Tu n'as jamais mis les pieds dans ce cours, mais avec les priorités opératoires de 6e en poche, on te rend opérationnel en un éclair. Prends une grande respiration, on décolle.
Souviens-toi de 6e (prérequis : tables, priorités opératoires, périmètres)
La multiplication passe avant l'addition : $4 + 3 \times 2 = 4 + 6 = 10$. Et pour multiplier de tête, tu coupes déjà les nombres en morceaux : $5 \times 23 = 5 \times (20 + 3) = 5 \times 20 + 5 \times 3 = 100 + 15 = 115$. C'est exactement le calcul du chapitre, mais avec des lettres.
Les conventions d'écriture
Entre un nombre et une lettre, le signe $\times$ disparaît et le nombre passe devant : $3 \times x$ et $x \times 3$ s'écrivent tous les deux $3x$. On écrit $x$ pour $1 \times x$, $x^2$ pour $x \times x$, et $4(x + 3)$ pour $4 \times (x + 3)$. Entre deux nombres, en revanche, le signe reste : $3 \times 5$ ne s'écrit jamais $35$.
Les trois gestes
Développer : $k(a + b) = ka + kb$ et $k(a - b) = ka - kb$ — le produit devient une somme. Factoriser : le trajet inverse, la somme redevient un produit. Réduire : regrouper les termes en $x$ entre eux et les nombres seuls entre eux, pour arriver à la forme $ax + b$.
À toi de jouer
1. Simplifie l'écriture quand c'est possible.
a) $5 \times x$
b) $x \times 7$
c) $1 \times x$
d) $x \times x$
e) $4 \times (x + 2)$
f) $3 \times 5$
a) $5 \times x$
b) $x \times 7$
c) $1 \times x$
d) $x \times x$
e) $4 \times (x + 2)$
f) $3 \times 5$
Corrigé
a) $5x$
b) $7x$ (le nombre se place devant la lettre)
c) $x$
d) $x^2$
e) $4(x + 2)$
f) Piège : entre deux nombres le signe reste, et on calcule : $3 \times 5 = 15$. Surtout pas $35$.
b) $7x$ (le nombre se place devant la lettre)
c) $x$
d) $x^2$
e) $4(x + 2)$
f) Piège : entre deux nombres le signe reste, et on calcule : $3 \times 5 = 15$. Surtout pas $35$.
2. Écris l'expression demandée. On note $x$ le nombre choisi.
a) le double de $x$
b) le triple de $x$
c) le carré de $x$
d) le nombre qui suit $x$ (son successeur)
e) le nombre qui précède $x$ (son prédécesseur)
f) le périmètre d'un carré de côté $c$
g) l'aire d'un rectangle de largeur $5$ et de longueur $x$
a) le double de $x$
b) le triple de $x$
c) le carré de $x$
d) le nombre qui suit $x$ (son successeur)
e) le nombre qui précède $x$ (son prédécesseur)
f) le périmètre d'un carré de côté $c$
g) l'aire d'un rectangle de largeur $5$ et de longueur $x$
Corrigé
a) $2x$ b) $3x$ c) $x^2$ d) $x + 1$ e) $x - 1$ f) $4c$ g) $5x$
Contrôle avec $x = 7$ : le double vaut $14$, le triple $21$, le carré $49$, le successeur $8$, le prédécesseur $6$, et l'aire du rectangle $5 \times 7 = 35$. Avec $c = 3$, le périmètre vaut $4 \times 3 = 12$.
Contrôle avec $x = 7$ : le double vaut $14$, le triple $21$, le carré $49$, le successeur $8$, le prédécesseur $6$, et l'aire du rectangle $5 \times 7 = 35$. Avec $c = 3$, le périmètre vaut $4 \times 3 = 12$.
