Contrôle bientôt, fractions jamais vraiment vues, et une petite pointe de panique ? Respire. En quelques minutes tu auras l'essentiel pour t'en sortir proprement : trois réflexes, trois formules, un calcul fait en entier.
Les prérequis et les trois réflexes
Avant de commencer, tu dois juste savoir multiplier et diviser deux nombres entiers, et connaître un peu tes tables. C'est tout.
Une fraction $\dfrac{a}{b}$ se lit a sur b : le nombre du haut ($a$) s'appelle le numérateur, celui du bas ($b$) le dénominateur. Elle représente $a$ parts d'un tout coupé en $b$ parts égales. Le dénominateur n'est jamais $0$.
Trois réflexes à retenir pour le contrôle :
- Fractions égales : si tu multiplies (ou tu divises) le haut et le bas par le même nombre, la valeur ne change pas. $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{9}{12}$, c'est la même quantité.
- Comparer : à même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Sinon, on met d'abord les deux fractions au même dénominateur.
- Additionner ou soustraire : à même dénominateur, on calcule avec les numérateurs et on garde le dénominateur. Sinon — et c'est le cas le plus fréquent — on met d'abord au même dénominateur, puis on calcule.
Les trois formules clés
Dans la première formule, $k$ est le même nombre en haut et en bas (et $k \neq 0$). Dans les deux autres, le dénominateur $c$ ne bouge pas : c'est l'unité de compte, comme les euros dans $3\ \text{€} + 5\ \text{€} = 8\ \text{€}$.
Un calcul fait en entier : $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4}$
Les dénominateurs sont différents ($5$ et $4$) : je ne peux pas additionner tout de suite.
Je cherche un dénominateur commun en listant les multiples. Multiples de $5$ : $5,\ 10,\ 15,\ \mathbf{20}...$ Multiples de $4$ : $4,\ 8,\ 12,\ 16,\ \mathbf{20}...$ Le plus petit qui apparaît dans les deux listes est $20$.
Je réécris chaque fraction avec le dénominateur $20$ : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 4}{5 \times 4} = \dfrac{8}{20}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{5}{20}$.
Même dénominateur : j'additionne les numérateurs et je garde le $20$. $\dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{13}{20}$. C'est la réponse.
Tu ne trouves pas le plus petit dénominateur commun ? Multiplie les deux dénominateurs l'un par l'autre : ça marche toujours. Pour $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6}$, cela donne $24$ au lieu de $12$ : $\dfrac{18}{24} + \dfrac{4}{24} = \dfrac{22}{24}$, qui est la même quantité que $\dfrac{11}{12}$. Les nombres sont plus gros, le résultat reste juste.
Ça te revient : les barres de chocolat coupées en parts, les 3 sur 4 , le demi et le quart . On remet tout au propre, dans l'ordre, avec les vraies définitions et une méthode que tu pourras rejouer à chaque fois.
Les définitions au propre
Une fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $b \neq 0$) désigne $a$ parts d'une unité partagée en $b$ parts égales. Le haut est le numérateur, le bas le dénominateur.
Fractions égales (rappel de 6e). Deux fractions sont égales quand elles représentent la même quantité, même si elles ne sont pas écrites pareil. On passe de l'une à l'autre en multipliant, ou en divisant, le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. Reconnaître deux écritures d'un même nombre doit devenir un réflexe : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{15}$, $\dfrac{4}{7} = \dfrac{8}{14}$, et $1,2 = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5}$.
Écrire avec des nombres plus petits. Quand le haut et le bas sont dans une même table, tu peux diviser les deux par ce nombre pour obtenir une écriture plus légère : $\dfrac{12}{20} = \dfrac{12 \div 4}{20 \div 4} = \dfrac{3}{5}$. Ce n'est pas obligatoire, mais un résultat écrit avec de petits nombres se lit mieux.
Comparer. Comparer deux fractions, c'est dire laquelle est la plus grande, ou constater qu'elles sont égales.
