Jamais vu ce chapitre, contrôle demain ? On te met en état de marche en cinq minutes : ce qu'est une inconnue, les deux seules formes d'équations de 5e, et trois séries d'exercices corrigés qui montent doucement.

Souviens-toi du primaire (prérequis : opérations à trous)

Tu sais depuis longtemps compléter $2 + \ldots = 7$ : on calcule $7 - 2 = 5$. Et compléter $3 \times \ldots = 12$ : on calcule $12 \div 3 = 4$. À chaque fois, on remonte par l'opération inverse : la soustraction défait l'addition, la division défait la multiplication.

Du trou à la lettre

En 5e, on remplace les pointillés par une lettre, presque toujours $x$ : $x + 2 = 7$, $3x = 12$. Cette lettre a le statut d'inconnue : elle désigne un nombre précis, celui qu'on cherche. L'égalité obtenue s'appelle une équation, et le nombre cherché sa solution.

Note bien : $3x$ est une écriture abrégée de $3 \times x$. Le signe $\times$ est sous-entendu entre le nombre et la lettre.

Les deux formes et leurs deux réflexes

$x + b = c$ : « quel nombre augmenté de $b$ donne $c$ ? » On soustrait : $x = c - b$.

$a \times x = c$ : « quel nombre multiplié par $a$ donne $c$ ? » On divise : $x = c \div a$.

Et on termine toujours par la vérification : on remet le nombre trouvé à la place de $x$ et on contrôle que l'égalité est vraie.

À toi de jouer

1. Traduis chaque phrase par une équation. Ne la résous pas : on ne demande que l'écriture, avec la lettre $x$ pour le nombre cherché.

a) Un nombre augmenté de $8$ donne $21$.
b) Le triple d'un nombre vaut $27$.
c) Cinq sacs identiques pèsent $40$ kg en tout ; $x$ est la masse d'un sac, en kilogrammes.
d) Un nombre auquel on ajoute $12{,}5$ donne $20$.
Corrigé
a) $x + 8 = 21$ (addition à trou).
b) « Le triple » veut dire « trois fois », donc $3x = 27$ (multiplication à trou).
c) Cinq sacs de même masse $x$ : $5x = 40$.
d) $x + 12{,}5 = 20$.
2. Résous ces additions à trou. Écris à chaque fois la soustraction qui donne la réponse.

a) $x + 6 = 15$
b) $x + 12 = 30$
c) $7 + x = 23$
d) $x + 4{,}5 = 10$
Corrigé
a) Quel nombre ajouté à $6$ donne $15$ ? $x = 15 - 6 = 9$. Vérification : $9 + 6 = 15$.
b) $x = 30 - 12 = 18$. Vérification : $18 + 12 = 30$.
c) L'inconnue est écrite après le $7$, cela ne change rien : $x = 23 - 7 = 16$. Vérification : $7 + 16 = 23$.
d) $x = 10 - 4{,}5 = 5{,}5$. Vérification : $5{,}5 + 4{,}5 = 10$.
3. Résous ces multiplications à trou. Écris à chaque fois la division qui donne la réponse.

a) $3x = 24$
b) $5x = 45$
c) $8x = 56$
d) $4x = 50$
Corrigé
a) Quel nombre multiplié par $3$ donne $24$ ? $x = 24 \div 3 = 8$. Vérification : $3 \times 8 = 24$.
b) $x = 45 \div 5 = 9$. Vérification : $5 \times 9 = 45$.
c) $x = 56 \div 8 = 7$. Vérification : $8 \times 7 = 56$.
d) $x = 50 \div 4 = 12{,}5$. Vérification : $4 \times 12{,}5 = 50$. Une solution décimale, c'est normal.

Le chapitre te dit quelque chose, mais le vocabulaire est flou et tu ne sais jamais quelle opération choisir. On remet les mots en place, on installe la méthode en six temps, puis on s'entraîne à reconnaître, tester et rédiger.

