Priorités opératoires

Ce qu'il faut déjà savoir

Avant de commencer, tu dois juste être à l'aise avec les quatre opérations : additionner ($+$), soustraire ($-$), multiplier ($\times$) et diviser ($\div$). C'est tout, aucun prérequis exotique.

Le mot compliqué du jour : une expression numérique, c'est simplement un calcul qui mélange plusieurs de ces opérations, par exemple $3 + 4 \times 5$.

Le problème : si chacun calcule dans l'ordre qu'il veut, on ne trouve pas tous le même résultat. Les priorités opératoires sont les règles qui fixent un ordre unique, valable pour tout le monde.

La règle en une image

Il y a trois niveaux, du plus prioritaire au moins prioritaire :

1. D'abord ce qui est entre parenthèses $(\quad)$.

2. Ensuite les multiplications et divisions $\times$ et $\div$.

3. Enfin les additions et soustractions $+$ et $-$.

La phrase à retenir : on multiplie et on divise avant d'additionner et de soustraire — sauf si des parenthèses disent le contraire.

Un exemple fait en entier

Calculons $3 + 4 \times 5$.

On cherche l'opération la plus prioritaire : ici c'est la multiplication $4 \times 5$.

$3 + 4 \times 5$

$= 3 + 20$   (on a calculé $4 \times 5 = 20$)

$= 23$

Résultat : $23$. Attention, ce n'est pas $35$ : on ne calcule pas bêtement de gauche à droite, on respecte l'ordre des priorités.

Définition : expression numérique et priorités

Une expression numérique est une suite de nombres reliés par des opérations. Souvent plusieurs opérations différentes cohabitent, comme dans $20 - 15 \div 3 + 2 \times 4$.

L'ordre dans lequel on effectue ces opérations change le résultat. Pour que le calcul ait un sens unique, on suit des règles communes : les priorités opératoires. Grâce à elles, un élève à Marseille et un élève à Lille trouvent exactement le même nombre.

Les trois niveaux de priorité et la méthode

On classe les opérations en trois niveaux :

Priorité 1 : les parenthèses $(\quad)$ — on calcule toujours leur contenu en premier.

Priorité 2 : les multiplications $\times$ et divisions $\div$.

Priorité 3 : les additions $+$ et soustractions $-$.

La méthode, pas à pas :

1. Repérer les parenthèses et calculer leur contenu d'abord.

2. Effectuer ensuite toutes les multiplications et divisions, de gauche à droite.

3. Terminer par les additions et soustractions, de gauche à droite.

4. Réécrire l'expression à chaque étape en remplaçant ce qu'on vient de calculer — jamais tout d'un coup.

Trois exemples traités

Exemple A — sans parenthèses.

$3 + 4 \times 5$

$= 3 + 20$   (la multiplication d'abord)

$= 23$

Exemple B — avec parenthèses.

$(3 + 4) \times 5$

$= 7 \times 5$   (les parenthèses forcent l'addition en premier)

$= 35$

Compare A et B : mêmes nombres, mais les parenthèses changent tout, $23 \neq 35$.

Exemple C — plusieurs opérations mélangées.

$20 - 15 \div 3 + 2 \times 4$

$= 20 - 5 + 8$   (on calcule $15 \div 3 = 5$ et $2 \times 4 = 8$)

$= 23$

Cas particulier — même niveau de priorité. Quand il ne reste que des $+$ et des $-$ (ou que des $\times$ et des $\div$), on calcule de gauche à droite. Ainsi $10 - 3 + 2 = 7 + 2 = 9$, et surtout pas $10 - 5 = 5$.

On le fait ensemble — trois opérations à la suite

Calculons ensemble $7 + 6 \times 2 - 4$.

D'abord, je repère : pas de parenthèses. La seule opération prioritaire est la multiplication $6 \times 2$.

$7 + 6 \times 2 - 4$

$= 7 + 12 - 4$   (je remplace $6 \times 2$ par $12$, je recopie le reste tel quel)

Il ne reste que $+$ et $-$ : même priorité, donc de gauche à droite.

$= 19 - 4$   (je fais $7 + 12 = 19$)

$= 15$

Remarque le réflexe : à chaque ligne, je réécris l'expression entière et je ne calcule qu'une seule chose à la fois.

On le fait ensemble — deux parenthèses

Calculons $(8 + 2) \times (9 - 5)$.

Ici il y a deux paires de parenthèses. Elles sont prioritaires toutes les deux : je calcule chacune de son côté.

$(8 + 2) \times (9 - 5)$

$= 10 \times (9 - 5)$   (je calcule la première parenthèse : $8 + 2 = 10$)

$= 10 \times 4$   (puis la seconde : $9 - 5 = 4$)

$= 40$

Astuce : tu peux traiter les deux parenthèses en une seule ligne si tu es à l'aise, mais tant que tu débutes, une parenthèse par ligne évite les erreurs.

On le fait ensemble — parenthèses et priorités mêlées

Calculons $30 \div 5 + 3 \times (7 - 4)$.

Étape 1 : la parenthèse d'abord.

$30 \div 5 + 3 \times (7 - 4)$

$= 30 \div 5 + 3 \times 3$   (car $7 - 4 = 3$)

Étape 2 : les multiplications et divisions.

$= 6 + 9$   (car $30 \div 5 = 6$ et $3 \times 3 = 9$)

Étape 3 : l'addition.

