Aucune panique. Une partie du chapitre, tu l'as déjà vue en 6e : on la réveille en trois lignes. Ensuite on attaque ce qui compte cette année — démontrer le $180°$, la hauteur et l'aire, la médiane — avec des exercices guidés où tu n'as que les trous à remplir.
Rappels de 6e — les outils déjà installés
Dans tout triangle, $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ : deux angles connus donnent le troisième. Un codage te dit tout de suite si le triangle est isocèle (deux côtés marqués), équilatéral (trois) ou rectangle (petit carré). Enfin, les trois médiatrices d'un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit, celui qui passe par les trois sommets.
Tout ça, on s'en sert — on ne le réapprend pas.
Ce qui est nouveau en 5e
1. Démontrer le $180°$. On trace par $A$ la parallèle à $(BC)$. Les angles alternes-internes étant égaux, on retrouve $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ collés de part et d'autre de $\widehat{A}$ : ensemble ils forment un angle plat, donc $180°$.
2. Aire et hauteur. La hauteur issue de $A$ est la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $(BC)$ ; son pied se note $H$. Aire $= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes (leur point commun est l'orthocentre).
3. Médiane. La médiane issue de $A$ joint $A$ au milieu de $[BC]$. Elle partage le triangle en deux triangles de même aire.
À toi de jouer
Dans le triangle $ABC$, on donne $\widehat{A}=40°$ et $\widehat{B}=70°$.
Complète pour trouver $\widehat{C}$ :
$\widehat{C} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\widehat{C} = 180° - 40° - 70° = 70°$.
Un triangle a un côté de $9$ cm ; la hauteur relative à ce côté mesure $6$ cm.
Complète le calcul de son aire :
aire $= \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
aire $= \dfrac{9 \times 6}{2} = \dfrac{54}{2} = 27$ cm².
On n'oublie ni la division par $2$, ni l'unité : une aire se donne en cm².
Complète la démonstration du $180°$ (choisis dans la liste : parallèle, alternes-internes, plat, 180°) :
« Je trace par $A$ la droite $(d)$ à $(BC)$.
$(AB)$ coupe ces deux droites : les angles sont égaux, donc l'angle entre $(d)$ et $[AB]$ mesure $\widehat{B}$.
De même, l'angle entre $(d)$ et $[AC]$ mesure $\widehat{C}$.
En $A$, ces trois angles forment un angle , donc $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = $ . »
Corrigé
« Je trace par $A$ la droite $(d)$ parallèle à $(BC)$. $(AB)$ coupe ces deux droites : les angles alternes-internes sont égaux, donc l'angle entre $(d)$ et $[AB]$ mesure $\widehat{B}$. De même, l'angle entre $(d)$ et $[AC]$ mesure $\widehat{C}$. En $A$, ces trois angles forment un angle plat, donc $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = 180°$. »
Ah oui, ça revient. On reprend les méthodes calmement — démontrer, tracer, calculer — puis trois exercices guidés pour vérifier que chaque geste est en place.
Méthode 1 — rédiger la démonstration du 180°
- Tracer la droite $(d)$ passant par $A$ et parallèle à $(BC)$.
- Écrire que $(d)$ et $(BC)$ sont coupées par la sécante $(AB)$ : les angles alternes-internes sont égaux, donc l'un des angles en $A$ mesure $\widehat{B}$.
- Recommencer avec la sécante $(AC)$ : un autre angle en $A$ mesure $\widehat{C}$.
- Conclure : en $A$ les trois angles forment un angle plat, donc $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$.
Les mots « parallèle », « alternes-internes » et « angle plat » sont les trois qui rapportent les points.
Méthode 2 — hauteur, médiane, médiatrice : ne pas les confondre
- Hauteur issue de $A$ : passe par $A$, perpendiculaire à la droite $(BC)$. Le pied peut sortir du côté.
- Médiane issue de $A$ : joint $A$ au milieu de $[BC]$.
- Médiatrice de $[BC]$ : perpendiculaire à $[BC]$ en son milieu, et elle ne passe par aucun sommet en général.
Méthode 3 — calculer une aire, ou remonter à une longueur
aire $= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur relative à cette base}}{2}$.
Si c'est la hauteur qu'on cherche, on remplace ce qu'on connaît et on remonte par les opérations inverses : de $\dfrac{b \times h}{2} = \mathcal{A}$ on tire $b \times h = 2 \times \mathcal{A}$, puis $h = (2 \times \mathcal{A}) \div b$.
