Contrôle bientôt, tu ouvres le cahier, et là : des nombres avec des petits $+$ et des petits $-$ collés devant, partout. Pas de panique. Il n'y a que deux situations à reconnaître, une astuce pour la soustraction, et tu t'en sors. Je te donne l'essentiel, rien de plus.
Les prérequis en 30 secondes
Un nombre relatif, c'est juste un nombre avec un signe devant : $+$ (positif) ou $-$ (négatif). Sur une droite graduée, les positifs sont à droite de zéro, les négatifs à gauche. Et $0$ est à part : il n'est ni positif ni négatif.
La valeur absolue d'un nombre, c'est sa distance à zéro, sans regarder le signe. La valeur absolue de $-7$, c'est $7$. La valeur absolue de $+5$, c'est $5$. Retiens juste : c'est le nombre débarrassé de son signe.
Ce que tu dois déjà savoir faire : additionner et soustraire des nombres entiers ordinaires (genre $7 + 3$ ou $8 - 5$). Tout le reste, c'est de la reconnaissance de signes.
L'essentiel et les formules à connaître
Il y a exactement deux cas pour une addition, plus une astuce pour la soustraction.
Cas 1 : les deux nombres ont le même signe. Tu additionnes les valeurs absolues et tu gardes le signe commun.
Cas 2 : les deux nombres ont des signes contraires. Tu soustrais la plus petite valeur absolue de la plus grande, et tu prends le signe de celui qui a la plus grande valeur absolue.
La soustraction : tu la transformes d'abord en addition. Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : $a - b = a + (-b)$. Ensuite tu retombes sur le cas 1 ou le cas 2.
Un exemple traité en entier
1. C'est une soustraction : je la transforme en addition. Soustraire $-3$, c'est ajouter son opposé $+3$. Donc $(-5) - (-3) = (-5) + (+3)$.
2. J'observe les signes : $-5$ est négatif, $+3$ est positif. Signes contraires : c'est le cas 2.
3. Je soustrais les valeurs absolues : $5 - 3 = 2$.
4. La plus grande valeur absolue est celle de $-5$, qui est négatif. Le résultat prend donc le signe $-$.
Résultat : $(-5) - (-3) = -2$.
Piège classique à éviter dès maintenant : $(-5) - (-3)$ ne fait pas $-8$. Soustraire $-3$, c'est ajouter $+3$, pas $-3$.
Ah oui, les relatifs, ça te revient. Les petits $+$ et $-$, la droite graduée, tout ça. On reprend proprement, dans l'ordre, avec des mots justes, pour que cette fois ça reste bien accroché.
Les définitions propres
Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe $+$ ou $-$. Le signe $+$ indique un nombre positif, le signe $-$ un nombre négatif. Sur une droite graduée, on place les positifs à droite de $0$ et les négatifs à gauche. Le nombre $0$ n'est ni positif ni négatif.
La valeur absolue d'un nombre relatif est sa distance à zéro sur la droite graduée, indépendamment du signe. La valeur absolue de $-7$ est $7$ ; celle de $+5$ est $5$. C'est cette valeur absolue qu'on manipule dans les calculs, avant de décider du signe du résultat.
Deux nombres sont opposés lorsqu'ils ont la même valeur absolue mais des signes contraires, comme $-3$ et $+3$. Une propriété à retenir : la somme de deux nombres opposés est toujours nulle, $(+a) + (-a) = 0$.
La méthode pas à pas
- Si le calcul est une soustraction, la transformer d'abord en addition : $a - b = a + (-b)$ (soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé).
- Observer les signes des deux nombres.
- Même signe : additionner les valeurs absolues et conserver le signe commun.
- Signes contraires : soustraire la plus petite valeur absolue de la plus grande, puis prendre le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue.
Les trois formules qui résument tout :
Les cas distingués, avec exemples traités
$(+5) + (+3)$ : deux positifs. On additionne $5 + 3 = 8$, on garde le signe $+$. Résultat : $+8$.
$(-4) + (-6)$ : deux négatifs. On additionne $4 + 6 = 10$, on garde le signe $-$. Résultat : $-10$.
$(+7) + (-3)$ : signes contraires. On soustrait $7 - 3 = 4$. La plus grande valeur absolue est $7$, qui est positif, donc résultat : $+4$.
