Addition et soustraction de fractions : dénominateurs quelconques

Les prérequis en 30 secondes

Une fraction comme $\dfrac{3}{7}$ se lit « trois septièmes ». Le nombre du bas, ici $7$, est le dénominateur : c'est en combien de parts égales on a coupé le tout. Le nombre du haut, ici $3$, est le numérateur : c'est combien de ces parts on prend. Le dénominateur n'est jamais $0$.

Le rappel de 6e à avoir dans les doigts. Deux fractions égales sont deux écritures d'un même nombre : on passe de l'une à l'autre en multipliant, ou en divisant, le haut et le bas par un même nombre non nul. Par exemple $\dfrac{3}{7} = \dfrac{3 \times 2}{7 \times 2} = \dfrac{6}{14}$. C'est le seul outil dont tu auras besoin en plus de la règle ci-dessous ; il est détaillé dans la fiche voisine Fractions : égalité, simplification, comparaison.

La règle unique, et les trois cas

Quand deux fractions ont le même dénominateur, tu additionnes (ou tu soustrais) seulement les numérateurs, et tu gardes le dénominateur tel quel.

$\dfrac{a}{n} + \dfrac{b}{n} = \dfrac{a+b}{n}$   et   $\dfrac{a}{n} - \dfrac{b}{n} = \dfrac{a-b}{n}$

Le piège numéro un : on n'additionne jamais les dénominateurs. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4}$ ne fait pas $\dfrac{3}{8}$, mais $\dfrac{3}{4}$.

En 5e, on te demande aussi des calculs où les dénominateurs ne sont pas les mêmes. Il y a exactement trois situations :

1. Mêmes dénominateurs ($\dfrac{2}{9}$ et $\dfrac{5}{9}$) : tu appliques la règle directement.
2. Un dénominateur est un multiple de l'autre ($\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{3}{8}$, car $8 = 4 \times 2$) : tu ne transformes qu'une fraction, puis tu appliques la règle.
3. Dénominateurs quelconques ($\dfrac{3}{10}$ et $\dfrac{1}{4}$) : tu cherches un dénominateur commun aux deux, tu réécris les deux fractions, puis tu appliques la règle.

Autrement dit : il n'y a qu'une seule règle, et tout le travail consiste à ramener le calcul au cas 1.

Un calcul fait en entier : $\dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{4}$

Étape 1 — je regarde les dénominateurs. $10$ et $4$ sont différents, et $10$ n'est pas dans la table de $4$. On est dans le cas 3.

Étape 2 — je cherche un dénominateur commun en listant les multiples de chacun.
Multiples de $10$ : $10,\ \mathbf{20},\ 30,\ 40\ldots$
Multiples de $4$ : $4,\ 8,\ 12,\ 16,\ \mathbf{20}\ldots$
Le plus petit nombre présent dans les deux listes est $20$.

Étape 3 — je réécris les deux fractions avec le dénominateur $20$.
$\dfrac{3}{10} = \dfrac{3 \times 2}{10 \times 2} = \dfrac{6}{20}$ (car $10 \times 2 = 20$) et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{5}{20}$ (car $4 \times 5 = 20$).

Étape 4 — j'applique la règle. $\dfrac{6}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{6+5}{20} = \dfrac{11}{20}$. C'est la réponse.

Le réflexe qui sauve. Avant de rendre, vérifie l'ordre de grandeur : $\dfrac{3}{10}$ est un peu moins que la moitié ($\dfrac{5}{10}$), et on lui ajoute un quart, donc le résultat doit être un peu plus que la moitié. $\dfrac{11}{20}$ est juste au-dessus de $\dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2}$. Ça colle.

La règle au propre, et pourquoi le dénominateur ne bouge pas

Quand les deux fractions ont le même dénominateur, elles comptent la même chose : des septièmes avec des septièmes, des douzièmes avec des douzièmes. On peut donc les rassembler, ou les enlever, directement.

Le dénominateur $c$ ne participe pas au calcul : c'est l'unité de compte. $3$ huitièmes $+\ 2$ huitièmes $= 5$ huitièmes, exactement comme $3\ \text{€} + 2\ \text{€} = 5\ \text{€}$ — personne n'additionne les euros entre eux.

Dénominateur commun. Les deux fractions n'ont pas le même dénominateur ? On leur en fabrique un. Un dénominateur commun est un nombre qui est à la fois un multiple du premier dénominateur et un multiple du second. Pour $6$ et $8$, $24$ convient, $48$ aussi ; le plus petit est $24$, et c'est celui qu'on prend, pour garder de petits nombres.

