Contrôle bientôt, et ces lettres au milieu des calculs ne te disent rien du tout ? Respire. En quelques minutes tu auras l'essentiel : les conventions d'écriture, les trois gestes du chapitre, et un calcul mené du début à la fin.
Avant de commencer, tu dois savoir multiplier, connaître un peu tes tables, et respecter les priorités opératoires : la multiplication passe avant l'addition.
Tout le chapitre repose sur une propriété que tu utilises déjà sur les nombres sans la nommer. Pour calculer $5 \times 23$ de tête, tu coupes $23$ en $20 + 3$, tu multiplies chaque morceau, puis tu ajoutes : $5 \times 23 = 5 \times (20 + 3) = 5 \times 20 + 5 \times 3 = 100 + 15 = 115$. Cette propriété s'appelle la distributivité, et le calcul littéral, c'est exactement ce geste, écrit avec des lettres.
Les automatismes du chapitre, à garder au chaud :
Les deux premiers gestes viennent d'une seule égalité, à connaître par cœur :
$$k(a + b) = ka + kb \qquad \text{et} \qquad k(a - b) = ka - kb$$
Attention : $4x$ et $12$ ne se regroupent pas. On n'additionne entre eux que des termes qui comptent la même chose.
Je repère un produit : $5(x + 2)$. Je le développe en multipliant $5$ par chacun des deux termes de la parenthèse : $5 \times x = 5x$ et $5 \times 2 = 10$. Donc $5(x + 2) = 5x + 10$.
L'expression devient $5x + 10 + 3x$.
Je réduis : je regroupe les termes en $x$, c'est-à-dire $5x + 3x = 8x$. Le $10$ reste tout seul, il n'a personne avec qui se regrouper.
Résultat : $8x + 10$. C'est la forme $ax + b$ : on ne peut pas réduire plus loin. (Factoriser, en revanche, resterait possible : $8x + 10 = 2(4x + 5)$. Mais ce n'était pas la question.)
Le contrôle en dix secondes. Je choisis une valeur, par exemple $x = 2$. Écriture de départ : $5 \times (2 + 2) + 3 \times 2 = 5 \times 4 + 6 = 26$. Écriture d'arrivée : $8 \times 2 + 10 = 26$. Même nombre : mon calcul tient.
Ça te revient : les formules de périmètre avec des lettres, les programmes de calcul, le fameux « $4x$ ». On remet tout au propre, dans l'ordre, avec les vraies définitions et des méthodes que tu pourras rejouer à chaque fois.
Une expression littérale est un calcul dans lequel figurent une ou plusieurs lettres : $4x + 7$, $3(x - 1)$, $x^2 + x$ sont des expressions littérales.
La lettre est une variable : elle peut prendre différentes valeurs, et on la remplace par un nombre quand on en a besoin.
Dans une somme, les morceaux séparés par $+$ ou $-$ s'appellent les termes : dans $4x + 7$, les termes sont $4x$ et $7$. Dans un produit, les morceaux séparés par $\times$ s'appellent les facteurs : dans $4x$, les facteurs sont $4$ et $x$.
Produire une expression littérale, c'est souvent écrire une formule : le double d'un nombre $x$ s'écrit $2x$, son triple $3x$, son carré $x^2$, son successeur $x + 1$, son prédécesseur $x - 1$ ; le périmètre d'un carré de côté $c$ s'écrit $4c$ et son aire $c^2$.
Pour dire de quel type est une expression, demande-toi quelle serait la dernière opération effectuée si tu devais la calculer.
| Expression | Dernière opération | Nature |
| $3x + 5$ | une addition | une somme, de $3x$ et de $5$ |
| $4(x + 1)$ | une multiplication | un produit, de $4$ et de $x + 1$ |
| $2x$ | une multiplication | un produit, de $2$ et de $x$ |
| $9 - 4x$ | une soustraction | une somme (ici une différence), pas un produit |
| $5(2x - 1)$ | une multiplication | un produit, de $5$ et de $2x - 1$ |
Une différence se range du côté des sommes : ce qui compte, pour choisir son geste, c'est de savoir si l'expression est un produit ou non. Car on développe un produit, et on factorise pour obtenir un produit.
$$k(a + b) = ka + kb \qquad k(a - b) = ka - kb$$
Lue de gauche à droite, elle sert à développer : le produit devient une somme. Lue de droite à gauche, elle sert à factoriser : la somme devient un produit, à condition d'avoir repéré le nombre $k$ présent dans les deux termes — on l'appelle le facteur commun.