3. Développe en complétant les trous. Le facteur devant la parenthèse multiplie chacun des deux termes.
a) $3(x + 5) = 3 \times x + 3 \times 5 = \underline{\hspace{1.6em}} + \underline{\hspace{1.6em}}$
b) $6(x - 2) = 6 \times x - 6 \times 2 = \underline{\hspace{1.6em}} - \underline{\hspace{1.6em}}$
c) $4(2x + 1) = 4 \times 2x + 4 \times 1 = \underline{\hspace{1.6em}} + \underline{\hspace{1.6em}}$
a) $3(x + 5) = 3 \times x + 3 \times 5 = \underline{\hspace{1.6em}} + \underline{\hspace{1.6em}}$
b) $6(x - 2) = 6 \times x - 6 \times 2 = \underline{\hspace{1.6em}} - \underline{\hspace{1.6em}}$
c) $4(2x + 1) = 4 \times 2x + 4 \times 1 = \underline{\hspace{1.6em}} + \underline{\hspace{1.6em}}$
Corrigé
a) $3(x + 5) = 3x + 15$
b) $6(x - 2) = 6x - 12$ (le signe moins se recopie)
c) $4(2x + 1) = 8x + 4$ (car $4 \times 2 = 8$, et la lettre suit)
b) $6(x - 2) = 6x - 12$ (le signe moins se recopie)
c) $4(2x + 1) = 8x + 4$ (car $4 \times 2 = 8$, et la lettre suit)
4. Réduis. On ne regroupe que des termes de même nature : les $x$ avec les $x$, les nombres seuls avec les nombres seuls.
a) $4x + 3x$
b) $9x - 2x$
c) $5x + 2 + 3x$
d) $2x + 7 + 5$
a) $4x + 3x$
b) $9x - 2x$
c) $5x + 2 + 3x$
d) $2x + 7 + 5$
Corrigé
a) $4x + 3x = 7x$
b) $9x - 2x = 7x$
c) $5x + 3x = 8x$, et le $2$ reste seul : $8x + 2$
d) les $x$ ne bougent pas, $7 + 5 = 12$ : $2x + 12$
b) $9x - 2x = 7x$
c) $5x + 3x = 8x$, et le $2$ reste seul : $8x + 2$
d) les $x$ ne bougent pas, $7 + 5 = 12$ : $2x + 12$
Ah, les expressions avec des lettres, tu as déjà entendu parler. On remet tout à plat tranquillement : somme ou produit, développer, réduire, substituer. Ensuite, hop à l'action.
Somme ou produit ? La dernière opération décide
Demande-toi quelle serait la dernière opération effectuée si tu devais calculer l'expression. $3x + 5$ finit par une addition : c'est une somme. $4(x + 1)$ finit par une multiplication : c'est un produit. On développe un produit ; on factorise pour obtenir un produit.
Méthode pas-à-pas
- Développer $k(a + b)$ : écris d'abord $k \times a + k \times b$, puis calcule chaque morceau.
- Factoriser $ka + kb$ : cherche le nombre présent dans les deux termes (le facteur commun), écris $k \times a + k \times b$, puis sors-le : $k(a + b)$.
- Réduire : additionne entre eux les termes en $x$, puis entre eux les nombres seuls. Arrête-toi à la forme $ax + b$.
- Substituer : remplace la lettre par sa valeur, remets les signes $\times$ effacés, puis calcule en respectant les priorités.
À toi de jouer
1. Pour chaque expression, dis si c'est une somme ou un produit, et de quoi.
a) $7x + 2$
b) $3(x + 4)$
c) $6x$
d) $11 - 5x$
e) $4(3x - 2)$
a) $7x + 2$
b) $3(x + 4)$
c) $6x$
d) $11 - 5x$
e) $4(3x - 2)$
Corrigé
a) une somme, de $7x$ et de $2$
b) un produit, de $3$ et de $x + 4$
c) un produit, de $6$ et de $x$
d) une somme (ici une différence) : la dernière opération est une soustraction, ce n'est en tout cas pas un produit
e) un produit, de $4$ et de $3x - 2$
b) un produit, de $3$ et de $x + 4$
c) un produit, de $6$ et de $x$
d) une somme (ici une différence) : la dernière opération est une soustraction, ce n'est en tout cas pas un produit
e) un produit, de $4$ et de $3x - 2$
2. Développe, puis réduis jusqu'à la forme $ax + b$.
a) $2(x + 3) + 4x$
b) $5(x - 1) + 8$
c) $3(2x + 4) - 5x$
a) $2(x + 3) + 4x$
b) $5(x - 1) + 8$
c) $3(2x + 4) - 5x$
Corrigé
a) $2(x + 3) = 2x + 6$, donc l'expression vaut $2x + 6 + 4x = 6x + 6$.
