Triangle : somme des angles et inégalité triangulaire

Deux lois universelles sur tout triangle : l'une sur les angles, l'autre sur les côtés.

1 L'idée

Tout triangle vérifie deux propriétés fondamentales, quelle que soit sa forme.
Somme des angles : les trois angles intérieurs d'un triangle s'additionnent toujours pour donner $180°$. Connaître deux angles suffit donc à calculer le troisième.
Inégalité triangulaire : chaque côté est strictement plus court que la somme des deux autres. C'est la condition exacte pour qu'un triangle puisse exister : si cette condition n'est pas respectée, aucun tracé n'est possible.

2 Les deux propriétés

Somme des angles

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°$

Inégalité triangulaire

$a \lt b + c, \quad b \lt a + c, \quad c \lt a + b$

3 Calculer un angle manquant

Exemple A

Dans le triangle $ABC$, $\hat{A} = 65°$ et $\hat{B} = 72°$. Calculer $\hat{C}$.

$\hat{C} = 180° - 65° - 72° = 43°$

4 Vérifier l'inégalité triangulaire

Exemple B — triangle constructible

Côtés : $4$ cm, $6$ cm, $8$ cm. Le plus grand côté est $8$ cm.

$4 + 6 = 10 \gt 8$ ✓ — le triangle est constructible.

Exemple C — triangle impossible

Côtés : $2$ cm, $3$ cm, $7$ cm. Le plus grand côté est $7$ cm.

$2 + 3 = 5 \lt 7$ ✗ — le triangle n'existe pas.

Méthode — vérifier l'inégalité triangulaire

Repérer le côté le plus long parmi les trois.
Calculer la somme des deux autres côtés.
Vérifier que cette somme est strictement supérieure au plus grand côté.
Ce seul test suffit : si le plus long côté passe, les deux autres inégalités sont automatiquement vérifiées.

Erreurs fréquentes

L'inégalité est stricte : si la somme des deux côtés est égale au troisième (ex. $3 + 5 = 8$), le triangle est plat — il n'existe pas.
Pour la somme des angles, bien soustraire les deux angles connus à $180°$, pas un seul.
Ne pas mélanger les deux propriétés : la somme des angles porte sur des degrés, l'inégalité triangulaire sur des longueurs.