À toi de jouer
Dans le triangle $EFG$, $\widehat{E}=112°$ et $\widehat{F}=29°$.
Complète pour calculer $\widehat{G}$ :
$180° - (\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}) = 180° - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$180° - (112° + 29°) = 180° - 141° = 39°$.
Un triangle a une aire de $45$ cm² et un côté de $15$ cm.
Complète pour trouver la hauteur $h$ relative à ce côté :
$\dfrac{15 \times h}{2} = 45$, donc $15 \times h = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc $h = \underline{\hspace{1.1em}} \div 15 = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
$15 \times h = 2 \times 45 = 90$, donc $h = 90 \div 15 = 6$ cm.
Contrôle : $\dfrac{15 \times 6}{2} = \dfrac{90}{2} = 45$ cm². C'est bien l'aire de départ.
Le triangle $ABC$ a une aire de $52$ cm². $M$ est le milieu de $[BC]$.
Complète : le segment $[AM]$ est la issue de $A$. Elle partage $ABC$ en deux triangles de aire.
Donc aire$(ABM) = 52 \div \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
$[AM]$ est la médiane issue de $A$. Elle partage $ABC$ en deux triangles de même aire.
aire$(ABM) = 52 \div 2 = 26$ cm² (et aire$(AMC) = 26$ cm² également).
On muscle les automatismes du chapitre : cinq calculs courts, un par geste — aire, aire, hauteur retrouvée, médiane, triangle rectangle. Aucun piège, juste de la répétition pour que la formule devienne un réflexe.
À toi de jouer
Calcule l'aire d'un triangle de base $10$ cm et de hauteur $4$ cm.
aire $= \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Corrigé
aire $= \dfrac{10 \times 4}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$ cm².
Calcule l'aire d'un triangle de base $7$ cm et de hauteur $6$ cm.
Corrigé
aire $= \dfrac{7 \times 6}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$ cm².
Un triangle a une aire de $24$ cm² et un côté de $8$ cm. Combien mesure la hauteur relative à ce côté ?
Corrigé
$8 \times h = 2 \times 24 = 48$, donc $h = 48 \div 8 = 6$ cm.
Le triangle $RST$ a une aire de $30$ cm². $M$ est le milieu de $[ST]$. Quelle est l'aire du triangle $RSM$ ?
Corrigé
$[RM]$ est la médiane issue de $R$ : elle partage $RST$ en deux triangles de même aire.
aire$(RSM) = 30 \div 2 = 15$ cm².
$ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et $AC = 5$ cm. Calcule son aire. (Indication : $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires.)
Corrigé
Comme $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires, $[AC]$ porte la hauteur relative à la base $[AB]$.
aire $= \dfrac{6 \times 5}{2} = \dfrac{30}{2} = 15$ cm².
Passons au format contrôle. Ici on te demande de démontrer et de justifier, pas seulement de trouver un nombre : la rédaction compte autant que le résultat. Cinq exercices, dans l'ordre où ils tombent en évaluation.
À toi de jouer
$ABC$ est un triangle quelconque. Démontre que $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$. Rédige entièrement, en citant les propriétés utilisées.
Corrigé
Je trace la droite $(d)$ passant par $A$ et parallèle à $(BC)$.
$(d)$ et $(BC)$ sont deux droites parallèles coupées par la sécante $(AB)$ : les angles alternes-internes qu'elles forment sont égaux. L'angle entre $(d)$ et $[AB]$, du côté de $B$, mesure donc $\widehat{B}$.
De la même façon, $(d)$ et $(BC)$ sont coupées par la sécante $(AC)$ : l'angle entre $(d)$ et $[AC]$, du côté de $C$, mesure $\widehat{C}$.
Au point $A$, ces deux angles et l'angle $\widehat{A}$ sont adjacents et recouvrent la droite $(d)$ d'un même côté : ils forment un angle plat, qui mesure $180°$.
Donc $\widehat{B}+\widehat{A}+\widehat{C}=180°$, c'est-à-dire $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$.
Barème type : 1 point pour la parallèle, 1 point pour chaque emploi des angles alternes-internes, 1 point pour l'angle plat, 1 point pour la conclusion. Écrire « on sait que ça fait $180°$ » ne rapporte rien : c'est ce qu'il fallait démontrer.
