Aucune panique. Tu n'as jamais entendu parler de ces propriétés mais on va les installer en quelques minutes, juste ce qu'il faut pour survivre au contrôle. On commence par réveiller ce que tu sais déjà des triangles depuis la 6e, puis on enchaîne avec les deux règles universelles qui te permettront de calculer des angles et de dire si un triangle est constructible.
Un triangle, c'est trois côtés, trois sommets et trois angles. En 6e, tu as appris à reconnaître quelques familles :
- triangle rectangle : un angle de 90°,
- triangle isocèle : deux côtés de même longueur,
- triangle équilatéral : trois côtés égaux (et donc trois angles de 60°),
- triangle quelconque : aucun côté égal, aucun angle droit.
Tu sais aussi qu'on peut tracer un triangle si on connaît ses trois longueurs, à condition qu'elles ne soient pas trop déséquilibrées – c'est justement ce que l'inégalité triangulaire va t'apprendre à vérifier par le calcul.
Tout triangle, quelle que soit sa forme, obéit à deux lois :
1. Somme des angles
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$. Connaître deux angles suffit pour calculer le troisième.
2. Inégalité triangulaire
Chaque côté est strictement plus court que la somme des deux autres.
En pratique, il suffit de vérifier que le plus grand côté est strictement inférieur à la somme des deux autres. Si c'est vrai, le triangle existe ; sinon, tracé impossible.
Dans le triangle $ABC$, on donne $\widehat{A}=40°$ et $\widehat{B}=70°$.
Complète pour trouver $\widehat{C}$ :
$\widehat{C} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$\widehat{C} = 180° - 40° - 70° = 70°$.
On veut savoir si un triangle de côtés $6$ cm, $10$ cm et $4$ cm peut être construit.
Complète le test :
Le plus grand côté est $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
La somme des deux autres côtés est $\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Cette somme est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (écris : strictement supérieure, égale ou inférieure) au plus grand côté.
Donc le triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$ (écris : existe ou n'existe pas).
Le plus grand côté est $10$ cm. La somme des deux autres est $6+4=10$ cm. Cette somme est égale au plus grand côté. L'inégalité n'est pas stricte, donc le triangle n'existe pas (ou est plat).
Même question pour des côtés de $5$ cm, $8$ cm et $11$ cm. Complète :
Plus grand côté = $\underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Somme des deux autres = $\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Comparaison : $\underline{\hspace{1.1em}} \quad \underline{\hspace{1.1em}}$ (utilise $\lt$, $=$ ou $\gt$) donc le triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Plus grand côté = $11$ cm. Somme = $5+8=13$ cm. $13 \gt 11$, donc le triangle existe.
Ah oui, ça revient ! On reprend les deux propriétés calmement, avec la méthode pas à pas pour ne plus jamais hésiter entre calculer un angle et vérifier si un triangle peut exister.
Quand on connaît deux angles d'un triangle, on obtient le troisième en trois étapes :
$\widehat{C} = 180° - (\widehat{A}+\widehat{B})$
Pour savoir si trois longueurs permettent de construire un triangle :
Dans le triangle $EFG$, $\widehat{E}=112°$ et $\widehat{F}=29°$.
Complète pour calculer $\widehat{G}$ :
$180° - (\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}) = 180° - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$180° - (112° + 29°) = 180° - 141° = 39°$.
Vérifie si le triangle de côtés $8$ cm, $3$ cm et $6$ cm est constructible.
Complète : plus grand côté $= \underline{\hspace{1.1em}}$ cm, somme des deux autres $= \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
On a $\underline{\hspace{1.1em}} \quad \underline{\hspace{1.1em}}$ donc le triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Plus grand côté $= 8$ cm. Somme des deux autres $= 3+6=9$ cm. $9 \gt 8$, donc le triangle existe.
Triangle $ABC$ isocèle en $A$ tel que $\widehat{A}=50°$.
Complète : dans un triangle isocèle, les angles à la base $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ sont égaux.
Donc $\widehat{B}+\widehat{C} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Chacun mesure $\underline{\hspace{1.1em}} \div 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$\widehat{B}+\widehat{C} = 180° - 50° = 130°$. Chacun mesure $130° \div 2 = 65°$.