b) $5(x - 1) = 5x - 5$, donc $5x - 5 + 8 = 5x + 3$.
c) $3(2x + 4) = 6x + 12$, donc $6x + 12 - 5x = x + 12$ (il reste un seul $x$, on n'écrit pas le $1$).
b) $5(x - 1) = 5x - 5$, donc $5x - 5 + 8 = 5x + 3$.
c) $3(2x + 4) = 6x + 12$, donc $6x + 12 - 5x = x + 12$ (il reste un seul $x$, on n'écrit pas le $1$).
3. On pose $A = 4x + 3$. Calcule la valeur de $A$ pour chacune des valeurs proposées.
a) $x = 2$
b) $x = 0$
c) $x = 1{,}5$
a) $x = 2$
b) $x = 0$
c) $x = 1{,}5$
Corrigé
a) $A = 4 \times 2 + 3 = 8 + 3 = 11$
b) $A = 4 \times 0 + 3 = 0 + 3 = 3$
c) $A = 4 \times 1{,}5 + 3 = 6 + 3 = 9$
b) $A = 4 \times 0 + 3 = 0 + 3 = 3$
c) $A = 4 \times 1{,}5 + 3 = 6 + 3 = 9$
4. Tester une égalité, c'est substituer la même valeur des deux côtés et comparer.
a) L'égalité $4(x + 1) = 4x + 4$ est-elle vérifiée pour $x = 2$ ? Et pour $x = 0{,}5$ ?
b) L'égalité $4(x + 1) = 4x + 1$ est-elle vérifiée pour $x = 3$ ? Que peux-tu en conclure ?
a) L'égalité $4(x + 1) = 4x + 4$ est-elle vérifiée pour $x = 2$ ? Et pour $x = 0{,}5$ ?
b) L'égalité $4(x + 1) = 4x + 1$ est-elle vérifiée pour $x = 3$ ? Que peux-tu en conclure ?
Corrigé
a) Pour $x = 2$ : à gauche $4 \times 3 = 12$, à droite $8 + 4 = 12$. Pour $x = 0{,}5$ : à gauche $4 \times 1{,}5 = 6$, à droite $2 + 4 = 6$. Les deux fois, les résultats coïncident — normal, cette égalité est le développement de $4(x + 1)$ : elle est vraie pour toutes les valeurs.
b) Pour $x = 3$ : à gauche $4 \times 4 = 16$, à droite $12 + 1 = 13$. Les résultats diffèrent, donc l'égalité est fausse. Une seule valeur qui ne marche pas suffit à le prouver : c'est un contre-exemple.
b) Pour $x = 3$ : à gauche $4 \times 4 = 16$, à droite $12 + 1 = 13$. Les résultats diffèrent, donc l'égalité est fausse. Une seule valeur qui ne marche pas suffit à le prouver : c'est un contre-exemple.
5. Automatisme — une suite de motifs évolutive. On colle des carrés les uns aux autres avec des allumettes.
a) Dessine l'étape $4$, puis compte ses allumettes.
b) Combien d'allumettes aux étapes $1$, $2$ et $3$ ? Quelle régularité observes-tu ?
c) Léa écrit la formule $3n + 1$, Tom écrit $4 + 3(n - 1)$, où $n$ est le numéro de l'étape. Développe et réduis la formule de Tom. Que constates-tu ?
d) Combien d'allumettes à l'étape $10$ ? À l'étape $50$ ?
a) Dessine l'étape $4$, puis compte ses allumettes.
b) Combien d'allumettes aux étapes $1$, $2$ et $3$ ? Quelle régularité observes-tu ?
c) Léa écrit la formule $3n + 1$, Tom écrit $4 + 3(n - 1)$, où $n$ est le numéro de l'étape. Développe et réduis la formule de Tom. Que constates-tu ?
d) Combien d'allumettes à l'étape $10$ ? À l'étape $50$ ?
