Triangle : somme des angles, hauteurs et médianes

Ce que tu sais déjà (on ne le réapprend pas)

Ces trois choses viennent de la 6e. Elles servent d'outils toute l'année, alors on les réveille, c'est tout.

• Lire un codage. Deux petits traits identiques sur deux côtés = triangle isocèle. Trois traits identiques = triangle équilatéral. Un petit carré dans un coin = triangle rectangle.
• Le total des angles vaut $180°$. Dans n'importe quel triangle, $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°$. Si tu connais deux angles, le troisième se déduit en soustrayant les deux autres à $180°$.
• Médiatrice et cercle circonscrit. La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. Dans un triangle, les trois médiatrices se croisent en un même point : c'est le centre du cercle circonscrit, le cercle qui passe par les trois sommets.

Réveil express. Dans $ABC$, $\hat{A} = 65°$ et $\hat{B} = 72°$. Alors $\hat{C} = 180° - 65° - 72° = 43°$. Voilà, c'est reparti.

Ce qui compte vraiment cette année

Le programme de 5e ne te demande plus seulement de savoir que le total fait $180°$ : il te demande de savoir pourquoi, et il ajoute deux nouvelles droites dans le triangle. Ta liste de courses :

• démontrer que le total des trois angles vaut $180°$ ;
• calculer l'aire d'un triangle, et savoir ce qu'est une hauteur ;
• savoir que les trois hauteurs se coupent en un même point ;
• définir et tracer les médianes, et démontrer qu'une médiane coupe le triangle en deux morceaux de même aire ;
• utiliser tout ça dans les triangles particuliers (isocèle, équilatéral, rectangle).

La démonstration, en cinq lignes

Par le sommet $A$, on trace la droite parallèle au côté $[BC]$. Elle est toute droite : le long de cette droite, les angles collés les uns aux autres en $A$ forment un angle plat, donc $180°$.

Cette parallèle et la droite $(BC)$ sont coupées par $(AB)$ : les angles alternes-internes sont égaux, donc l'angle collé à gauche de $A$ vaut $\hat{B}$.

Même chose avec $(AC)$ : l'angle collé à droite de $A$ vaut $\hat{C}$.

En $A$ on lit donc, côte à côte : $\hat{B}$, puis $\hat{A}$, puis $\hat{C}$. Et ces trois-là remplissent l'angle plat.

Donc $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°$. Ça n'utilise rien de particulier sur $ABC$ : c'est vrai pour tous les triangles.

Un exemple fait en entier : l'aire

Énoncé. Un triangle a un côté de $8$ cm, et la hauteur relative à ce côté mesure $5$ cm. Quelle est son aire ?

Étape 1 — j'écris la formule : aire $= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$.

Étape 2 — je remplace : aire $= \dfrac{8 \times 5}{2}$.

Étape 3 — je calcule le haut : $8 \times 5 = 40$.

Étape 4 — je divise par $2$ : $40 \div 2 = 20$.

Réponse : l'aire vaut $20$ cm². (Une aire s'exprime en cm², jamais en cm.)

Rappel d'entrée — les outils déjà installés

Trois acquis de 6e, à garder sous la main. On ne les redémontre pas, on s'en sert.

• Total des angles. $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°$ dans tout triangle ; deux angles connus donnent le troisième.
• Médiatrice. Droite perpendiculaire à un segment passant par son milieu. Un point est sur la médiatrice de $[BC]$ exactement quand il est à égale distance de $B$ et de $C$.
• Cercle circonscrit. Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point, à égale distance des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit.
• Caractérisation angulaire du parallélisme. Deux droites parallèles coupées par une même sécante forment des angles alternes-internes égaux. On l'admet : c'est notre outil de démonstration.

1. Démontrer que le total des angles vaut 180°

C'est l'objectif principal du chapitre. Savoir le résultat ne suffit plus : il faut savoir le prouver, et le rédiger.

Ce qu'on admet : l'égalité des angles alternes-internes entre deux parallèles (rappel ci-dessus).

