Jamais vu ce cours, contrôle demain. On te met à niveau en trois exercices très guidés : le vocabulaire, les critères du primaire, puis les deux nouveaux. Tout est fléché, tu n'as qu'à suivre.
Ce qu'il faut avoir sous la main
Une seule égalité à comprendre : $42 = 6 \times 7$. Elle dit que $42$ est un multiple de $6$ et de $7$, que $6$ et $7$ sont des diviseurs de $42$, et que $42$ est divisible par $6$ et par $7$. Trois mots, un seul fait.
Les cinq critères, en une ligne chacun : par $2$ (chiffre des unités $0$, $2$, $4$, $6$, $8$), par $5$ ($0$ ou $5$), par $10$ ($0$) — ceux-là viennent du primaire ; par $3$ (somme des chiffres multiple de $3$) et par $9$ (somme des chiffres multiple de $9$) — ceux-là sont la nouveauté de la 5e.
À toi de jouer
1. On sait que $56 = 8 \times 7$. Complète avec « multiple », « diviseur » ou « divisible ».
a) $56$ est un $\underline{\hspace{4em}}$ de $8$.
b) $8$ est un $\underline{\hspace{4em}}$ de $56$.
c) $56$ est $\underline{\hspace{4em}}$ par $7$.
d) $7$ est un $\underline{\hspace{4em}}$ de $56$.
Corrigé
a) $56$ est un multiple de $8$ (c'est le plus grand des trois nombres de l'égalité — l'astuce vaut tant qu'aucun facteur ne vaut $1$).
b) $8$ est un diviseur de $56$.
c) $56$ est divisible par $7$.
d) $7$ est un diviseur de $56$.
2. Pour chacun des nombres $130$, $246$, $555$ et $908$, regarde uniquement le chiffre des unités et dis s'il est divisible par $2$, par $5$, par $10$.
Corrigé
$130$ : unités $0$ → divisible par $2$, par $5$ et par $10$ ($130 = 10 \times 13$).
$246$ : unités $6$ → divisible par $2$ seulement ($246 = 2 \times 123$).
$555$ : unités $5$ → divisible par $5$ seulement ; il est impair, donc pas par $2$, et il ne finit pas par $0$, donc pas par $10$.
$908$ : unités $8$ → divisible par $2$ seulement ($908 = 2 \times 454$).
À retenir : un nombre divisible par $10$ l'est toujours par $2$ et par $5$.
3. Calcule d'abord la somme des chiffres, puis conclus pour $3$ et pour $9$.
a) $261$ : somme $= 2+6+1 = \underline{\hspace{1.6em}}$ → divisible par $3$ ? par $9$ ?
b) $405$ : somme $= \underline{\hspace{1.6em}}$ → divisible par $3$ ? par $9$ ?
c) $634$ : somme $= \underline{\hspace{1.6em}}$ → divisible par $3$ ? par $9$ ?
Corrigé
a) $2+6+1 = 9$. Or $9$ est un multiple de $3$ et de $9$ : $261$ est divisible par les deux. Vérification : $261 = 3 \times 87 = 9 \times 29$.
b) $4+0+5 = 9$. Même conclusion : $405 = 3 \times 135 = 9 \times 45$.
c) $6+3+4 = 13$. Ce n'est un multiple ni de $3$ ni de $9$ : $634$ n'est divisible ni par $3$ ni par $9$.
Remarque : $261$ et $405$ sont impairs, et pourtant divisibles par $9$. Le dernier chiffre n'a rien à dire sur $3$ ni sur $9$.
Les définitions te reviennent, mais floues. On les remet au propre, on ressort la division euclidienne — celle-là tu la connais déjà, on l'utilise comme outil — et surtout tu reconstruis toi-même la justification du critère par $9$. Quatre exercices, corrigés détaillés.
Les définitions
Pour deux entiers $a$ et $b$ (avec $b$ non nul) : $b$ divise $a$ lorsqu'il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$. On dit alors que $a$ est un multiple de $b$ et que $b$ est un diviseur de $a$.
Division euclidienne (rappel). $a = b \times q + r$, avec $r$ plus petit que $b$ : $q$ est le quotient, $r$ le reste. Par exemple $17 = 3 \times 5 + 2$. Le lien avec ce chapitre tient en une phrase : $a$ est divisible par $b$ exactement quand $r = 0$.
