Aire du parallélogramme et du losange

Les 3 mots à connaître avant de commencer

Avant les formules, trois mots suffisent.

• La base : c'est simplement l'un des côtés de la figure, celui sur lequel on «pose» le parallélogramme. On la note $b$.
• La hauteur : c'est le segment perpendiculaire à la base (il fait un angle droit avec elle) qui va jusqu'au côté opposé. On la note $h$. Attention : ce n'est pas le côté penché !
• La diagonale : pour le losange, c'est un segment qui relie deux sommets opposés. Il y en a deux, notées $d_1$ et $d_2$.

Dernier rappel : une aire se mesure en unités carrées, comme $\text{cm}^2$ ou $\text{m}^2$. Et il faut savoir poser une multiplication : c'est tout ce dont tu as besoin.

Les deux formules et un exemple fait pour toi

Il n'y a que deux formules à retenir.

Parallélogramme : $\mathcal{A} = b \times h$ (base fois hauteur).

Losange : $\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$ (les deux diagonales multipliées, puis divisées par 2).

On déroule un exemple ensemble : un parallélogramme de base $8\ \text{cm}$ et de hauteur $5\ \text{cm}$.

1. J'écris la formule : $\mathcal{A} = b \times h$.

2. Je remplace : $\mathcal{A} = 8 \times 5$.

3. Je calcule : $\mathcal{A} = 40$.

4. Je n'oublie pas l'unité : $\mathcal{A} = 40\ \text{cm}^2$.

Et voilà : si tu sais faire ces quatre lignes, tu as déjà les points de base du contrôle.

Le parallélogramme : base, hauteur et formule

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.

Son aire dépend de deux mesures :

• une base $b$ : l'un de ses côtés (tu choisis lequel) ;
• la hauteur $h$ associée : le segment perpendiculaire à cette base qui relie les deux côtés parallèles opposés.

La formule est alors :

$\mathcal{A} = b \times h$

Exemple : base $8\ \text{cm}$, hauteur $5\ \text{cm}$.

$\mathcal{A} = b \times h$

$\mathcal{A} = 8 \times 5$

$\mathcal{A} = 40\ \text{cm}^2$

Le losange : un parallélogramme particulier

Le losange est un cas particulier de parallélogramme : c'est un parallélogramme dont les quatre côtés sont égaux.

Il a une propriété bien pratique : ses deux diagonales se coupent en leur milieu et à angle droit (elles sont perpendiculaires). Grâce à ça, on peut calculer son aire directement avec les longueurs des diagonales $d_1$ et $d_2$ :

$\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$

Exemple : diagonales $6\ \text{cm}$ et $10\ \text{cm}$.

$\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$

$\mathcal{A} = \dfrac{6 \times 10}{2}$

$\mathcal{A} = \dfrac{60}{2}$

$\mathcal{A} = 30\ \text{cm}^2$

La méthode pas-à-pas pour repérer la hauteur

Le seul vrai piège du parallélogramme, c'est de confondre la hauteur avec le côté penché. Voici la méthode sûre.

Étape 1. Choisis l'un des côtés comme base $b$.

Étape 2. Repère le segment perpendiculaire à cette base qui va d'un sommet jusqu'au côté opposé (ou à son prolongement) : c'est la hauteur $h$.

Étape 3. Vérifie que ce segment forme bien un angle droit avec la base ; ce n'est jamais le côté oblique.

Étape 4. Applique $\mathcal{A} = b \times h$.

Bon à savoir : comme le losange est aussi un parallélogramme, on pourrait lui appliquer $b \times h$. Mais on préfère la formule des diagonales, plus directe quand on connaît $d_1$ et $d_2$.

On fait un parallélogramme ensemble (avec un piège)

Énoncé : un parallélogramme a une base de $7\ \text{cm}$, une hauteur de $4\ \text{cm}$, et son côté penché mesure $6\ \text{cm}$. Calcule son aire.

D'abord, on repère le piège : on te donne trois nombres, mais le côté penché ($6\ \text{cm}$) ne sert à rien dans le calcul de l'aire. On garde seulement la base et la hauteur.

1. J'écris la formule : $\mathcal{A} = b \times h$.

2. Je choisis les bonnes valeurs, base $b = 7$ et hauteur $h = 4$ : $\mathcal{A} = 7 \times 4$.

3. Je calcule : $\mathcal{A} = 28$.

4. J'ajoute l'unité d'aire : $\mathcal{A} = 28\ \text{cm}^2$.

Le $6\ \text{cm}$ était là juste pour te tester. Si tu l'as ignoré, bravo.

On fait un losange ensemble

Énoncé : un losange a pour diagonales $8\ \text{cm}$ et $5\ \text{cm}$. Calcule son aire.

1. J'écris la formule du losange : $\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$.

2. Je remplace : $\mathcal{A} = \dfrac{8 \times 5}{2}$.

3. Je fais d'abord la multiplication du haut : $\mathcal{A} = \dfrac{40}{2}$.

4. Puis la division par 2, et j'ajoute l'unité : $\mathcal{A} = 20\ \text{cm}^2$.

Le réflexe à garder : on ne divise qu'une seule fois par 2, tout à la fin. Oublier ce «÷ 2» est l'erreur numéro un sur le losange.

On fait un cas avec des unités différentes

Énoncé : un parallélogramme a une base de $0{,}5\ \text{m}$ et une hauteur de $40\ \text{cm}$. Calcule son aire en $\text{cm}^2$.

Ici le piège, ce sont les unités : une mesure en mètres, l'autre en centimètres. On convertit tout dans la même unité avant de multiplier.

