Pas de panique ! On va partir de ce que tu sais déjà sur les nombres entiers (ceux de 6e) et construire la notion de nombre relatif en un éclair. L'objectif : que tu sois fonctionnel pour ton contrôle, même si tu découvres tout juste. On y va ensemble, étape par étape.
Prérequis : les nombres entiers (6e)
En 6e, tu as appris à lire, écrire, comparer et ranger les nombres entiers positifs (0, 1, 2, 3...). Sur une demi-droite graduée, plus un nombre est à droite, plus il est grand : $3 < 5$ car $3$ est à gauche de $5$. Aujourd'hui, on va étendre cette idée de l'autre côté du zéro.
L'idée des nombres relatifs
Un nombre relatif est un nombre avec un signe + (positif) ou − (négatif).
Pour désigner les nombres autres que $0$, on ajoute le mot strictement : un nombre strictement positif est plus grand que $0$ ($+5$ ; $+0{,}2$), un nombre strictement négatif est plus petit que $0$ ($-5$ ; $-0{,}2$). Le nombre $0$ est le seul à être à la fois positif et négatif, et il n'est ni strictement positif ni strictement négatif.
Exemples concrets :
$-3\,°C$ = 3 degrés sous zéro.
$+200\,\text{m}$ = 200 m au-dessus du niveau de la mer.
$-50\,€$ = une dette de 50 euros.
Sur une droite graduée, les négatifs sont à gauche de 0, les positifs à droite. Ordre croissant = de gauche à droite.
Règles de comparaison (à retenir absolument)
1. Positif > 0 > négatif
Exemple : $+5 > 0 > -3$
2. Entre deux négatifs, le plus proche de 0 est le plus grand
Exemple : $-2 > -7$ (car $-2$ est plus proche de 0 que $-7$)
3. Sur la droite graduée, ordre croissant = de gauche à droite
Exemple : $\cdots < -4 < -1 < 0 < +2 < +5 < \cdots$
4. La distance à zéro porte un nom : la valeur absolue
On l'écrit entre deux barres verticales : $|-7| = 7$, $|+7| = 7$, $|0| = 0$. Une valeur absolue est une distance, elle n'est donc jamais strictement négative. Entre deux négatifs, le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus petite : $|-2| = 2$, $|-7| = 7$ et $2 \lt 7$, donc $-2 \gt -7$.
À toi de jouer
Exercice 1 — Comparer (à trous)
Complète avec le symbole $<$, $>$ ou $=$. Aide-toi de la droite graduée : les nombres à gauche sont plus petits.
a) $-4 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +1$
b) $-7 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -2$
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -5$
d) $+3 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +3$
e) $|-6| \;\underline{\hspace{1.1em}}\; |+2|$
Corrigé
a) $-4 \lt +1$ (un nombre strictement négatif est toujours plus petit qu'un nombre positif)
b) $-7 \lt -2$ (entre deux négatifs, le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus petite ; $|-2| = 2$ et $|-7| = 7$, donc $-7 \lt -2$)
c) $0 \gt -5$ ($0$ est plus grand que tout nombre strictement négatif)
d) $+3 = +3$ (c'est le même nombre)
e) $|-6| \gt |+2|$ (car $|-6| = 6$, $|+2| = 2$ et $6 \gt 2$ ; attention, les nombres eux-mêmes se comparent dans l'autre sens : $-6 \lt +2$)
Exercice 2 — Ranger dans l'ordre croissant (à trous)
On te donne les nombres : $-6$ ; $+4$ ; $-1$ ; $0$ ; $-9$ ; $+2$.
Complète la chaîne en rangeant du plus petit au plus grand :
$\underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}}$
Indice : repère-les mentalement sur une droite graduée. Le plus à gauche est le plus petit.
Corrigé
Ordre croissant : $-9 < -6 < -1 < 0 < +2 < +4$
Le plus petit est $-9$, le plus grand est $+4$.
Exercice 3 — Températures (reconnaître le plus froid/le plus chaud)
Voici des températures : lundi $-4\,°C$, mardi $+2\,°C$, mercredi $-7\,°C$, jeudi $-1\,°C$, vendredi $+5\,°C$, samedi $0\,°C$.
a) Le jour le plus froid est $\underline{\hspace{1.1em}}$ avec $\underline{\hspace{1.1em}}\,°C$.
b) Le jour le plus chaud est $\underline{\hspace{1.1em}}$ avec $\underline{\hspace{1.1em}}\,°C$.
c) Combien de jours ont une température strictement négative, c'est-à-dire plus petite que $0$ ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ jours.
d) Combien de jours ont une température négative, c'est-à-dire plus petite que $0$ ou égale à $0$ ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ jours.
