Contrôle bientôt et le chapitre « Angles » n'est pas ouvert ? Bonne nouvelle : en 5e, il ne demande plus qu'une chose. Reconnaître deux paires d'angles — les alternes internes et les correspondants — et s'en servir pour parler de droites parallèles. Mesurer et construire au rapporteur, c'était le cycle 3 : ici on regarde une figure, et on justifie.
Les 3 mots à connaître
Sécante. Une droite qui en coupe deux autres s'appelle une sécante. Elle crée deux points d'intersection : deux croisements à comparer, c'est tout le chapitre.
Angles alternes internes. Deux angles situés entre les deux droites (donc internes) et de part et d'autre de la sécante (donc alternes), un à chaque croisement. Sur la figure, ils dessinent un Z.
Angles correspondants. Deux angles situés du même côté de la sécante et occupant la même position par rapport à leur droite : l'un au-dessus de $(d_1)$, l'autre au-dessus de $(d_2)$. Ils dessinent un F.
La phrase qui rapporte tous les points
Si $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, alors deux angles alternes internes formés par une sécante sont égaux ; deux angles correspondants aussi. Et la phrase se lit dans les deux sens : si ces angles sont égaux, alors les deux droites sont parallèles.
Retiens la forme de la relation : c'est une égalité de mesures. Pas une somme qui vaut $180°$, pas un angle droit à trouver.
Un exemple fait en entier
Avant tout calcul, repère la sécante. Puis demande-toi si la paire dessine un Z (alternes internes) ou un F (correspondants). Tant que tu n'as pas répondu à ça, tu n'as rien à écrire.
Ce qui doit déjà être un réflexe
Cette année, le programme range les points suivants dans les automatismes : ils ne sont plus au cours, mais ils servent d'outils dans les questions. Relis-les en deux minutes, ils ne demandent rien de plus.
- Un angle nul mesure $0°$, un angle droit $90°$, un angle plat $180°$, un angle plein $360°$. Il est aigu entre $0°$ et $90°$, obtus entre $90°$ et $180°$.
- Deux angles adjacents ont le même sommet, un côté commun, et se trouvent de part et d'autre de ce côté commun : leurs mesures s'ajoutent.
- Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut $90°$, supplémentaires si elle vaut $180°$. Ces deux mots ne parlent que des mesures : les deux angles peuvent être n'importe où sur la figure.
- Deux angles opposés par le sommet sont formés par deux droites qui se croisent, chaque côté de l'un étant dans le prolongement d'un côté de l'autre. Ils sont toujours égaux.
- La bissectrice d'un angle est la demi-droite issue du sommet qui le partage en deux angles de même mesure.
- Ton équerre porte les angles $30°$, $60°$, $90°$ — ou $45°$, $45°$, $90°$ selon le modèle. Pratique pour contrôler un tracé sans rien mesurer.
- Le rapporteur, tu sais t'en servir depuis le cycle 3. En 5e il sert à vérifier une figure ; il ne remplace jamais une justification.
Tu as déjà vu ces figures en Z et en F, sans forcément mettre un nom dessus. On installe le vocabulaire exact, on énonce les deux propriétés dans les deux sens, et on apprend à écrire une justification qui ne perd aucun point.
La configuration : deux droites, une sécante, huit angles
La sécante $(\Delta)$ coupe $(d_1)$ en $A$ et $(d_2)$ en $B$. À chaque point d'intersection, quatre angles : huit en tout, numérotés ci-dessous une fois pour toutes.
Deux repères suffisent à les classer.
- Interne ou externe. Un angle est interne s'il se trouve dans la bande comprise entre $(d_1)$ et $(d_2)$ : ici $\widehat{3}$, $\widehat{4}$, $\widehat{5}$, $\widehat{6}$. Les quatre autres — $\widehat{1}$, $\widehat{2}$, $\widehat{7}$, $\widehat{8}$ — sont externes.
- Côté de la sécante. À droite de $(\Delta)$ : $\widehat{1}$, $\widehat{4}$, $\widehat{5}$, $\widehat{8}$. À gauche : $\widehat{2}$, $\widehat{3}$, $\widehat{6}$, $\widehat{7}$.