La méthode en trois étages

Étage 1 — mêmes dénominateurs. Rien à préparer : tu calcules avec les numérateurs et tu recopies le dénominateur.

Étage 2 — un dénominateur est un multiple de l'autre ($3$ et $21$, $4$ et $8$, $6$ et $12$). Le plus grand des deux fait déjà l'affaire : tu ne transformes qu'une seule fraction, et tu retombes à l'étage 1.

Étage 3 — dénominateurs quelconques ($6$ et $8$, $9$ et $10$, $5$ et $12$). Tu écris les premiers multiples de chacun et tu prends le plus petit nombre présent dans les deux listes :

• multiples de $6$ : $6,\ 12,\ 18,\ \mathbf{24},\ 30\ldots$
• multiples de $8$ : $8,\ 16,\ \mathbf{24},\ 32,\ 40\ldots$
• dénominateur commun : $24$.

À court d'idées ? Le produit des deux dénominateurs est toujours un dénominateur commun : ici $6 \times 8 = 48$ marche aussi. Les nombres sont plus gros, le résultat reste juste.

Une fois les deux fractions réécrites, te voilà revenu à l'étage 1. Deux finitions utiles :

• un nombre entier se déguise en fraction avec le dénominateur qui t'arrange : $1 = \dfrac{24}{24}$, $2 = \dfrac{8}{4}$ ;
• si le haut et le bas du résultat sont dans une même table, écris-le avec des nombres plus petits : $\dfrac{9}{12} = \dfrac{9 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{3}{4}$.

Trois exemples traités, un par étage

Étage 1 — $\dfrac{5}{9} + \dfrac{2}{9}$. Même dénominateur : $\dfrac{5}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{5+2}{9} = \dfrac{7}{9}$. $7$ et $9$ ne sont pas dans une même table, on s'arrête là.

Étage 2 — $\dfrac{7}{8} - \dfrac{1}{4}$. $8$ est un multiple de $4$ (car $4 \times 2 = 8$) : je garde $8$ et je ne transforme que la seconde fraction. $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8}$, donc $\dfrac{7}{8} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{7-2}{8} = \dfrac{5}{8}$.

Étage 3 — $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{8}$. Dénominateur commun $24$, comme dans les deux listes ci-dessus. $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 4}{6 \times 4} = \dfrac{20}{24}$ et $\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{9}{24}$. Donc $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{20}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{29}{24}$. Le résultat dépasse $1$, et c'est normal : $\dfrac{5}{6}$ vaut déjà presque $1$ à elle seule. On peut aussi l'écrire $\dfrac{24}{24} + \dfrac{5}{24} = 1 + \dfrac{5}{24}$.

On le fait ensemble — un dénominateur multiple de l'autre : $\dfrac{11}{12} - \dfrac{1}{3}$

Je commence toujours par regarder les dénominateurs : $12$ et $3$. Est-ce que l'un est dans la table de l'autre ? Oui, $3 \times 4 = 12$. Je suis à l'étage 2 : je garde $12$.

Je ne transforme donc qu'une seule fraction : $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{4}{12}$. La première ne bouge pas.

Même dénominateur, je calcule avec les numérateurs : $\dfrac{11}{12} - \dfrac{4}{12} = \dfrac{11-4}{12} = \dfrac{7}{12}$.

$7$ et $12$ ne sont pas dans une même table : $\dfrac{7}{12}$ est la réponse. Contrôle rapide : $\dfrac{11}{12}$ est presque $1$, on lui retire un tiers, il doit rester un peu plus que la moitié — $\dfrac{7}{12}$ dépasse bien $\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.

On le fait ensemble — dénominateurs quelconques : $\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{6}$

$9$ et $6$ : ni égaux, ni l'un multiple de l'autre ($9$ n'est pas dans la table de $6$). Étage 3, je liste.

Multiples de $9$ : $9,\ \mathbf{18},\ 27,\ 36\ldots$ ; multiples de $6$ : $6,\ 12,\ \mathbf{18},\ 24\ldots$ Le plus petit nombre commun aux deux listes est $18$.

Je réécris les deux fractions avec le dénominateur $18$ : $\dfrac{2}{9} = \dfrac{2 \times 2}{9 \times 2} = \dfrac{4}{18}$ (car $9 \times 2 = 18$) et $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 3}{6 \times 3} = \dfrac{15}{18}$ (car $6 \times 3 = 18$).

J'additionne : $\dfrac{4}{18} + \dfrac{15}{18} = \dfrac{19}{18}$. Un peu plus que $1$, ce qui est cohérent, puisque $\dfrac{5}{6}$ est déjà proche de $1$.