Corrigé
a) Le jour le plus froid est mercredi avec $-7\,°C$ (c'est la température la plus basse).
b) Le jour le plus chaud est vendredi avec $+5\,°C$ (c'est la température la plus haute).
c) 3 jours : lundi ($-4\,°C$), mercredi ($-7\,°C$), jeudi ($-1\,°C$). Samedi ne compte pas : $0$ n'est pas strictement négatif.
d) 4 jours : les trois précédents, plus samedi ($0\,°C$), car $0$ est négatif au sens large.
Ah, les nombres négatifs, ces fameux... Tu te souviens maintenant ? On va remettre tout ça au clair avec une méthode béton pour comparer et ranger les nombres relatifs. Après ce palier, tu sauras exactement comment procéder, pas à pas.
Le vocabulaire exigible : positif, strictement positif, valeur absolue
Signe. Un nombre est positif s'il est plus grand que $0$ ou égal à $0$ ; il est négatif s'il est plus petit que $0$ ou égal à $0$. Le nombre $0$ est donc à la fois positif et négatif : c'est le seul.
Strictement. Ce mot exclut $0$ : strictement positif signifie « plus grand que $0$ », strictement négatif signifie « plus petit que $0$ ». Ainsi $+5$ est strictement positif, $-5$ est strictement négatif, et $0$ n'est ni l'un ni l'autre.
Valeur absolue. La valeur absolue d'un nombre relatif est sa distance à zéro. On l'écrit entre deux barres verticales : $|-6| = 6$, $|+6| = 6$, $|0| = 0$. Elle n'est jamais strictement négative, et deux nombres opposés — $-6$ et $+6$ — ont la même valeur absolue.
Comparaison : la méthode pas-à-pas
Objectif : comparer deux nombres relatifs $a$ et $b$.
Méthode :
- Je regarde les signes.
Si l'un est strictement positif et l'autre strictement négatif : le strictement positif est TOUJOURS plus grand.
Exemple : $+3 \gt -5$. - S'ils sont tous les deux positifs : je compare comme en 6e (le plus éloigné de 0 est le plus grand).
Exemple : $+7 > +2$. - S'ils sont tous les deux négatifs : je compare leurs valeurs absolues (leur distance à 0). Le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus petite.
Exemple : $-1 \gt -9$ car $|-1| = 1$, $|-9| = 9$ et $1 \lt 9$. - Si l'un est 0 : $0$ est plus grand que tout nombre strictement négatif et plus petit que tout nombre strictement positif.
Exemple : $-2 \lt 0 \lt +4$.
Et le repérage dans le plan ?
Lire et écrire les coordonnées d'un point dans un repère orthogonal (on dit aussi repère cartésien) fait l'objet d'une fiche à part : Repérage sur une droite et dans le plan, avec ses exercices corrigés. Ici, le repérage reste celui de la droite graduée : lire l'abscisse d'un nombre relatif et placer un nombre relatif d'abscisse donnée.
À toi de jouer
Exercice 1 — Comparaison guidée (à trous)
Applique la méthode pour comparer. Écris le symbole $<$ ou $>$.
a) $-9 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -3$
Les deux sont négatifs. Lequel est le plus proche de 0 ?
b) $+6 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -2$
L'un est positif, l'autre négatif. Que dit la règle ?
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -8$
0 face à un négatif...
d) $|-9| \;\underline{\hspace{1.1em}}\; |-3|$
Cette fois on compare les valeurs absolues, pas les nombres.
Corrigé
a) $-9 \lt -3$ (car $|-9| = 9$, $|-3| = 3$ et $9 \gt 3$ : chez deux négatifs, la plus grande valeur absolue donne le plus petit nombre).
b) $+6 \gt -2$ (un nombre strictement positif est toujours plus grand qu'un nombre strictement négatif).
c) $0 \gt -8$ ($0$ est plus grand que tout nombre strictement négatif).
d) $|-9| \gt |-3|$ (car $|-9| = 9$ et $|-3| = 3$). Compare bien avec le a) : $-9 \lt -3$ alors que $|-9| \gt |-3|$. C'est exactement le piège du chapitre.
