Contrôle bientôt et tu découvres à peine le mot « contenance » ? Respire. En quelques minutes tu auras l'essentiel : deux familles d'unités, deux nombres clés (1 000 et 10) et trois égalités à retenir. Promis, ça tient sur un ticket de métro.
Les prérequis + l'idée en une minute
Prérequis — savoir multiplier et diviser par 10, 100, 1 000 (c'est juste déplacer la virgule), et reconnaître les préfixes milli, centi, déci, déca, hecto, kilo.
Il y a deux familles d'unités qui disent « combien ça remplit » :
le volume, en unités cubiques : mm³, cm³, dm³, m³ ;
la contenance (la quantité de liquide), en unités « litre » : mL, cL, dL, L, daL, hL, kL.
Les deux familles se rejoignent par deux ponts à connaître par cœur : $1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{L}$ et $1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{mL}$.
Le réflexe : entre deux unités de volume qui se suivent, le facteur est 1 000 ; entre deux unités de contenance qui se suivent, il est 10.
La formule clé + un exemple traité
À retenir, côté volume : $1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{dm}^3$, $1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3$, $1\,\text{cm}^3 = 1\,000\,\text{mm}^3$.
À retenir, côté contenance : $1\,\text{L} = 10\,\text{dL} = 100\,\text{cL} = 1\,000\,\text{mL}$, puis $1\,\text{hL} = 100\,\text{L}$ et $1\,\text{kL} = 1\,000\,\text{L}$.
Exemple entièrement traité — convertir $2{,}5\,\text{dm}^3$ en cm³.
Étape 1 : on va vers une unité plus petite (de dm³ à cm³), donc on multiplie.
Étape 2 : un seul saut d'unité de volume, donc on multiplie par $1\,000$.
Étape 3 : $2{,}5\,\text{dm}^3 = 2{,}5 \times 1\,000 = 2\,500\,\text{cm}^3$.
Résultat : $2{,}5\,\text{dm}^3 = 2\,500\,\text{cm}^3$. Rien de sorcier.
Ça te revient : les petits cubes, les litres, le fameux tableau à colonnes... On remet tout en ordre, proprement, définitions comprises, pour que plus rien ne reste flou.
Les définitions au propre
Volume : la place qu'occupe un solide dans l'espace. On le mesure en unités cubiques — le $\text{cm}^3$ est le volume d'un cube de 1 cm de côté, le $\text{dm}^3$ celui d'un cube de 1 dm de côté, etc. Les unités, de la plus grande à la plus petite : $\text{m}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{mm}^3$.
Contenance (ou capacité) : la quantité de liquide qu'un récipient peut contenir. Unité de base : le litre (L). De la plus grande à la plus petite : kL, hL, daL, L, dL, cL, mL.
Le tableau de conversion des volumes range chaque unité sur trois colonnes (parce que l'exposant 3 signifie $10 \times 10 \times 10$). Passer d'une unité à la suivante, c'est glisser de trois colonnes, c'est-à-dire multiplier ou diviser par $1\,000$.
Unités de volume : le facteur 1 000
Entre deux unités de volume consécutives, le facteur est toujours $1\,000$ :
$1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{dm}^3 \qquad 1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3 \qquad 1\,\text{cm}^3 = 1\,000\,\text{mm}^3$.
Sens de la conversion : vers une unité plus petite on multiplie par $1\,000$ à chaque saut ; vers une unité plus grande on divise par $1\,000$.
Exemple traité — $3\,\text{m}^3$ en dm³. Un saut vers le plus petit, donc $\times 1\,000$ : $3\,\text{m}^3 = 3 \times 1\,000 = 3\,000\,\text{dm}^3$.
Exemple traité — $7\,500\,\text{cm}^3$ en dm³. Un saut vers le plus grand, donc $\div 1\,000$ : $7\,500\,\text{cm}^3 = 7\,500 \div 1\,000 = 7{,}5\,\text{dm}^3$.