Et si j'avais pris le produit ? $9 \times 6 = 54$ est aussi un dénominateur commun : $\dfrac{2}{9} = \dfrac{12}{54}$ et $\dfrac{5}{6} = \dfrac{45}{54}$, donc $\dfrac{12}{54} + \dfrac{45}{54} = \dfrac{57}{54}$. C'est le même nombre : $57$ et $54$ sont tous les deux dans la table de $3$, et $\dfrac{57}{54} = \dfrac{57 \div 3}{54 \div 3} = \dfrac{19}{18}$. Chemin plus long, résultat identique.

On le fait ensemble — trois fractions, puis un entier : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$

Trois fractions ? La méthode ne change pas : il faut un dénominateur commun aux trois. Multiples de $2$ : $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ \mathbf{12}\ldots$ ; multiples de $3$ : $3,\ 6,\ 9,\ \mathbf{12}\ldots$ ; multiples de $4$ : $4,\ 8,\ \mathbf{12}\ldots$ Le plus petit présent dans les trois listes est $12$.

Je réécris : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{12}$, $\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$.

Je regroupe : $\dfrac{6}{12} + \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{6+4+3}{12} = \dfrac{13}{12}$.

Et pour aller jusqu'à $2$ ? Un entier prend le dénominateur qui m'arrange : $2 = \dfrac{24}{12}$. Il manque donc $\dfrac{24}{12} - \dfrac{13}{12} = \dfrac{11}{12}$ pour atteindre $2$.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

Ce qui rapporte les points :

1. Le dénominateur commun écrit noir sur blanc, et d'où il vient : les deux listes de multiples, ou la phrase « $12$ est un multiple de $4$ ».
2. Les fractions réécrites en montrant la multiplication : $\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{9}{24}$, et non un $\dfrac{9}{24}$ tombé du ciel.
3. La ligne intermédiaire $\dfrac{a+b}{c}$ avant le résultat : c'est elle qui prouve que tu as appliqué la règle et pas deviné.
4. Une phrase de conclusion qui répond à la question posée, pas seulement un nombre entouré.

Les erreurs qui coûtent des points :

• Additionner les dénominateurs. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} \neq \dfrac{1+1}{4+2} = \dfrac{2}{6}$. Le bon calcul : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$, puis $\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{4}$.
• Ajouter le même nombre en haut et en bas pour changer de dénominateur. $\dfrac{2}{3} \neq \dfrac{2+3}{3+3} = \dfrac{5}{6}$ : pour changer de dénominateur, on multiplie le haut et le bas, ce qui donne $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}$.
• Ne transformer qu'une fraction sur les deux. Pour $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{5}$, écrire $\dfrac{15}{20} + \dfrac{2}{5}$ et s'arrêter là n'a aucun sens : la seconde aussi doit passer en vingtièmes, $\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$, et le résultat est $\dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{23}{20}$.
• Rendre sans vérifier l'ordre de grandeur. $\dfrac{3}{4}$ est presque $1$ et $\dfrac{2}{5}$ un peu moins que la moitié : leur somme doit dépasser $1$. $\dfrac{23}{20}$ dépasse bien $\dfrac{20}{20} = 1$.

Problème résolu n°1 — le jardin de l'école

Énoncé. Dans le jardin de l'école, $\dfrac{3}{8}$ de la surface est occupée par le potager et $\dfrac{1}{6}$ par un massif de fleurs. Quelle fraction du jardin est occupée ? Quelle fraction reste libre ?

Étape 1 — le dénominateur commun. Multiples de $8$ : $8,\ 16,\ \mathbf{24},\ 32\ldots$ ; multiples de $6$ : $6,\ 12,\ 18,\ \mathbf{24}\ldots$ Le plus petit commun est $24$.

Étape 2 — je réécris. $\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{9}{24}$ et $\dfrac{1}{6} = \dfrac{1 \times 4}{6 \times 4} = \dfrac{4}{24}$.

Étape 3 — j'additionne. $\dfrac{9}{24} + \dfrac{4}{24} = \dfrac{13}{24}$ : voilà la fraction occupée.

Étape 4 — ce qui reste. Le jardin entier vaut $\dfrac{24}{24}$, donc il reste $\dfrac{24}{24} - \dfrac{13}{24} = \dfrac{11}{24}$.

Vérification. $\dfrac{13}{24} + \dfrac{11}{24} = \dfrac{24}{24} = 1$ : l'occupé et le libre reconstituent bien le jardin entier.

Conclusion à écrire : le potager et le massif occupent $\dfrac{13}{24}$ du jardin ; il reste $\dfrac{11}{24}$ de surface libre, soit un peu moins de la moitié.