Le rectangle explique tout : sa hauteur vaut $k$, sa largeur vaut $a + b$. Son aire, comptée d'un seul coup, vaut $k(a + b)$ ; comptée morceau par morceau, elle vaut $ka + kb$. C'est la même aire, donc les deux écritures désignent le même nombre.
Réduire, c'est écrire une somme avec le moins de termes possible, sans la transformer en produit. On additionne entre eux les termes en $x$, et entre eux les nombres seuls.
Substituer, c'est remplacer la lettre par une valeur, puis calculer normalement, en respectant les priorités.
Avec $A = 3x + 4$ : pour $x = 5$, $A = 3 \times 5 + 4 = 15 + 4 = 19$ ; pour $x = 0{,}5$, $A = 3 \times 0{,}5 + 4 = 1{,}5 + 4 = 5{,}5$.
Tester une égalité, c'est substituer la même valeur des deux côtés et comparer les deux résultats.
Attention au piège inverse : une égalité peut très bien être vraie pour une valeur particulière et fausse en général. Un essai qui tombe juste ne prouve rien du tout — on y revient au palier suivant.
On sort le stylo et on fait les calculs à deux mains. Je rédige chaque ligne comme au tableau, tu suis le raisonnement. Ce ne sont pas des exercices à faire seul : on les fait ensemble, du début à la fin, un par geste du chapitre.
Première expression, $7(x + 4)$. C'est un produit : le facteur $7$ multiplie tout ce qui est dans la parenthèse, donc chacun de ses deux termes.
$7 \times x = 7x$, et $7 \times 4 = 28$. Donc $7(x + 4) = 7x + 28$.
Contrôle avec $x = 2$ : au départ $7 \times (2 + 4) = 7 \times 6 = 42$ ; à l'arrivée $7 \times 2 + 28 = 14 + 28 = 42$. Les deux écritures donnent $42$.
Deuxième expression, $5(2x - 3)$. Le signe entre les deux termes de la parenthèse est un moins : il se recopie tel quel dans le résultat.
$5 \times 2x = 10x$ (je multiplie les nombres entre eux, $5 \times 2 = 10$, et la lettre suit), et $5 \times 3 = 15$. Donc $5(2x - 3) = 10x - 15$.
Contrôle avec $x = 2$ : au départ $5 \times (4 - 3) = 5 \times 1 = 5$ ; à l'arrivée $10 \times 2 - 15 = 20 - 15 = 5$. Cela colle.
Ce qu'il ne fallait surtout pas écrire : $5(2x - 3) = 10x - 3$. Le facteur $5$ multiplie les deux termes, jamais le premier seulement.
Factoriser, c'est le trajet inverse : je pars d'une somme et je cherche le nombre caché dans les deux termes, le facteur commun.
Pour $6x + 15$ : $6 = 3 \times 2$ et $15 = 3 \times 5$. Le facteur commun est donc $3$. J'écris la somme en le faisant apparaître : $6x + 15 = 3 \times 2x + 3 \times 5$, puis je le sors de la parenthèse : $6x + 15 = 3(2x + 5)$.
Contrôle avec $x = 1$ : au départ $6 + 15 = 21$ ; à l'arrivée $3 \times (2 + 5) = 3 \times 7 = 21$. Cela colle.
Pour $12 - 8x$ : $12 = 4 \times 3$ et $8 = 4 \times 2$. Le facteur commun est $4$, et le signe moins reste en place : $12 - 8x = 4 \times 3 - 4 \times 2x = 4(3 - 2x)$.
Contrôle avec $x = 1$ : au départ $12 - 8 = 4$ ; à l'arrivée $4 \times (3 - 2) = 4 \times 1 = 4$. Cela colle.
Lequel choisir ? Plusieurs nombres peuvent être communs aux deux termes : $6x + 15$ vaut aussi $1 \times (6x + 15)$. On prend toujours le plus grand nombre qui divise les deux termes — celui qui ne laisse plus rien de commun dans la parenthèse. Ici $3$ : dans $2x + 5$, plus rien ne se met en facteur.
Le piège du terme tout seul. Dans $5x + 5$, le facteur commun est $5$, et le second terme vaut $5 = 5 \times 1$. Le $1$ ne s'évapore pas : $5x + 5 = 5(x + 1)$. Écrire $5(x)$ serait faux, et te coûterait le point.
Je trie. D'un côté les termes en $x$ : $3{,}2x$ et $1{,}8x$. De l'autre les nombres seuls : $5$ et $-2$.
Termes en $x$ : $3{,}2 + 1{,}8 = 5$, donc ils se regroupent en $5x$.
