Tu n'as jamais mis les pieds dans ce cours, mais tes tables de multiplication suffisent pour démarrer. Deux rappels, trois exercices guidés, et tu es opérationnel. Prends une grande respiration, on décolle.
Souviens-toi de 6e (prérequis : tables de multiplication, ordre des opérations)
Tu sais déjà que dans un calcul, les parenthèses passent avant tout, puis les multiplications, puis les additions. Tu sais aussi que l'aire d'un carré de côté $4$ vaut $4 \times 4 = 16$, et que le volume d'un cube d'arête $3$ vaut $3 \times 3 \times 3 = 27$. C'est tout ce dont tu as besoin.
La notation en deux lignes
$a^2 = a \times a$ : on lit « $a$ au carré ». $a^3 = a \times a \times a$ : on lit « $a$ au cube ». Le petit nombre en haut s'appelle l'exposant : il compte combien de fois on écrit le nombre dans la multiplication.
Attention : $2^3$ ne vaut pas $2 \times 3$. On a $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$, alors que $2 \times 3 = 6$.
Dans une expression, une fois les parenthèses traitées, les puissances se calculent avant les multiplications et avant les additions.
À toi de jouer
1. Complète chaque ligne : d'abord le produit, puis le résultat.
a) $6^2 = 6 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.6em}}$
b) $2^3 = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.6em}}$
c) $10^2 = 10 \times 10 = \underline{\hspace{1.6em}}$
d) $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = \underline{\hspace{1.6em}}$
Corrigé
a) $6^2 = 6 \times 6 = 36$
b) $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
c) $10^2 = 100$
d) $10^3 = 1\,000$ (c'est le cube à connaître par cœur)
2. Écris chaque produit sous forme de puissance, puis donne sa valeur.
a) $9 \times 9$
b) $4 \times 4 \times 4$
c) $12 \times 12$
d) $10 \times 10 \times 10$
Corrigé
a) $9 \times 9 = 9^2 = 81$
b) $4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$
c) $12 \times 12 = 12^2 = 144$
d) $10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1\,000$
3. Calcule en commençant toujours par la puissance.
a) $3^2 + 1$
b) $2^3 \times 5$
c) $10^2 - 7^2$
Corrigé
a) $3^2 = 9$, donc $3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$.
b) $2^3 = 8$, donc $2^3 \times 5 = 8 \times 5 = 40$.
c) $10^2 = 100$ et $7^2 = 49$, donc $10^2 - 7^2 = 100 - 49 = 51$.
Ça te dit quelque chose : le petit $2$ en haut, les centimètres carrés, le mot cube. On remet tout au propre — définitions, résultats à connaître par cœur, règle de priorité — puis hop, à l'action.
Définitions et résultats à connaître
Pour un nombre $a$ : $a^2 = a \times a$ est le carré de $a$, et $a^3 = a \times a \times a$ est le cube de $a$. Dans $a^2$, le nombre $a$ est la base et le $2$ est l'exposant.
Lien avec la géométrie, utile pour ne pas mélanger : l'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$ (en $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$…), le volume d'un cube d'arête $c$ vaut $c^3$ (en $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$…).
Les carrés des entiers de $0$ à $12$ sont à savoir par cœur :
| $n$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ | $11$ | $12$ |
| $n^2$ | $0$ | $1$ | $4$ | $9$ | $16$ | $25$ | $36$ | $49$ | $64$ | $81$ | $100$ | $121$ | $144$ |
Un seul cube est à savoir par cœur : $10^3 = 1\,000$. Les autres se calculent : $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$.
Méthode : l'ordre des opérations
- les parenthèses ;
- les puissances ;
- les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
- les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Exemple : dans $2 \times 3^2$, l'exposant ne porte que sur le $3$. On calcule $3^2 = 9$, puis $2 \times 9 = 18$. Avec des parenthèses, $(2 \times 3)^2 = 6^2 = 36$ : ce n'est pas le même nombre.
