Pas de panique ! Ce chapitre repose sur des bases que tu connais déjà : les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division) et les calculs avec des parenthèses. On va vite te montrer comment tout ça s'organise pour que tu sois fonctionnel.
Les indispensables (les prérequis)
Avant de parler priorités, on fait un point express sur ce que tu sais déjà.
1. Les 4 opérations :
- Addition (+) : ajouter
- Soustraction (-) : retirer
- Multiplication (×) : ajouter un nombre plusieurs fois
- Division (÷) : partager
2. Les parenthèses : elles indiquent qu’on fait ce qu’il y a DEDANS avant de faire l’extérieur. Exemple : (2 + 3) × 4 → on fait 2 + 3 = 5, PUIS 5 × 4 = 20.
La notion en mots simples
Une expression numérique mélange plusieurs opérations. Les priorités opératoires sont la règle qui dit dans quel ordre on fait les opérations pour que tout le monde trouve le même résultat.
Règle :
1er niveau : on calcule ce qu’il y a entre parenthèses.
2e niveau : on fait les multiplications et divisions (de gauche à droite).
3e niveau : on fait les additions et soustractions (de gauche à droite).
À toi de jouer
1. Voici des exemples tout faits. Surligne ou écris dans ta tête quel calcul on fait en premier.
a) Dans $3 + 4 \times 5$, on commence par $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}$ car la multiplication est prioritaire sur l'addition.
b) Dans $(3 + 4) \times 5$, on commence par $\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$ car il y a des parenthèses.
c) Associe chaque expression à son résultat : $3 + 4 \times 5$ → ? et $(3 + 4) \times 5$ → ? (Résultats proposés : 23, 35).
Corrigé
a) Dans $3 + 4 \times 5$, on commence par $4 \times 5$ car la multiplication est prioritaire sur l'addition. b) Dans $(3 + 4) \times 5$, on commence par $3 + 4$ car il y a des parenthèses. c) $3 + 4 \times 5 = 23$ et $(3 + 4) \times 5 = 35$.
2. On le fait ensemble. Complète avec les valeurs que tu vois dans l’exemple.
Calcule $10 - 6 \div 2$.
Etape 1 : Je repère la multiplication ou la division : $6 \div 2$. Je calcule : $6 \div 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Etape 2 : Je réécris l'expression avec ce résultat : $10 - \underline{\hspace{1.1em}}$.
Etape 3 : Je termine : $10 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Etape 1 : 6 ÷ 2 = 3. Etape 2 : 10 - 3. Etape 3 : 10 - 3 = 7.
3. Même chose avec une parenthèse. Complète.
Calcule $12 \div (2 + 4)$.
Etape 1 : Je calcule ce qu'il y a dans les parenthèses : $2 + 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Etape 2 : Je réécris : $12 \div \underline{\hspace{1.1em}}$.
Etape 3 : $12 \div \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Etape 1 : 2 + 4 = 6. Etape 2 : 12 ÷ 6. Etape 3 : 12 ÷ 6 = 2.
Ah oui, c'est ça ! La règle des priorités, tu l'as déjà aperçue. On va la remettre en place tranquillement avec la méthode complète et des exercices où on t'accompagne.
La règle complète
Priorité 1 : les parenthèses (on calcule leur contenu en premier)
Priorité 2 : les multiplications et divisions (de gauche à droite)
Priorité 3 : les additions et soustractions (de gauche à droite)
Méthode pas à pas
Pour calculer une expression :
1. Repérer toutes les parenthèses et faire ce qu'il y a dedans.
2. En l'absence de parenthèses, repérer toutes les × et ÷ et les faire de gauche à droite.
3. Enfin, faire les + et - de gauche à droite.
Astuce : réécris l'expression à chaque étape en remplaçant le calcul que tu viens de faire par son résultat.
À toi de jouer
1. Complète ce calcul en suivant la méthode.
$15 - 3 \times 4$
1. Multiplication : $3 \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$
2. On réécrit : $15 - \underline{\hspace{1.1em}}$
3. Soustraction : $15 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
1. 3 × 4 = 12 ; 2. On réécrit : 15 - 12 ; 3. 15 - 12 = 3.