Trouver tous les diviseurs. On teste $1$, $2$, $3$… dans l'ordre et on note les couples ; on s'arrête quand le nombre testé rattrape son partenaire.
À toi de jouer
1. Pose la division euclidienne, donne le quotient et le reste, puis conclus.
a) $251$ par $7$ : $251 = 7 \times \underline{\hspace{1.6em}} + \underline{\hspace{1.6em}}$. Le nombre $251$ est-il un multiple de $7$ ?
b) $246$ par $6$ : $246 = 6 \times \underline{\hspace{1.6em}} + \underline{\hspace{1.6em}}$. Le nombre $246$ est-il un multiple de $6$ ?
Corrigé
a) $251 = 7 \times 35 + 6$ : quotient $35$, reste $6$. Le reste n'est pas nul, donc $251$ n'est pas un multiple de $7$.
b) $246 = 6 \times 41 + 0$ : quotient $41$, reste $0$. Le reste est nul, donc $246$ est un multiple de $6$, et $6$ est un diviseur de $246$.
2. a) Écris les six premiers multiples non nuls de $7$.
b) Trouve tous les diviseurs de $72$ en écrivant les couples. Justifie l'endroit où tu t'arrêtes.
Corrigé
a) $7,\ 14,\ 21,\ 28,\ 35,\ 42$. On ajoute $7$ à chaque fois plutôt que de refaire une multiplication.
b) Couples : $1 \times 72$, $2 \times 36$, $3 \times 24$, $4 \times 18$, puis $5$ ne convient pas, puis $6 \times 12$, puis $7$ ne convient pas, puis $8 \times 9$. On s'arrête là : $9 \times 9 = 81$ dépasse déjà $72$, donc tout couple restant aurait été trouvé à l'envers.
Liste rangée : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9,\ 12,\ 18,\ 24,\ 36,\ 72$ — douze diviseurs.
3. Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse en une phrase.
a) $0$ est un multiple de $5$.
b) $1$ est un diviseur de tous les nombres entiers.
c) $45$ est divisible par $9$, donc il est divisible par $3$.
d) $24$ est divisible par $3$, donc il est divisible par $9$.
Corrigé
a) Vrai : $0 = 5 \times 0$, et $0$ est bien un entier. $0$ est même un multiple de n'importe quel entier.
b) Vrai : tout entier $a$ s'écrit $a = 1 \times a$.
c) Vrai : $45 = 9 \times 5$, et comme $9 = 3 \times 3$, on a $45 = 3 \times 15$. De façon générale, tout multiple de $9$ s'écrit $9k = 3 \times (3k)$ : c'est un multiple de $3$.
d) Faux : la somme des chiffres de $24$ vaut $6$, qui est un multiple de $3$ mais pas de $9$. En effet $24 = 3 \times 8$, alors que $24$ n'est pas un multiple de $9$. La règle ne marche que dans le sens de la question c).
4. Reconstruis la justification du critère par $9$ sur le nombre $594$. Complète :
$594 = 5 \times 100 + 9 \times 10 + 4$
$594 = 5 \times (99 + 1) + 9 \times (\underline{\hspace{1.6em}} + 1) + 4$
$594 = (5 \times 99 + 9 \times \underline{\hspace{1.6em}}) + (5 + 9 + 4)$
a) Pourquoi le premier paquet est-il un multiple de $9$ ?
b) Que vaut le second paquet ? Est-ce un multiple de $9$ ?
c) Conclus : $594$ est-il divisible par $9$ ?
Corrigé
$594 = 5 \times (99+1) + 9 \times (9+1) + 4 = (5 \times 99 + 9 \times 9) + (5+9+4)$.
a) $99 = 9 \times 11$ et $9 = 9 \times 1$ sont des multiples de $9$ ; une somme de multiples de $9$ est encore un multiple de $9$, car $9m + 9n = 9(m+n)$ — et de même pour une différence, $9m - 9n = 9(m-n)$. Ici $5 \times 99 + 9 \times 9 = 495 + 81 = 576 = 9 \times 64$.
b) Le second paquet est exactement la somme des chiffres : $5+9+4 = 18$, et $18 = 9 \times 2$ est un multiple de $9$.
c) $594$ est la somme de deux multiples de $9$, donc c'est un multiple de $9$ : $594 = 9 \times 66$.