Ce qu'on démontre : $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°$ dans tout triangle $ABC$.

Construction. On trace la droite $(d)$ qui passe par $A$ et qui est parallèle à $(BC)$.

Étape 1. Les droites $(d)$ et $(BC)$ sont parallèles, et $(AB)$ les coupe toutes les deux. Les angles alternes-internes formés sont égaux : l'angle que fait $(AB)$ avec $(d)$, du côté gauche de $A$, a donc la même mesure que $\hat{B}$.

Étape 2. De la même façon, $(AC)$ coupe $(d)$ et $(BC)$ : l'angle que fait $(AC)$ avec $(d)$, du côté droit de $A$, a la même mesure que $\hat{C}$.

Étape 3. Au sommet $A$, ces deux angles et l'angle $\hat{A}$ sont côte à côte, sans se chevaucher, et ils recouvrent exactement la droite $(d)$ d'un même côté : ils forment un angle plat, qui mesure $180°$.

Conclusion. $\hat{B} + \hat{A} + \hat{C} = 180°$, c'est-à-dire $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°$.

Le raisonnement n'a utilisé aucune particularité du triangle de départ : ni longueur, ni angle droit, ni côté égal. Il vaut donc pour tous les triangles — c'est exactement ce qui fait la différence entre vérifier sur un dessin et démontrer.

2. L'aire d'un triangle, et la hauteur qui va avec

Définition. La hauteur issue de $A$ est la droite qui passe par $A$ et qui est perpendiculaire à la droite $(BC)$, c'est-à-dire au côté opposé à $A$. Le point où elle rencontre $(BC)$ s'appelle le pied de la hauteur, souvent noté $H$. On appelle aussi « hauteur » la longueur $AH$.

Un triangle a trois hauteurs : une par sommet. Chacune est associée au côté opposé, qu'on appelle alors la base.

D'où vient la formule. Prends un triangle $ABC$ et sa hauteur $[AH]$, avec $H$ entre $B$ et $C$. Cette hauteur découpe $ABC$ en deux triangles rectangles, $ABH$ et $ACH$.

• $ABH$ est la moitié du rectangle de côtés $BH$ et $h$ : son aire vaut $\dfrac{BH \times h}{2}$.
• $ACH$ est la moitié du rectangle de côtés $HC$ et $h$ : son aire vaut $\dfrac{HC \times h}{2}$.

En ajoutant les deux, et comme $BH + HC = BC$ :

aire$(ABC) = \dfrac{BH \times h}{2} + \dfrac{HC \times h}{2} = \dfrac{(BH + HC) \times h}{2} = \dfrac{BC \times h}{2}$

Formule à retenir : aire $= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur relative à cette base}}{2}$.

Et si $H$ tombe en dehors du côté ? Le raisonnement est le même, avec une soustraction au lieu d'une addition, et on retrouve exactement la même formule.

Attention, un mot piégeux. « Hauteur » ne veut pas dire « verticale ». La hauteur dépend du côté choisi comme base : dans un même triangle, il y a trois bases possibles et donc trois hauteurs, et l'aire calculée est la même dans les trois cas.

Un contre-exemple utile. Assertion : « le pied d'une hauteur est toujours situé sur le côté opposé ». C'est faux, et il suffit d'un contre-exemple pour le prouver : dans un triangle qui possède un angle obtus, la hauteur issue d'un des deux autres sommets a son pied à l'extérieur du côté opposé, sur son prolongement (figure ci-dessous). Un seul cas qui résiste suffit à faire tomber une affirmation.

Et elles se coupent en un point. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes : elles passent toutes les trois par un même point. Ce point s'appelle l'orthocentre. On l'admet en 5e (la démonstration viendra plus tard). Selon la forme du triangle, il se trouve à l'intérieur, sur un sommet ou à l'extérieur.

3. Les médianes, et le partage des aires

Définition. La médiane issue de $A$ est le segment qui joint le sommet $A$ au milieu du côté opposé $[BC]$. Un triangle a trois médianes, une par sommet.