Corrigé
a) L'étape $4$ compte quatre carrés collés, soit $13$ allumettes.
b) Étape $1$ : $4$ ; étape $2$ : $7$ ; étape $3$ : $10$. On ajoute $3$ allumettes à chaque étape, car le carré suivant partage un côté avec le précédent : il ne coûte que $3$ allumettes au lieu de $4$.
c) $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$. Les deux formules sont la même expression, écrite de deux façons : Léa et Tom ont tous les deux raison.
d) Étape $10$ : $3 \times 10 + 1 = 31$ allumettes. Étape $50$ : $3 \times 50 + 1 = 151$ allumettes.
b) Étape $1$ : $4$ ; étape $2$ : $7$ ; étape $3$ : $10$. On ajoute $3$ allumettes à chaque étape, car le carré suivant partage un côté avec le précédent : il ne coûte que $3$ allumettes au lieu de $4$.
c) $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$. Les deux formules sont la même expression, écrite de deux façons : Léa et Tom ont tous les deux raison.
d) Étape $10$ : $3 \times 10 + 1 = 31$ allumettes. Étape $50$ : $3 \times 50 + 1 = 151$ allumettes.
On muscle les doigts : développer, factoriser, réduire, encore et encore, jusqu'à ce que ça devienne un réflexe. Mêmes étapes à chaque fois, juste les nombres qui changent.
À toi de jouer
1. Développe.
a) $8(x + 2)$
b) $5(x - 4)$
c) $3(4x + 1)$
d) $7(2x - 5)$
a) $8(x + 2)$
b) $5(x - 4)$
c) $3(4x + 1)$
d) $7(2x - 5)$
Corrigé
a) $8 \times x + 8 \times 2 = 8x + 16$
b) $5 \times x - 5 \times 4 = 5x - 20$
c) $3 \times 4x + 3 \times 1 = 12x + 3$
d) $7 \times 2x - 7 \times 5 = 14x - 35$
b) $5 \times x - 5 \times 4 = 5x - 20$
c) $3 \times 4x + 3 \times 1 = 12x + 3$
d) $7 \times 2x - 7 \times 5 = 14x - 35$
2. Factorise. Le facteur commun t'est donné entre parenthèses.
a) $4x + 12$ (facteur commun $4$)
b) $10x - 15$ (facteur commun $5$)
c) $6 + 9x$ (facteur commun $3$)
d) $14x + 21$ (facteur commun $7$)
a) $4x + 12$ (facteur commun $4$)
b) $10x - 15$ (facteur commun $5$)
c) $6 + 9x$ (facteur commun $3$)
d) $14x + 21$ (facteur commun $7$)
Corrigé
a) $4x + 12 = 4 \times x + 4 \times 3 = 4(x + 3)$
b) $10x - 15 = 5 \times 2x - 5 \times 3 = 5(2x - 3)$
c) $6 + 9x = 3 \times 2 + 3 \times 3x = 3(2 + 3x)$
d) $14x + 21 = 7 \times 2x + 7 \times 3 = 7(2x + 3)$
b) $10x - 15 = 5 \times 2x - 5 \times 3 = 5(2x - 3)$
c) $6 + 9x = 3 \times 2 + 3 \times 3x = 3(2 + 3x)$
d) $14x + 21 = 7 \times 2x + 7 \times 3 = 7(2x + 3)$
3. Réduis jusqu'à la forme $ax + b$. Attention, les nombres peuvent être décimaux.
a) $6x + 4 + 2x + 5$
b) $9x - 3x + 7$
c) $2{,}5x + 1{,}5x + 4$
d) $4x + 3{,}2 + 1{,}8$
a) $6x + 4 + 2x + 5$
b) $9x - 3x + 7$
c) $2{,}5x + 1{,}5x + 4$
d) $4x + 3{,}2 + 1{,}8$
Corrigé
a) $6x + 2x = 8x$ et $4 + 5 = 9$, donc $8x + 9$.
b) $9x - 3x = 6x$, donc $6x + 7$.
c) $2{,}5 + 1{,}5 = 4$, donc $4x + 4$.
d) le terme en $x$ est seul, et $3{,}2 + 1{,}8 = 5$, donc $4x + 5$.
b) $9x - 3x = 6x$, donc $6x + 7$.
c) $2{,}5 + 1{,}5 = 4$, donc $4x + 4$.
d) le terme en $x$ est seul, et $3{,}2 + 1{,}8 = 5$, donc $4x + 5$.
