Volume du prisme droit et du cylindre

Les 3 réflexes à avoir avant de commencer

Avant de calculer un volume, assure-toi de tenir ces trois choses :

1. Un volume, c'est la place occupée dans l'espace. Ça se mesure en cm³, dm³ ou m³, toujours au cube, jamais au carré.

2. Tu sais calculer une aire (une surface plate). Rectangle : $A = L \times l$. Triangle : $A = \dfrac{b \times h_t}{2}$. Disque : $A = \pi \times r^2$.

3. Rayon ou diamètre ? Le rayon $r$ va du centre au bord ; le diamètre $d$ traverse tout le disque. On a $d = 2 \times r$, donc $r = \dfrac{d}{2}$.

L'idée en une phrase, et les formules qui sauvent

Un prisme droit et un cylindre, ce sont deux bases identiques reliées par une hauteur $h$. Imagine une même tranche empilée du bas vers le haut : d'où l'idée unique.

Volume = aire de la base $\times$ hauteur

Selon la forme de la base, ça donne :

Prisme droit : $V = A_b \times h$ (où $A_b$ est l'aire de la base).

Cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$ (la base est un disque de rayon $r$).

Pavé droit (cas particulier) : $V = L \times l \times h$.

Un exemple fait en entier (cylindre)

Énoncé : un cylindre a un rayon $r = 3$ cm et une hauteur $h = 10$ cm. Quel est son volume ?

Étape 1 — la base. C'est un disque de rayon $r = 3$ cm.

Étape 2 — la formule. $V = \pi \times r^2 \times h$.

Étape 3 — on remplace. $V = \pi \times 3^2 \times 10 = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi$ cm³.

Étape 4 — valeur approchée. $90\pi \approx 90 \times 3{,}14 \approx 282{,}6$ cm³.

On garde bien l'unité au cube : des cm³. Et voilà, contrôle survivable.

Les définitions au propre

Un prisme droit est un solide qui a deux bases identiques et parallèles (deux polygones superposables : triangles, rectangles, pentagones…), reliées par des faces rectangulaires. Le pavé droit (la boîte) n'est qu'un prisme dont la base est un rectangle.

Un cylindre de révolution — on dit simplement « cylindre » — suit exactement la même logique, mais ses deux bases sont des disques identiques de rayon $r$.

La hauteur $h$ est la distance perpendiculaire entre les deux bases. Attention : dans un prisme à base triangulaire, ne confonds pas cette hauteur $h$ du solide avec la hauteur du triangle qui sert, elle, à calculer l'aire de la base.

La méthode en 4 temps

Toujours la même marche à suivre, quel que soit le solide :

1. Reconnaître la forme de la base (triangle, rectangle, disque…).

2. Calculer l'aire de la base $A_b$.

3. Repérer la hauteur $h$ du solide.

4. Appliquer $V = A_b \times h$ et écrire l'unité au cube.

Les formules ne sont que cette règle appliquée : prisme $V = A_b \times h$ ; cylindre $V = \pi \times r^2 \times h$ (car l'aire du disque vaut $\pi \times r^2$) ; pavé $V = L \times l \times h$.

Deux exemples traités, un par solide

Exemple A — prisme à base triangulaire.

La base est un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6$ cm et $4$ cm.

Aire de la base : $A_b = \dfrac{6 \times 4}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$ cm².

Hauteur du prisme : $h = 9$ cm.

Volume : $V = A_b \times h = 12 \times 9 = 108$ cm³.

Exemple B — cylindre.

Rayon $r = 3$ cm, hauteur $h = 10$ cm.

$V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi \approx 282{,}6$ cm³.

Échauffement 1 — le pavé droit, et la formule dans les deux sens

On commence doux. Une boîte (pavé droit) mesure $L = 5$ cm de long, $l = 4$ cm de large et $h = 3$ cm de haut.

On repère la base : c'est le rectangle du dessous, donc son aire est $A_b = L \times l$.

On calcule l'aire : $A_b = 5 \times 4 = 20$ cm². (C'est une aire : en cm².)