Nombres seuls : $5 - 2 = 3$.
L'expression réduite est $5x + 3$. Elle est bien de la forme $ax + b$, avec $a = 5$ et $b = 3$.
Pour $x = 4$, je substitue dans la forme réduite : $5 \times 4 + 3 = 20 + 3 = 23$.
Le contrôle, sur l'écriture de départ. $3{,}2 \times 4 = 12{,}8$, puis $12{,}8 + 5 = 17{,}8$ ; ensuite $1{,}8 \times 4 = 7{,}2$, et $17{,}8 + 7{,}2 = 25$ ; enfin $25 - 2 = 23$. Même résultat : réduire n'a rien changé à la valeur, seulement à l'écriture. C'est tout l'intérêt de l'opération.
Au contrôle, trouver la bonne expression ne suffit pas : il faut la rédiger comme le correcteur l'attend et éviter les pièges tendus exprès. On voit les erreurs classiques, des problèmes résolus en entier, et ce qui rapporte vraiment les points.
Et le piège des pièges. Reprends $3 + 2x$ et $5x$ : pour $x = 1$, la première donne $5$ et la seconde aussi. Un élève pressé conclurait qu'elles sont égales — alors qu'elles ne le sont que pour cette valeur-là. Et deux essais ne suffisent pas davantage : $x^2$ et $2x$ donnent le même nombre pour $x = 0$ et pour $x = 2$, alors que ces deux expressions sont différentes (pour $x = 3$ : $9$ contre $6$). Substituer sert à repérer une erreur, jamais à valider une égalité : pour être sûr, il faut développer ou factoriser et comparer les écritures.
Ce que le correcteur attend, lui :
Énoncé. Un rectangle a un côté de $4$ cm et l'autre de $(x + 3)$ cm. Exprimer son aire, puis son périmètre, en fonction de $x$, et les calculer pour $x = 6$.
Aire — c'est le produit des deux côtés : $\mathcal{A} = 4(x + 3)$, un produit. Développée, $\mathcal{A} = 4 \times x + 4 \times 3 = 4x + 12$, une somme. Deux écritures, un seul nombre : on prend celle qui arrange.
Périmètre — c'est le double de la somme de deux côtés consécutifs : $\mathcal{P} = 2(4 + x + 3)$. Je réduis l'intérieur de la parenthèse, $4 + x + 3 = x + 7$, d'où $\mathcal{P} = 2(x + 7) = 2x + 14$.
Pour $x = 6$ — l'autre côté vaut $9$ cm. Aire : $4 \times 9 = 36$, et $4 \times 6 + 12 = 36$ aussi, soit $36$ cm$^2$. Périmètre : $2 \times 13 = 26$, et $2 \times 6 + 14 = 26$ aussi, soit $26$ cm.
Énoncé. Voici un programme : « Choisis un nombre. Ajoute $4$. Multiplie le résultat par $3$. Enlève $12$. » Que fait ce programme ?
J'essaie avec $2$ : $2 + 4 = 6$, puis $6 \times 3 = 18$, puis $18 - 12 = 6$. Or $6 = 3 \times 2$.
J'essaie avec $5$ : $5 + 4 = 9$, puis $9 \times 3 = 27$, puis $27 - 12 = 15$. Or $15 = 3 \times 5$.
J'essaie avec $10$ : $10 + 4 = 14$, puis $14 \times 3 = 42$, puis $42 - 12 = 30$. Or $30 = 3 \times 10$.
Conjecture : ce programme donne le triple du nombre choisi. Annoncer ce qu'on a observé, sans l'avoir encore prouvé, c'est formuler une conjecture. Un tableur permet d'en formuler à grande échelle : les nombres de départ dans une colonne, la formule du programme dans la colonne voisine, et la régularité saute aux yeux sur cinquante lignes d'un coup ; un programme écrit dans un langage à blocs rejoue le calcul aussi souvent qu'on veut. Mais cinquante lignes, ou cinquante mille, ne démontrent toujours rien.
Démonstration. Je note $x$ le nombre choisi. Le programme calcule successivement $x + 4$, puis $3(x + 4)$, puis $3(x + 4) - 12$. Je développe : $3(x + 4) = 3x + 12$. L'expression devient $3x + 12 - 12 = 3x$.
Conclusion. Quel que soit le nombre choisi, le programme renvoie son triple. Voilà ce que le calcul littéral apporte : une vérification faite une fois pour toutes, pour tous les nombres à la fois.
Propriété à démontrer. La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.
