Pas de panique : le contrôle arrive et tu n'as pas vu ce chapitre. Tu sais déjà en faire l'essentiel sans le savoir — lire un thermomètre, trouver ta place au cinéma, jouer à la bataille navale. On installe le vocabulaire officiel, la seule méthode qui compte, un exemple entier, et c'est plié.
Trois choses que tu as déjà vues à l'école primaire, et qui suffisent pour tout ce chapitre.
La demi-droite graduée. Depuis le CM1, tu places des nombres sur une demi-droite : un point de départ, une longueur choisie comme unité, et on avance toujours dans le même sens.
Les nombres décimaux et leur signe. $2{,}5$, $-0{,}8$, $-3$ : ce sont des nombres comme les autres. Les positifs sont à droite du $0$, les négatifs à sa gauche.
Compter des intervalles, pas des traits. Entre deux graduations voisines, il y a exactement un intervalle. Cinq traits délimitent quatre intervalles : c'est la source d'erreur numéro un du chapitre.
Avec ça, tu as tout ce qu'il faut. Promis.
Une droite graduée, c'est trois ingrédients, jamais deux :
• une droite ;
• un point $O$ appelé origine, celui qui porte le nombre $0$ ;
• une unité de longueur, reportée régulièrement, et un sens (vers la droite).
L'abscisse d'un point, c'est le nombre qui repère sa position sur cette droite. On écrit $A(3)$, ou $x_A = 3$, et on lit « le point $A$ a pour abscisse $3$ ». Sur la figure, $B$ a pour abscisse $-2$ : deux unités à gauche de l'origine.
Un repère orthogonal du plan, ce sont deux droites graduées perpendiculaires (c'est ce que veut dire « orthogonal »), qui se coupent en un point $O$, l'origine. L'horizontale est l'axe des abscisses, la verticale l'axe des ordonnées.
Un point du plan y est repéré par deux nombres, ses coordonnées, écrites $M(x_M\,;\,y_M)$ : l'abscisse d'abord, l'ordonnée ensuite. Jamais l'inverse.
Sur la figure, $M(3\,;\,2)$ : depuis $O$, on avance de $3$ vers la droite, puis on monte de $2$. Les pointillés montrent où le point retombe sur chaque axe.
Voici une droite graduée dont toutes les graduations ne sont pas chiffrées. Question : quelle est l'abscisse de $A$ ? Et où placer un point $B$ d'abscisse $-0{,}8$ ?
Étape 1 — deux graduations chiffrées voisines. Je repère $0$ et $1$.
Étape 2 — je compte les intervalles entre elles. Il y en a $5$.
Étape 3 — le pas. Une graduation vaut donc $1 \div 5 = 0{,}2$.
Étape 4 — je lis $A$. $A$ est $3$ graduations après le $1$ : $1 + 3 \times 0{,}2 = 1 + 0{,}6 = 1{,}6$. Donc $A(1{,}6)$.
Étape 5 — je place $B$. $-0{,}8 \div 0{,}2 = -4$ : je pars de $0$ et je compte $4$ graduations vers la gauche, parce que $-0{,}8$ est négatif.
Étape 6 — je vérifie. $A$ est entre $1$ et $2$, plus près de $2$ : $1{,}6$, c'est cohérent. $B$ est entre $-1$ et $0$, plus près de $-1$ : $-0{,}8$, cohérent aussi. Nickel.
Ça y est, ça te revient. On pose le cours au propre : les trois ingrédients d'une droite graduée, la méthode pour lire une abscisse quand le pas ne vaut pas $1$, le repère du plan, et les cas particuliers qui tombent tout le temps.
Définition. Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi un point $O$ (l'origine, d'abscisse $0$), une unité de longueur et un sens. On reporte alors l'unité de part et d'autre de $O$.
Abscisse. Le nombre associé à un point est son abscisse. On note $A(3)$ ou $x_A = 3$. Deux faits à connaître : chaque point de la droite a une seule abscisse, et chaque nombre correspond à un seul point.