C'est le moment de muscler le calcul automatique : cinq triangles, deux angles donnés, à toi de trouver le troisième. La même mécanique répétée cinq fois pour que ça devienne un réflexe. Aucun piège.
Calcule $\widehat{C}$ dans $ABC$ avec $\widehat{A}=60°$ et $\widehat{B}=50°$.
$\widehat{C}=180°-\underline{\hspace{1.1em}}-\underline{\hspace{1.1em}}=\underline{\hspace{1.1em}}$.
$180°-60°-50°=70°$.
Calcule $\widehat{C}$ avec $\widehat{A}=85°$ et $\widehat{B}=25°$.
$\widehat{C}=180°-\underline{\hspace{1.1em}}-\underline{\hspace{1.1em}}=\underline{\hspace{1.1em}}$.
$180°-85°-25°=70°$.
Calcule $\widehat{C}$ avec $\widehat{A}=110°$ et $\widehat{B}=35°$.
$\widehat{C}=180°-\underline{\hspace{1.1em}}-\underline{\hspace{1.1em}}=\underline{\hspace{1.1em}}$.
$180°-110°-35°=35°$.
Calcule $\widehat{C}$ avec $\widehat{A}=90°$ et $\widehat{B}=27°$.
$\widehat{C}=180°-\underline{\hspace{1.1em}}-\underline{\hspace{1.1em}}=\underline{\hspace{1.1em}}$.
$180°-90°-27°=63°$.
Calcule $\widehat{C}$ avec $\widehat{A}=53°$ et $\widehat{B}=53°$.
$\widehat{C}=180°-\underline{\hspace{1.1em}}-\underline{\hspace{1.1em}}=\underline{\hspace{1.1em}}$.
$180°-53°-53°=74°$.
Tu as la technique, passons aux exercices qui ressemblent vraiment à ce que tu trouveras en évaluation. Problèmes, cas particuliers, un peu de recherche : c'est le moment de montrer que tu maîtrises parfaitement les deux propriétés.
Dans le triangle $RST$, on donne $\widehat{R}=48°$ et $\widehat{S}=72°$. Calcule $\widehat{T}$.
$\widehat{T}=180°-48°-72°=60°$.
Pour chaque triplet, indique si le triangle est constructible. Justifie par un calcul.
a) $4$ cm ; $9$ cm ; $11$ cm
b) $3$ cm ; $3$ cm ; $7$ cm
c) $5$ cm ; $5$ cm ; $10$ cm
d) $6$ cm ; $7$ cm ; $8$ cm
a) $4+9=13 \gt 11$ → constructible.
b) $3+3=6 \lt 7$ → impossible.
c) $5+5=10$ égalité → impossible (triangle plat).
d) $6+7=13 \gt 8$ → constructible.
Un triangle isocèle a ses deux angles de base égaux, chacun valant $74°$. Calcule le troisième angle. Ce triangle peut-il être rectangle ? Justifie.
Troisième angle $=180°-74°-74°=32°$. Les angles sont $74°, 74°, 32°$ ; aucun ne vaut $90°$, le triangle n'est pas rectangle.
Dans le triangle $ABC$, $\widehat{A}$ est le double de $\widehat{B}$, et $\widehat{C}=30°$.
Détermine les mesures de $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$.
On pose $\widehat{B}=x$. Alors $\widehat{A}=2x$. L'équation : $2x+x+30°=180°$ donne $3x=150°$, donc $x=50°$.
$\widehat{B}=50°$, $\widehat{A}=100°$.
Deux côtés d'un triangle mesurent $7$ cm et $10$ cm. Le troisième côté mesure $x$ cm, avec $x \gt 0$.
Détermine toutes les valeurs possibles de $x$ et donne l'encadrement.
Le plus grand côté sera soit $10$, soit $x$ selon la valeur de $x$.
Conditions : $x \lt 7+10 = 17$ et $10 \lt 7+x$ soit $x \gt 3$.
Donc $3 \lt x \lt 17$ cm.