On repère la hauteur : $h = 3$ cm.

On applique la formule : $V = A_b \times h = 20 \times 3 = 60$ cm³. (On passe au cube : cm³.)

Note que $V = L \times l \times h = 5 \times 4 \times 3$ donne évidemment la même chose : le pavé n'est qu'un prisme à base rectangle.

Et dans l'autre sens ? Si l'énoncé te donnait $V = 60$ cm³ et $h = 3$ cm en te demandant l'aire de la base, tu remonterais la même égalité : $A_b = \dfrac{V}{h} = \dfrac{60}{3} = 20$ cm². On divise un volume par une longueur, on retombe bien sur une aire — donc des cm², jamais des cm³.

Échauffement 2 — le prisme à base triangulaire

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $8$ cm et $5$ cm. La hauteur du prisme est $h = 12$ cm.

Base : un triangle, donc $A_b = \dfrac{b \times h_t}{2}$. Ici les deux côtés de l'angle droit jouent les rôles de base et de hauteur du triangle.

Aire de la base : $A_b = \dfrac{8 \times 5}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$ cm². (Ne saute jamais le $\div 2$ du triangle : c'est l'erreur classique.)

Attention aux deux hauteurs : le $5$ cm sert à calculer l'aire du triangle ; le $h = 12$ cm est la hauteur du solide (la distance entre les deux triangles). Ce ne sont pas les mêmes.

Volume : $V = A_b \times h = 20 \times 12 = 240$ cm³.

Échauffement 3 — le cylindre, le piège du diamètre, et le passage aux litres

Un cylindre a un diamètre $d = 8$ cm et une hauteur $h = 5$ cm. Piège : on te donne le diamètre, pas le rayon.

On trouve le rayon : $r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ cm.

Aire de la base : $A_b = \pi \times r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi$ cm². (On élève le rayon au carré, jamais le diamètre.)

Volume : $V = A_b \times h = 16\pi \times 5 = 80\pi$ cm³.

Valeur approchée : $80\pi \approx 80 \times 3{,}14 \approx 251{,}2$ cm³.

On termine en litres, parce que l'énoncé le demande une fois sur deux. On descend d'abord en dm³ : $1\,\text{dm}^3 = 1\,000\,\text{cm}^3$, donc $251{,}2 \div 1\,000 = 0{,}2512$ dm³. Et comme $1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{L}$, la capacité du cylindre est d'environ $0{,}25$ L, soit un quart de litre. Contrôle de bon sens : on est passé à une unité plus grande, donc le nombre doit rapetisser — 251,2 devient 0,25 : cohérent.

Ce que le correcteur attend (et les pièges)

Au contrôle, quelques réflexes font gagner tous les points :

Pose la formule avant de remplacer : le correcteur veut voir $V = \pi \times r^2 \times h$ écrit, puis les valeurs.

Valeur exacte puis valeur approchée : laisse d'abord le résultat avec $\pi$ (ex. $80\pi$ cm³), puis donne l'arrondi demandé (ex. $\approx 251{,}2$ cm³).

L'unité au cube : cm³, dm³, m³. Une aire est au carré, un volume au cube.

Conversions à connaître : $1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{L} = 1\,000\,\text{cm}^3$ ; $1\,\text{m}^3 = 1\,000\,\text{dm}^3 = 1\,000\,000\,\text{cm}^3$. Capacité (on disait aussi contenance) : c'est ce qu'un récipient peut contenir, et ça se lit en litres — même nombre qu'en dm³.

Les trois pièges classiques : confondre rayon et diamètre ($d = 2r$) ; oublier le $\div 2$ de l'aire du triangle ; écrire l'unité au carré au lieu du cube.

Problème type 1 — la boîte de conserve (cylindre vers litres)

Énoncé : une boîte de conserve cylindrique a un diamètre de $10$ cm et une hauteur de $13$ cm. Quelle est sa capacité, en litres environ ?

Étape 1 — rayon : $r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$ cm.