4. Développe puis réduis.
a) $3(x + 2) + 5(x + 1)$
b) $4(2x + 3) - 3x$
a) $3(x + 2) + 5(x + 1)$
b) $4(2x + 3) - 3x$
Corrigé
a) $3(x + 2) = 3x + 6$ et $5(x + 1) = 5x + 5$. L'expression devient $3x + 6 + 5x + 5$, soit $8x + 11$.
b) $4(2x + 3) = 8x + 12$. L'expression devient $8x + 12 - 3x$, soit $5x + 12$.
b) $4(2x + 3) = 8x + 12$. L'expression devient $8x + 12 - 3x$, soit $5x + 12$.
5. Vérifier un développement par substitution.
a) Calcule $5(x + 2)$ puis $5x + 10$ pour $x = 3$.
b) Recommence pour $x = 0{,}4$.
c) Que peux-tu en conclure ?
a) Calcule $5(x + 2)$ puis $5x + 10$ pour $x = 3$.
b) Recommence pour $x = 0{,}4$.
c) Que peux-tu en conclure ?
Corrigé
a) $5 \times (3 + 2) = 5 \times 5 = 25$ et $5 \times 3 + 10 = 15 + 10 = 25$.
b) $5 \times (0{,}4 + 2) = 5 \times 2{,}4 = 12$ et $5 \times 0{,}4 + 10 = 2 + 10 = 12$.
c) Les deux écritures donnent le même nombre à chaque fois : le développement $5(x + 2) = 5x + 10$ est correct. Attention toutefois : des essais qui tombent juste ne démontrent rien. Ici, ce qui garantit l'égalité, c'est la règle $k(a + b) = ka + kb$, pas les deux essais.
b) $5 \times (0{,}4 + 2) = 5 \times 2{,}4 = 12$ et $5 \times 0{,}4 + 10 = 2 + 10 = 12$.
c) Les deux écritures donnent le même nombre à chaque fois : le développement $5(x + 2) = 5x + 10$ est correct. Attention toutefois : des essais qui tombent juste ne démontrent rien. Ici, ce qui garantit l'égalité, c'est la règle $k(a + b) = ka + kb$, pas les deux essais.
Maintenant que la mécanique est huilée, on attaque le format contrôle. Tu vas mener ces exercices en autonomie, sans trous ni indices, comme en évaluation. Garde ton calme, applique les méthodes, tout va bien se passer.
À toi de jouer
1. Développe.
a) $9(x + 6)$
b) $6(x - 3)$
c) $5(3x + 2)$
d) $4(2x - 7)$
a) $9(x + 6)$
b) $6(x - 3)$
c) $5(3x + 2)$
d) $4(2x - 7)$
Corrigé
a) $9x + 54$ b) $6x - 18$ c) $15x + 10$ d) $8x - 28$
Détail de c) : $5 \times 3x = 15x$ et $5 \times 2 = 10$.
Détail de c) : $5 \times 3x = 15x$ et $5 \times 2 = 10$.
2. Factorise. Cette fois, le facteur commun est à toi de le trouver — prends le plus grand possible.
a) $8x + 20$
b) $12x - 18$
c) $7x + 7$
d) $15 - 25x$
a) $8x + 20$
b) $12x - 18$
c) $7x + 7$
d) $15 - 25x$
Corrigé
a) $8 = 4 \times 2$ et $20 = 4 \times 5$ : $8x + 20 = 4(2x + 5)$.
b) $12 = 6 \times 2$ et $18 = 6 \times 3$ : $12x - 18 = 6(2x - 3)$.
c) $7x + 7 = 7 \times x + 7 \times 1 = 7(x + 1)$ — le $1$ ne disparaît pas.
d) $15 = 5 \times 3$ et $25 = 5 \times 5$ : $15 - 25x = 5(3 - 5x)$.
b) $12 = 6 \times 2$ et $18 = 6 \times 3$ : $12x - 18 = 6(2x - 3)$.
c) $7x + 7 = 7 \times x + 7 \times 1 = 7(x + 1)$ — le $1$ ne disparaît pas.
d) $15 = 5 \times 3$ et $25 = 5 \times 5$ : $15 - 25x = 5(3 - 5x)$.