Exercice 2 — Ordonner une liste (à trous)
Range dans l'ordre croissant : $+3$ ; $-5$ ; $0$ ; $-2$ ; $+7$ ; $-8$.
Complète : $\underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}} < \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Ordre croissant : $-8 < -5 < -2 < 0 < +3 < +7$
C'est l'heure de la répétition mécanique. Cinq exercices quasi identiques pour ancrer la comparaison des nombres relatifs. Tu vas enchaîner les réussites, c'est garanti. On ne change que les nombres, la tâche reste la même. Let's go !
À toi de jouer
Mini-exercice 1
Compare avec $<$ ou $>$ :
a) $-5 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +2$
b) $-1 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -9$
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -3$
d) Donne $|-5|$ et $|+2|$, puis dis lequel des deux nombres du a) est strictement négatif.
Corrigé
a) $-5 < +2$
b) $-1 > -9$
c) $0 > -3$
d) $|-5| = 5$ et $|+2| = 2$ ; le nombre strictement négatif du a) est $-5$.
Mini-exercice 2
Compare avec $<$ ou $>$ :
a) $-8 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +1$
b) $-4 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -6$
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -7$
d) Donne $|-8|$ et $|+1|$, puis dis lequel des deux nombres du a) est strictement négatif.
Corrigé
a) $-8 < +1$
b) $-4 > -6$
c) $0 > -7$
d) $|-8| = 8$ et $|+1| = 1$ ; le nombre strictement négatif du a) est $-8$.
Mini-exercice 3
Compare avec $<$ ou $>$ :
a) $-2 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +5$
b) $-3 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -10$
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -1$
d) Donne $|-2|$ et $|+5|$, puis dis lequel des deux nombres du a) est strictement négatif.
Corrigé
a) $-2 < +5$
b) $-3 > -10$
c) $0 > -1$
d) $|-2| = 2$ et $|+5| = 5$ ; le nombre strictement négatif du a) est $-2$.
Mini-exercice 4
Compare avec $<$ ou $>$ :
a) $-12 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +3$
b) $-7 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -2$
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -9$
d) Donne $|-12|$ et $|+3|$, puis dis lequel des deux nombres du a) est strictement négatif.
Corrigé
a) $-12 < +3$
b) $-7 < -2$
c) $0 > -9$
d) $|-12| = 12$ et $|+3| = 3$ ; le nombre strictement négatif du a) est $-12$.
Mini-exercice 5
Compare avec $<$ ou $>$ :
a) $-15 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; +8$
b) $-5 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -11$
c) $0 \;\underline{\hspace{1.1em}}\; -4$
d) Donne $|-15|$ et $|+8|$, puis dis lequel des deux nombres du a) est strictement négatif.
Corrigé
a) $-15 < +8$
b) $-5 > -11$
c) $0 > -4$
d) $|-15| = 15$ et $|+8| = 8$ ; le nombre strictement négatif du a) est $-15$.
Maintenant que les bases sont solides, on passe au niveau contrôle. Problèmes, classements, valeurs absolues... Tu vas devoir mobiliser tout ce que tu as appris, sans filet (ou presque). Montre de quoi tu es capable !
À toi de jouer
Exercice 1 — Comparer (type contrôle, 4 points)
Complète chaque comparaison avec le symbole $<$, $>$ ou $=$.
a) $-4 \;\ldots\; +1$
b) $-7 \;\ldots\; -2$
c) $+3 \;\ldots\; +3$
d) $0 \;\ldots\; -5$
Corrigé
a) $-4 \lt +1$ (un nombre strictement négatif est plus petit qu'un nombre positif)
b) $-7 \lt -2$ (entre deux négatifs, le plus grand est celui dont la valeur absolue est la plus petite : $|-2| = 2 \lt 7 = |-7|$)
c) $+3 = +3$ (même nombre)
d) $0 \gt -5$ ($0$ est plus grand que tout nombre strictement négatif)
Exercice 2 — Ordonner (type contrôle, 4 points)
Classe les nombres suivants dans l'ordre croissant, puis indique le plus grand et le plus petit.