$(-8) + (+5)$ : signes contraires. On soustrait $8 - 5 = 3$. La plus grande valeur absolue est $8$, qui est négatif, donc résultat : $-3$.
$(-5) - (-3) = (-5) + (+3) = -2$.
$(+4) - (+9) = (+4) + (-9) = -5$.
On se met en jambes ensemble. Je prends la craie, tu regardes par-dessus mon épaule, et surtout : à chaque ligne je te dis pourquoi je l'écris. Trois calculs, un par type, commentés du début à la fin.
Exemple 1 — deux nombres de même signe
On regarde d'abord les signes : $-7$ est négatif, $-8$ est négatif. Ils ont le même signe, on est dans le cas 1.
Même signe, donc on additionne les valeurs absolues : $7 + 8 = 15$.
On conserve le signe commun, ici le signe $-$.
Conclusion : $(-7) + (-8) = -15$.
À retenir de cet exemple : quand les deux signes sont pareils, on ajoute et on garde le signe. Rien de surprenant : deux dettes qui s'ajoutent font une plus grosse dette.
Exemple 2 — deux signes contraires
On regarde les signes : $+6$ est positif, $-10$ est négatif. Signes contraires, on est dans le cas 2.
Signes contraires, donc on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande : $10 - 6 = 4$.
On cherche qui a la plus grande valeur absolue : c'est $-10$ (car $10 > 6$), et il est négatif. Le résultat prend donc le signe $-$.
Conclusion : $(+6) + (-10) = -4$.
Sur la droite graduée, on part de $0$, on avance de $6$ vers la droite, puis on recule de $10$ vers la gauche : on finit à $-4$.
Exemple 3 — une soustraction à transformer
C'est une soustraction : premier réflexe, on la transforme en addition de l'opposé. L'opposé de $+11$ est $-11$, donc $(+3) - (+11) = (+3) + (-11)$.
Maintenant c'est une addition. On regarde les signes : $+3$ positif, $-11$ négatif. Signes contraires, cas 2.
On soustrait les valeurs absolues : $11 - 3 = 8$.
La plus grande valeur absolue est $11$ (celle de $-11$), qui est négatif : le résultat est négatif.
Conclusion : $(+3) - (+11) = -8$.
La méthode ne change jamais : on transforme la soustraction en premier, puis on applique la règle des signes comme pour une addition normale.
Niveau contrôle, maintenant. On sort les vrais énoncés — température qui monte et qui descend, compte en banque dans le rouge — et je te dis exactement ce que le correcteur veut voir écrit sur ta copie. Plus les pièges qui coûtent des points bêtement.
Deux problèmes concrets entièrement résolus
Énoncé : à 6 h, il fait $-3$ °C. Dans la journée, la température augmente de $8$ °C, puis dans la nuit elle baisse de $9$ °C. Quelle température fait-il le soir ?
On traduit avec des relatifs : augmenter de $8$, c'est ajouter $+8$ ; baisser de $9$, c'est ajouter $-9$. Le calcul est $(-3) + (+8) + (-9)$.
On calcule de gauche à droite. D'abord $(-3) + (+8)$ : signes contraires, $8 - 3 = 5$, la plus grande valeur absolue est $8$ (positif), donc $(-3) + (+8) = +5$.
Puis $(+5) + (-9)$ : signes contraires, $9 - 5 = 4$, la plus grande valeur absolue est $9$ (négatif), donc $(+5) + (-9) = -4$.
Conclusion : le soir, il fait $-4$ °C.
Énoncé : ton compte est à $-15$ € (tu es à découvert). Tu reçois $40$ €, puis tu dépenses $32$ €. Quel est le solde final ?
On traduit : recevoir $40$, c'est $+40$ ; dépenser $32$, c'est $-32$. Le calcul est $(-15) + (+40) + (-32)$.
D'abord $(-15) + (+40)$ : signes contraires, $40 - 15 = 25$, la plus grande valeur absolue est $40$ (positif), donc $(-15) + (+40) = +25$.
Puis $(+25) + (-32)$ : signes contraires, $32 - 25 = 7$, la plus grande valeur absolue est $32$ (négatif), donc $(+25) + (-32) = -7$.
Conclusion : le solde final est $-7$ € : tu es de nouveau à découvert.