Additionner, soustraire. On ne sait calculer que si les deux fractions comptent la même chose, c'est-à-dire si elles ont le même dénominateur. Tout le travail consiste donc à leur donner un dénominateur commun avant de calculer.
La méthode pas à pas
- Écris les premiers multiples du premier dénominateur : pour $6$, ce sont $6,\ 12,\ 18,\ 24...$
- Écris les premiers multiples du second : pour $8$, ce sont $8,\ 16,\ 24,\ 32...$
- Prends le plus petit nombre présent dans les deux listes : ici $24$. C'est le plus petit dénominateur commun.
- Raccourci fréquent : si l'un des dénominateurs est déjà un multiple de l'autre ($3$ et $21$, $4$ et $8$), le plus grand fait l'affaire tout de suite.
- À court d'idées ? Le produit des deux dénominateurs est toujours un dénominateur commun. Il n'est pas forcément le plus petit, mais il est toujours valable.
- Mets-les au même dénominateur avec la méthode ci-dessus.
- Compare alors les numérateurs : le plus grand numérateur donne la plus grande fraction.
- Cas particulier utile : à même numérateur, plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite (les parts sont plus fines).
- Même dénominateur ? Calcule avec les numérateurs, garde le dénominateur.
- Dénominateurs différents ? Mets d'abord les deux fractions au même dénominateur, puis reviens au cas précédent.
- Un nombre entier se transforme en fraction quand tu en as besoin : $1 = \dfrac{7}{7}$, $3 = \dfrac{15}{5}$.
- Écris le résultat avec les plus petits nombres possibles si le haut et le bas sont dans une même table.
Trois exemples traités
En multipliant : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}$.
En divisant : $\dfrac{6}{8} = \dfrac{6 \div 2}{8 \div 2} = \dfrac{3}{4}$.
Multiples de $4$ : $4,\ 8,\ \mathbf{12}...$ ; multiples de $6$ : $6,\ \mathbf{12}...$ Le dénominateur commun est $12$.
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}$.
Même dénominateur, je compare les numérateurs : $9 < 10$, donc $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$.
$21$ est déjà un multiple de $3$ ($3 \times 7 = 21$) : je prends $21$ comme dénominateur commun, sans chercher plus loin.
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 7}{3 \times 7} = \dfrac{14}{21}$, et $\dfrac{2}{21}$ ne bouge pas.
$\dfrac{14}{21} - \dfrac{2}{21} = \dfrac{14-2}{21} = \dfrac{12}{21}$.
$12$ et $21$ sont tous les deux dans la table de $3$ : $\dfrac{12}{21} = \dfrac{12 \div 3}{21 \div 3} = \dfrac{4}{7}$. Réponse : $\dfrac{4}{7}$.
On sort le stylo et on fait les calculs à deux mains. Je rédige chaque ligne comme au tableau, tu suis le raisonnement. Ce ne sont pas des exercices à faire seul : on les fait ensemble, du début à la fin.
Ensemble : comparer 5/8 et 7/12
Les dénominateurs sont différents ($8$ et $12$) : je ne peux pas comparer les numérateurs tels quels. Je cherche un dénominateur commun.
Multiples de $8$ : $8,\ 16,\ \mathbf{24},\ 32...$ ; multiples de $12$ : $12,\ \mathbf{24},\ 36...$ Le plus petit présent dans les deux listes est $24$.
Je réécris chaque fraction avec le dénominateur $24$ : $\dfrac{5}{8} = \dfrac{5 \times 3}{8 \times 3} = \dfrac{15}{24}$ (car $8 \times 3 = 24$).
Et $\dfrac{7}{12} = \dfrac{7 \times 2}{12 \times 2} = \dfrac{14}{24}$ (car $12 \times 2 = 24$).
Même dénominateur, je compare les numérateurs : $15 > 14$, donc $\dfrac{5}{8} > \dfrac{7}{12}$.
À première vue on pourrait croire que $\dfrac{7}{12}$ est plus grande, parce que $7 > 5$ et $12 > 8$. Faux : tant que les dénominateurs ne sont pas les mêmes, comparer les numérateurs ne veut rien dire. Il faut d'abord le dénominateur commun.