1. Je convertis la base : $0{,}5\ \text{m} = 50\ \text{cm}$ (car $1\ \text{m} = 100\ \text{cm}$).

2. J'écris la formule : $\mathcal{A} = b \times h$.

3. Je remplace avec les deux mesures en centimètres : $\mathcal{A} = 50 \times 40$.

4. Je calcule : $\mathcal{A} = 2000\ \text{cm}^2$.

Moralité : jamais de multiplication entre des mètres et des centimètres. On aligne les unités d'abord, on calcule ensuite.

Problème type 1 : retrouver une hauteur manquante

Énoncé : un parallélogramme a une aire de $54\ \text{cm}^2$ et une base de $9\ \text{cm}$. Quelle est sa hauteur ?

Ici on connaît l'aire, on cherche la hauteur : on part de la formule et on «remonte».

1. Je pars de la formule : $\mathcal{A} = b \times h$, donc $54 = 9 \times h$.

2. Pour isoler $h$, je divise l'aire par la base : $h = \dfrac{54}{9}$.

3. Je calcule : $h = 6$.

4. Je conclus avec l'unité (une longueur, donc en centimètres) : $h = 6\ \text{cm}$.

Ce que le correcteur attend : la formule écrite, le fait que tu divises l'aire par la base, et la bonne unité, une longueur en $\text{cm}$ et surtout pas en $\text{cm}^2$.

Problème type 2 : un losange dont il manque une diagonale

Énoncé : un carreau en forme de losange a une aire de $24\ \text{cm}^2$. L'une de ses diagonales mesure $8\ \text{cm}$. Combien mesure l'autre diagonale ?

1. J'écris la formule : $\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$, donc $24 = \dfrac{8 \times d_2}{2}$.

2. Je simplifie le membre de droite : $\dfrac{8 \times d_2}{2} = 4 \times d_2$, donc $24 = 4 \times d_2$.

3. Pour trouver $d_2$, je divise par 4 : $d_2 = \dfrac{24}{4}$.

4. Je calcule et j'ajoute l'unité : $d_2 = 6\ \text{cm}$.

Astuce de vérification : je remplace pour contrôler, $\dfrac{8 \times 6}{2} = \dfrac{48}{2} = 24\ \text{cm}^2$. C'est bien l'aire de départ, donc c'est juste.

Ce que le correcteur attend et les pièges classiques

Sur ta copie, à chaque question :

• écris la formule avant de remplacer les nombres ;
• montre le calcul détaillé, ligne par ligne ;
• termine par la bonne unité : $\text{cm}^2$ pour une aire, $\text{cm}$ pour une longueur ;
• rédige une petite phrase de réponse quand l'énoncé pose une question.

Les trois pièges qui coûtent des points :

• prendre le côté oblique à la place de la hauteur : seule la perpendiculaire à la base compte ;
• oublier de diviser par 2 pour le losange : c'est $\dfrac{d_1 \times d_2}{2}$, jamais $d_1 \times d_2$ ;
• mélanger les unités : on convertit tout dans la même unité avant de calculer.

Pourquoi l'aire du parallélogramme, c'est bien base × hauteur ?

La formule $\mathcal{A} = b \times h$ n'est pas tombée du ciel : on peut la comprendre avec un simple découpage.

Prends un parallélogramme, puis trace sa hauteur : elle détache un petit triangle rectangle sur un côté.

Découpe ce triangle et fais-le glisser de l'autre côté : les deux bords penchés coïncident parfaitement, et la figure devient un rectangle.

Ce rectangle a exactement la même base $b$ et la même hauteur $h$ que le parallélogramme de départ, et la même aire (on n'a rien ajouté ni enlevé). Or l'aire d'un rectangle, c'est longueur × largeur, c'est-à-dire $b \times h$.

Conclusion : $\mathcal{A} = b \times h$. La hauteur joue le rôle de la largeur du rectangle, et voilà pourquoi on ne prend jamais le côté oblique.

Pourquoi le losange, c'est le demi-produit des diagonales ?

Même logique pour le losange. Entoure-le par le plus petit rectangle possible, dont les côtés sont parallèles aux diagonales.

Ce rectangle a pour largeur une diagonale ($d_1$) et pour longueur l'autre ($d_2$) : son aire vaut donc $d_1 \times d_2$.

En regardant bien, le losange occupe exactement la moitié de ce rectangle. D'où :

$\mathcal{A} = \dfrac{d_1 \times d_2}{2}$

Et cette idée dépasse le losange : elle marche pour toute figure dont les diagonales sont perpendiculaires, comme le cerf-volant. Le losange n'est qu'un cas très symétrique de cette famille.

Où ces formules te resservent : triangle, prisme et compagnie

Ces deux formules t'ouvrent plusieurs portes, et certaines sont déjà ouvertes.

• Le triangle : tu as déjà vu son aire en 6e, $\dfrac{b \times h}{2}$. Tu y retrouves le même «÷ 2» que pour le losange, et c'est logique : un triangle est la moitié d'un parallélogramme.
• Le trapèze et les autres quadrilatères : on les découpe en figures connues (rectangles, triangles) pour calculer leur aire, exactement comme on l'a fait ici.
• Les solides (pavé droit vu en 6e, prisme droit et cylindre au programme de cette année de 5e) : leur volume se calcule avec l'aire d'une base multipliée par une hauteur. Si la base est un parallélogramme ou un losange, c'est exactement l'aire d'aujourd'hui que tu vas y remettre.
• Et plus tard : la pyramide et le cône en 4e, où une aire de base intervient encore dans le volume ; puis la boule en 3e, dont le volume ne dépend plus que du rayon.

Autrement dit, ce petit chapitre est une brique de base : presque toute la géométrie des aires et des volumes, celle d'avant comme celle d'après, s'appuie dessus.