C'est la moitié de la démonstration : elle montre que si la somme des chiffres est un multiple de $9$, alors le nombre l'est. L'autre moitié s'obtient en retranchant : $18 = 594 - 576$ est une différence de deux multiples de $9$, donc un multiple de $9$. Les deux sens réunis donnent le critère, et le raisonnement ne dépend pas du nombre choisi.
On répète le geste jusqu'à ce qu'il devienne automatique : tester, lister, chercher un multiple commun. Mêmes étapes à chaque fois, seuls les nombres changent. Quatre exercices d'affilée.
À toi de jouer
1. Recopie le tableau et coche les cases qui conviennent.
| par $2$ | par $3$ | par $5$ | par $9$ | par $10$ |
| $1\,236$ | ? | ? | ? | ? | ? |
| $4\,005$ | ? | ? | ? | ? | ? |
| $9\,072$ | ? | ? | ? | ? | ? |
Corrigé
$1\,236$ : unités $6$ → divisible par $2$, pas par $5$ ni par $10$. Somme $1+2+3+6 = 12$, multiple de $3$ mais pas de $9$ → divisible par $3$ seulement. Bilan : $2$ et $3$. ($1\,236 = 2 \times 618 = 3 \times 412$.)
$4\,005$ : unités $5$ → pas divisible par $2$ ni par $10$, divisible par $5$. Somme $4+0+0+5 = 9$, multiple de $3$ et de $9$. Bilan : $3$, $5$ et $9$. ($4\,005 = 5 \times 801 = 9 \times 445$.)
$9\,072$ : unités $2$ → divisible par $2$, pas par $5$ ni par $10$. Somme $9+0+7+2 = 18$, multiple de $3$ et de $9$. Bilan : $2$, $3$ et $9$. ($9\,072 = 2 \times 4\,536 = 9 \times 1\,008$.)
2. Trouve tous les diviseurs de $48$ par la méthode des couples. Combien y en a-t-il ? Où t'arrêtes-tu, et pourquoi ?
Corrigé
Couples : $1 \times 48$, $2 \times 24$, $3 \times 16$ (somme des chiffres $= 12$, multiple de $3$), $4 \times 12$, puis $5$ ne convient pas (le chiffre des unités est $8$), $6 \times 8$ convient, puis $7$ ne convient pas.
Arrêt : $7 \times 7 = 49$ dépasse $48$.
Liste rangée : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 16,\ 24,\ 48$ — dix diviseurs.
3. a) Écris les multiples de $9$ puis ceux de $15$ jusqu'à en trouver un commun. Quel est le plus petit multiple commun de $9$ et $15$ ?
b) Sers-t'en pour calculer $\dfrac{2}{9} + \dfrac{4}{15}$.
Corrigé
a) Multiples de $9$ : $9,\ 18,\ 27,\ 36,\ \mathbf{45}$… Multiples de $15$ : $15,\ 30,\ \mathbf{45}$… Le plus petit nombre présent dans les deux listes est $\mathbf{45}$ (avec $45 = 9 \times 5$ et $45 = 15 \times 3$).
b) $\dfrac{2}{9} = \dfrac{2 \times 5}{9 \times 5} = \dfrac{10}{45}$ et $\dfrac{4}{15} = \dfrac{4 \times 3}{15 \times 3} = \dfrac{12}{45}$.
Donc $\dfrac{2}{9} + \dfrac{4}{15} = \dfrac{10}{45} + \dfrac{12}{45} = \dfrac{22}{45}$.
4. Un nombre divisible à la fois par $2$ et par $3$ est divisible par $6$. Utilise cette règle pour dire si $258$, $3\,726$ et $2\,517$ sont divisibles par $6$.
Corrigé
$258$ : pair ($8$ aux unités), somme $2+5+8 = 15$ donc divisible par $3$ → divisible par $6$, et $258 = 6 \times 43$.
$3\,726$ : pair ($6$ aux unités), somme $3+7+2+6 = 18$ donc divisible par $3$ → divisible par $6$, et $3\,726 = 6 \times 621$.
$2\,517$ : le chiffre des unités est $7$, le nombre est impair, donc il n'est pas divisible par $2$ → il n'est pas divisible par $6$ (même s'il est divisible par $3$, puisque $2+5+1+7 = 15$).
Format contrôle : plus de trous à remplir, tu rédiges seul, du raisonnement à la phrase de conclusion. Quatre exercices comme en évaluation, avec les corrigés rédigés tels qu'on les attend de toi.