3. Développe, puis réduis, et donne le résultat sous la forme $ax + b$.
a) $4(x + 3) + 2(x + 1)$
b) $6(2x - 1) - 5x$
c) $2{,}5(2x + 4) + 3x$
a) $4(x + 3) + 2(x + 1)$
b) $6(2x - 1) - 5x$
c) $2{,}5(2x + 4) + 3x$
Corrigé
a) $4x + 12 + 2x + 2 = 6x + 14$.
b) $12x - 6 - 5x = 7x - 6$.
c) $2{,}5 \times 2x = 5x$ et $2{,}5 \times 4 = 10$, donc $5x + 10 + 3x = 8x + 10$.
b) $12x - 6 - 5x = 7x - 6$.
c) $2{,}5 \times 2x = 5x$ et $2{,}5 \times 4 = 10$, donc $5x + 10 + 3x = 8x + 10$.
4. Problème — Le rectangle. Un rectangle a un côté de $6$ cm et l'autre de $(x + 4)$ cm.
a) Exprime son aire en fonction de $x$, sous forme de produit puis sous forme de somme.
b) Exprime son périmètre en fonction de $x$, sous forme de produit puis sous forme de somme.
c) Calcule l'aire et le périmètre pour $x = 3$, avec les deux écritures à chaque fois.
a) Exprime son aire en fonction de $x$, sous forme de produit puis sous forme de somme.
b) Exprime son périmètre en fonction de $x$, sous forme de produit puis sous forme de somme.
c) Calcule l'aire et le périmètre pour $x = 3$, avec les deux écritures à chaque fois.
Corrigé
a) Aire $= 6(x + 4)$, c'est un produit. En développant : $6 \times x + 6 \times 4 = 6x + 24$, c'est une somme.
b) Périmètre $= 2(6 + x + 4)$. Je réduis l'intérieur : $6 + x + 4 = x + 10$. Donc le périmètre vaut $2(x + 10)$, soit $2x + 20$ une fois développé.
c) Pour $x = 3$ le second côté vaut $7$ cm. Aire : $6 \times 7 = 42$ et $6 \times 3 + 24 = 42$, soit $42$ cm$^2$. Périmètre : $2 \times 13 = 26$ et $2 \times 3 + 20 = 26$, soit $26$ cm.
b) Périmètre $= 2(6 + x + 4)$. Je réduis l'intérieur : $6 + x + 4 = x + 10$. Donc le périmètre vaut $2(x + 10)$, soit $2x + 20$ une fois développé.
c) Pour $x = 3$ le second côté vaut $7$ cm. Aire : $6 \times 7 = 42$ et $6 \times 3 + 24 = 42$, soit $42$ cm$^2$. Périmètre : $2 \times 13 = 26$ et $2 \times 3 + 20 = 26$, soit $26$ cm.
5. Problème — Le programme de calcul. « Choisis un nombre. Ajoute $5$. Multiplie le résultat par $4$. Enlève $20$. »
a) Applique le programme à $3$, puis à $7$. Détaille chaque étape.
b) Quelle conjecture peux-tu formuler ?
c) Démontre-la en notant $x$ le nombre choisi.
d) Malo affirme : « le résultat de ce programme a toujours deux chiffres ». Montre qu'il a tort.
a) Applique le programme à $3$, puis à $7$. Détaille chaque étape.
b) Quelle conjecture peux-tu formuler ?
c) Démontre-la en notant $x$ le nombre choisi.
d) Malo affirme : « le résultat de ce programme a toujours deux chiffres ». Montre qu'il a tort.