Variable ou inconnue ? Les deux rôles de la lettre

Dans une formule comme $P = 3n$, qui donne le périmètre d'un triangle équilatéral de côté $n$, les lettres sont des variables : la formule reste vraie quelle que soit la valeur de $n$, et elle sert à calculer. Dans une équation comme $4x = 52$, la lettre est une inconnue : elle désigne un nombre précis, imposé par l'énoncé, que tu ne connais pas encore et qu'il faut retrouver.

Solution, résoudre, vérifier

La solution d'une équation est le nombre qui, mis à la place de l'inconnue, rend l'égalité vraie. Tester une valeur, c'est la remplacer dans l'équation et regarder si l'égalité obtenue est vraie : aucune méthode nécessaire, on calcule. Résoudre, c'est trouver cette valeur par l'opération inverse, puis la vérifier.

La méthode en six temps

Nommer l'inconnue avec son unité ; traduire l'énoncé en équation ; reconnaître la forme ($x + b = c$ ou $ax = c$) ; remonter par l'opération inverse ; vérifier dans la situation de départ ; conclure par une phrase.

Pour reconnaître la forme : « augmenté de », « de plus », « il en gagne » annoncent une addition à trou ; « le double », « le triple », « $n$ objets identiques », « pour $n$ parts égales » annoncent une multiplication à trou.

À toi de jouer

1. Cette valeur est-elle solution de l'équation ? Justifie par un calcul, et donne la solution quand la réponse est non.

a) $x = 9$ pour l'équation $x + 7 = 16$
b) $x = 6$ pour l'équation $8x = 42$
c) $x = 15$ pour l'équation $3x = 45$
d) $x = 12$ pour l'équation $x + 12 = 25$
Corrigé
a) $9 + 7 = 16$ : l'égalité est vraie, donc oui, $9$ est solution.
b) $8 \times 6 = 48$, et $48$ n'est pas égal à $42$ : non. La solution est $x = 42 \div 8 = 5{,}25$ (vérification : $8 \times 5{,}25 = 42$).
c) $3 \times 15 = 45$ : l'égalité est vraie, donc oui.
d) $12 + 12 = 24$, et $24$ n'est pas égal à $25$ : non. La solution est $x = 25 - 12 = 13$ (vérification : $13 + 12 = 25$).
2. Résous en rédigeant les trois lignes attendues : la lecture de l'équation, l'opération inverse, la vérification.

a) $x + 19 = 41$
b) $6x = 78$
c) $x + 3{,}2 = 8$
Corrigé
a) Quel nombre augmenté de $19$ donne $41$ ? Addition à trou, je soustrais : $x = 41 - 19 = 22$. Vérification : $22 + 19 = 41$.
b) Quel nombre multiplié par $6$ donne $78$ ? Multiplication à trou, je divise : $x = 78 \div 6 = 13$. Vérification : $6 \times 13 = 78$.
c) Quel nombre augmenté de $3{,}2$ donne $8$ ? $x = 8 - 3{,}2 = 4{,}8$. Vérification : $4{,}8 + 3{,}2 = 8$.
3. Traduis par une équation, puis résous et conclus par une phrase.

a) Maël avait des billes dans son sac. Il en gagne $14$ à la récréation et en a maintenant $50$. Combien en avait-il au départ ?
b) Neuf boîtes identiques contiennent en tout $108$ crayons. Combien y a-t-il de crayons dans une boîte ?
Corrigé
a) Soit $x$ le nombre de billes au départ. Il en gagne $14$ et arrive à $50$ : $x + 14 = 50$. Addition à trou : $x = 50 - 14 = 36$. Vérification : $36 + 14 = 50$. Maël avait $36$ billes au départ.
b) Soit $x$ le nombre de crayons dans une boîte. Neuf boîtes identiques : $9x = 108$. Multiplication à trou : $x = 108 \div 9 = 12$. Vérification : $9 \times 12 = 108$. Chaque boîte contient $12$ crayons.