Pour une expression avec une lettre, on remplace la lettre par sa valeur, puis on applique le même ordre. Rappel d'écriture : $3x$ signifie $3 \times x$.
À toi de jouer
1. Complète la table des carrés de mémoire, puis vérifie en posant la multiplication.
$0^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$ ; $1^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$ ; $2^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$ ; $3^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$ ; $4^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$ ; $5^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$ ; $6^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$
$7^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$ ; $8^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$ ; $9^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$ ; $10^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$ ; $11^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$ ; $12^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$
Corrigé
$0$ ; $1$ ; $4$ ; $9$ ; $16$ ; $25$ ; $36$ ; $49$ ; $64$ ; $81$ ; $100$ ; $121$ ; $144$.
2. Écris chaque nombre sous la forme d'une puissance $2$ ou $3$.
a) $25$
b) $81$
c) $121$
d) $1\,000$
e) $27$
f) $64$ (trouve deux écritures)
Corrigé
a) $25 = 5 \times 5 = 5^2$
b) $81 = 9 \times 9 = 9^2$
c) $121 = 11 \times 11 = 11^2$
d) $1\,000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3$
e) $27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$
f) $64 = 8 \times 8 = 8^2$, et aussi $64 = 4 \times 4 \times 4 = 4^3$. Les deux écritures sont justes.
3. Calcule en respectant l'ordre des opérations. Écris chaque étape.
a) $2 + 3^2$
b) $5 \times 2^3$
c) $7^2 - 2 \times 3^2$
d) $(2 + 3)^2$
Corrigé
a) $3^2 = 9$, donc $2 + 3^2 = 2 + 9 = 11$.
b) $2^3 = 8$, donc $5 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40$.
c) $7^2 = 49$ et $3^2 = 9$ ; puis $2 \times 9 = 18$ ; enfin $49 - 18 = 31$.
d) Les parenthèses d'abord : $2 + 3 = 5$, puis $5^2 = 25$. Compare avec $2 + 3^2 = 11$ de la question a) : les parenthèses changent tout.
On muscle les doigts : cinq calculs de la même famille, toujours les mêmes étapes, seuls les nombres changent. Les trous te guident ligne à ligne jusqu'à ce que le réflexe soit pris.
À toi de jouer
1. Calcule $4 + 2 \times 3^2$ en complétant les étapes.
La puissance d'abord : $3^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$, donc l'expression devient $4 + 2 \times \underline{\hspace{1.6em}}$.
La multiplication ensuite : $2 \times \underline{\hspace{1.6em}} = \underline{\hspace{1.6em}}$, donc l'expression devient $4 + \underline{\hspace{1.6em}}$.
Enfin l'addition : $4 + \underline{\hspace{1.6em}} = \underline{\hspace{1.6em}}$.
Corrigé
$3^2 = 9$, donc l'expression devient $4 + 2 \times 9$.
$2 \times 9 = 18$, donc l'expression devient $4 + 18$.
$4 + 18 = 22$.
2. Calcule $6^2 - 5^2$.
$6^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$ et $5^2 = \underline{\hspace{1.6em}}$, donc $6^2 - 5^2 = \underline{\hspace{1.6em}} - \underline{\hspace{1.6em}} = \underline{\hspace{1.6em}}$.
Corrigé
$6^2 = 36$ et $5^2 = 25$, donc $6^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11$.
Remarque : ce n'est pas $(6-5)^2 = 1^2 = 1$. On calcule chaque carré séparément, puis on soustrait.
3. Calcule $2^3 + 3^3$.
$2^3 = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.6em}}$ et $3^3 = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.6em}}$, donc $2^3 + 3^3 = \underline{\hspace{1.6em}}$.
Corrigé
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ et $3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27$, donc $2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35$.
4. Calcule $10^3 - 10^2$.
$10^3 = \underline{\hspace{2.2em}}$ et $10^2 = \underline{\hspace{2.2em}}$, donc $10^3 - 10^2 = \underline{\hspace{2.2em}}$.
