Contrôle sur les équations et tu n'as pas suivi le chapitre ? Bonne nouvelle : en 5e, résoudre une équation, c'est retrouver un nombre caché avec une seule opération. Deux réflexes, un problème traité du début à la fin, et tu t'en sors proprement.
Un énoncé te raconte une histoire dans laquelle un nombre manque : le prix d'une place, le nombre de billes du départ, la longueur d'un côté. Ce nombre existe, il est précis, mais tu ne le connais pas encore. On lui donne une lettre, presque toujours $x$, et on dit que cette lettre a le statut d'inconnue.
Une égalité qui contient cette lettre s'appelle une équation. La solution, c'est le nombre qui, mis à la place de $x$, rend l'égalité vraie. Résoudre l'équation, c'est trouver ce nombre.
En 5e, tu ne rencontres que deux formes d'équations :
Écrire $4 \times x$ prend du temps, alors on abrège en $4x$ : le signe $\times$ est sous-entendu entre le nombre et la lettre. $4x$ et $4 \times x$, c'est exactement la même chose.
Le principe est toujours le même : on remonte par l'opération inverse. L'inverse de l'addition est la soustraction ; l'inverse de la multiplication est la division. On ne fait rien « passer de l'autre côté » : on lit l'équation comme une opération à trou, et on la complète.
Je lis l'équation à voix haute : quel nombre ajouté à $8$ donne $23$ ?
Pour compléter une addition à trou, on soustrait : $x = 23 - 8 = 15$.
Je vérifie : $15 + 8 = 23$. C'est bien vrai, donc la solution est $15$.
Je lis : quel nombre multiplié par $4$ donne $52$ ?
Pour compléter une multiplication à trou, on divise : $x = 52 \div 4 = 13$.
Je vérifie : $4 \times 13 = 52$. La solution est $13$.
Je nomme l'inconnue. Soit $x$ le prix d'une place, en euros.
Je traduis l'énoncé. Quatre places identiques, c'est quatre fois le même prix : $4 \times x = 52$, autrement dit $4x = 52$.
Je reconnais le type. C'est une multiplication à trou : quel nombre multiplié par $4$ donne $52$ ?
J'applique l'opération inverse. $x = 52 \div 4 = 13$.
Je vérifie dans l'énoncé de départ. $4 \times 13 = 52$ : quatre places à $13$ € font bien $52$ €.
Je conclus par une phrase. Une place de concert coûte $13$ €.
La vérification n'est jamais du temps perdu : elle te dit toute seule si tu t'es trompé de sens. Si tu avais divisé à l'envers, en écrivant $x = 4 \div 52$, le contrôle aurait donné un prix minuscule et quatre places à ce prix n'auraient jamais fait $52$ € : l'erreur te saute aux yeux en une ligne.
Les « opérations à trous » du primaire, tu connais : $2 + \ldots = 7$. L'équation, c'est la même chose, avec une lettre à la place des pointillés et un vocabulaire propre. On remet tout en ordre : les mots, la méthode en six temps, et comment reconnaître le type d'équation dans un énoncé.
Une lettre, deux statuts. Dans une formule comme $P = 3n$, qui donne le périmètre d'un triangle équilatéral de côté $n$, les lettres sont des variables : la formule reste vraie quelle que soit la valeur de $n$, et elle sert à calculer, pas à chercher. Dans $4x = 52$, la lettre $x$ est une inconnue : elle désigne un nombre précis, imposé par l'énoncé, que tu ne connais pas encore et que tout le travail consiste à débusquer. Même lettre, rôle complètement différent.
Équation. Une égalité qui contient une inconnue. Ce qui est écrit à gauche du signe $=$ est le membre de gauche, ce qui est à droite le membre de droite.
Solution. Le nombre qui, mis à la place de l'inconnue, rend l'égalité vraie. Pour $4x = 52$, la solution est $13$ car $4 \times 13 = 52$.
Résoudre. Trouver la solution — et pouvoir le prouver en la remettant dans l'équation de départ.
Mettre en équation. Passer d'un énoncé en français à une équation. C'est l'étape la plus payante, et la plus souvent ratée : tant que l'inconnue n'est pas nommée avec son unité, on ne peut rien écrire de juste.
Tout ce qui concerne l'écriture des expressions avec des lettres — réduire, développer, factoriser, remplacer une lettre par un nombre — est traité dans la fiche Calcul littéral : développer, factoriser, réduire. Ici, on part d'un problème concret et on va jusqu'à la valeur de l'inconnue.
Addition à trou : quel nombre ajouté à $3{,}5$ donne $9$ ?