2. Même chose, avec plus d'opérations.
$8 + 9 \div 3 \times 2$
1. Divisions et multiplications de gauche à droite : d'abord $9 \div 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Puis $\underline{\hspace{1.1em}} \times 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
3. On réécrit : $8 + \underline{\hspace{1.1em}}$
4. Addition : $8 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
1. 9 ÷ 3 = 3 ; 2. 3 × 2 = 6 ; 3. On réécrit : 8 + 6 ; 4. 8 + 6 = 14.
3. Avec parenthèses, complète.
$(7 - 2) \times (4 + 1)$
1. Première parenthèse : $7 - 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
2. Deuxième parenthèse : $4 + 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$
3. On réécrit : $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}$
4. Multiplication : $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
1. 7 - 2 = 5 ; 2. 4 + 1 = 5 ; 3. On réécrit : 5 × 5 ; 4. 5 × 5 = 25.
Maintenant qu'on a revu la règle, on va la faire marcher 5 fois de suite. C'est exactement la même tâche avec des nombres différents. Pas de piège, juste du réflexe.
À toi de jouer
1. Calcule $4 + 3 \times 2$.
Donne toutes les étapes :
Multiplication d'abord : $3 \times 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
On réécrit : $4 + \underline{\hspace{1.1em}}$
Résultat final : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Multiplication d'abord : 3 × 2 = 6 ; On réécrit : 4 + 6 ; Résultat final : 10.
2. Calcule $6 \div 2 + 5$.
Donne toutes les étapes :
Division d'abord : $6 \div 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
On réécrit : $\underline{\hspace{1.1em}} + 5$
Résultat final : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Division d'abord : 6 ÷ 2 = 3 ; On réécrit : 3 + 5 ; Résultat final : 8.
3. Calcule $12 - 2 \times 4$.
Donne toutes les étapes :
Multiplication d'abord : $2 \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$
On réécrit : $12 - \underline{\hspace{1.1em}}$
Résultat final : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Multiplication d'abord : 2 × 4 = 8 ; On réécrit : 12 - 8 ; Résultat final : 4.
4. Calcule $5 + 9 \div 3$.
Donne toutes les étapes :
Division d'abord : $9 \div 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
On réécrit : $5 + \underline{\hspace{1.1em}}$
Résultat final : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Division d'abord : 9 ÷ 3 = 3 ; On réécrit : 5 + 3 ; Résultat final : 8.
5. Calcule $15 - 3 \times 3$.
Donne toutes les étapes :
Multiplication d'abord : $3 \times 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
On réécrit : $15 - \underline{\hspace{1.1em}}$
Résultat final : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Multiplication d'abord : 3 × 3 = 9 ; On réécrit : 15 - 9 ; Résultat final : 6.
Tu es prêt pour des exercices de type contrôle. Prends le temps de détailler chaque étape, on ne te tient plus la main, c'est à toi de jouer.
À toi de jouer
1. Calcule les expressions suivantes en détaillant chaque étape.
a) $4 + 5 \times 3$
b) $14 - 8 \div 2$
c) $16 \div 4 + 2 \times 3$
d) $3 + 2 \times 5 - 1$
Corrigé
a) 4 + 5 × 3 = 4 + 15 = 19. b) 14 - 8 ÷ 2 = 14 - 4 = 10. c) 16 ÷ 4 + 2 × 3 = 4 + 6 = 10. d) 3 + 2 × 5 - 1 = 3 + 10 - 1 = 12.
2. Calcule les expressions avec parenthèses.
a) $(5 + 2) \times 4$
b) $(20 - 8) \div 3$
c) $4 \times (1 + 6) - 3$
d) $(18 - 6) \div (2 + 2)$
Corrigé
a) (5 + 2) × 4 = 7 × 4 = 28. b) (20 - 8) ÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4. c) 4 × (1 + 6) - 3 = 4 × 7 - 3 = 28 - 3 = 25. d) (18 - 6) ÷ (2 + 2) = 12 ÷ 4 = 3.