$ABC$ est un triangle tel que $BC = 14$ cm ; la hauteur issue de $A$ mesure $10$ cm. $M$ est le milieu de $[BC]$.
a) Calcule l'aire de $ABC$.
b) Démontre que les triangles $ABM$ et $AMC$ ont la même aire, puis donne cette aire.
Corrigé
a) aire$(ABC) = \dfrac{14 \times 10}{2} = \dfrac{140}{2} = 70$ cm².
b) $M$ est le milieu de $[BC]$, donc $BM = MC = 14 \div 2 = 7$ cm.
Les points $B$, $M$ et $C$ appartiennent à la même droite $(BC)$ : la distance de $A$ à cette droite est donc la même pour les deux triangles. La hauteur issue de $A$ vaut $10$ cm aussi bien dans $ABM$ que dans $AMC$.
Donc aire$(ABM) = \dfrac{BM \times 10}{2} = \dfrac{7 \times 10}{2} = 35$ cm² et aire$(AMC) = \dfrac{MC \times 10}{2} = \dfrac{7 \times 10}{2} = 35$ cm².
Les deux aires sont égales : $35$ cm² chacune, soit bien la moitié des $70$ cm² de $ABC$. La médiane $[AM]$ partage donc le triangle en deux triangles de même aire.
$ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 10$ cm.
a) Calcule l'aire de $ABC$.
b) Déduis-en la hauteur issue de $A$ relative à $[BC]$.
c) Où se trouve l'orthocentre de $ABC$ ? Justifie.
d) Donne le centre et le rayon du cercle circonscrit à $ABC$.
Corrigé
a) $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires, donc $[AC]$ porte la hauteur relative à la base $[AB]$ : aire $= \dfrac{6 \times 8}{2} = 24$ cm².
b) La même aire se calcule avec la base $[BC]$ : $\dfrac{10 \times h}{2} = 24$, donc $5 \times h = 24$ et $h = 24 \div 5 = 4{,}8$ cm.
c) $(AB)$ est perpendiculaire à $(AC)$ : la droite $(AB)$ est donc la hauteur issue de $B$, et $(AC)$ la hauteur issue de $C$. Ces deux hauteurs se coupent en $A$. Comme les trois hauteurs sont concourantes, l'orthocentre est le point $A$.
d) Le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse $[BC]$, et son rayon vaut $10 \div 2 = 5$ cm.
Sofia affirme : « dans tout triangle, le pied de chaque hauteur est situé sur le côté opposé ».
Montre que cette affirmation est fausse en donnant un contre-exemple, et explique pourquoi un seul suffit.
Corrigé
Contre-exemple : le triangle $ABC$ avec $\widehat{A}=110°$, $\widehat{B}=40°$ et $\widehat{C}=30°$. Ce triangle existe bien : $110°+40°+30°=180°$.
L'angle $\widehat{A}$ est obtus. La hauteur issue de $B$ est perpendiculaire à la droite $(AC)$ : son pied tombe en dehors du segment $[AC]$, au-delà de $A$, sur le prolongement du côté. Il en va de même pour la hauteur issue de $C$ par rapport à $[AB]$.
L'affirmation de Sofia est donc fausse.
Pourquoi un seul suffit : l'affirmation prétend être vraie pour tout triangle. Un seul triangle qui la contredit la fait tomber. C'est le raisonnement par contre-exemple. Attention : cela fonctionne uniquement pour démontrer qu'une affirmation est fausse — un exemple qui marche ne démontre jamais qu'elle est vraie.
a) Calcule $\widehat{A}$ dans le triangle $ABC$ tel que $BC = 6$ cm, $\widehat{B}=55°$ et $\widehat{C}=65°$, puis construis ce triangle.
b) Trace la hauteur issue de $A$ et la médiane issue de $A$. Que constates-tu ? Explique.
Corrigé
a) $\widehat{A} = 180° - 55° - 65° = 60°$.
Construction : tracer $[BC]$ de $6$ cm ; en $B$, tracer une demi-droite faisant un angle de $55°$ avec $[BC]$ ; en $C$, une demi-droite faisant $65°$ avec $[BC]$, du même côté. Leur point d'intersection est $A$.
b) Ce sont deux droites distinctes : le pied de la hauteur issue de $A$ n'est pas le milieu de $[BC]$.