Le mécanisme est en place : on passe aux vrais problèmes. Trois séries pour t'entraîner à traduire un énoncé, à ne pas te laisser piéger par une équation écrite à l'envers, et à accepter une solution qui n'est pas un nombre entier.

Rappel express

Nommer, traduire, reconnaître, opération inverse, vérifier, conclure. La seule étape vraiment difficile est la deuxième : demande-toi toujours ce qui est arrivé au nombre cherché. On lui a ajouté quelque chose, ou on l'a répété plusieurs fois ?

À toi de jouer

1. Pour chaque problème : nomme l'inconnue avec son unité, écris l'équation, résous, vérifie, conclus.

a) Sept cahiers identiques coûtent $21{,}70$ €. Quel est le prix d'un cahier ?
b) Sarah roule encore $18$ km ; le compteur de son vélo affiche alors $45$ km. Que marquait-il avant ?
c) Une plaque de $12$ carrés de chocolat identiques pèse $150$ g. Combien pèse un carré ?
Corrigé
a) Soit $x$ le prix d'un cahier, en euros. Sept cahiers identiques : $7x = 21{,}70$. Multiplication à trou : $x = 21{,}70 \div 7 = 3{,}10$. Vérification : $7 \times 3{,}10 = 21{,}70$. Un cahier coûte $3{,}10$ €.
b) Soit $x$ le nombre de kilomètres affichés avant. On ajoute $18$ et on obtient $45$ : $x + 18 = 45$. Addition à trou : $x = 45 - 18 = 27$. Vérification : $27 + 18 = 45$. Le compteur affichait $27$ km.
c) Soit $x$ la masse d'un carré, en grammes. Douze carrés identiques : $12x = 150$. Multiplication à trou : $x = 150 \div 12 = 12{,}5$. Vérification : $12 \times 12{,}5 = 150$. Un carré pèse $12{,}5$ g.
2. Ici l'inconnue est écrite à droite du signe $=$. Cela ne change rien à la méthode : repère l'opération à trou et résous.

a) $45 = 5x$
b) $63 = x + 28$
c) $96 = 8x$
d) $30 = x + 30$
Corrigé
a) Quel nombre multiplié par $5$ donne $45$ ? $x = 45 \div 5 = 9$. Vérification : $5 \times 9 = 45$.
b) Quel nombre augmenté de $28$ donne $63$ ? $x = 63 - 28 = 35$. Vérification : $35 + 28 = 63$.
c) $x = 96 \div 8 = 12$. Vérification : $8 \times 12 = 96$.
d) $x = 30 - 30 = 0$. Vérification : $0 + 30 = 30$. La solution $0$ est une solution comme une autre.
3. La solution n'est pas toujours un nombre entier. Donne la valeur exacte de $x$, en écriture décimale quand c'est possible, sous forme de quotient sinon.

a) $4x = 9$
b) $3x = 7$
c) $6x = 15$
d) $5x = 12$
Corrigé
a) $x = 9 \div 4 = 2{,}25$. Vérification : $4 \times 2{,}25 = 9$.
b) $x = 7 \div 3 = \dfrac{7}{3}$. Cette division ne tombe pas juste : on garde l'écriture en quotient, qui est la valeur exacte. Vérification : $3 \times \dfrac{7}{3} = 7$.
c) $x = 15 \div 6 = 2{,}5$. Vérification : $6 \times 2{,}5 = 15$.
d) $x = 12 \div 5 = 2{,}4$. Vérification : $5 \times 2{,}4 = 12$.
4. Traduis chaque situation par une équation, résous, vérifie, conclus par une phrase.

