Fractions : égalité, simplification, comparaison

Reconnaître des fractions égales, simplifier jusqu'à l'irréductible, et classer des fractions sans se tromper.

1 L'idée

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ représente $a$ parts d'un entier découpé en $b$ parts égales. Deux fractions peuvent avoir des écritures différentes et pourtant représenter la même quantité : on dit qu'elles sont égales. Simplifier une fraction, c'est réécrire une fraction égale avec les plus petits nombres possibles. Comparer des fractions, c'est décider laquelle est la plus grande — ou si elles sont égales.

2 Propriétés fondamentales

Fractions égales (×)

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} \qquad (b \neq 0,\; k \neq 0)$

Fractions égales (÷)

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div k}{b \div k} \qquad \text{si } k \text{ divise } a \text{ et } b$

Fraction irréductible

$\dfrac{a}{b} \text{ irréductible} \iff \text{PGCD}(a,\,b) = 1$

Comparer — même dénominateur

$\dfrac{a}{c} \lt \dfrac{b}{c} \iff a \lt b \quad (c \gt 0)$

3 Exemples

Trouver une fraction égale

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}$ (on multiplie numérateur et dénominateur par 3).

$\dfrac{6}{8} = \dfrac{6 \div 2}{8 \div 2} = \dfrac{3}{4}$ (on divise numérateur et dénominateur par 2).

Simplifier une fraction

Simplifier $\dfrac{12}{18}$.

Les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3, 6. Le plus grand est 6 : c'est le PGCD.

$\dfrac{12}{18} = \dfrac{12 \div 6}{18 \div 6} = \dfrac{2}{3}$.

PGCD(2, 3) = 1, donc $\dfrac{2}{3}$ est irréductible.

Comparer $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{6}$

Trouver le PPCM de 4 et 6 : PPCM(4, 6) = 12.

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \times 2}{6 \times 2} = \dfrac{10}{12}$.

Même dénominateur : $9 \lt 10$, donc $\dfrac{3}{4} \lt \dfrac{5}{6}$.

Méthode — simplifier une fraction

Trouver un diviseur commun $k \geq 2$ au numérateur et au dénominateur.
Diviser le numérateur et le dénominateur par $k$.
Recommencer jusqu'à ce que le seul diviseur commun soit 1. Pour aller plus vite, diviser directement par le PGCD.

Erreurs fréquentes

$\dfrac{3}{4} \neq \dfrac{3+2}{4+2} = \dfrac{5}{6}$ : on ne peut pas additionner le même nombre au numérateur et au dénominateur.
$\dfrac{3}{4} \neq \dfrac{3 \times 2}{4} = \dfrac{6}{4}$ : multiplier seulement le numérateur change la valeur de la fraction.
Pour comparer $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1}{10}$ : plus le dénominateur est grand, plus chaque part est petite, donc $\dfrac{1}{10} \lt \dfrac{1}{3}$.