Contenance et le pont avec les volumes
Entre deux unités de contenance consécutives, le facteur est $10$ :
$1\,\text{L} = 10\,\text{dL} = 100\,\text{cL} = 1\,000\,\text{mL}$, et vers le haut $1\,\text{hL} = 100\,\text{L}$, $1\,\text{kL} = 1\,000\,\text{L}$.
Le pont volume ↔ contenance, à savoir par cœur : $1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{L}$ et $1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{mL}$.
De là on déduit tout le reste, par exemple $1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{L}$ et $1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3 = 1\,000\,\text{mL}$.
Exemple traité — $2\,\text{L}$ en cm³ : $2\,\text{L} = 2\,\text{dm}^3 = 2 \times 1\,000 = 2\,000\,\text{cm}^3$.
On sort le brouillon et on déroule les calculs ensemble, ligne par ligne. Ici tu ne fais rien tout seul : tu regardes comment on pose chaque conversion, et tu copieras la méthode juste après.
Échauffement 1 — un volume, on le fait ensemble
Énoncé : convertir $2{,}5\,\text{dm}^3$ en cm³.
On lit le sens : on part de dm³ (plus grand) vers cm³ (plus petit). Plus petit = on multiplie.
On compte les sauts : dm³ vers cm³, c'est un seul saut d'unité de volume. Un saut = $\times 1\,000$.
On pose le calcul : $2{,}5 \times 1\,000 = 2\,500$.
On n'oublie jamais l'unité d'arrivée : $2{,}5\,\text{dm}^3 = 2\,500\,\text{cm}^3$.
Le contrôle de bon sens : on est passé à une unité plus petite, donc le nombre doit grossir. 2,5 devient 2 500 : cohérent.
Échauffement 2 — une contenance
Énoncé : convertir $450\,\text{cL}$ en L.
Sens : de cL (plus petit) vers L (plus grand). Plus grand = on divise.
On compte les sauts sur l'échelle des contenances : cL vers dL vers L, ça fait deux sauts. Deux sauts de $\div 10$, c'est $\div 100$.
On pose : $450 \div 100 = 4{,}5$.
Avec l'unité : $450\,\text{cL} = 4{,}5\,\text{L}$.
Contrôle de bon sens : unité plus grande, donc le nombre doit rapetisser. 450 devient 4,5 : cohérent.
Échauffement 3 — du volume à la contenance
Énoncé : convertir $1{,}2\,\text{m}^3$ en litres.
Idée : on ne saute pas directement de m³ à L. On passe d'abord par les dm³, car c'est là qu'est le pont ($1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{L}$).
Étape 1 — m³ vers dm³ (plus petit, un saut) : $1{,}2\,\text{m}^3 = 1{,}2 \times 1\,000 = 1\,200\,\text{dm}^3$.
Étape 2 — on traverse le pont : $1\,200\,\text{dm}^3 = 1\,200\,\text{L}$.
Conclusion : $1{,}2\,\text{m}^3 = 1\,200\,\text{L}$.
Astuce à garder : pour les liquides, $1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{L}$ tout court — un mètre cube, c'est mille litres.
Niveau contrôle (et plus tard brevet) : des énoncés qui ressemblent à la vraie vie, les pièges où tout le monde tombe, et exactement ce que le correcteur veut voir sur ta copie.
Problème type 1 — l'aquarium
Énoncé. Un aquarium a la forme d'un pavé droit de $40\,\text{cm}$ de long, $25\,\text{cm}$ de large et $20\,\text{cm}$ de haut. Combien de litres d'eau peut-il contenir au maximum ?
Étape 1 — le volume en cm³. Pour un pavé droit, $V = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{hauteur}$, donc $V = 40 \times 25 \times 20 = 20\,000\,\text{cm}^3$.
Étape 2 — on vise des litres, on convertit d'abord le volume en dm³ (c'est là qu'est le pont vers le litre).
Étape 3 — cm³ vers dm³ (plus grand, un saut) : $20\,000\,\text{cm}^3 = 20\,000 \div 1\,000 = 20\,\text{dm}^3$.