Explication : la hauteur et la médiane issues de $A$ se confondent lorsque le triangle est isocèle en $A$, c'est-à-dire lorsque $\widehat{B}=\widehat{C}$. Ici $55° \ne 65°$ : le triangle n'est pas isocèle en $A$, et les deux droites sont bien séparées.
Curieux de voir jusqu'où va ce triangle ? Les hauteurs sont concourantes, tu le sais. Les médianes aussi. Les médiatrices aussi. Trois points remarquables dans une même figure — et une surprise quand on les relie. Rien d'exigible aujourd'hui, tout à regarder.
Aperçu — trois points, une droite
Les trois médianes d'un triangle passent par un même point $G$, le centre de gravité. Il est toujours aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet : $AG = \dfrac{2}{3} \times AM$ si $M$ est le milieu de $[BC]$.
Ton triangle contient donc trois points remarquables : l'orthocentre $H$ (hauteurs), le centre de gravité $G$ (médianes) et le centre $O$ du cercle circonscrit (médiatrices). Surprise : ces trois points sont toujours alignés. La droite qui les porte s'appelle la droite d'Euler (Leonhard Euler, 1765). On montre même que $HG$ vaut le double de $GO$.
Et il y a mieux : les trois milieux des côtés, les trois pieds des hauteurs et trois autres points sont tous sur un même cercle, le cercle des neuf points, dont le centre est lui aussi sur la droite d'Euler.
À toi de jouer
Dans le triangle $ABC$, $M$ est le milieu de $[BC]$ et la médiane $[AM]$ mesure $9$ cm. $G$ est le centre de gravité du triangle.
Calcule $AG$, puis $GM$.
Corrigé
$AG = \dfrac{2}{3} \times 9 = \dfrac{18}{3} = 6$ cm.
$G$ appartient au segment $[AM]$, donc $GM = AM - AG = 9 - 6 = 3$ cm.
On vérifie au passage que $AG$ est bien le double de $GM$.
$ABC$ est équilatéral. Explique pourquoi son orthocentre, son centre de gravité et le centre de son cercle circonscrit sont un seul et même point.
Corrigé
Dans un triangle équilatéral, chaque sommet donne un axe de symétrie : la hauteur issue de ce sommet, la médiane issue de ce sommet et la médiatrice du côté opposé sont une seule et même droite.
Les trois hauteurs, les trois médianes et les trois médiatrices sont donc les mêmes trois droites. Leur point de concours est unique.
Par conséquent l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont confondus : c'est le centre de la figure. Dans ce cas, la droite d'Euler n'existe pas — il n'y a qu'un point.
Défi. $ABC$ a une aire de $60$ cm². On trace ses trois médianes ; elles découpent le triangle en six petits triangles.
Démontre que chacun a une aire de $10$ cm². (On admet que $G$, point de concours des médianes, vérifie $AG = 2 \times GM$.)
Corrigé
Étape 1. La médiane $[AM]$ partage $ABC$ en deux triangles de même aire : aire$(ABM) = $ aire$(ACM) = 60 \div 2 = 30$ cm².
Étape 2. Dans le triangle $ABM$, le point $G$ est sur $[AM]$. Les triangles $ABG$ et $BGM$ ont pour bases $[AG]$ et $[GM]$, portées par la même droite $(AM)$, et le même sommet $B$ : leur hauteur issue de $B$ est donc la même.
Comme $AG = 2 \times GM$, on en déduit aire$(ABG) = 2 \times$ aire$(BGM)$.
Or ces deux aires totalisent $30$ cm². Donc aire$(BGM) = 30 \div 3 = 10$ cm² et aire$(ABG) = 20$ cm².
Étape 3. La médiane issue de $C$ coupe $[AB]$ en son milieu $N$ et passe par $G$. Dans le triangle $ABG$, le segment $[GN]$ joint le sommet $G$ au milieu du côté opposé $[AB]$ : c'est une médiane de $ABG$. Elle le partage donc en deux triangles de même aire : $20 \div 2 = 10$ cm² chacun.
Étape 4. Le même raisonnement, mené depuis les deux autres sommets, donne $10$ cm² pour chacun des six petits triangles.
Contrôle : $6 \times 10 = 60$ cm², c'est bien l'aire de $ABC$.