a) Un ruban de $96$ cm est partagé en $8$ morceaux de même longueur. Combien mesure un morceau ?
b) Après avoir ajouté $35$ g de farine dans un saladier, la balance affiche $210$ g. Que pesait le saladier avant ?
c) Six équipes de même effectif totalisent $66$ joueurs. Combien y a-t-il de joueurs par équipe ?
Corrigé
a) Soit $x$ la longueur d'un morceau, en centimètres. Huit morceaux de même longueur : $8x = 96$. Multiplication à trou : $x = 96 \div 8 = 12$. Vérification : $8 \times 12 = 96$. Un morceau mesure $12$ cm.
b) Soit $x$ la masse du saladier avant, en grammes. On ajoute $35$ et on obtient $210$ : $x + 35 = 210$. Addition à trou : $x = 210 - 35 = 175$. Vérification : $175 + 35 = 210$. Le saladier pesait $175$ g.
c) Soit $x$ le nombre de joueurs par équipe. Six équipes de même effectif : $6x = 66$. Multiplication à trou : $x = 66 \div 6 = 11$. Vérification : $6 \times 11 = 66$. Chaque équipe compte $11$ joueurs.
5. Une seule des deux équations proposées traduit la phrase. Choisis-la, puis résous-la.

a) « Un nombre multiplié par $7$ donne $91$. » : $x + 7 = 91$ ou $7x = 91$ ?
b) « Un nombre augmenté de $7$ donne $91$. » : $x + 7 = 91$ ou $7x = 91$ ?
c) « Le double d'un nombre vaut $9$. » : $2x = 9$ ou $x + 2 = 9$ ?
Corrigé
a) « Multiplié par $7$ » annonce une multiplication à trou : c'est $7x = 91$. Donc $x = 91 \div 7 = 13$. Vérification : $7 \times 13 = 91$.
b) « Augmenté de $7$ » annonce une addition à trou : c'est $x + 7 = 91$. Donc $x = 91 - 7 = 84$. Vérification : $84 + 7 = 91$.
c) « Le double » veut dire « deux fois » : c'est $2x = 9$. Donc $x = 9 \div 2 = 4{,}5$. Vérification : $2 \times 4{,}5 = 9$.
Retiens le contraste entre a) et b) : les mêmes deux nombres, deux équations différentes, deux réponses très éloignées.

Format contrôle. Des problèmes qui demandent une étape de préparation, des solutions négatives qu'il ne faut pas barrer, et des copies d'élèves à corriger — un exercice classique, parce qu'il vérifie que tu as compris le sens de l'opération inverse.

Ce qui rapporte les points

La phrase « Soit $x$ … » avec l'unité ; l'équation écrite seule sur sa ligne avant tout calcul ; l'opération inverse annoncée ; la vérification chiffrée faite dans la situation de départ ; une phrase de conclusion qui répond exactement à la question posée.

À toi de jouer

1. Deux problèmes de géométrie. Attention : pour l'un des deux, une étape de préparation est nécessaire avant d'écrire l'équation.

a) Un rectangle a une largeur de $9$ cm et un périmètre de $46$ cm. Quelle est sa longueur ?
b) Un parallélogramme a une aire de $84$ cm² et une base de $12$ cm. Quelle est la hauteur correspondante ?
Corrigé
a) Soit $x$ la longueur, en centimètres. Le périmètre compte deux longueurs et deux largeurs, donc sa moitié vaut une longueur plus une largeur : $46 \div 2 = 23$. D'où l'équation $x + 9 = 23$. Addition à trou : $x = 23 - 9 = 14$. Vérification dans l'énoncé : $2 \times (14 + 9) = 2 \times 23 = 46$ cm. La longueur est $14$ cm.
b) Soit $x$ la hauteur, en centimètres. L'aire d'un parallélogramme est le produit de la base par la hauteur : $12x = 84$. Multiplication à trou : $x = 84 \div 12 = 7$. Vérification : $12 \times 7 = 84$ cm². La hauteur mesure $7$ cm.
2. Résous ces deux situations, puis demande-toi à chaque fois si le nombre trouvé a un sens dans le contexte de l'énoncé.

