-5) + (+3) = -2$ (on part de $-5$ et on avance de 3).
c) $(+4) + (-7) = -3$ (on part de $+4$ et on recule de 7).
Exercice 2 — Soustraire un négatif (subtilité 4e)
Complète en te rappelant : soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.
a) $(+2) - (-5) = +2 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $(-3) - (-6) = -3 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $0 - (-4) = 0 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
a) $(+2) - (-5) = +2 + 5 = +7$
b) $(-3) - (-6) = -3 + 6 = +3$
c) $0 - (-4) = 0 + 4 = +4$
Exercice 3 — Défi : coordonnées et opérations (aller plus loin)
Dans un repère, un point $M$ a pour coordonnées $(-2\,;\,+3)$. On lui applique une translation qui ajoute $+5$ à son abscisse et $-4$ à son ordonnée.
Quelles sont les nouvelles coordonnées de $M'$ ?
Nouvelle abscisse : $-2 + 5 = +3$
Nouvelle ordonnée : $+3 + (-4) = -1$
Donc $M'(+3\,;\,-1)$.
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