À toi de jouer
1. Un chiffre a été effacé : $6\ 3\ \square$.
a) Quels chiffres peut-on écrire à la place du carré pour que le nombre soit divisible par $9$ ?
b) Même question pour qu'il soit divisible par $3$.
c) Que remarques-tu en comparant les deux réponses ?
Corrigé
Appelons $x$ le chiffre effacé. La somme des chiffres vaut $6+3+x$, c'est-à-dire $9+x$, avec $x$ compris entre $0$ et $9$ : la somme est donc comprise entre $9$ et $18$.
a) Les multiples de $9$ dans cet intervalle sont $9$ et $18$, d'où $x = 0$ ou $x = 9$. Vérification : $630 = 9 \times 70$ et $639 = 9 \times 71$.
b) Les multiples de $3$ dans cet intervalle sont $9$, $12$, $15$ et $18$, d'où $x = 0$, $3$, $6$ ou $9$. Vérification : $630 = 3 \times 210$, $633 = 3 \times 211$, $636 = 3 \times 212$, $639 = 3 \times 213$.
c) Les solutions de a) font partie de celles de b), et c'est normal : tout nombre divisible par $9$ est divisible par $3$.
2. Problème. Un pâtissier veut ranger $156$ chocolats dans des boîtes identiques, sans qu'il en reste. Chaque boîte doit contenir entre $10$ et $30$ chocolats.
a) Explique pourquoi le nombre de chocolats par boîte doit être un diviseur de $156$.
b) Trouve tous les diviseurs de $156$.
c) Donne toutes les répartitions possibles, en précisant le nombre de boîtes.
Corrigé
a) Si chaque boîte contient $n$ chocolats et qu'il y a $b$ boîtes pleines sans reste, alors $156 = n \times b$ : $n$ est bien un diviseur de $156$.
b) Je teste dans l'ordre : $1 \times 156$, $2 \times 78$, $3 \times 52$ (somme des chiffres $= 12$), $4 \times 39$ ; $5$ ne convient pas ; $6 \times 26$ ; $7$, $8$, $9$, $10$ et $11$ ne conviennent pas ; $12 \times 13$. Arrêt : $13 \times 13 = 169$ dépasse $156$.
Liste : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12,\ 13,\ 26,\ 39,\ 52,\ 78,\ 156$.
c) Diviseurs compris entre $10$ et $30$ : $12$, $13$ et $26$. Trois répartitions sont possibles : $13$ boîtes de $12$ chocolats, $12$ boîtes de $13$ chocolats, ou $6$ boîtes de $26$ chocolats.
3. Vrai ou faux ? Chaque réponse doit être justifiée : par une démonstration si c'est vrai, par un contre-exemple si c'est faux.
a) Un nombre divisible par $2$ et par $4$ est toujours divisible par $8$.
b) Tout multiple de $9$ est un multiple de $3$.
c) Si la somme des chiffres d'un nombre vaut $27$, alors ce nombre est divisible par $9$.
d) Le nombre $5\,346$ est divisible par $9$.
Corrigé
a) Faux. Contre-exemple : $12$ est divisible par $2$ ($12 = 2 \times 6$) et par $4$ ($12 = 4 \times 3$), mais $12$ n'est pas divisible par $8$. Un seul contre-exemple suffit.
b) Vrai. Un multiple de $9$ s'écrit $9k$ ; or $9k = 3 \times (3k)$, et $3k$ est un entier : c'est donc un multiple de $3$.
c) Vrai. $27 = 9 \times 3$ est un multiple de $9$, et le critère dit que le nombre et la somme de ses chiffres sont divisibles par $9$ en même temps.
d) Vrai. $5+3+4+6 = 18$, et $18 = 9 \times 2$. Donc $5\,346$ est divisible par $9$, et l'on vérifie $5\,346 = 9 \times 594$. Il l'est aussi par $3$ : $5\,346 = 3 \times 1\,782$.
4. Problème. Un photographe veut afficher $90$ photos en lignes de même longueur, sans ligne incomplète, avec au moins $6$ et au plus $20$ photos par ligne.
a) Trouve tous les diviseurs de $90$.
b) Combien de dispositions différentes sont possibles ? Précise pour chacune le nombre de lignes.