Corrigé
a) Avec $3$ : $3 + 5 = 8$, puis $8 \times 4 = 32$, puis $32 - 20 = 12$. Avec $7$ : $7 + 5 = 12$, puis $12 \times 4 = 48$, puis $48 - 20 = 28$.
b) $12 = 4 \times 3$ et $28 = 4 \times 7$ : le programme semble donner le quadruple du nombre choisi.
c) Je note $x$ le nombre choisi. Le programme calcule $4(x + 5) - 20$. Je développe : $4(x + 5) = 4x + 20$, donc l'expression vaut $4x + 20 - 20 = 4x$. Quel que soit le nombre choisi, le résultat est bien son quadruple.
d) Les deux essais du a) donnent bien $12$ et $28$, deux nombres à deux chiffres — mais cela ne prouve rien. Il suffit d'un contre-exemple : en partant de $1$, le résultat est $4 \times 1 = 4$, qui n'a qu'un chiffre. L'affirmation de Malo est donc fausse.
b) $12 = 4 \times 3$ et $28 = 4 \times 7$ : le programme semble donner le quadruple du nombre choisi.
c) Je note $x$ le nombre choisi. Le programme calcule $4(x + 5) - 20$. Je développe : $4(x + 5) = 4x + 20$, donc l'expression vaut $4x + 20 - 20 = 4x$. Quel que soit le nombre choisi, le résultat est bien son quadruple.
d) Les deux essais du a) donnent bien $12$ et $28$, deux nombres à deux chiffres — mais cela ne prouve rien. Il suffit d'un contre-exemple : en partant de $1$, le résultat est $4 \times 1 = 4$, qui n'a qu'un chiffre. L'affirmation de Malo est donc fausse.
6. Conjecturer avec un tableur. On a rempli trois colonnes à partir des nombres de la colonne A.
a) Quelle égalité peux-tu conjecturer entre les colonnes B et C ?
b) Le tableur suffit-il à la prouver ? Démontre-la.
c) L'égalité $3(x + 2) = 3x + 2$ est-elle vraie ? Sers-toi de la colonne D pour répondre.
| A | B : =3*(A+2) | C : =3*A+6 | D : =3*A+2 |
| $1$ | $9$ | $9$ | $5$ |
| $2$ | $12$ | $12$ | $8$ |
| $3$ | $15$ | $15$ | $11$ |
| $4$ | $18$ | $18$ | $14$ |
| $5$ | $21$ | $21$ | $17$ |
b) Le tableur suffit-il à la prouver ? Démontre-la.
c) L'égalité $3(x + 2) = 3x + 2$ est-elle vraie ? Sers-toi de la colonne D pour répondre.
Corrigé
a) Les colonnes B et C affichent le même nombre sur les cinq lignes. On conjecture que $3(x + 2) = 3x + 6$ pour tous les nombres.
b) Non : cinq lignes, ou cinq mille, ne démontrent rien. La preuve est le développement, qui vaut pour tous les nombres à la fois : $3(x + 2) = 3 \times x + 3 \times 2 = 3x + 6$. Le tableur fait conjecturer, le calcul littéral démontre.
c) Non. Dès la première ligne, la colonne D donne $5$ alors que la colonne B donne $9$ : c'est un contre-exemple, et un seul suffit à faire tomber l'égalité.
b) Non : cinq lignes, ou cinq mille, ne démontrent rien. La preuve est le développement, qui vaut pour tous les nombres à la fois : $3(x + 2) = 3 \times x + 3 \times 2 = 3x + 6$. Le tableur fait conjecturer, le calcul littéral démontre.
c) Non. Dès la première ligne, la colonne D donne $5$ alors que la colonne B donne $9$ : c'est un contre-exemple, et un seul suffit à faire tomber l'égalité.
Prêt à voir plus loin ? Les exercices 1 et 2 sont du programme de 4e : multiplier deux parenthèses, factoriser quand le facteur commun est une lettre. L'exercice 3, lui, reste exigible en 5e — démontrer une propriété générale par le calcul littéral — mais avec des propriétés plus coriaces que celles du palier précédent.
Ce qu'on te donne
Pour les exercices 1 et 2 (programme de 4e). La règle $k(a + b) = ka + kb$ s'applique deux fois de suite pour multiplier deux parenthèses : chaque terme de la première rencontre chaque terme de la seconde. Et le facteur commun d'une factorisation peut être une lettre, puisque $x^2 = x \times x$.