Je note $n$ le plus petit des trois. Les trois entiers s'écrivent alors $n$, $n + 1$ et $n + 2$.
Leur somme vaut $n + (n + 1) + (n + 2)$. Je réduis : trois termes en $n$ donnent $3n$, et $1 + 2 = 3$. La somme vaut donc $3n + 3$.
Je factorise : $3n + 3 = 3(n + 1)$. La somme s'écrit comme $3$ multiplié par un entier : c'est bien un multiple de $3$. Sur un exemple : $7 + 8 + 9 = 24 = 3 \times 8$.
Assertion à faire tomber. « La somme de deux entiers consécutifs est un multiple de $2$. » Je cherche un cas qui la met en défaut : $7 + 8 = 15$, et $15$ n'est pas un multiple de $2$. C'est un contre-exemple, et un seul suffit : l'assertion est fausse.
Retiens l'asymétrie, elle tombe souvent au contrôle : un contre-exemple suffit pour démontrer qu'une affirmation est fausse, mais aucune liste d'exemples ne démontre qu'elle est vraie pour tous les nombres. Pour cela, il faut passer par la lettre.
Jusqu'ici la lettre était une variable : on lui donnait les valeurs qu'on voulait. Dans un problème à trou, elle change de statut : elle désigne un nombre précis, encore inconnu, qu'on cherche. On l'appelle alors une inconnue.
Exemple : « Six places de cinéma coûtent $51$ €. » En notant $x$ le prix d'une place, cela s'écrit $6x = 51$. On a multiplié par $6$ ; pour remonter, on fait l'opération inverse, on divise par $6$ : $x = 51 \div 6 = 8{,}5$. C'est exactement le nombre quotient du début de fiche.
En 5e, on ne fait rien « passer de l'autre côté » : on remonte le calcul avec l'opération inverse, comme pour retrouver le nombre effacé d'une opération à trou.
Traduire un problème par une égalité, puis la résoudre, fait l'objet d'une fiche à part : mise en équation et résolution arithmétique. Ici, on s'arrête à l'essentiel : reconnaître que la lettre a changé de rôle.
Tu maîtrises ? Regardons ce qui t'attend derrière la colline : deux parenthèses qui se multiplient, un facteur commun qui devient une lettre, et le nom de celui à qui l'algèbre doit son nom. Ces techniques-là ne sont pas exigées au contrôle de 5e, mais elles éclairent ce que tu viens d'apprendre.
En 4e, tu multiplieras deux parenthèses l'une par l'autre. La règle est la même, appliquée deux fois : chaque terme de la première rencontre chaque terme de la seconde.
$(x + 2)(x + 5) = x \times x + x \times 5 + 2 \times x + 2 \times 5 = x^2 + 5x + 2x + 10$, puis en réduisant, $x^2 + 7x + 10$.
Contrôle avec $x = 1$ : au départ $3 \times 6 = 18$ ; à l'arrivée $1 + 7 + 10 = 18$. Cela colle.
Cette année, le facteur commun qu'on te demande de sortir est un nombre. L'an prochain, ce sera parfois une lettre.
Dans $x^2 + 3x$, les deux termes contiennent $x$, puisque $x^2 = x \times x$. Le facteur commun est donc $x$ : $x^2 + 3x = x(x + 3)$.
Contrôle avec $x = 2$ : au départ $4 + 6 = 10$ ; à l'arrivée $2 \times 5 = 10$. Cela colle.
Cette année, les égalités à résoudre sont du type $ax = c$ et $x + b = c$, et l'opération inverse suffit à les remonter.
En 4e apparaîtront des égalités plus longues, du type $ax + b = c$, où l'opération inverse ne suffit plus d'un seul coup : on apprendra alors une méthode générale, qui agit sur l'égalité elle-même. C'est un geste nouveau, à ne pas importer trop tôt — cette année, il n'est ni attendu ni nécessaire.
Au IXe siècle, à Bagdad, le savant Al-Khwarizmi résolvait ses problèmes en raisonnant sur « la chose » qu'on cherche : notre inconnue, avant qu'elle ne s'appelle $x$. Deux de ces gestes portaient un nom : al-jabr pour les problèmes du type $x + b = c$, al-hatt pour ceux du type $ax = c$.
Le mot algèbre vient d'al-jabr, et le mot algorithme vient du nom même d'Al-Khwarizmi. Ces deux gestes portent leur nom depuis douze siècles ; tu les referas au prochain contrôle.
Fiche gratuite créée par Vidyalaya, association d'éducation populaire — soutien scolaire, FLE & DELF, libre et gratuit pour tous.
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