Ensemble : calculer 3/4 + 1/6
Dénominateurs différents ($4$ et $6$) : je commence par leur trouver un terrain commun.
Multiples de $4$ : $4,\ 8,\ \mathbf{12},\ 16...$ ; multiples de $6$ : $6,\ \mathbf{12},\ 18...$ Dénominateur commun : $12$.
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}$ (car $4 \times 3 = 12$) et $\dfrac{1}{6} = \dfrac{1 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{2}{12}$ (car $6 \times 2 = 12$).
J'additionne les numérateurs, je garde le dénominateur : $\dfrac{9}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{11}{12}$.
Contrôle du résultat : $\dfrac{3}{4}$ vaut déjà presque $1$, on lui ajoute un petit sixième, donc la réponse doit être un peu en dessous de $1$. $\dfrac{11}{12}$ est bien juste en dessous de $\dfrac{12}{12} = 1$. Ce réflexe repère les erreurs grossières en deux secondes.
Ensemble : un entier et une fraction
Un entier se déguise en fraction avec le dénominateur qui m'arrange : $1 = \dfrac{7}{7}$.
Donc $1 - \dfrac{4}{7} = \dfrac{7}{7} - \dfrac{4}{7} = \dfrac{3}{7}$.
Même idée pour l'addition : $3 = \dfrac{15}{5}$ (car $3 \times 5 = 15$), donc $3 + \dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{17}{5}$.
On te demandera aussi le trajet inverse : écrire une fraction comme un entier plus une fraction inférieure à $1$. Ici $\dfrac{17}{5} = \dfrac{15}{5} + \dfrac{2}{5} = 3 + \dfrac{2}{5}$. C'est pratique pour situer la fraction : elle est entre $3$ et $4$.
Au contrôle, trouver le bon nombre ne suffit pas : il faut le rédiger comme le correcteur l'attend et éviter les pièges tendus exprès. On voit les subtilités, deux problèmes concrets résolus en entier, et ce qui rapporte vraiment les points.
Les subtilités et les pièges classiques
- Additionner les dénominateurs entre eux. $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} \neq \dfrac{3+1}{4+2} = \dfrac{4}{6}$. Le bon calcul : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$, puis $\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{4}$. Le dénominateur ne s'additionne jamais, il se met en commun.
- Ajouter le même nombre en haut et en bas. $\dfrac{3}{4} \neq \dfrac{3+2}{4+2} = \dfrac{5}{6}$ : pour fabriquer une fraction égale, on multiplie ou on divise, jamais on n'additionne.
- N'agir que sur le numérateur. $\dfrac{3}{4} \neq \dfrac{3 \times 2}{4} = \dfrac{6}{4}$ : multiplier seulement le haut change la valeur. Il faut toucher au haut ET au bas.
- Comparer sans dénominateur commun. Tant que les dénominateurs diffèrent, comparer les numérateurs n'a aucun sens.
- Même numérateur. Pour $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{10}$ : plus le dénominateur est grand, plus chaque part est petite, donc $\dfrac{1}{10} < \dfrac{1}{3}$. Pas besoin de tout mettre au même dénominateur.
- Repère par rapport à $1$. Une fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur est inférieure à $1$ ; si le numérateur est plus grand, elle dépasse $1$. Cela permet parfois de trancher d'un coup d'oeil, et de vérifier un résultat d'addition.
Problème résolu : le partage d'une tablette
Je veux comparer $\dfrac{3}{8}$ et $\dfrac{2}{5}$. Les dénominateurs diffèrent : il me faut un dénominateur commun.
Multiples de $8$ : $8,\ 16,\ 24,\ 32,\ \mathbf{40}...$ ; multiples de $5$ : $5,\ 10,\ 15,\ 20,\ 25,\ 30,\ 35,\ \mathbf{40}...$ Dénominateur commun : $40$ (c'est aussi $8 \times 5$).