Opération inverse, la soustraction : $x = 9 - 3{,}5 = 5{,}5$.
Vérification : $5{,}5 + 3{,}5 = 9$. La solution est $5{,}5$.
Je remplace $x$ par $6$ : $7 \times 6 = 42$. L'égalité est vraie, donc $6$ est solution.
Je remplace $x$ par $5$ : $7 \times 5 = 35$, et $35$ n'est pas égal à $42$. L'égalité est fausse, donc $5$ n'est pas solution.
Tester une valeur ne demande aucune méthode : on calcule, on compare. C'est exactement ce que tu feras à la fin de chaque résolution.
Tu sais déjà que pour compléter $2 + \ldots = 7$, on calcule $7 - 2$. L'équation $x + 2 = 7$ ne dit rien d'autre : elle écrit juste le trou avec une lettre. Toute la 5e tient dans ce passage du trou à la lettre.
On sort le stylo et on traite trois situations ensemble, ligne par ligne, comme au tableau. Ce ne sont pas des exercices à chercher seul : je rédige tout, tu suis le raisonnement et tu repères les six temps de la méthode à chaque fois.
Je nomme. Soit $x$ le nombre d'adhérents avant la rentrée.
Je traduis. Aux $x$ adhérents du départ se sont ajoutés $27$ adhérents, et le total est $64$ : $x + 27 = 64$.
Je reconnais. Addition à trou : quel nombre augmenté de $27$ donne $64$ ?
Opération inverse. $x = 64 - 27 = 37$.
Je vérifie. $37 + 27 = 64$. L'égalité de départ est bien vraie.
Je conclus. Le club comptait $37$ adhérents avant la rentrée.
Le mot « ajouter » de l'énoncé donne envie d'écrire $x = 64 + 27$. Relis : ce sont les $27$ nouveaux qui se sont ajoutés au nombre cherché, et le résultat de cette addition est $64$. L'addition est donc dans l'équation, pas dans le calcul de la réponse.
Je nomme. Soit $x$ le prix d'une entrée, en euros.
Je traduis. Huit entrées au même prix, c'est huit fois $x$ : $8x = 58$.
Je reconnais. Multiplication à trou : quel nombre multiplié par $8$ donne $58$ ?
Opération inverse. $x = 58 \div 8 = 7{,}25$.
Je vérifie. $8 \times 7{,}25 = 58$. C'est bien le total annoncé.
Je conclus. Une entrée coûte $7{,}25$ €.
La solution n'est pas un nombre entier, et c'est parfaitement normal : un prix peut avoir des centimes. Avant même de calculer, tu pouvais encadrer la réponse : $8 \times 7 = 56$ et $8 \times 8 = 64$, donc le prix est entre $7$ € et $8$ €. Ce réflexe repère les erreurs grossières en deux secondes.
Multiplication à trou : quel nombre multiplié par $3$ donne $7$ ?
Opération inverse, la division : $x = 7 \div 3$. Mais cette division ne « tombe pas juste » : $3 \times 2 = 6$ et $3 \times 3 = 9$, la réponse est donc entre $2$ et $3$, sans être un décimal.
On écrit alors la solution sous forme de quotient : $x = \dfrac{7}{3}$. Cette écriture est la réponse exacte, il n'y a rien à calculer de plus.
Je vérifie : $3 \times \dfrac{7}{3} = 7$, car prendre trois fois le tiers de $7$ redonne $7$.
Compléter $3 \times \ldots = 7$ par $\dfrac{7}{3}$, c'est exactement l'automatisme travaillé au chapitre des fractions. Une équation $ax = c$ n'est rien d'autre qu'une multiplication à trou : sa solution est le quotient de $c$ par $a$, qu'il tombe juste ou non.
Au contrôle, trouver le bon nombre ne suffit pas : il faut nommer l'inconnue, écrire l'équation, justifier l'opération inverse et conclure par une phrase. On voit les pièges classiques, trois problèmes résolus en entier, et ce qui rapporte vraiment les points.
Je nomme. Soit $x$ la longueur du rectangle, en centimètres.
Je prépare le terrain. Le périmètre compte deux longueurs et deux largeurs. La moitié du périmètre vaut donc une longueur plus une largeur : $34 \div 2 = 17$ cm.
Je traduis. Une longueur plus une largeur font $17$ : $x + 7 = 17$.
Opération inverse. Addition à trou, donc soustraction : $x = 17 - 7 = 10$.
Je vérifie dans l'énoncé de départ, pas seulement dans mon équation : un rectangle de $10$ cm sur $7$ cm a pour périmètre $2 \times (10 + 7) = 2 \times 17 = 34$ cm. C'est bien la valeur donnée.