Pour l'exercice 3 (programme de 5e). Rien de nouveau : on nomme la lettre, on écrit la somme, on réduit, on factorise, on conclut. Seule l'écriture de départ demande à réfléchir — un nombre pair s'écrit $2n$, un nombre impair $2n + 1$.
À toi de jouer
1. Développe $(x + 3)(x + 4)$ en complétant.
$(x + 3)(x + 4) = x \times x + x \times 4 + 3 \times x + 3 \times 4 = \underline{\hspace{1.6em}} + \underline{\hspace{1.6em}} + \underline{\hspace{1.6em}} + \underline{\hspace{1.6em}}$, puis en réduisant : $\underline{\hspace{2.4em}}$.
Vérifie ensuite ton résultat pour $x = 2$.
$(x + 3)(x + 4) = x \times x + x \times 4 + 3 \times x + 3 \times 4 = \underline{\hspace{1.6em}} + \underline{\hspace{1.6em}} + \underline{\hspace{1.6em}} + \underline{\hspace{1.6em}}$, puis en réduisant : $\underline{\hspace{2.4em}}$.
Vérifie ensuite ton résultat pour $x = 2$.
Corrigé
$(x + 3)(x + 4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$.
Contrôle avec $x = 2$ : au départ $(2 + 3)(2 + 4) = 5 \times 6 = 30$ ; à l'arrivée $4 + 14 + 12 = 30$. Cela colle.
Contrôle avec $x = 2$ : au départ $(2 + 3)(2 + 4) = 5 \times 6 = 30$ ; à l'arrivée $4 + 14 + 12 = 30$. Cela colle.
2. Factorise, sachant que le facteur commun contient une lettre.
a) $5x + x^2$
b) $3x^2 + 6x$
a) $5x + x^2$
b) $3x^2 + 6x$
Corrigé
a) $x^2 = x \times x$, donc les deux termes contiennent $x$ : $5x + x^2 = x \times 5 + x \times x = x(5 + x)$. Contrôle avec $x = 3$ : $15 + 9 = 24$ et $3 \times 8 = 24$.
b) Les deux termes contiennent $3$ et $x$ : $3x^2 + 6x = 3x \times x + 3x \times 2 = 3x(x + 2)$. Contrôle avec $x = 2$ : $12 + 12 = 24$ et $3 \times 2 \times 4 = 24$.
b) Les deux termes contiennent $3$ et $x$ : $3x^2 + 6x = 3x \times x + 3x \times 2 = 3x(x + 2)$. Contrôle avec $x = 2$ : $12 + 12 = 24$ et $3 \times 2 \times 4 = 24$.
3. Deux propriétés à démontrer par le calcul littéral. Dans les deux cas, commence par annoncer ce que désigne la lettre.
a) La somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de $4$. (Indice : un nombre impair s'écrit $2n + 1$ ; l'impair suivant s'écrit $2n + 3$.)
b) La somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de $5$.
a) La somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de $4$. (Indice : un nombre impair s'écrit $2n + 1$ ; l'impair suivant s'écrit $2n + 3$.)
b) La somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de $5$.
Corrigé
a) Je note $2n + 1$ le premier nombre impair ; le suivant est $2n + 3$. Leur somme vaut $(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4$, et en factorisant, $4(n + 1)$. C'est $4$ multiplié par un entier : la somme est bien un multiple de $4$. Exemple : $7 + 9 = 16 = 4 \times 4$.
b) Je note $n$ le plus petit des cinq entiers. Les cinq entiers sont $n$, $n + 1$, $n + 2$, $n + 3$, $n + 4$. Leur somme vaut $5n + (1 + 2 + 3 + 4) = 5n + 10$, et en factorisant, $5(n + 2)$. C'est un multiple de $5$. Exemple : $3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 = 5 \times 5$.
b) Je note $n$ le plus petit des cinq entiers. Les cinq entiers sont $n$, $n + 1$, $n + 2$, $n + 3$, $n + 4$. Leur somme vaut $5n + (1 + 2 + 3 + 4) = 5n + 10$, et en factorisant, $5(n + 2)$. C'est un multiple de $5$. Exemple : $3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 = 5 \times 5$.