a) Entre le matin et midi, la température a monté de $11$ °C ; à midi il fait $3$ °C. Quelle température faisait-il le matin ?
b) Un plongeur remonte de $15$ m et se trouve alors à l'altitude $-3$ m. À quelle altitude était-il avant de remonter ?
Corrigé
a) Soit $x$ la température du matin, en degrés Celsius. Elle monte de $11$ et donne $3$ : $x + 11 = 3$. Addition à trou : $x = 3 - 11 = -8$. Vérification : $-8 + 11 = 3$. Il faisait $-8$ °C le matin. Une température négative a un sens, la réponse est recevable.
b) Soit $x$ son altitude de départ, en mètres. Il remonte de $15$ m et arrive à $-3$ m : $x + 15 = -3$. Addition à trou : $x = -3 - 15 = -18$. Vérification : $-18 + 15 = -3$. Il était à l'altitude $-18$ m. Une altitude négative a un sens pour un plongeur : la réponse tient. (Le même $-18$ pour un nombre d'objets ou une longueur aurait signalé une erreur de traduction.)
3. Trouve l'erreur dans chaque copie, explique-la, puis donne la bonne solution.

a) Pour résoudre $6x = 78$, Lina écrit : « $x = 6 \div 78$ ».
b) Pour résoudre $x + 23 = 40$, Tom écrit : « $x = 40 + 23 = 63$ ».
c) Pour résoudre $5x = 60$, Inès écrit : « $x = 60 - 5 = 55$ ».
Corrigé
a) Lina a divisé à l'envers. On cherche le nombre qui, multiplié par $6$, donne $78$ : on divise le total par $6$, pas l'inverse. $x = 78 \div 6 = 13$. Vérification : $6 \times 13 = 78$.
b) Tom a recopié l'addition de l'énoncé au lieu de la défaire. L'opération inverse de l'addition est la soustraction : $x = 40 - 23 = 17$. Sa réponse se réfute d'une ligne : $63 + 23 = 86$, ce qui ne fait pas $40$. Vérification de la bonne solution : $17 + 23 = 40$.
c) Inès a soustrait alors que l'inconnue était multipliée. L'opération inverse de la multiplication est la division : $x = 60 \div 5 = 12$. Sa réponse se réfute aussi : $5 \times 55 = 275$, ce qui ne fait pas $60$. Vérification : $5 \times 12 = 60$.
4. Un fleuriste compose $12$ bouquets identiques et utilise $156$ tulipes en tout.

a) Combien de tulipes contient un bouquet ?
b) Combien lui faudrait-il de tulipes pour composer $20$ bouquets identiques aux premiers ?
Corrigé
a) Soit $x$ le nombre de tulipes d'un bouquet. Douze bouquets identiques : $12x = 156$. Multiplication à trou : $x = 156 \div 12 = 13$. Vérification : $12 \times 13 = 156$. Un bouquet contient $13$ tulipes.
b) Attention, la question porte sur $20$ bouquets et non sur un seul : $20 \times 13 = 260$. Il lui faudrait $260$ tulipes.
5. Une classe de $27$ élèves paie $216$ € en tout pour une sortie, au même tarif pour chacun.

a) Quel est le prix payé par un élève ?
b) Deux élèves de plus s'inscrivent. Combien la classe paiera-t-elle en tout ?
Corrigé
a) Soit $x$ le prix payé par un élève, en euros. Vingt-sept élèves au même tarif : $27x = 216$. Multiplication à trou : $x = 216 \div 27 = 8$. Vérification : $27 \times 8 = 216$. Chaque élève paie $8$ €.
b) La classe compte alors $27 + 2 = 29$ élèves, toujours à $8$ € chacun : $29 \times 8 = 232$. La classe paiera $232$ €.

Tu es à l'aise ? Deux choses ici : un détour par Al-Khwarizmi, le prolongement culturel du chapitre, avec des équations de 5e aux nombres plus gros ; et un avant-goût de la 4e, les équations à deux étages, qui ne sont pas exigées au contrôle de cette année. Tu vas voir que l'opération inverse suffit encore.

