Pas de panique, on rattrape tout en vitesse ! Tu as un contrôle bientôt et tu n'as jamais vu cette notion ? On va partir des bases : ce qu'il faut savoir avant de se lancer, puis l'idée essentielle. D'ici la fin du palier, tu sauras déjà reconnaître la formule du volume d'un prisme et d'un cylindre.
Les prérequis indispensables
Pour calculer des volumes, tu dois d’abord savoir calculer des aires. Voici un petit rappel :
- Aire d’un rectangle : $A = L \times l$ (longueur × largeur)
- Aire d’un triangle rectangle : $A = \dfrac{b \times h_t}{2}$ (le produit des côtés de l’angle droit divisé par 2)
- Aire d’un disque : $A = \pi \times r^2$ (r étant le rayon)
Et aussi : le volume s’exprime en unités cubes comme le cm³, le dm³ ou le m³. La capacité d’un récipient s’exprime en litres, avec 1 dm³ = 1 L.
L’idée principale : le volume = aire de la base × hauteur
Que ce soit un prisme droit ou un cylindre, la base est une forme plane (un polygone ou un disque), et la hauteur est la distance entre les deux bases parallèles. Le volume, c’est simplement l’aire de cette base que l’on « empile » sur toute la hauteur. Donc :
$V = A_b \times h$
Pour un prisme droit, la base peut être un triangle, un rectangle, etc. Pour un cylindre, la base est un disque.
À toi de jouer
1. Exercice 1 : Complète la formule.
Pour un prisme droit, le volume se calcule avec la formule :
$V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}$
Pour un prisme droit, le volume se calcule avec la formule :
$V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$V = A_b \times h$ (aire de la base multipliée par la hauteur)
2. Exercice 2 : Dans le cylindre ci-dessous, le rayon $r=4$ cm et la hauteur $h=7$ cm.
Calcule l'aire de la base : $A_b = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}}^{2} = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm².
Puis calcule le volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm³.
Calcule l'aire de la base : $A_b = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}}^{2} = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm².
Puis calcule le volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm³.
Corrigé
$A_b = \pi \times 4^{2} = \pi \times 16 = 16\pi$ cm². $V = 16\pi \times 7 = 112\pi$ cm³.
3. Exercice 3 : Pour un pavé droit de longueur $L$, de largeur $l$ et de hauteur $h$, le volume est $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$V = L \times l \times h$
Ah oui, ça te revient ! On va remettre tout ça en ordre et appliquer la méthode étape par étape. Après ce palier, tu sauras calculer le volume d'un prisme ou d'un cylindre sans hésiter.
Rappel des formules
Voici les formules à connaître par cœur :
- Prisme droit (base quelconque) : $V = A_b \times h$ où $A_b$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.
- Cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$ (ou $V = \pi r^2 h$).
- Cas particulier : le pavé droit (prisme à base rectangulaire) : $V = L \times l \times h$.
Attention aux unités : si toutes les longueurs sont en cm, le volume est en cm³.
Méthode pas à pas
Pour calculer le volume d’un prisme ou d’un cylindre :
- Identifier la forme de la base.
- Calculer l’aire $A_b$ de cette base avec la bonne formule (aire du triangle, du rectangle, du disque…).
- Repérer la hauteur $h$ du solide (distance entre les deux bases).
- Appliquer la formule : $V = A_b \times h$.
- Ajouter l’unité de volume (cm³, m³…).
À toi de jouer
1. Exercice 1 : Un prisme droit a une base triangulaire. Les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 4 cm. La hauteur du prisme est 7 cm.
Complète les étapes :
1. Aire de la base : $A_b = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
2. Hauteur : $h = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
3. Volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Complète les étapes :
1. Aire de la base : $A_b = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
2. Hauteur : $h = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
3. Volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Corrigé
1. $A_b = \dfrac{6 \times 4}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$ cm².
2. $h = 7$ cm.
3. $V = 12 \times 7 = 84$ cm³.
2. $h = 7$ cm.
3. $V = 12 \times 7 = 84$ cm³.
2. Exercice 2 : Un cylindre a un rayon de 5 cm et une hauteur de 8 cm. On prend $\pi \approx 3{,}14$.
Complète :
Aire de la base : $A_b = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}}^{2} = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm²
$V = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \approx \underline{\hspace{1.1em}} \times 3{,}14 = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Complète :
Aire de la base : $A_b = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}}^{2} = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm²
$V = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \approx \underline{\hspace{1.1em}} \times 3{,}14 = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Corrigé
$A_b = \pi \times 5^2 = \pi \times 25 = 25\pi$ cm².
$V = 25\pi \times 8 = 200\pi \approx 200 \times 3{,}14 = 628$ cm³.
$V = 25\pi \times 8 = 200\pi \approx 200 \times 3{,}14 = 628$ cm³.
3. Exercice 3 : Un pavé droit a pour longueur 10 cm, largeur 4 cm et hauteur 6 cm.
Complète : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Complète : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Corrigé
$V = 10 \times 4 \times 6 = 240$ cm³.