$-6$ ; $+4$ ; $-1$ ; $0$ ; $-9$ ; $+2$
Corrigé
Ordre croissant : $-9 < -6 < -1 < 0 < +2 < +4$
Plus petit : $-9$
Plus grand : $+4$
Exercice 3 — Problème : températures (type contrôle, 4 points)
Les températures minimales relevées durant une semaine sont : lundi $-4\,°C$, mardi $+2\,°C$, mercredi $-7\,°C$, jeudi $-1\,°C$, vendredi $+5\,°C$.
a) Quel jour a-t-il fait le plus froid ?
b) Quel jour a-t-il fait le plus chaud ?
c) Classe les cinq températures dans l'ordre croissant.
d) Combien de jours la température minimale était-elle strictement négative ?
e) Calcule la valeur absolue de chaque température. Laquelle est la plus grande ? À quel jour correspond-elle ? Ce jour est-il le plus chaud ou le plus froid ?
Corrigé
a) Le jour le plus froid est mercredi ($-7\,°C$).
b) Le jour le plus chaud est vendredi ($+5\,°C$).
c) $-7\,°C \lt -4\,°C \lt -1\,°C \lt +2\,°C \lt +5\,°C$
d) 3 jours : lundi, mercredi, jeudi.
e) $|-4| = 4$, $|+2| = 2$, $|-7| = 7$, $|-1| = 1$, $|+5| = 5$. La plus grande valeur absolue est $7$, pour mercredi — et mercredi est le jour le plus froid. Chez un nombre négatif, une grande valeur absolue signifie une température très basse : $|-7| \gt |+5|$ alors que $-7 \lt +5$.
Exercice 4 — Calcul malin : compter les entiers (type contrôle, 4 points)
On considère tous les entiers relatifs strictement compris entre $-4$ et $+3$ (les bornes $-4$ et $+3$ sont exclues).
a) Liste tous ces entiers dans l'ordre croissant.
b) Combien sont-ils au total ?
c) Parmi eux, combien sont strictement négatifs ?
d) Parmi eux, combien sont positifs ? Combien sont strictement positifs ? (Attention : ce n'est pas le même nombre.)
Corrigé
a) Entiers strictement compris entre $-4$ et $+3$ : $-3$ ; $-2$ ; $-1$ ; $0$ ; $+1$ ; $+2$.
b) Total : 6 entiers.
c) Strictement négatifs (plus petits que $0$) : $-3$ ; $-2$ ; $-1$ → 3 entiers.
d) Positifs (plus grands que $0$ ou égaux à $0$) : $0$ ; $+1$ ; $+2$ → 3 entiers. Strictement positifs (plus grands que $0$) : $+1$ ; $+2$ → 2 entiers. La différence entre les deux réponses, c'est $0$.
Tu maîtrises le repérage et la comparaison ? Parfait. On va maintenant jeter un œil à la suite : additionner et soustraire des nombres relatifs — c'est le chapitre suivant, toujours en 5e — puis les utiliser dans des contextes un peu plus abstraits qui, eux, sont du programme de 4e. Curieux ? C'est parti.
La suite immédiate : addition et soustraction de relatifs
Toujours en 5e, tu ne te contenteras plus de comparer des relatifs : tu les additionneras et les soustrairas. L'idée clé : ajouter un négatif, c'est reculer sur la droite graduée. Soustraire un négatif, c'est avancer. La multiplication des relatifs, elle, attendra la 4e.
Exemple : $(-3) + (-2) = -5$ (on recule de 2 depuis $-3$).
$(-3) - (-2) = -3 + 2 = -1$ (soustraire $-2$ revient à ajouter $+2$).
À toi de jouer
Exercice 1 — Somme de deux relatifs (initiation)
Calcule en imaginant un déplacement sur la droite graduée.
a) $(-5) + (-3) = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $(-5) + (+3) = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $(+4) + (-7) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) $(-5) + (-3) = -8$ (on part de $-5$ et on recule de 3).
b) $(-5) + (+3) = -2$ (on part de $-5$ et on avance de 3).
c) $(+4) + (-7) = -3$ (on part de $+4$ et on recule de 7).
Exercice 2 — Soustraire un négatif (la subtilité du chapitre suivant)
Complète en te rappelant : soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.
a) $(+2) - (-5) = +2 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $(-3) - (-6) = -3 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $0 - (-4) = 0 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) $(+2) - (-5) = +2 + 5 = +7$
b) $(-3) - (-6) = -3 + 6 = +3$
c) $0 - (-4) = 0 + 4 = +4$