Corrigé
$10^3 = 1\,000$ et $10^2 = 100$, donc $10^3 - 10^2 = 1\,000 - 100 = 900$.
5. Expressions avec une lettre : remplace, puis calcule.
a) $A = x^2 + 5$. Pour $x = 3$ : $A = \underline{\hspace{1.6em}}^2 + 5 = \underline{\hspace{1.6em}} + 5 = \underline{\hspace{1.6em}}$.
b) Toujours $A = x^2 + 5$, mais pour $x = 7$ : $A = \underline{\hspace{1.6em}}$.
c) $B = 2a^3$. Pour $a = 2$ : on calcule d'abord $a^3 = \underline{\hspace{1.6em}}$, puis $B = 2 \times \underline{\hspace{1.6em}} = \underline{\hspace{1.6em}}$.
Corrigé
a) $A = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14$.
b) $A = 7^2 + 5 = 49 + 5 = 54$.
c) $a^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$, donc $B = 2 \times 8 = 16$. Attention : $2a^3$ ne signifie pas $(2a)^3$, qui vaudrait $4^3 = 64$.
La mécanique est huilée : on passe au format contrôle. Plus de trous, plus d'indices — tu mènes chaque exercice en autonomie, en rédigeant les étapes. Garde ton calme, applique la méthode, tout va bien se passer.
À toi de jouer
1. Donne la valeur de chaque puissance.
a) $8^2$
b) $12^2$
c) $5^3$
d) $10^3$
Corrigé
a) $8^2 = 8 \times 8 = 64$
b) $12^2 = 12 \times 12 = 144$
c) $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
d) $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$
2. Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul.
a) $3^2 = 6$
b) $2^3 = 8$
c) $(2 + 3)^2 = 2^2 + 3^2$
d) $5^2 \times 2 = 50$
Corrigé
a) Faux : $3^2 = 3 \times 3 = 9$, et non $3 \times 2 = 6$.
b) Vrai : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
c) Faux : à gauche $(2+3)^2 = 5^2 = 25$ ; à droite $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$. L'exposant n'entre pas dans une somme.
d) Vrai : la puissance d'abord, $5^2 = 25$, puis $25 \times 2 = 50$.
3. Calcule ces expressions en rédigeant les étapes.
a) $4^2 + 3 \times 2^3$
b) $10^2 - 3 \times 4^2$
c) $2 \times 5^2 - 7^2$
d) $1^3 + 2^3 + 3^3$
Corrigé
a) $4^2 = 16$ et $2^3 = 8$ ; puis $3 \times 8 = 24$ ; enfin $16 + 24 = 40$.
b) $10^2 = 100$ et $4^2 = 16$ ; puis $3 \times 16 = 48$ ; enfin $100 - 48 = 52$.
c) $5^2 = 25$ et $7^2 = 49$ ; puis $2 \times 25 = 50$ ; enfin $50 - 49 = 1$.
d) $1^3 = 1$, $2^3 = 8$, $3^3 = 27$ ; leur somme vaut $1 + 8 + 27 = 36$. Joli : $36$ est aussi $6^2$.
4. On donne l'expression $P = n^2 + 2n$.
a) Calcule $P$ pour $n = 3$.
b) Calcule $P$ pour $n = 5$.
c) Calcule $P$ pour $n = 10$.
d) Un élève annonce $P = 12$ pour $n = 3$. Explique son erreur.
Corrigé
a) $P = 3^2 + 2 \times 3 = 9 + 6 = 15$.
b) $P = 5^2 + 2 \times 5 = 25 + 10 = 35$.
c) $P = 10^2 + 2 \times 10 = 100 + 20 = 120$.
d) Il a calculé $n^2$ comme $n \times 2$ : $3 \times 2 = 6$, puis $6 + 6 = 12$. Or $n^2$ vaut $n \times n$, soit $3 \times 3 = 9$. Élever au carré et doubler sont deux opérations différentes : elles ne coïncident que pour $0$ et pour $2$.