Curieux de voir jusqu'où ces deux idées peuvent mener ? Voici un avant-goût des raisonnements qui t'attendent l'an prochain : angle extérieur, recherche de longueurs entières avec contraintes, et une situation concrète qui mélange tout. Rien d'obligatoire pour aujourd'hui, mais de quoi prendre de l'avance avec le sourire.
Quand on prolonge un côté d'un triangle, on forme un angle extérieur. La propriété dit que cet angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents. C'est une conséquence directe de la somme des angles que tu connais déjà : l'angle extérieur et l'angle intérieur adjacent forment un angle plat de 180°.
On prolonge le côté $[BC]$ d'un triangle $ABC$ au-delà de $C$. Soit $D$ un point sur cette prolongation. L'angle $\widehat{ACD}$ est alors un angle extérieur.
a) Exprime $\widehat{ACD}$ en fonction de $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ en utilisant le fait que $\widehat{ACB}+\widehat{ACD}=180°$ et que $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{ACB}=180°$.
Complète : $\widehat{ACD} = 180° - \widehat{ACB}$, et $180° - \widehat{ACB} = \widehat{\underline{\hspace{1.1em}}} + \widehat{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Donc un angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$\widehat{ACD} = 180° - \widehat{ACB}$. Comme $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{ACB}=180°$, on a $180° - \widehat{ACB} = \widehat{A} + \widehat{B}$. Donc l'angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents.
Un triangle a un côté de $12$ cm. Les deux autres côtés ont des longueurs entières (en cm) et sont égaux. Quelles valeurs peut prendre ce côté commun ?
Soit $x$ la longueur commune des deux autres côtés, entière. L'inégalité triangulaire impose $2x \gt 12$ donc $x \gt 6$, et $x \lt 12 + x$ (toujours vrai) et $12 \lt 2x$ déjà traitée. De plus, le plus grand côté peut être $12$ si $x \lt 12$ ou $x$ si $x \gt 12$.
Si $x \lt 12$, condition $12 \lt x + x$ soit $12 \lt 2x$, donc $x \gt 6$. Valeurs entières : $7,8,9,10,11$.
Si $x \gt 12$, le plus grand côté est $x$, il faut $x \lt 12 + x$ (trivial) et $x \lt x+12$ (trivial), pas de restriction supérieure.
Donc $x \ge 7$ entier. Toutes les valeurs entières à partir de $7$ fonctionnent, mais $x=12$ cas $x=12$ donne $12 \lt 12+12$ vrai, triangle isocèle possible.
Ainsi $x \ge 7$ entier. L'ensemble est $x \in \{7,8,9,10,11,12,13,\dots\}$.
Défi : Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent $x$, $x+3$ et $2x-1$ (en cm) avec $x$ entier positif ? Cherche pour quelles valeurs de $x$ le triangle existe.
Pour que le triangle existe, les trois inégalités triangulaires doivent être vérifiées simultanément. On pose $a=x$, $b=x+3$, $c=2x-1$.
Inégalité 1 : $a+b > c$
$x+(x+3) > 2x-1 \Rightarrow 2x+3 > 2x-1 \Rightarrow 3 > -1$ : toujours vraie, quelle que soit la valeur de $x$.
Inégalité 2 : $a+c > b$
$x+(2x-1) > x+3 \Rightarrow 3x-1 > x+3 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2$.
Inégalité 3 : $b+c > a$
$(x+3)+(2x-1) > x \Rightarrow 3x+2 > x \Rightarrow 2x > -2$ : toujours vraie pour $x > 0$.
La seule condition restrictive est donc $x > 2$. Comme $x$ est un entier positif, cela signifie $x \geq 3$.
Vérification sur les petites valeurs :
$x=1$ : côtés $1$, $4$, $1$ ; or $1+1=2
ot> 4$ : triangle impossible.
$x=2$ : côtés $2$, $5$, $3$ ; or $2+3=5
ot> 5$ (l'inégalité doit être stricte) : triangle impossible.
$x=3$ : côtés $3$, $6$, $5$ ; $3+5=8>6$, $3+6=9>5$, $5+6=11>3$ : triangle possible.
Le triangle existe exactement pour tout entier $x \geq 3$.
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