Étape 2 — aire de la base : $A_b = \pi \times r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi$ cm².

Étape 3 — volume exact : $V = A_b \times h = 25\pi \times 13 = 325\pi$ cm³.

Étape 4 — valeur approchée : $325\pi \approx 325 \times 3{,}14 \approx 1\,020{,}5$ cm³.

Étape 5 — conversion : comme $1\,000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{L}$, on a $1\,020{,}5\,\text{cm}^3 \approx 1{,}02\,\text{L}$. La boîte contient environ un litre.

Le correcteur attend la formule posée, le passage diamètre vers rayon, la valeur exacte $325\pi$ puis l'arrondi, et la bonne conversion cm³ vers L.

Problème type 2 — le chocolat en prisme triangulaire

Énoncé : une barre de chocolat a la forme d'un prisme droit à base triangulaire. Le triangle de base a une base de $3$ cm et une hauteur de $2{,}6$ cm ; la barre mesure $20$ cm de long. Quel est son volume ?

Étape 1 — la base est un triangle : $A_b = \dfrac{b \times h_t}{2} = \dfrac{3 \times 2{,}6}{2} = \dfrac{7{,}8}{2} = 3{,}9$ cm².

Étape 2 — la hauteur du prisme est ici la longueur de la barre : $h = 20$ cm. (Ne la confonds pas avec la hauteur $2{,}6$ cm du triangle.)

Étape 3 — volume : $V = A_b \times h = 3{,}9 \times 20 = 78$ cm³.

Ce que le correcteur coche : avoir vu que la « longueur » de la barre est la hauteur du prisme, et avoir gardé le $\div 2$ du triangle.

Pourquoi « base fois hauteur » ? L'idée de la preuve

Prends une rame de feuilles de papier toutes identiques : chaque feuille a la même aire $A_b$. Empile-les jusqu'à une hauteur $h$. Le volume de la pile, c'est l'aire d'une feuille répétée sur toute la hauteur, c'est-à-dire $A_b \times h$.

C'est exactement ce qui se passe dans un prisme et dans un cylindre : on empile une même tranche (le polygone ou le disque) sur la hauteur $h$. Peu importe la forme de la tranche — triangle, rectangle, disque — la règle reste $V = A_b \times h$.

Cette intuition des « tranches empilées » a même un nom savant que tu croiseras plus tard (le principe de Cavalieri), mais l'image de la rame de papier suffit pour tout comprendre.

Les notions voisines

Les aires d'abord. Un volume s'appuie toujours sur une aire : celle du rectangle, du triangle ou du disque. Réviser les aires, c'est réviser la moitié du travail.

Les conversions. Volumes et capacités vont ensemble : $1\,\text{L} = 1\,\text{dm}^3$ et $1\,000\,\text{cm}^3 = 1\,\text{L}$. C'est une fiche à part entière, très liée à celle-ci.

Les patrons et les perspectives. Depuis le programme 2026, tout ce chapitre vit dans le domaine Espace et géométrie, sous le titre Représentation de l'espace : dessiner un solide en perspective cavalière, le déplier en patron, calculer son volume et convertir les unités, c'est le même chapitre. Le patron d'un cylindre le montre bien : deux disques pour les bases, et un rectangle dont la longueur est le périmètre du disque, $2 \times \pi \times r$.

L'an prochain — le jour où l'on divise par 3

En 4e arrivent deux cousins pointus : la pyramide et le cône de révolution. Même base, même hauteur qu'un prisme ou un cylindre, mais un volume trois fois plus petit :

$V = \dfrac{1}{3} \times A_b \times h$

Concrètement, il faut exactement trois cônes pour remplir le cylindre qui a la même base et la même hauteur. Le cône, c'est le cylindre pointu divisé par trois.

En 3e viendront la boule et la sphère — la sphère n'est que la surface, la boule est le solide plein — avec la formule du volume de la boule : $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$. Mais la logique de cette année ne change pas : prisme et cylindre, c'est base $\times$ hauteur ; pyramide et cône, c'est un tiers de tout ça.