On répète la même opération cinq fois. C'est mécanique, mais c’est comme ça que le calcul devient automatique. Remplis les trous, et vérifie que tu ne te trompes plus dans la formule.
À toi de jouer
1. Exercice 1 : Un prisme droit a une base d'aire $A_b = 20$ cm² et une hauteur $h = 5$ cm.
Volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Corrigé
$V = 20 \times 5 = 100$ cm³.
2. Exercice 2 : Un cylindre a un rayon $r = 2$ cm et une hauteur $h = 9$ cm. On prend $\pi \approx 3{,}14$.
Aire de la base : $A_b = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}}^{2} = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm³.
Avec $\pi \approx 3{,}14$ : $V \approx \underline{\hspace{1.1em}} \times 3{,}14 = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Aire de la base : $A_b = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}}^{2} = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm³.
Avec $\pi \approx 3{,}14$ : $V \approx \underline{\hspace{1.1em}} \times 3{,}14 = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Corrigé
$A_b = \pi \times 2^2 = 4\pi$ cm².
$V = 4\pi \times 9 = 36\pi$ cm³.
$36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ cm³.
$V = 4\pi \times 9 = 36\pi$ cm³.
$36 \times 3{,}14 = 113{,}04$ cm³.
3. Exercice 3 : Un prisme droit a pour base un triangle rectangle. Les côtés de l'angle droit mesurent 8 cm et 3 cm. La hauteur du prisme est 6 cm.
Aire de la base : $A_b = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Aire de la base : $A_b = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm².
Volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Corrigé
$A_b = \dfrac{8 \times 3}{2} = 12$ cm². $V = 12 \times 6 = 72$ cm³.
4. Exercice 4 : Un pavé droit a pour dimensions 7 cm, 5 cm et 3 cm.
Volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Corrigé
$V = 7 \times 5 \times 3 = 105$ cm³.
5. Exercice 5 : Un cylindre a un rayon $r = 1{,}5$ cm et une hauteur $h = 10$ cm. On prend $\pi \approx 3{,}14$.
Aire de la base : $A_b = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}}^{2} = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm².
Volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm³.
$V \approx \underline{\hspace{1.1em}} \times 3{,}14 = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Aire de la base : $A_b = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}}^{2} = \pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm².
Volume : $V = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm³.
$V \approx \underline{\hspace{1.1em}} \times 3{,}14 = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³.
Corrigé
$A_b = \pi \times 1{,}5^{2} = 2{,}25\pi$ cm². $V = 2{,}25\pi \times 10 = 22{,}5\pi$ cm³. $22{,}5 \times 3{,}14 = 70{,}65$ cm³.
Place au niveau attendu en classe. Ces exercices ressemblent à ceux du contrôle : tu vas devoir chercher les bonnes formules, convertir des unités et comparer des volumes. À toi de jouer, en autonomie.
À toi de jouer
1. Exercice 1 : Calcule le volume d’un pavé droit de longueur 12 cm, largeur 7 cm et hauteur 5 cm. (2 pts)
Corrigé
$V = 12 \times 7 \times 5 = 420$ cm³.
2. Exercice 2 : Un prisme droit a une base triangulaire. La base est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 5 cm et 9 cm. La hauteur du prisme est 12 cm.
a) Calcule l'aire de la base.
b) Déduis-en le volume du prisme. (3 pts)
a) Calcule l'aire de la base.
b) Déduis-en le volume du prisme. (3 pts)
Corrigé
a) $A_b = \dfrac{5 \times 9}{2} = \dfrac{45}{2} = 22{,}5$ cm².
b) $V = A_b \times h = 22{,}5 \times 12 = 270$ cm³.
b) $V = A_b \times h = 22{,}5 \times 12 = 270$ cm³.
3. Exercice 3 : Soit un cylindre de rayon $r = 3{,}5$ cm et de hauteur $h = 9$ cm. On prendra $\pi \approx 3{,}14$.
a) Calcule le volume de ce cylindre en cm³ (arrondis à l'unité).
b) Convertis ce volume en dm³ (arrondis au centième). (3 pts)
a) Calcule le volume de ce cylindre en cm³ (arrondis à l'unité).
b) Convertis ce volume en dm³ (arrondis au centième). (3 pts)
Corrigé
a) $A_b = \pi \times 3{,}5^{2} = 12{,}25\pi$ cm². $V = 12{,}25\pi \times 9 = 110{,}25\pi \approx 110{,}25 \times 3{,}14 = 346{,}185 \approx 346$ cm³ (arrondi à l'unité).
b) $1$ dm³ $= 1 000$ cm³, donc $346 \div 1 000 = 0{,}346 \approx 0{,}35$ dm³.
b) $1$ dm³ $= 1 000$ cm³, donc $346 \div 1 000 = 0{,}346 \approx 0{,}35$ dm³.
4. Exercice 4 : On veut comparer deux briques de jus de fruit. La brique A est un pavé droit de dimensions 8 cm × 6 cm × 15 cm. La brique B est un cylindre de rayon 4 cm et de hauteur 15 cm. On prend $\pi \approx 3{,}14$.
a) Calcule le volume de chaque brique en cm³.
b) Quelle brique contient le plus de jus ? Justifie. (4 pts)
a) Calcule le volume de chaque brique en cm³.
b) Quelle brique contient le plus de jus ? Justifie. (4 pts)
Corrigé
a) Volume A (pavé) : $V_A = 8 \times 6 \times 15 = 720$ cm³.