Les équations à deux étages (programme de 4e)

En 4e, l'inconnue subira deux opérations : $ax + b = c$. On les défait dans l'ordre inverse, en commençant par la dernière. Dans $4x + 5 = 29$, la dernière opération est « $+\,5$ » : quel nombre augmenté de $5$ donne $29$ ? C'est $24$, donc $4x = 24$. Il ne reste qu'une équation de 5e.

Autrement dit : une équation à deux étages est un programme de calcul qu'on remonte à contresens, en remplaçant chaque opération par son inverse.

Un détour par Al-Khwarizmi (prolongement de 5e)

Au IXe siècle, à Bagdad, Al-Khwarizmi résolvait ses problèmes en raisonnant sur « la chose » que l'on cherche — notre inconnue, avant qu'elle ne s'appelle $x$. Il nommait déjà ses deux gestes de calcul, al-jabr (la « restauration », qui élimine les termes soustraits — le mot d'où vient « algèbre ») et al-muqabala (la « réduction », qui regroupe les termes semblables). L'exercice 2 ci-dessous relève donc bien du programme de 5e : seuls les nombres y sont plus gros.

À toi de jouer

1. Résous ces équations à deux étages en pelant les couches, l'une après l'autre.

a) $4x + 5 = 29$
b) $3x + 7 = 25$
c) $5x + 12 = 47$
Corrigé
a) Quel nombre augmenté de $5$ donne $29$ ? $29 - 5 = 24$, donc $4x = 24$. Puis quel nombre multiplié par $4$ donne $24$ ? $x = 24 \div 4 = 6$. Vérification : $4 \times 6 + 5 = 24 + 5 = 29$.
b) $25 - 7 = 18$, donc $3x = 18$, puis $x = 18 \div 3 = 6$. Vérification : $3 \times 6 + 7 = 18 + 7 = 25$.
c) $47 - 12 = 35$, donc $5x = 35$, puis $x = 35 \div 5 = 7$. Vérification : $5 \times 7 + 12 = 35 + 12 = 47$.
2. À la manière d'Al-Khwarizmi, qui appelait « la chose » le nombre cherché. Ce sont bien les deux formes de 5e : seuls les nombres grossissent, la méthode est identique.

a) $x + 148 = 372$
b) $16x = 208$
c) $25x = 1000$
Corrigé
a) Addition à trou : $x = 372 - 148 = 224$. Vérification : $224 + 148 = 372$.
b) Multiplication à trou : $x = 208 \div 16 = 13$. Vérification : $16 \times 13 = 208$.
c) $x = 1000 \div 25 = 40$. Vérification : $25 \times 40 = 1000$.
3. Deux problèmes à deux temps, comme en 4e. Nomme l'inconnue, écris l'équation, défais les opérations une par une.

a) Pour une sortie, un club paie $40$ € de location de car, plus $6$ € d'entrée par participant. La facture totale s'élève à $154$ €. Combien y avait-il de participants ?
b) Un taxi facture $3$ € de prise en charge, puis $2$ € par kilomètre parcouru. La course a coûté $27$ €. Combien de kilomètres ont été parcourus ?
Corrigé
a) Soit $x$ le nombre de participants. La facture est la location plus $6$ € par participant : $6x + 40 = 154$. Quel nombre augmenté de $40$ donne $154$ ? $154 - 40 = 114$, donc $6x = 114$. Puis $x = 114 \div 6 = 19$. Vérification : $6 \times 19 + 40 = 114 + 40 = 154$. Il y avait $19$ participants.
b) Soit $x$ le nombre de kilomètres parcourus. Le prix est la prise en charge plus $2$ € par kilomètre : $2x + 3 = 27$. $27 - 3 = 24$, donc $2x = 24$, puis $x = 24 \div 2 = 12$. Vérification : $2 \times 12 + 3 = 24 + 3 = 27$. Le taxi a parcouru $12$ km.