Définition. Deux angles sont alternes internes lorsqu'ils sont internes, de part et d'autre de la sécante, et de sommets différents. Il n'y a que deux paires : $\widehat{3}$ et $\widehat{5}$, puis $\widehat{4}$ et $\widehat{6}$.
Définition. Deux angles sont correspondants lorsqu'ils sont du même côté de la sécante, l'un interne et l'autre externe, et de sommets différents. Il y a quatre paires : $\widehat{1}$ et $\widehat{5}$, $\widehat{2}$ et $\widehat{6}$, $\widehat{3}$ et $\widehat{7}$, $\widehat{4}$ et $\widehat{8}$.
Deux angles opposés par le sommet partagent le même sommet ($\widehat{1}$ et $\widehat{3}$, par exemple). Des angles alternes internes ou correspondants ont toujours des sommets différents : un à chaque croisement.
Les deux propriétés, et leur sens de lecture
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes internes qu'elles forment sont égaux, et les angles correspondants aussi.
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes internes égaux — ou deux angles correspondants égaux — alors ces deux droites sont parallèles.
Regarde bien qui est la donnée et qui est la conclusion. Dans le sens direct, le parallélisme est donné et l'égalité se déduit ; dans la réciproque, l'égalité est donnée et le parallélisme se déduit. Prendre l'un pour l'autre est l'erreur qui coûte le plus cher dans ce chapitre.
Deux angles internes situés du même côté de la sécante (par exemple $\widehat{3}$ et $\widehat{6}$) ne sont pas égaux quand les droites sont parallèles : leur somme vaut $180°$. Tu peux le retrouver seul : $\widehat{5} = \widehat{3}$ (alternes internes), et $\widehat{5}$ et $\widehat{6}$ forment ensemble l'angle plat de $(d_2)$, donc $\widehat{3} + \widehat{6} = 180°$.
Comment on l'écrit sur la copie
- 1. La configuration. « Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$. »
- 2. La paire. « Les angles $\widehat{3}$ et $\widehat{5}$ sont alternes internes. »
- 3. La propriété et la conclusion. « Or $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, donc $\widehat{5} = \widehat{3} = 52°$. »
- Trouve une droite qui coupe les deux : c'est ta sécante.
- Repère une paire d'angles alternes internes, ou une paire d'angles correspondants, dont tu connais les deux mesures.
- Si les deux mesures sont égales, conclus par la réciproque : les droites sont parallèles.
- Si elles ne le sont pas, conclus l'inverse : si les droites étaient parallèles, ces deux angles seraient égaux — ils ne le sont pas, donc les droites ne sont pas parallèles.
Cinq questions courtes, dans l'ordre où le contrôle les pose : d'abord nommer, ensuite calculer, enfin conclure. Fais-les sur ton cahier avant d'ouvrir le corrigé — c'est là que ça rentre.
Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par la sécante $(\Delta)$ en $A$ et $B$ (figure non à l'échelle).
À toi de jouer
Corrigé
La sécante est $(\Delta)$ : c'est elle qui coupe les deux autres droites.
Les angles internes sont ceux situés entre $(d_1)$ et $(d_2)$ : $\widehat{3}$, $\widehat{4}$, $\widehat{5}$ et $\widehat{6}$.
Corrigé
$\widehat{3}$ et $\widehat{5}$ d'une part, $\widehat{4}$ et $\widehat{6}$ d'autre part : à chaque fois deux angles internes, de part et d'autre de $(\Delta)$.
Corrigé
$\widehat{1}$ et $\widehat{5}$ ; $\widehat{2}$ et $\widehat{6}$ ; $\widehat{3}$ et $\widehat{7}$ ; $\widehat{4}$ et $\widehat{8}$. Dans chaque paire, les deux angles sont du même côté de $(\Delta)$, l'un interne et l'autre externe.
Corrigé
$\widehat{3}$ et $\widehat{5}$ sont alternes internes et les droites sont parallèles, donc $\widehat{5} = 52°$.
$\widehat{1}$ et $\widehat{3}$ sont opposés par le sommet (même sommet $A$), donc $\widehat{1} = 52°$.
Corrigé
Ces deux angles correspondants sont égaux, donc, par la réciproque, $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.