Ne confonds pas : la médiane part d'un sommet et vise le milieu du côté opposé ; la médiatrice, elle, ne part d'aucun sommet — c'est la perpendiculaire au côté en son milieu. Elles passent toutes les deux par le milieu du côté, mais ce sont deux droites différentes.

Propriété (à savoir démontrer). Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.

Démonstration. Soit $M$ le milieu de $[BC]$ et $h$ la longueur de la hauteur issue de $A$, c'est-à-dire la distance de $A$ à la droite $(BC)$.

• Dans le triangle $ABM$, on prend $[BM]$ comme base ; la hauteur issue de $A$ relative à cette base est la même $h$, puisque $B$ et $M$ sont sur la droite $(BC)$. Donc aire$(ABM) = \dfrac{BM \times h}{2}$.
• Dans le triangle $AMC$, de la même façon, aire$(AMC) = \dfrac{MC \times h}{2}$.
• Or $M$ est le milieu de $[BC]$, donc $BM = MC$.

Les deux aires s'écrivent avec le même produit : elles sont donc égales. On note $\text{aire}(ABM) = \text{aire}(AMC) = \dfrac{1}{2} \times \text{aire}(ABC)$.

Nuance importante : « même aire » ne veut pas dire « même forme ». Les deux triangles obtenus ne sont pas superposables en général ; ils occupent seulement la même surface.

4. Dans les triangles particuliers

C'est là que ces droites deviennent vraiment utiles : dans certains triangles, plusieurs d'entre elles se confondent.

• Triangle isocèle en $A$. La droite qui porte la hauteur issue de $A$, la médiane issue de $A$ et la médiatrice de $[BC]$ sont une seule et même droite : l'axe de symétrie du triangle. Le centre du cercle circonscrit est donc sur cette droite. Et les deux angles à la base sont égaux : $\hat{B} = \hat{C}$.
• Triangle équilatéral. C'est vrai depuis les trois sommets à la fois : hauteurs, médianes et médiatrices sont confondues. L'orthocentre et le centre du cercle circonscrit sont donc le même point, le centre de la figure. Chaque angle mesure $60°$, puisque $180° \div 3 = 60°$.
• Triangle rectangle en $A$. Les côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires : chacun porte une hauteur du triangle. Les trois hauteurs se croisent donc en $A$ — l'orthocentre est le sommet de l'angle droit. Et le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse $[BC]$ : en effet, le triangle rectangle est la moitié d'un rectangle de diagonale $[BC]$, et les diagonales d'un rectangle ont la même longueur et se coupent en leur milieu, qui est donc à égale distance des trois sommets.

5. Construire un triangle à partir de données partielles

On te donne rarement tout. Le plus souvent, on te donne un côté et deux angles — et c'est justement le total à $180°$ qui te permet de compléter.

Exemple. Construire $ABC$ tel que $BC = 6$ cm, $\hat{B} = 50°$ et $\hat{C} = 60°$.

• Je trace le segment $[BC]$ de $6$ cm.
• En $B$, je trace une demi-droite qui fait un angle de $50°$ avec $[BC]$.
• En $C$, je trace une demi-droite qui fait un angle de $60°$ avec $[BC]$, du même côté.
• Les deux demi-droites se croisent : ce point est $A$.

Contrôle. Le troisième angle vaut $\hat{A} = 180° - 50° - 60° = 70°$ : tu peux le vérifier sur ton dessin. Si on t'avait donné $\hat{A}$ et $\hat{B}$ au lieu de $\hat{B}$ et $\hat{C}$, tu commencerais par calculer l'angle manquant, puis tu construirais de la même façon.

Exemple 1 — calculer une aire

Énoncé. Dans le triangle $DEF$, le côté $[EF]$ mesure $12$ cm et la hauteur issue de $D$ mesure $7$ cm. Calcule l'aire de $DEF$.