Enchaîner plusieurs calculs sans se tromper
Quand il y a plusieurs nombres à additionner, tu peux calculer sagement de gauche à droite, comme dans les problèmes ci-dessus. Mais il existe une méthode plus rapide et plus sûre : regrouper les positifs entre eux et les négatifs entre eux.
Somme des positifs : ici il n'y en a qu'un, $+8$.
Somme des négatifs : $(-3) + (-9)$, même signe, on additionne $3 + 9 = 12$, signe commun $-$, donc $-12$.
Il reste une addition de deux nombres : $(+8) + (-12)$. Signes contraires, $12 - 8 = 4$, plus grande valeur absolue $12$ (négatif), donc $-4$.
On retrouve bien $-4$, comme en calculant de gauche à droite. Les deux méthodes donnent le même résultat.
L'intérêt : en regroupant, tu n'as plus qu'une seule addition de signes contraires à la fin, là où c'est facile de se tromper.
Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques
- Transformer chaque soustraction en addition avant de calculer, et l'écrire : $a - b = a + (-b)$.
- Écrire les étapes intermédiaires, pas seulement le résultat : le correcteur note le raisonnement.
- Ne jamais oublier le signe du résultat : un $8$ tout seul au lieu de $-8$, c'est faux.
- Pour un problème, finir par une phrase de conclusion avec l'unité (°C, €, ...).
- $(-5) - (-3) \neq -8$. Il faut d'abord transformer : $(-5) + (+3) = -2$. Soustraire $-3$, c'est ajouter $+3$, pas $-3$.
- Signes contraires : on soustrait les valeurs absolues. $(-8) + (+5) = -3$, et surtout pas $-13$.
- Deux nombres opposés s'annulent toujours : $(+a) + (-a) = 0$. Repère-les, ça simplifie le calcul.
Tu maîtrises l'addition et la soustraction des relatifs. Petit coup d'oeil par-dessus la clôture, du côté de la 4e, pour comprendre pourquoi ça marche et voir ce qui t'attend. Rien à apprendre par coeur ici : c'est du bonus, pour arriver l'an prochain sans surprise.
Pourquoi « soustraire, c'est ajouter l'opposé » ?
Cette règle n'est pas une formule magique : elle se comprend sur la droite graduée, en pensant aux déplacements. Ajouter un nombre positif, c'est avancer vers la droite ; ajouter un nombre négatif, c'est reculer vers la gauche.
Soustraire $+3$, c'est enlever un déplacement de $3$ vers la droite, autrement dit reculer de $3$ : c'est exactement ajouter $-3$.
Soustraire $-3$, c'est enlever un déplacement de $3$ vers la gauche, donc annuler un recul, ce qui revient à avancer de $3$ : c'est exactement ajouter $+3$. Voilà pourquoi $(-5) - (-3) = (-5) + (+3) = -2$.
On peut aussi le justifier avec les opposés : puisque $(+3) + (-3) = 0$, enlever $-3$ doit remettre ce $+3$ qui manquait. Tout est cohérent.
Bientôt : écrire sans toutes les parenthèses
En 4e, on allège l'écriture. Comme additionner un positif ne change rien, on peut supprimer les signes $+$ d'addition et les parenthèses. Ainsi $(+5) + (-3)$ s'écrira plus simplement $5 - 3$, et $(-5) - (-3)$ deviendra $-5 + 3$.
Le calcul reste le même, seule l'écriture change. C'est pratique, mais ça demande de bien maîtriser les règles de signes que tu viens de voir : elles sont exactement ce qui te permettra de retirer les parenthèses sans te tromper. Tu as donc déjà l'essentiel en poche.
Ce qui t'attend : multiplier, diviser, et le calcul littéral
L'addition et la soustraction ne sont que la première moitié du travail sur les relatifs. L'an prochain, tu apprendras aussi à les multiplier et à les diviser, avec une règle des signes différente de celle d'ici : par exemple, le produit de deux nombres négatifs est positif. Attention à ne pas mélanger les deux règles : celle de l'addition (celle de ce cours) et celle de la multiplication ne sont pas les mêmes.
Les relatifs reviendront ensuite partout : dans le calcul littéral (calculer avec des lettres), dans la résolution d'équations, et dès que tu manipuleras des fractions qui peuvent, elles aussi, être négatives. Tout ce que tu as solidifié ici te resservira en permanence.