Étape 4 — on traverse le pont : $20\,\text{dm}^3 = 20\,\text{L}$.
Réponse. L'aquarium contient au maximum $20\,\text{L}$ d'eau.
Problème type 2 — la citerne
Énoncé. Une citerne contient $1{,}5\,\text{m}^3$ d'eau. (a) Combien de litres cela fait-il ? (b) Combien d'arrosoirs de $10\,\text{L}$ peut-on remplir avec cette eau ?
(a) On convertit m³ en L. Le plus court : $1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{L}$, donc $1{,}5\,\text{m}^3 = 1{,}5 \times 1\,000 = 1\,500\,\text{L}$.
(b) On divise la contenance totale par celle d'un arrosoir : $1\,500 \div 10 = 150$.
Réponse. La citerne contient $1\,500\,\text{L}$, de quoi remplir $150$ arrosoirs de $10\,\text{L}$.
Les pièges + ce que le correcteur attend
Piège n°1 — le facteur. Entre deux unités de volume, c'est $1\,000$, pas $10$ (l'exposant 3 donne $10 \times 10 \times 10 = 1\,000$). Entre deux unités de contenance, c'est $10$. Ne mélange jamais les deux.
Piège n°2 — les sauts multiples. De m³ à cm³, il y a deux sauts de $\times 1\,000$ : $1\,\text{m}^3 = 1\,000\,000\,\text{cm}^3$ (un million, pas mille).
Piège n°3 — m³ et L. $1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{L}$, surtout pas $1\,\text{L}$. Le mètre cube ne vaut pas un litre.
Piège n°4 — le dm³. $1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{L} = 1\,000\,\text{mL}$, donc $1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{mL}$ et non $1\,\text{mL}$.
Ce que le correcteur veut voir : l'unité écrite à chaque ligne (un nombre nu ne rapporte pas les points), le sens annoncé (« plus petit, donc je multiplie »), et l'unité dans la réponse finale. Un petit contrôle de bon sens (« le nombre grossit ou rapetisse ? ») évite les fautes bêtes.
Tu as compris le mécanisme ? Alors regardons pourquoi le 1 000 tombe du ciel, et où ces conversions te resserviront ensuite — puissances de 10, volumes des solides, masse volumique.
Pourquoi 1 000 ? La preuve par le cube
D'où sort ce facteur $1\,000$ qu'on répète sans arrêt ? Regarde un cube de $1\,\text{dm}$ de côté, c'est-à-dire $1\,\text{dm}^3$.
Comme $1\,\text{dm} = 10\,\text{cm}$, si on remplit ce cube avec des petits cubes de $1\,\text{cm}$ de côté, on en aligne $10$ en longueur, $10$ en largeur et $10$ en hauteur.
Nombre de petits cubes : $10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1\,000$.
Donc $1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3$. C'est l'exposant 3 (les trois dimensions de l'espace) qui transforme le $\times 10$ des longueurs en $\times 1\,000$ des volumes. Même histoire pour passer de $1\,\text{m}^3$ à $1\,000\,\text{dm}^3$.
Les ponts vers la suite
Puissances de 10 et notation scientifique (4e). Multiplier par $1\,000$, c'est multiplier par $10^3$. Ces conversions deviennent alors de simples additions d'exposants : $1\,\text{m}^3 = 10^6\,\text{cm}^3$.
Volumes des solides (déjà en 5e, puis 4e et 3e). Le volume d'un pavé, d'un prisme ou d'un cylindre se calcule en cm³ ou en m³ ; pour donner ensuite une contenance en litres, il faut convertir — exactement ce que tu viens d'apprendre.
Masse volumique (physique-chimie). Elle relie un volume à une masse : pour l'eau, $1\,\text{L}$ (soit $1\,\text{dm}^3$) pèse environ $1\,\text{kg}$. Les conversions de volume et de contenance servent en permanence dans ces calculs.
Proportionnalité. Convertir, c'est toujours multiplier (ou diviser) par un même nombre fixe : une conversion est une situation de proportionnalité, le grand fil rouge du collège.