Je choisis $[EF]$ comme base, et la hauteur donnée est bien celle qui lui est associée.

aire $= \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} = \dfrac{12 \times 7}{2}$

$12 \times 7 = 84$, puis $84 \div 2 = 42$.

Conclusion : l'aire de $DEF$ vaut $42$ cm².

Point de vigilance : l'oubli du $\div 2$ est l'erreur numéro un. Et l'unité d'une aire est le cm², pas le cm.

Exemple 2 — retrouver une hauteur à partir de l'aire

Énoncé. Un triangle a une aire de $30$ cm² et un côté de $10$ cm. Combien mesure la hauteur relative à ce côté ?

J'écris la formule avec ce que je connais : $\dfrac{10 \times h}{2} = 30$.

Le membre de gauche vaut $5 \times h$, puisque $10 \div 2 = 5$.

Je cherche donc le nombre qui, multiplié par $5$, donne $30$ : c'est $30 \div 5 = 6$.

Conclusion : la hauteur mesure $6$ cm.

Point de vigilance : on remonte le calcul par les opérations inverses. Aucun besoin de « passer de l'autre côté » : on demande simplement quel nombre manque dans la multiplication.

Exemple 3 — tracer une hauteur, y compris quand ça sort

Énoncé. Dans un triangle $ABC$ dont l'angle $\hat{B}$ est obtus, trace la hauteur issue de $A$.

Je repère d'abord le côté opposé à $A$ : c'est $[BC]$. La hauteur issue de $A$ doit lui être perpendiculaire.

Je pose l'équerre sur la droite $(BC)$, pas seulement sur le segment, et je la fais glisser jusqu'à ce que le bord perpendiculaire passe par $A$.

Je constate que le pied $H$ tombe au-delà de $B$, donc en dehors du segment $[BC]$. C'est normal : je prolonge le côté en pointillés et je place $H$ là.

Je code l'angle droit en $H$.

Conclusion : la hauteur issue de $A$ est la droite $(AH)$, et la longueur $AH$ est la hauteur relative à la base $[BC]$ — elle sert quand même à calculer l'aire.

Point de vigilance : « perpendiculaire au côté opposé » se lit toujours sur la droite qui porte ce côté.

Exemple 4 — une médiane et deux aires

Énoncé. Le triangle $ABC$ a une aire de $36$ cm². $M$ est le milieu de $[BC]$. Quelle est l'aire du triangle $ABM$ ?

Le segment $[AM]$ joint le sommet $A$ au milieu du côté opposé : c'est donc la médiane issue de $A$.

D'après la propriété, une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.

Chacun vaut donc la moitié de l'aire totale : $36 \div 2 = 18$.

Conclusion : aire$(ABM) = 18$ cm² (et aire$(AMC) = 18$ cm² aussi).

Point de vigilance : il faut nommer $[AM]$ comme médiane avant de diviser par $2$, sinon la division tombe du ciel.

Exemple 5 — réfuter avec un contre-exemple

Énoncé. Léa affirme : « si un triangle a deux angles égaux, alors il est équilatéral ». Cette affirmation est-elle vraie ?

Pour montrer qu'une affirmation générale est fausse, un seul cas qui la contredit suffit : c'est un contre-exemple.

Je cherche un triangle avec deux angles égaux mais pas trois. Je prends $\hat{A} = 50°$ et $\hat{B} = 50°$.

Je vérifie que ce triangle existe bien : $\hat{C} = 180° - 50° - 50° = 80°$.

Ce triangle a bien deux angles égaux ($50°$ et $50°$), mais ses trois angles ne sont pas égaux ($80° \ne 50°$) : il n'est donc pas équilatéral.

Conclusion : l'affirmation de Léa est fausse. Le triangle est seulement isocèle.

Point de vigilance : un contre-exemple doit être complet et vérifié. On donne les trois angles et on montre qu'ils totalisent $180°$ : sinon, le contre-exemple lui-même n'existe pas.