Une demi-droite graduée, c'est la même chose mais d'un seul côté : on part de $0$ et on ne va que dans un sens. Elle ne porte donc que des nombres positifs.
Méthode 1 — lire l'abscisse d'un point.
1) Repérer deux graduations chiffrées voisines.
2) Compter les intervalles entre elles.
3) Calculer le pas :
$$\text{pas} = \dfrac{\text{écart entre les deux nombres}}{\text{nombre d'intervalles}}$$
4) Partir de la graduation chiffrée la plus proche et ajouter (vers la droite) ou retrancher (vers la gauche) autant de fois le pas qu'il y a d'intervalles à franchir.
Méthode 2 — placer un point d'abscisse donnée.
1) Calculer le pas de la même façon.
2) Diviser l'abscisse cherchée par le pas : on obtient le nombre de graduations à compter depuis l'origine.
3) Compter vers la droite si le nombre est positif, vers la gauche s'il est négatif.
Sur cette droite, entre $0$ et $1$ il y a $4$ intervalles : le pas vaut $1 \div 4 = 0{,}25$. Le point $C$ est une graduation à gauche de $-1$, donc $-1 - 0{,}25 = -1{,}25$. Le point $D$ est une graduation à gauche de $3$, donc $3 - 0{,}25 = 2{,}75$.
Définition. Un repère orthogonal du plan est formé de deux droites graduées perpendiculaires se coupant en un point $O$, l'origine, qui porte le $0$ sur chacune d'elles. Tu le rencontreras aussi sous le nom de repère cartésien : c'est le même objet, nommé d'après Descartes (voir le dernier palier).
• La droite horizontale est l'axe des abscisses.
• La droite verticale est l'axe des ordonnées.
Coordonnées. Tout point $M$ du plan est repéré par un couple de nombres $M(x_M\,;\,y_M)$ : $x_M$ est son abscisse, $y_M$ son ordonnée. L'ordre n'est pas négociable — a avant o, comme dans l'alphabet. Autre moyen de s'en souvenir : on marche d'abord (gauche-droite), on grimpe ensuite (bas-haut).
Le séparateur est le point-virgule, parce que la virgule sert déjà à écrire les décimaux : $M(1{,}5\,;\,-2)$ se lit sans ambiguïté.
Et le signe $+$ ? Dans le chapitre sur les nombres relatifs, on écrit souvent l'abscisse d'un positif avec son signe, $+2$, pour bien marquer qu'il s'oppose à $-2$. En géométrie, on l'écrit plutôt sans : $2$. Les deux écritures désignent le même nombre, donc le même point — $M(3\,;\,2)$ et $M(+3\,;\,+2)$, c'est pareil. Ce qui n'est jamais facultatif, en revanche, c'est le signe $-$ d'un nombre négatif.
Ce que disent les signes. Une abscisse positive place le point à droite de l'axe des ordonnées, une abscisse négative à sa gauche. Une ordonnée positive le place au-dessus de l'axe des abscisses, une ordonnée négative en dessous.
Méthode 3 — lire les coordonnées d'un point. Depuis le point, descendre (ou monter) verticalement jusqu'à l'axe des abscisses : on lit $x_M$. Puis, depuis le point, aller horizontalement jusqu'à l'axe des ordonnées : on lit $y_M$.
Méthode 4 — placer un point de coordonnées données. Partir de $O$, se déplacer horizontalement de $x_M$ (à droite si positif, à gauche si négatif), puis verticalement de $y_M$ (vers le haut si positif, vers le bas si négatif). Marquer le point et écrire son nom à côté.
Les quatre points de la figure occupent les quatre régions découpées par les axes : $M(3\,;\,2)$ en haut à droite, $N(-2\,;\,3)$ en haut à gauche, $P(-4\,;\,-1)$ en bas à gauche, $Q(1\,;\,-3)$ en bas à droite. Le signe de chaque coordonnée suffit à savoir dans quelle région on est.