Au contrôle, on ne te demande pas seulement un nombre : on te demande une justification écrite. On regarde les trois pièges qui coûtent le plus cher, puis on rédige un problème complet, et enfin on apprend à répondre « non » proprement.
Les trois pièges classiques
Les angles alternes internes sont de part et d'autre de la sécante ; les angles correspondants sont du même côté. En cas d'hésitation, trace la lettre du doigt : le Z part d'un côté et revient de l'autre, le F garde ses deux branches du même côté.
La propriété du chapitre donne une égalité. Deux angles internes situés du même côté de la sécante, eux, sont supplémentaires : leur somme vaut $180°$. Ce ne sont pas les mêmes paires, ce n'est pas la même relation.
Tant que l'énoncé ne dit pas que les droites sont parallèles, ou que la figure ne le code pas (les petites flèches), tu n'as pas le droit d'écrire que les angles sont égaux. Deux droites qui « ont l'air » parallèles sur un dessin ne prouvent rien.
Problème type : une chaîne de justifications
L'angle de $63°$ et $\widehat{5}$ sont correspondants : une seule étape suffisait pour $\widehat{5}$. Les deux chemins sont justes, choisis celui que tu sais rédiger.
Savoir répondre « non » : réfuter un parallélisme
Ce que le correcteur attend
- Commence par nommer la configuration : quelles droites, quelle sécante.
- Nomme la paire avec son nom exact : « alternes internes » ou « correspondants ». « Ils se ressemblent » ne vaut rien.
- Dis d'où vient le parallélisme : donné par l'énoncé, ou codé sur la figure.
- Termine par une phrase de conclusion, avec la mesure et l'unité : « donc $\widehat{5} = 63°$ ».
- Pour une réfutation, écris les trois lignes : « si elles étaient parallèles… or… donc elles ne le sont pas ».
Ces deux propriétés ne servent pas qu'à remplir un tableau d'angles : ce sont les premières briques de la démonstration en géométrie. Voilà exactement où elles mènent, et d'où elles viennent.
Ce que ça ouvre dès cette année et en 4e
Dans la fiche Triangles, la démonstration qui donne $\widehat{BAC} + \widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 180°$ repose exactement sur ce que tu viens d'apprendre. On trace la droite $(d)$ parallèle à $(BC)$ passant par $A$ ; deux angles alternes internes viennent alors se ranger de part et d'autre de $\widehat{BAC}$, et les trois ensemble forment un angle plat.
Sur la figure, l'angle marqué $b$ en $A$ et l'angle $b$ en $B$ sont alternes internes pour les droites $(d)$ et $(BC)$ coupées par la sécante $(AB)$ : ils sont égaux. Même chose pour les deux angles $c$, avec la sécante $(AC)$. Et $b + a + c$ se lit le long de la droite $(d)$ : $180°$.
En 4e, tu enchaîneras plusieurs propriétés dans une même démonstration, et cette égalité d'angles sera très souvent la charnière : c'est elle qui fait passer une information d'une droite à l'autre.
Le détour culturel, proposé par le programme
Ouvre les Éléments d'Euclide, Livre I, propositions 27 et 28 : il y a plus de vingt-trois siècles, elles démontrent déjà la réciproque que tu viens d'apprendre — si les angles alternes sont égaux, les deux droites ne se rencontreront jamais.
Le sens direct, lui, n'arrive qu'à la proposition 29, et c'est le premier résultat du Livre I qui a besoin du fameux cinquième postulat, celui des parallèles. Autrement dit, ta petite propriété « droites parallèles $\Rightarrow$ angles égaux » se tient pile à l'endroit le plus discuté de toute l'histoire de la géométrie.
- Il existe aussi des angles alternes externes : de part et d'autre de la sécante, mais tous les deux à l'extérieur de la bande ($\widehat{1}$ et $\widehat{7}$, par exemple). Ils sont également égaux quand les droites sont parallèles. Ce n'est pas exigible en 5e, mais ça fait gagner du temps quand on le repère.
- Au lycée, ces mêmes égalités servent à reconnaître des figures de même forme, et à parler d'angles entre droites dans l'espace.