Problème type 1 — rédiger la démonstration du 180°

Énoncé. $ABC$ est un triangle quelconque. Démontre que $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°$.

Rédaction attendue.

« Je trace la droite $(d)$ passant par $A$ et parallèle à $(BC)$.

Les droites $(d)$ et $(BC)$ sont parallèles et sont coupées par la sécante $(AB)$. Les angles alternes-internes formés sont donc égaux : l'angle entre $(d)$ et $[AB]$, situé du côté de $B$, mesure $\hat{B}$.

De même, $(d)$ et $(BC)$ sont coupées par la sécante $(AC)$ : l'angle entre $(d)$ et $[AC]$, situé du côté de $C$, mesure $\hat{C}$.

Au point $A$, ces deux angles et l'angle $\hat{A}$ sont adjacents et recouvrent la droite $(d)$ d'un même côté : ils forment un angle plat, donc leur total vaut $180°$.

Par conséquent $\hat{B} + \hat{A} + \hat{C} = 180°$. »

Ce que le correcteur attend : la construction de la parallèle (sans elle, pas de démonstration), la mention explicite des angles alternes-internes comme justification, et la conclusion par l'angle plat. Dire « on sait que ça fait $180°$ » ne démontre rien : c'est justement ce qu'on doit prouver.

Problème type 2 — médiane et partage des aires

Énoncé. $ABC$ est un triangle d'aire $48$ cm², avec $BC = 16$ cm. $M$ est le milieu de $[BC]$.
a) Calcule la hauteur issue de $A$ relative à $[BC]$.
b) Démontre que les triangles $ABM$ et $AMC$ ont la même aire, et donne cette aire.

a) J'écris la formule de l'aire avec la base $[BC]$ : $\dfrac{16 \times h}{2} = 48$, c'est-à-dire $8 \times h = 48$.

Donc $h = 48 \div 8 = 6$. La hauteur issue de $A$ mesure $6$ cm.

b) $M$ est le milieu de $[BC]$, donc $BM = MC = 16 \div 2 = 8$ cm.

Les points $B$, $M$ et $C$ sont sur la même droite $(BC)$ : la hauteur issue de $A$ est donc la même, $h = 6$ cm, pour les triangles $ABM$ et $AMC$.

aire$(ABM) = \dfrac{BM \times h}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = 24$ et aire$(AMC) = \dfrac{MC \times h}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = 24$.

Conclusion : les deux triangles ont la même aire, $24$ cm² chacun — soit bien la moitié des $48$ cm² de départ.

Ce que le correcteur attend : que tu dises pourquoi la hauteur est la même pour les deux triangles (les trois points sont alignés sur $(BC)$) et que tu utilises $BM = MC$. C'est là qu'est la démonstration ; le calcul, lui, ne fait que la confirmer.

Problème type 3 — le triangle rectangle sous tous les angles

Énoncé. $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 10$ cm.
a) Calcule son aire.
b) Déduis-en la hauteur issue de $A$ relative à $[BC]$.
c) Où se trouve l'orthocentre ? Où se trouve le centre du cercle circonscrit ?

a) Les côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont perpendiculaires : $[AC]$ porte la hauteur relative à la base $[AB]$. Donc aire $= \dfrac{6 \times 8}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$ cm².

b) La même aire se calcule avec la base $[BC]$ : $\dfrac{10 \times h}{2} = 24$, donc $5 \times h = 24$ et $h = 24 \div 5 = 4{,}8$ cm.

c) Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont deux des trois hauteurs, et elles se croisent en $A$ : l'orthocentre est le point $A$. Le centre du cercle circonscrit, lui, est le milieu de $[BC]$ (l'hypoténuse) ; le rayon de ce cercle vaut $10 \div 2 = 5$ cm.

Ce que le correcteur attend : à la question b), que tu comprennes qu'un même triangle a trois couples base-hauteur et que l'aire est la même à chaque fois. C'est ce qui permet de trouver une hauteur qu'on ne sait pas mesurer directement.