3. Insère des parenthèses dans chaque expression pour que l'égalité soit vraie.
a) $4 + 6 \times 2 = 20$
b) $15 - 5 \times 2 = 5$ (Tu gardes le résultat 5, il faut juste placer des parenthèses au bon endroit)
c) $24 \div 6 + 2 = 3$
Corrigé
a) Sans parenthèses : $4 + 6 \times 2 = 4 + 12 = 16
eq 20$.
En ajoutant les parenthèses : $(4 + 6) \times 2 = 10 \times 2 = 20$ ✓
b) Sans parenthèses : $15 - 5 \times 2 = 15 - 10 = 5$ — l'égalité est déjà vraie car la multiplication est prioritaire.
On peut tout de même écrire $15 - (5 \times 2) = 5$ pour rendre cette priorité visible, même si ces parenthèses ne changent pas le calcul.
Attention : écrire $(15 - 5) \times 2 = 20$, pas $5$ — ce serait modifier le résultat, ce que la consigne interdit.
c) Sans parenthèses : $24 \div 6 + 2 = 4 + 2 = 6
eq 3$.
En ajoutant les parenthèses : $24 \div (6 + 2) = 24 \div 8 = 3$ ✓
4. Calcule en détaillant chaque étape.
a) $6 \times (4 + 2) - (9 - 4) \times 2$
b) $3 + 4 \times (5 - 2) \div 2$
c) $2 \times (6 + 1) - 3 \times (5 - 1) + 8$
Corrigé
a) 6 × (4+2) - (9-4) × 2 = 6 × 6 - 5 × 2 = 36 - 10 = 26. b) 3 + 4 × (5-2) ÷ 2 = 3 + 4 × 3 ÷ 2 = 3 + 12 ÷ 2 = 3 + 6 = 9. c) 2 × (6+1) - 3 × (5-1) + 8 = 2 × 7 - 3 × 4 + 8 = 14 - 12 + 8 = 10.
5. Problème : Pour son anniversaire, Tom achète 4 ballons à 3 € l'unité et 2 banderoles à 4 € l'unité. Il paie avec un billet de 50 €.
a) Écris une expression numérique représentant la somme qu'il lui reste.
b) Calcule cette expression en respectant les priorités opératoires.
Corrigé
a) Expression : 50 - (4 × 3 + 2 × 4). b) 50 - (4 × 3 + 2 × 4) = 50 - (12 + 8) = 50 - 20 = 30 €.
Tu maîtrises les priorités du programme. Voyons maintenant comment cette logique aide en calcul littéral ou quand on rajoute des puissances. Du vrai avant-goût.
Priorités et puissances (aperçu 4e)
En 4e, on verra les puissances (exposants). Une puissance, comme $2^3$ (qui vaut $2 \times 2 \times 2 = 8$), se calcule encore avant les multiplications et divisions. La hiérarchie devient : parenthèses → puissances → × / ÷ → + / -
À toi de jouer
1. En utilisant ce nouvel ordre (parenthèses → puissances → ×/÷ → +/-), calcule $3 + 2^3 \times 2$. Indice : $2^3 = 8$.
Etape puissance : $2^3 = 8$
Expression mise à jour : $3 + 8 \times 2$
Continue et donne le résultat.
Corrigé
Etape puissance : $2^3 = 8$. Etape multiplication : $8 \times 2 = 16$. Etape addition : $3 + 16 = 19$.
2. Calcule $(3 + 2)^2 \div 5$. Rappel : $(3+2)^2 = (3+2) \times (3+2) = 25$.
Etape parenthèse : $3+2 = 5$
Etape puissance : $5^2 = 25$
Etape division : $25 \div 5 = ...$
Corrigé
Etape parenthèse : 3 + 2 = 5. Etape puissance : 5² = 25. Etape division : 25 ÷ 5 = 5.
3. Défi : place des parenthèses et/ou remplace un nombre par une puissance pour que $2 \times (3 + 4)^2 \div 7$ donne 14.
Vérifie : $2 \times (3+4)^2 \div 7 = 2 \times 7^2 \div 7 = 2 \times 49 \div 7$... continue.
Corrigé
2 × 49 ÷ 7 = 98 ÷ 7 = 14. Donc l'expression proposée donne bien 14.