Je conclus. La longueur du rectangle est $10$ cm.
Je nomme. Soit $x$ le prix d'une entrée, en euros.
Je traduis. $24$ entrées au même tarif coûtent $156$ € : $24x = 156$.
Opération inverse. Multiplication à trou, donc division : $x = 156 \div 24 = 6{,}5$.
Je vérifie. $24 \times 6{,}5 = 156$. Le compte est bon.
Je réponds à la vraie question. L'énoncé demande le prix de $7$ entrées : $7 \times 6{,}5 = 45{,}5$.
Je conclus. L'association paiera $45{,}50$ € pour $7$ entrées.
Beaucoup d'élèves s'arrêtent à $x = 6{,}5$ et perdent la moitié des points. L'équation sert à obtenir le prix d'une entrée ; la question, elle, portait sur sept. Souligne la question au brouillon avant de commencer.
Je nomme. Soit $x$ la température de ce matin, en degrés Celsius.
Je traduis. La température du matin, augmentée de $9$, donne $4$ : $x + 9 = 4$.
Opération inverse. $x = 4 - 9 = -5$.
Je vérifie. $-5 + 9 = 4$. L'égalité est vraie.
Je conclus. Il faisait $-5$ °C ce matin.
Une température, une altitude ou un solde de compte peuvent être négatifs : la solution $-5$ est ici parfaitement sensée. En revanche, si tu cherches un nombre d'élèves ou une longueur et que tu obtiens un négatif, c'est le signe que ton équation est fausse — relis ta traduction.
Tu maîtrises les deux formes de 5e ? Voici ce qui t'attend derrière la colline : des équations à deux étages, une image de balance qui deviendra ta méthode en 4e, et le savant du IXe siècle à qui l'on doit le mot « algèbre ». Rien de tout cela n'est exigé au contrôle de 5e.
En 4e, tu rencontreras des équations du type $ax + b = c$, où l'inconnue subit deux opérations : d'abord une multiplication, puis une addition. L'opération inverse ne suffit alors plus d'un seul coup, mais elle ouvre encore l'équation en deux temps, en pelant les couches une par une, de l'extérieur vers l'intérieur.
La dernière opération subie par le nombre $4x$ est « $+\,5$ ». Je lis donc : quel nombre augmenté de $5$ donne $29$ ? Réponse : $29 - 5 = 24$. Autrement dit $4x = 24$.
Me voilà revenu à une équation de 5e. Multiplication à trou : $x = 24 \div 4 = 6$.
Je vérifie dans l'équation de départ : $4 \times 6 + 5 = 24 + 5 = 29$. La solution est $6$.
Une équation à deux étages, c'est un programme de calcul qu'on remonte à contresens : « je multiplie par $4$, j'ajoute $5$, j'obtiens $29$ ». Pour revenir au nombre de départ, on refait le trajet en marche arrière, en remplaçant chaque opération par son inverse et en commençant par la dernière.
En 4e, on te montrera une autre façon de voir une équation : une balance en équilibre, sur laquelle on agira directement. C'est de là que sortira la méthode algébrique du collège et du lycée, celle qui devient indispensable quand l'inconnue apparaît plusieurs fois ou des deux côtés du signe $=$.
En 5e, la méthode attendue est arithmétique : on lit l'équation comme une opération à trou et on remonte par l'opération inverse. Ce n'est pas une version au rabais de la balance, c'est le contenu même du programme de l'année : c'est en complétant des opérations à trous et en cherchant des nombres quotients que tu construis le sens de l'égalité. La balance viendra s'appuyer là-dessus, pas le remplacer.
Au IXe siècle, à Bagdad, le savant Al-Khwarizmi écrit un traité de résolution de problèmes. Il n'utilise ni lettre ni signe $=$ : il parle, en toutes lettres, de « la chose » que l'on cherche. C'est ton $x$, avec mille ans d'avance.
Il distingue soigneusement deux gestes, exactement les deux formes que tu viens d'apprendre :
Le nom même d'algorithme vient de son nom, latinisé en « Algoritmi ». Quand tu appliques ta méthode en six temps, tu exécutes un algorithme au sens le plus littéral : une suite d'étapes précises qui mène à coup sûr au résultat.
Mettre un problème en équation, c'est modéliser : remplacer une histoire par un objet mathématique qu'on sait manipuler. Tu retrouveras ce geste partout — en proportionnalité, en géométrie pour retrouver une longueur, et jusqu'aux fonctions du lycée. La lettre n'est pas là pour compliquer : elle est là pour te permettre de calculer avec ce que tu ne connais pas encore.
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