5. Problème — La cour et la boîte. Une cour carrée mesure $12$ m de côté. On y délimite un terrain de jeu carré de $5$ m de côté.
a) Calcule l'aire de la cour, puis celle du terrain de jeu. N'oublie pas les unités.
b) Quelle aire reste-t-il libre ?
c) Le règlement impose au moins $100\ \text{m}^2$ de surface libre. Est-il respecté ?
d) Dans un coin, on pose une caisse cubique de $10$ cm d'arête. Quel est son volume, en $\text{cm}^3$ ?
Corrigé
a) Cour : $12^2 = 144$, soit $144\ \text{m}^2$. Terrain de jeu : $5^2 = 25$, soit $25\ \text{m}^2$.
b) Aire libre : $144 - 25 = 119$, soit $119\ \text{m}^2$.
c) $119$ est plus grand que $100$ : le règlement est respecté.
d) Volume d'un cube d'arête $c$ : $c^3$. Ici $10^3 = 1\,000$, soit $1\,000\ \text{cm}^3$.
Piège évité : l'aire libre n'est pas $(12-5)^2 = 7^2 = 49$. On calcule chaque aire, puis on soustrait.
Prêt à voir plus loin ? On sort du programme de 5e pour trois questions d'ouverture : les exposants plus grands que $3$, le célèbre piège du signe moins, et une régularité cachée dans la table des carrés. Rien de tout cela n'est exigible au contrôle.
Ce qu'on te donne pour ces trois exercices
Exposant entier positif (programme de 4e). Pour $n$ supérieur ou égal à $1$, $a^n$ désigne le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$. Par exemple $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3$.
Produit de deux nombres négatifs (programme de 4e). Le produit de deux nombres négatifs est positif : $(-3) \times (-3) = 9$.
À toi de jouer
1. Calcule ces puissances en écrivant d'abord le produit en entier.
a) $3^4$
b) $2^5$
c) $10^4$
Corrigé
a) $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$.
b) $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
c) $10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000$ : l'exposant compte les zéros.
2. Le piège du signe moins. Calcule séparément $-4^2$ et $(-4)^2$, puis explique en une phrase pourquoi les deux résultats diffèrent.
Corrigé
$-4^2$ : il n'y a pas de parenthèses, l'exposant ne porte que sur le $4$. On calcule $4^2 = 16$, puis on prend l'opposé : $-4^2 = -16$.
$(-4)^2$ : les parenthèses passent avant, la base est le nombre $-4$ tout entier. On calcule $(-4) \times (-4) = 16$, donc $(-4)^2 = 16$.
Explication : ce sont les parenthèses, et elles seules, qui disent sur quoi l'exposant travaille. Les deux résultats, $-16$ et $16$, sont deux nombres opposés.
3. Une régularité cachée.
a) Écris les carrés de $1$ à $6$, puis calcule l'écart entre deux carrés consécutifs. Que remarques-tu ?
b) En te servant de cette remarque, devine $13^2$ à partir de $12^2 = 144$, puis vérifie par la multiplication.
c) Calcule $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3$. Le résultat est-il le carré d'un entier ?
Corrigé
a) Les carrés : $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$. Les écarts : $4-1 = 3$, $9-4 = 5$, $16-9 = 7$, $25-16 = 9$, $36-25 = 11$. Ce sont les nombres impairs, dans l'ordre.
b) En général, l'écart entre $n^2$ et $(n+1)^2$ vaut $2n+1$ (c'est bien la suite $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11$ trouvée en a). Pour passer de $12^2$ à $13^2$, l'écart vaut donc $2 \times 12 + 1 = 25$, d'où $13^2 = 144 + 25 = 169$. Vérification par la multiplication : $13 \times 13 = 169$.
c) $1 + 8 + 27 + 64 = 100$, et $100 = 10^2$ : oui, c'est le carré de $10$.