Corrigé
a) Je teste dans l'ordre : $1 \times 90$, $2 \times 45$, $3 \times 30$ (somme $= 9$) ; $4$ ne convient pas ; $5 \times 18$ (unités $0$), $6 \times 15$ ; $7$ et $8$ ne conviennent pas ; $9 \times 10$. Arrêt : $10 \times 10 = 100$ dépasse $90$.
Liste : $1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 9,\ 10,\ 15,\ 18,\ 30,\ 45,\ 90$.
b) Diviseurs compris entre $6$ et $20$ : $6$, $9$, $10$, $15$ et $18$. Cinq dispositions : $15$ lignes de $6$ photos, $10$ lignes de $9$, $9$ lignes de $10$, $6$ lignes de $15$, ou $5$ lignes de $18$.
Tu as tout compris ? On pousse plus loin, pour le plaisir : un critère que le programme ne demande pas, une petite démonstration avec une lettre, et une curiosité mathématique vieille de vingt-trois siècles. Le critère par $11$ et la curiosité finale ne tomberont pas au contrôle de 5e ; la petite démonstration avec une lettre, elle, est bien du programme de l'année — prends-la comme une avance.
À toi de jouer
1. Le critère par $11$. Additionne les chiffres en alternant les signes, de gauche à droite ($+$, $-$, $+$, $-$…). Si le résultat, au signe près, est un multiple de $11$ (et $0$ en est un), le nombre est divisible par $11$.
Teste $3\,509$, $4\,273$ et $8\,217$, puis vérifie tes conclusions en posant la division quand la réponse est oui.
Corrigé
$3\,509$ : $3 - 5 + 0 - 9 = -11$ ; au signe près c'est $11$, un multiple de $11$ → divisible. Vérification : $3\,509 = 11 \times 319$.
$4\,273$ : $4 - 2 + 7 - 3 = 6$ ; même au signe près, ce n'est pas un multiple de $11$ → non divisible.
$8\,217$ : $8 - 2 + 1 - 7 = 0$, et $0$ est un multiple de $11$ → divisible. Vérification : $8\,217 = 11 \times 747$.
L'idée de la démonstration est la même que pour $9$, avec $99 = 11 \times 9$ et $1\,001 = 11 \times 91$ : ce sont eux qui font alterner les signes.
2. Une démonstration avec une lettre. On additionne trois nombres entiers qui se suivent, par exemple $7 + 8 + 9$, ou $20 + 21 + 22$.
a) Calcule ces deux sommes. Que remarques-tu ?
b) On appelle $n$ le premier des trois nombres. Écris les deux suivants, puis la somme des trois.
c) Démontre que cette somme est toujours un multiple de $3$.
Corrigé
a) $7+8+9 = 24 = 3 \times 8$ et $20+21+22 = 63 = 3 \times 21$. Les deux sommes sont des multiples de $3$.
b) Les trois nombres sont $n$, $n+1$ et $n+2$ ; leur somme vaut $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3$.
c) $3n + 3 = 3 \times (n+1)$. Comme $n+1$ est un entier, la somme est le produit de $3$ par un entier : c'est toujours un multiple de $3$, quel que soit $n$. On remarque au passage que la somme vaut trois fois le nombre du milieu.
3. Curiosité — hors programme de 5e. Certains nombres ont une liste de diviseurs très pauvre : exactement deux, $1$ et eux-mêmes.
a) Écris la liste complète des diviseurs de $2$, $9$, $11$, $15$, $21$ et $23$.
b) Lesquelles de ces listes ne comptent que deux éléments, $1$ et le nombre lui-même ?
c) Les mathématiciens donnent un nom à un tel nombre : c'est un nombre premier. Tu n'as rien à en retenir cette année.
Corrigé
$2$ : diviseurs $1$ et $2$ → exactement deux.
$9$ : diviseurs $1$, $3$, $9$ → trois, donc non.
$11$ : diviseurs $1$ et $11$ → exactement deux.
$15$ : diviseurs $1$, $3$, $5$, $15$ → quatre, donc non.
$21$ : diviseurs $1$, $3$, $7$, $21$ → quatre, donc non.
$23$ : diviseurs $1$ et $23$ → exactement deux.
Réponse : $2$, $11$ et $23$. Vers $-240$, Ératosthène avait imaginé une manière de les repérer en rayant les multiples de $2$, puis de $3$, puis de $5$… Cette curiosité n'est ni une méthode à connaître ni un attendu de 5e : aucune question de contrôle ne portera dessus cette année.