$= 15$

Le piège de la gauche à droite. Avec deux divisions à la suite, on calcule aussi dans l'ordre d'écriture : $24 \div 6 \div 2 = 4 \div 2 = 2$. Si tu commences par $6 \div 2$, tu trouves $8$ : faux !

Parenthèses imbriquées, crochets et barre de fraction

Parfois une parenthèse est à l'intérieur d'une autre. On utilise alors des crochets $[\;\;]$ pour y voir clair, et on calcule toujours de l'intérieur vers l'extérieur.

$2 \times [\,15 - (3 + 4)\,]$

$= 2 \times [\,15 - 7\,]$   (la parenthèse la plus intérieure : $3 + 4 = 7$)

$= 2 \times 8$   (le crochet : $15 - 7 = 8$)

$= 16$

La barre de fraction joue le rôle d'une parenthèse invisible : elle regroupe tout le haut et tout le bas séparément, comme si c'était écrit $(\text{haut}) \div (\text{bas})$.

$\dfrac{12 + 8}{2 + 2}$

$= \dfrac{20}{4}$   (on calcule le numérateur $12 + 8 = 20$ et le dénominateur $2 + 2 = 4$)

$= 5$

Un problème concret entièrement résolu

Énoncé. Léa achète $3$ cahiers à $2$ € pièce et $1$ classeur à $5$ €. Elle paie avec un billet de $20$ €. Combien lui rend-on ?

Étape 1 — écrire le prix total en une seule expression. Trois cahiers à $2$ € se traduit par $3 \times 2$, et on ajoute le classeur :

$\text{total} = 3 \times 2 + 5$

$= 6 + 5$   (la multiplication d'abord)

$= 11$   soit $11$ €.

Étape 2 — la monnaie rendue, c'est $20$ € moins le total. Comme on doit soustraire tout le total, on le met entre parenthèses :

$20 - (3 \times 2 + 5)$

$= 20 - 11$

$= 9$   soit $9$ € rendus.

La parenthèse est indispensable : sans elle, $20 - 3 \times 2 + 5 = 20 - 6 + 5 = 19$, ce qui n'a rien à voir.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

Un exemple où les parenthèses changent le sens. Quatre amis vont au cinéma : la place coûte $9$ €, mais chacun a une réduction de $2$ €. Le prix total est

$4 \times (9 - 2)$

$= 4 \times 7$

$= 28$   soit $28$ €.

Sans parenthèses, $4 \times 9 - 2 = 36 - 2 = 34$ € : la réduction ne s'appliquerait qu'à une seule place. Le sens du problème impose les parenthèses.

Ce que le correcteur veut voir :

• l'expression réécrite en entier à chaque ligne, une opération traitée à la fois ;
• le signe $=$ placé au début de chaque nouvelle ligne, jamais des $=$ qui s'enchaînent à la file sur une même ligne ;
• un résultat final clairement souligné, avec l'unité ($\text{€}$, $\text{cm}$...) s'il y en a une.

Les pièges classiques à éviter :

• $3 + 4 \times 5 = 35$ : faux, on a oublié la priorité du $\times$ ; le bon résultat est $23$.
• $10 - 3 + 2 = 5$ : faux, à priorité égale on va de gauche à droite, donc $9$.
• oublier la parenthèse invisible de la barre de fraction et calculer $\dfrac{12 + 8}{2 + 2}$ comme $12 + 8 \div 2 + 2$.

Un nouvel étage : les puissances

L'an prochain, tu rencontreras les puissances, comme $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$. Elles s'ajoutent à ta pyramide des priorités, juste en dessous des parenthèses et au-dessus de la multiplication.

Le nouvel ordre complet deviendra : parenthèses, puis puissances, puis $\times$ et $\div$, puis $+$ et $-$.

Par exemple $5 + 2^3$ se calcule ainsi :

$5 + 2^3$

$= 5 + 8$   (la puissance d'abord : $2^3 = 8$)

$= 13$

Rassure-toi : tout ce que tu sais aujourd'hui reste vrai. On ne fait qu'insérer une marche supplémentaire dans l'escalier.

Quand les lettres arrivent : la distributivité

En 4e, les parenthèses reviendront dans le calcul littéral (le calcul avec des lettres). Tu apprendras à distribuer un facteur sur une parenthèse :

$3 \times (x + 2) = 3 \times x + 3 \times 2 = 3x + 6$

C'est exactement la même logique qu'aujourd'hui : la parenthèse est prioritaire, mais comme on ne peut pas additionner $x$ et $2$ (l'un est une lettre, l'autre un nombre), on développe au lieu de calculer. Les priorités opératoires sont la fondation de tout ce calcul à venir.

Pourquoi cet ordre ? Une petite justification

Une question naturelle : pourquoi la multiplication passe-t-elle avant l'addition ? Ce n'est pas un caprice de professeur, il y a une vraie raison.

Multiplier, c'est additionner plusieurs fois le même nombre. Ainsi $4 \times 5$ signifie quatre paquets de cinq. Dans $3 + 4 \times 5$, on a donc trois, plus quatre paquets de cinq :

$3 + 4 \times 5 = 3 + \underbrace{5 + 5 + 5 + 5}_{4 \text{ fois}} = 23$

Calculer le $\times$ en premier n'est alors pas une règle arbitraire : c'est la seule lecture qui respecte le sens de l'écriture. Les parenthèses, elles, servent justement à dire : non, cette fois, regroupe autrement. Voilà toute l'histoire des priorités.