• L'origine a pour coordonnées $O(0\,;\,0)$.
• Un point situé sur l'axe des abscisses a une ordonnée nulle : $R(3\,;\,0)$.
• Un point situé sur l'axe des ordonnées a une abscisse nulle : $S(0\,;\,-2)$.
• Deux points de même abscisse sont l'un au-dessus de l'autre : le segment qui les joint est vertical. C'est le cas de $T(-3\,;\,2)$ et $U(-3\,;\,-1)$.
• Deux points de même ordonnée sont côte à côte : le segment qui les joint est horizontal.
On se met en jambes. Trois exemples, faits ensemble, ligne par ligne — tu lis, tu suis, tu hoches la tête. Rien à rédiger seul ici : on te montre tout le calcul.
On demande les abscisses de $R$ et de $S$.
Le pas d'abord. Entre $0$ et $1$, je compte $4$ intervalles. Donc $\text{pas} = 1 \div 4 = 0{,}25$.
Abscisse de $R$. $R$ est $3$ graduations après $0$ : $0 + 3 \times 0{,}25 = 0{,}75$. Donc $R(0{,}75)$.
Abscisse de $S$. $S$ est $2$ graduations avant $0$ : $0 - 2 \times 0{,}25 = -0{,}5$. Donc $S(-0{,}5)$.
Contrôle de bon sens. $R$ est entre $0$ et $1$, donc son abscisse est entre $0$ et $1$ : $0{,}75$ convient. $S$ est à gauche du $0$, donc son abscisse est négative : $-0{,}5$ convient. Si tu avais trouvé $S(0{,}5)$, la figure t'aurait contredit tout de suite.
Sur une droite graduée où l'unité est partagée en $5$, on veut placer $E$ d'abscisse $1{,}4$ et $F$ d'abscisse $-0{,}6$.
Le pas. $5$ intervalles pour une unité : $\text{pas} = 1 \div 5 = 0{,}2$.
Où va $E$ ? $1{,}4 \div 0{,}2 = 7$ : je compte $7$ graduations à droite de l'origine. Autre façon de voir, plus rapide : $1{,}4 = 1 + 0{,}4$ et $0{,}4 \div 0{,}2 = 2$, donc $E$ est $2$ graduations après le $1$.
Où va $F$ ? $-0{,}6 \div 0{,}2 = -3$ : je compte $3$ graduations à gauche de l'origine, parce que $-0{,}6$ est négatif.
Vérification. $E$ tombe entre $1$ et $2$, plus près de $1$ : correct pour $1{,}4$. $F$ tombe entre $-1$ et $0$, plus près de $-1$ : correct pour $-0{,}6$.
Dans le repère ci-dessous, on lit les coordonnées de $A$, $B$ et $C$, puis on place $D(4\,;\,-3)$.
Point $A$. À la verticale de $A$, l'axe des abscisses indique $2$ : $x_A = 2$. À l'horizontale de $A$, l'axe des ordonnées indique $3$ : $y_A = 3$. Donc $A(2\,;\,3)$.
Point $B$. $B$ est à gauche de l'axe des ordonnées, son abscisse est donc négative : $x_B = -3$. Il est au-dessus de l'axe des abscisses : $y_B = 1$. Donc $B(-3\,;\,1)$.
Point $C$. $x_C = -1$ et $y_C = -2$, les deux négatives : $C(-1\,;\,-2)$.
Placer $D(4\,;\,-3)$. Je pars de $O$, j'avance de $4$ vers la droite (l'abscisse est positive), puis je descends de $3$ (l'ordonnée est négative). Je marque le point et j'écris $D$ à côté.
Le réflexe qui sauve. Avant d'écrire quoi que ce soit, regarde les signes : $D$ doit être en bas à droite. S'il atterrit ailleurs, tu as inversé les deux coordonnées.