$\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \times 5}{8 \times 5} = \dfrac{15}{40}$ et $\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 \times 8}{5 \times 8} = \dfrac{16}{40}$.
Même dénominateur : $16 > 15$, donc $\dfrac{2}{5} > \dfrac{3}{8}$. C'est Tom qui a mangé le plus.
Ensemble ils ont mangé $\dfrac{15}{40} + \dfrac{16}{40} = \dfrac{31}{40}$ de la tablette.
Il reste donc $1 - \dfrac{31}{40} = \dfrac{40}{40} - \dfrac{31}{40} = \dfrac{9}{40}$ de la tablette.
- Le dénominateur commun écrit clairement (ici $40$), et d'où il vient.
- Les fractions réécrites avec ce dénominateur, en montrant la multiplication.
- Le calcul posé avec le dénominateur conservé, pas recalculé.
- Une phrase de conclusion qui répond à la question posée, pas seulement l'inégalité.
Problème résolu : ranger, puis mesurer l'écart
Je cherche un dénominateur commun aux trois. Multiples de $3$ : $3,\ 6,\ 9,\ \mathbf{12}...$ ; de $4$ : $4,\ 8,\ \mathbf{12}...$ ; de $6$ : $6,\ \mathbf{12}...$ Le plus petit commun aux trois est $12$.
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$.
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}$.
$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}$.
Je compare les numérateurs : $8 < 9 < 10$, donc ordre croissant : $\dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{5}{6}$.
Écart entre la plus grande et la plus petite : $\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{12} - \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{12}$, soit $\dfrac{1}{6}$ (car $2$ et $12$ sont dans la table de $2$).
Le sujet demande souvent de conclure avec les fractions d'origine, pas avec les douzièmes. Utilise les $\dots/12$ pour comparer et pour calculer, mais écris la réponse finale avec $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{5}{6}$.
Tu maîtrises ? Regardons ce qui t'attend derrière la colline : un tour de main appelé produit en croix, la multiplication de fractions — plus facile que l'addition, aussi surprenant que ça paraisse — et le nom savant de tous ces nombres. Rien de tout ça n'est exigé au contrôle de 5e, mais ça éclaire ce que tu viens d'apprendre.
Le produit en croix : un test d'égalité
Pour vérifier si deux fractions sont égales sans chercher de dénominateur commun, il y a une astuce que tu croiseras bientôt : le produit en croix.
On multiplie en diagonale. Les deux fractions sont égales exactement quand les deux produits croisés sont égaux :
Produit d'une diagonale : $12 \times 15 = 180$.
Produit de l'autre diagonale : $20 \times 9 = 180$.
Les deux produits sont égaux, donc $\dfrac{12}{20} = \dfrac{9}{15}$. On le retrouve à la main : $\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$ (en divisant par $4$) et $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$ (en divisant par $3$).
L'an prochain : multiplier des fractions
Tu viens de voir que pour additionner, il faut d'abord un dénominateur commun. Pour multiplier, en 4e, tu découvriras que c'est bien plus direct : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans rien mettre en commun.
Par exemple $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 4} = \dfrac{6}{12}$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{2}$. Tu peux déjà le vérifier autrement : prendre $\dfrac{2}{3}$ de $\dfrac{3}{4}$ d'une tablette, c'est bien en manger la moitié.
Tu apprendras aussi en 4e des méthodes qui donnent d'un coup l'écriture la plus légère d'une fraction, là où tu procèdes aujourd'hui par petites divisions successives.
La grande image
Toutes ces fractions, positives comme négatives, forment un ensemble de nombres appelé les nombres rationnels. Égalité, comparaison, addition et soustraction sont les premières briques : tu les réutiliseras jusqu'au lycée, pour calculer, comparer et raisonner sur ces nombres.
Un même nombre s'écrit de plusieurs façons : $1{,}2 = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5} = 1 + \dfrac{1}{5} = 120\ \%$. Savoir passer d'une écriture à l'autre, c'est déjà travailler la proportionnalité qui t'attend au chapitre suivant.