Les pièges qui coûtent des points

• « Vérifier » n'est pas « démontrer ». Mesurer les trois angles sur un dessin ne prouve rien : ça ne vaut que pour ce dessin-là. La démonstration, elle, vaut pour tous les triangles.
• Hauteur ≠ verticale. Une hauteur est perpendiculaire à un côté, quelle que soit l'orientation de la feuille. Et son pied peut sortir du côté.
• Médiane, médiatrice, hauteur : trois objets différents. La médiane joint un sommet au milieu du côté opposé ; la médiatrice est perpendiculaire à un côté en son milieu ; la hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé. Elles ne coïncident que dans les triangles particuliers.
• Base et hauteur doivent aller ensemble. Dans la formule, la hauteur est celle qui est relative à la base choisie — pas n'importe laquelle des trois.
• L'oubli du $\div 2$, et l'unité : une aire se donne en cm².
• Même aire ≠ même forme. Une médiane donne deux triangles de même aire, pas deux triangles superposables.
• Toujours citer la propriété (« les angles alternes-internes sont égaux », « $M$ est le milieu donc $BM = MC$ ») avant d'annoncer le résultat.

Les médianes aussi sont concourantes

Les trois médianes d'un triangle passent par un même point, appelé centre de gravité et souvent noté $G$. C'est le point d'équilibre : une plaque triangulaire tient en équilibre sur la pointe d'un crayon placée en $G$.

Ce point occupe toujours la même position sur chaque médiane : si $M$ est le milieu de $[BC]$, alors

$AG = \dfrac{2}{3} \times AM$

Autrement dit, $G$ est aux deux tiers du chemin en partant du sommet. Exemple : si la médiane $[AM]$ mesure $9$ cm, alors $AG = \dfrac{2}{3} \times 9 = 6$ cm et $GM = 3$ cm.

Autre conséquence jolie : les trois médianes découpent le triangle en six petits triangles de même aire. Un triangle de $60$ cm² donne six morceaux de $10$ cm² chacun.

La droite d'Euler

Ton triangle contient maintenant trois points remarquables : l'orthocentre $H$ (les hauteurs), le centre de gravité $G$ (les médianes) et le centre du cercle circonscrit $O$ (les médiatrices). Trace-les sur un triangle quelconque, puis regarde bien.

Ils sont alignés. La droite qui les porte s'appelle la droite d'Euler, du nom du mathématicien suisse Leonhard Euler, qui l'a découverte en 1765. Mieux : $G$ est toujours placé de sorte que $HG$ vaut le double de $GO$.

Dans un triangle équilatéral, la propriété devient invisible : $H$, $G$ et $O$ sont confondus au centre de la figure, et il n'y a plus de droite à tracer. C'est logique, puisque hauteurs, médianes et médiatrices y sont les mêmes droites.

Encore plus loin : les trois milieux des côtés et les trois pieds des hauteurs, plus trois autres points, appartiennent tous à un même cercle — le cercle des neuf points, dont le centre est lui aussi sur la droite d'Euler. Rien de tout cela n'est exigible en 5e : c'est juste la preuve qu'un triangle « quelconque » est loin d'être quelconque.

Les ponts vers d'autres notions

• Angles alternes-internes. L'outil qui a servi à démontrer le $180°$ te servira partout où deux droites parallèles sont coupées par une sécante.
• Total des angles d'un polygone. Un quadrilatère se coupe en deux triangles par une diagonale : ses angles totalisent donc $2 \times 180° = 360°$. Un pentagone se coupe en trois triangles : $3 \times 180° = 540°$. Et ainsi de suite.
• Aires en cascade. Le raisonnement « même base, même hauteur, donc même aire » est un outil de démonstration à part entière : tu le retrouveras au collège et au lycée bien au-delà du triangle.
• Triangle rectangle. Ses deux angles aigus totalisent $90°$. En 4e, le théorème de Pythagore reliera en plus les longueurs de ses côtés, et tu pourras alors calculer $BC$ au lieu qu'on te le donne.