Niveau contrôle. On muscle les points qui rapportent — ou qui coûtent — des points : les trois pièges qui font perdre la moitié d'un exercice, deux problèmes types rédigés comme le correcteur les aime, et la checklist à cocher avant de rendre.
C'est le piège du chapitre. Les nombres écrits sous la droite ne sont pas forcément de $1$ en $1$, et il y a souvent des graduations non chiffrées entre eux.
Le raisonnement. Entre $0$ et $10$, je compte $5$ intervalles. Donc $\text{pas} = 10 \div 5 = 2$ : chaque graduation vaut $2$.
Abscisse de $T$. $T$ est $2$ graduations après $20$ : $20 + 2 \times 2 = 24$. Donc $T(24)$.
L'erreur classique consiste à lire « $22$ » en comptant les graduations comme si elles valaient $1$. Calcule toujours le pas avant de lire quoi que ce soit.
$U(3\,;\,5)$ et $V(5\,;\,3)$ s'écrivent avec les mêmes chiffres et ne sont pas du tout le même point. Inverser les deux coordonnées, c'est perdre l'exercice entier.
$U(3\,;\,5)$ : $3$ vers la droite, puis $5$ vers le haut. $V(5\,;\,3)$ : $5$ vers la droite, puis $3$ vers le haut. Les deux points sont bien distincts.
Plus discret que les deux premiers, et tout aussi coûteux. Entre le trait du $0$ et celui du $1$, il peut y avoir $4$ traits intermédiaires — cela fait $5$ intervalles, pas $4$, et le pas vaut donc $0{,}2$ et non $0{,}25$.
La parade tient en trois mots : compte les espaces, pas les barres. Si tu hésites, pose ton doigt sur chaque intervalle en comptant à voix basse — un intervalle, un doigt.
Énoncé. Sur la droite graduée ci-dessous, seules deux graduations sont chiffrées. Déterminer le pas, puis lire les abscisses de $G$, $H$ et $K$.
Le pas. Entre $0$ et $3$, l'écart vaut $3 - 0 = 3$ et je compte $6$ intervalles. Donc $\text{pas} = 3 \div 6 = 0{,}5$.
Abscisse de $G$. $G$ est $3$ graduations à gauche de $0$ : $0 - 3 \times 0{,}5 = -1{,}5$. Donc $G(-1{,}5)$.
Abscisse de $H$. $H$ est $1$ graduation à droite de $0$ : $0 + 1 \times 0{,}5 = 0{,}5$. Donc $H(0{,}5)$.
Abscisse de $K$. $K$ est $1$ graduation à gauche de $3$ : $3 - 0{,}5 = 2{,}5$. Donc $K(2{,}5)$.
Ce que le correcteur veut lire : le calcul du pas, écrit noir sur blanc, avant les trois lectures. Trois abscisses justes sans le pas rapportent moins que deux abscisses justes avec la méthode apparente.
Énoncé. Dans un repère orthogonal, on place $A(-3\,;\,1)$, $B(2\,;\,1)$ et $C(2\,;\,-2)$. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un rectangle, puis calculer le périmètre et l'aire de ce rectangle, en unités du repère.
Coordonnées de $D$. $A$ et $B$ ont la même ordonnée $1$ : $[AB]$ est horizontal. $B$ et $C$ ont la même abscisse $2$ : $[BC]$ est vertical. Pour fermer le rectangle, $D$ doit avoir la même abscisse que $A$, soit $-3$, et la même ordonnée que $C$, soit $-2$. Donc $D(-3\,;\,-2)$.
Longueurs. Ici les deux axes portent la même unité, on peut donc comparer une longueur horizontale et une longueur verticale. $A$ et $B$ étant sur une même horizontale, $AB = 2 - (-3) = 5$ unités. $B$ et $C$ étant sur une même verticale, $BC = 1 - (-2) = 3$ unités.
Périmètre. $P = 2 \times (5 + 3) = 16$ unités de longueur.