Problème résolu n°2 — la randonnée

Énoncé. Un groupe parcourt $\dfrac{3}{10}$ d'un sentier le matin, puis $\dfrac{1}{3}$ du même sentier l'après-midi. Quelle fraction du sentier a-t-il parcourue ? A-t-il dépassé la moitié ? Que lui reste-t-il à faire ?

Étape 1. $10$ et $3$ : dénominateurs quelconques. Multiples de $10$ : $10,\ 20,\ \mathbf{30},\ 40\ldots$ ; multiples de $3$ : $3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18,\ 21,\ 24,\ 27,\ \mathbf{30}\ldots$ Dénominateur commun : $30$, qui est aussi le produit $10 \times 3$.

Étape 2. $\dfrac{3}{10} = \dfrac{3 \times 3}{10 \times 3} = \dfrac{9}{30}$ et $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 10}{3 \times 10} = \dfrac{10}{30}$.

Étape 3. $\dfrac{9}{30} + \dfrac{10}{30} = \dfrac{19}{30}$ du sentier.

Étape 4 — la moitié est-elle dépassée ? La moitié du sentier vaut $\dfrac{15}{30}$. Comme $19 > 15$, oui, elle est dépassée.

Étape 5 — le reste. $\dfrac{30}{30} - \dfrac{19}{30} = \dfrac{11}{30}$.

Conclusion à écrire : le groupe a parcouru $\dfrac{19}{30}$ du sentier, soit plus de la moitié ; il lui reste $\dfrac{11}{30}$ à parcourir.

Pourquoi ça marche vraiment

Une fraction $\dfrac{a}{n}$, c'est $a$ fois la part unité $\dfrac{1}{n}$, autrement dit $\dfrac{a}{n} = a \times \dfrac{1}{n}$. Additionner, c'est alors regrouper des paquets identiques : $a$ paquets d'un $n$-ième plus $b$ paquets d'un $n$-ième font $(a+b)$ paquets d'un $n$-ième.

$a \times \dfrac{1}{n} + b \times \dfrac{1}{n} = (a+b) \times \dfrac{1}{n} = \dfrac{a+b}{n}$

C'est exactement compter des objets : $3$ pommes $+\ 2$ pommes $= 5$ pommes. Ici l'objet compté est le $n$-ième, et le dénominateur, qui le nomme, n'a aucune raison de changer.

Et pourquoi a-t-on le droit de réécrire les fractions avant de calculer ? Parce que passer de $\dfrac{5}{6}$ à $\dfrac{20}{24}$ ne change pas le nombre : on a coupé chaque part en quatre, il y a donc quatre fois plus de parts, mais quatre fois plus fines. La quantité, elle, est la même — et c'est tout l'intérêt de la manœuvre.

La formule générale, celle des grands

Le secours « produit des deux dénominateurs » peut s'écrire une fois pour toutes, avec des lettres :

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times d + b \times c}{b \times d}$

Testons-la sur le calcul de tout à l'heure, $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{8}$ : ici $a = 5$, $b = 6$, $c = 3$ et $d = 8$, donc la formule donne $\dfrac{5 \times 8 + 6 \times 3}{6 \times 8} = \dfrac{40 + 18}{48} = \dfrac{58}{48}$. Or $58$ et $48$ sont tous les deux dans la table de $2$ : $\dfrac{58}{48} = \dfrac{58 \div 2}{48 \div 2} = \dfrac{29}{24}$. On retrouve exactement le résultat obtenu avec le plus petit dénominateur commun.

Cette formule devient précieuse quand on calcule avec des lettres, ce que tu feras en 4e et en 3e. En 5e, la méthode des multiples reste préférable : elle donne des nombres plus petits, donc moins d'occasions de se tromper.

Où ça va te resservir

• Les pourcentages. Dans une classe, $\dfrac{1}{4}$ des élèves apprennent l'allemand et $\dfrac{1}{10}$ le chinois : cela fait $\dfrac{5}{20} + \dfrac{2}{20} = \dfrac{7}{20}$ des élèves, soit $35\ \%$.
• Les probabilités. Les probabilités de tous les cas possibles s'additionnent pour faire $1$ ; impossible de le vérifier sans savoir additionner des fractions de dénominateurs quelconques.
• Comparer et ranger des fractions. C'est le même premier geste — mettre au même dénominateur — que pour additionner : la fiche voisine Fractions : égalité, simplification, comparaison le détaille.
• En 4e et en 3e. Les mêmes calculs, cette fois avec des numérateurs négatifs et avec des lettres à la place des nombres. Toutes ces fractions forment une grande famille de nombres, les nombres rationnels, avec laquelle on calcule comme avec les entiers.