Volume B (cylindre) : $V_B = \pi \times 4^{2} \times 15 = 240\pi \approx 240 \times 3{,}14 = 753{,}6$ cm³.
b) $753{,}6 > 720$, donc la brique B (cylindre) a le plus grand volume.
Volume B (cylindre) : $V_B = \pi \times 4^{2} \times 15 = 240\pi \approx 240 \times 3{,}14 = 753{,}6$ cm³.
b) $753{,}6 > 720$, donc la brique B (cylindre) a le plus grand volume.
5. Exercice 5 : Une piscine a la forme d'un pavé droit de longueur 10 m, de largeur 5 m et de profondeur 1,5 m.
a) Calcule le volume de la piscine en m³.
b) Convertis ce volume en litres (rappel : $1$ m³ $= 1 000$ L).
c) On la remplit avec un tuyau qui débite 800 litres par minute. Combien de minutes faut-il pour remplir entièrement la piscine ? Exprime ce temps en heures et minutes. (5 pts)
a) Calcule le volume de la piscine en m³.
b) Convertis ce volume en litres (rappel : $1$ m³ $= 1 000$ L).
c) On la remplit avec un tuyau qui débite 800 litres par minute. Combien de minutes faut-il pour remplir entièrement la piscine ? Exprime ce temps en heures et minutes. (5 pts)
Corrigé
a) $V = 10 \times 5 \times 1{,}5 = 75$ m³.
b) $75 \times 1 000 = 75 000$ L.
c) Temps = $75 000 \div 800 = 93{,}75$ minutes. $93{,}75 = 60 + 33{,}75$ soit 1 heure et 33,75 minutes donc 1 h 34 min (arrondi).
b) $75 \times 1 000 = 75 000$ L.
c) Temps = $75 000 \div 800 = 93{,}75$ minutes. $93{,}75 = 60 + 33{,}75$ soit 1 heure et 33,75 minutes donc 1 h 34 min (arrondi).
Tu es chaud ? On va un peu plus loin. Ces petits défis te préparent aux années suivantes : manipuler les formules dans l’autre sens, utiliser des volumes composés, bref, anticiper sans stress.
À toi de jouer
1. Exercice 1 : Un prisme droit a pour base un parallélogramme. L'aire de ce parallélogramme se calcule avec la formule : $A_b = b \times h_p$, où $b$ est la longueur d'un côté et $h_p$ la hauteur correspondante. Ici, $b = 8$ cm et $h_p = 5$ cm. La hauteur du prisme est $20$ cm.
Calcule le volume de ce prisme. (2 pts)
Calcule le volume de ce prisme. (2 pts)
Corrigé
$A_b = 8 \times 5 = 40$ cm². $V = A_b \times h = 40 \times 20 = 800$ cm³.
2. Exercice 2 : Un cylindre a un volume de $300\pi$ cm³ et un rayon de 5 cm.
Calcule sa hauteur. (3 pts)
Calcule sa hauteur. (3 pts)
Corrigé
$V = \pi r^{2} h$, donc $300\pi = \pi \times 5^{2} \times h = 25\pi h$. En divisant par $\pi$ de chaque côté : $300 = 25 h$, donc $h = \frac{300}{25} = 12$ cm exactement. La hauteur est de 12 cm.
3. Exercice 3 : Un réservoir est constitué d'un pavé droit surmonté d'un prisme droit à base triangulaire (voir figure). Les dimensions : pavé droit de longueur 60 cm, largeur 40 cm, hauteur 50 cm. Au-dessus, le prisme a une base triangulaire (triangle rectangle) dont les côtés de l'angle droit sont 30 cm et 40 cm, et une hauteur de 60 cm (correspondant à la profondeur du réservoir).
Calcule le volume total du réservoir en cm³, puis en litres. (5 pts)
Calcule le volume total du réservoir en cm³, puis en litres. (5 pts)
Corrigé
Volume du pavé : $V_1 = 60 \times 40 \times 50 = 120 000$ cm³.
Volume du prisme triangulaire : Aire de la base triangulaire $= \dfrac{30 \times 40}{2} = 600$ cm². Hauteur du prisme $= 60$ cm (profondeur). $V_2 = 600 \times 60 = 36 000$ cm³.
Volume total $= 120 000 + 36 000 = 156 000$ cm³.
Conversion : $1$ L $= 1 000$ cm³, donc $156 000 \div 1 000 = 156$ litres.
Volume du prisme triangulaire : Aire de la base triangulaire $= \dfrac{30 \times 40}{2} = 600$ cm². Hauteur du prisme $= 60$ cm (profondeur). $V_2 = 600 \times 60 = 36 000$ cm³.
Volume total $= 120 000 + 36 000 = 156 000$ cm³.
Conversion : $1$ L $= 1 000$ cm³, donc $156 000 \div 1 000 = 156$ litres.