Aire. $\mathcal{A} = 5 \times 3 = 15$ unités d'aire.
La checklist à cocher avant de rendre ta copie :
• J'ai calculé le pas avant de lire la moindre abscisse.
• J'ai compté les intervalles, pas les traits.
• J'ai écrit l'abscisse en premier, l'ordonnée en second, séparées par un point-virgule.
• Les signes de mes coordonnées correspondent bien à la région où se trouve le point.
• Sur ma figure, chaque point porte son nom et l'origine est notée $O$.
Tu sais lire et placer. On prend un peu de hauteur : ce que ton repère va devenir dans les chapitres suivants puis au lycée, les repérages qui ne tiennent pas sur une feuille, et d'où viennent ces fameuses coordonnées. Sauf le tout premier point, qui est bien au programme de 5e, rien de tout ça ne tombe au contrôle.
• Dès cette année, deux fois. En statistiques, le programme de 5e demande de représenter des données sous forme de graphique cartésien : c'est exactement un repère, avec une grandeur sur chaque axe. Et dans le chapitre Proportionnalité, fonctions, toujours en 5e, on demande de « placer dans un repère orthogonal donné des points correspondant à un tableau de valeurs » et de lire un graphique donné par une courbe ou un nuage de points. Autrement dit : ce chapitre-ci est l'outil, ces deux-là sont ses premiers usages — et eux tombent au contrôle.
• En 4e, la longueur d'un segment. Le théorème de Pythagore te permettra de calculer la distance entre deux points quelconques à partir de leurs coordonnées, à condition que les deux axes portent la même unité. Pour l'instant, tu ne sais mesurer que les segments horizontaux ou verticaux, comme dans le problème du rectangle.
• En 3e, le vocabulaire des fonctions. La courbe, tu sais déjà la lire ; en 3e on lui donne son langage — image, antécédent, notation $f(x)$ — et on étudie les fonctions affines, dont la représentation est une droite.
• Au lycée, le milieu par le calcul. Les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ s'obtiennent en faisant la moyenne, coordonnée par coordonnée : $x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2}$ et $y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2}$. Avec $A(-3\,;\,1)$ et $B(3\,;\,3)$ : $x_I = \dfrac{-3 + 3}{2} = 0$ et $y_I = \dfrac{1 + 3}{2} = 2$, donc $I(0\,;\,2)$. C'est un objectif de seconde — mais rien ne t'empêche de le vérifier dès maintenant sur une figure.
• Sur la Terre. La latitude et la longitude sont les deux coordonnées d'un point du globe. Ton téléphone n'affiche pas autre chose quand il te géolocalise : deux nombres, dans un ordre convenu.
• Dans l'espace. Deux nombres suffisent pour un plan ; il en faut trois pour repérer un point dans l'espace — longueur, largeur, hauteur. C'est le principe d'une adresse dans un entrepôt, ou d'un point dans un jeu vidéo en 3D.
• Sur un écran. Chaque pixel a deux coordonnées. Attention : en informatique, l'axe vertical est souvent orienté vers le bas, l'origine étant le coin en haut à gauche. Le repère n'est pas une loi de la nature, c'est une convention qu'on choisit — et qu'il faut donc toujours lire avant de s'en servir.
Repérer un point par deux nombres paraît évident aujourd'hui ; l'idée a pourtant mis des siècles à s'imposer. Au XIVe siècle, Nicole Oresme, à Paris, représente déjà une grandeur qui varie en portant des segments verticaux le long d'une ligne horizontale — l'ancêtre direct de nos graphiques.
Il faut attendre René Descartes et sa Géométrie (1637) pour que la méthode devienne systématique et permette de traiter des problèmes de géométrie par le calcul. C'est de son nom latin, Cartesius, que viennent les mots « cartésien » et « coordonnées cartésiennes ».
Moralité : ce que tu apprends ici en une heure a demandé trois siècles. C'est une ouverture, pas une leçon — rien de tout ça ne sera demandé au contrôle.
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