Contrôle demain sur les multiples et les diviseurs, et tu n'as retenu qu'un vague « on regarde le dernier chiffre » ? Respire. Il y a un seul fait à comprendre, deux critères vraiment nouveaux (plus trois à réactiver), et un exemple traité en entier. Vingt minutes suffisent.
Tout part d'une multiplication qui tombe juste. $42 = 6 \times 7$. À partir de cette seule égalité, tu as le droit d'écrire les trois phrases suivantes, qui disent exactement la même chose :
Autrement dit : multiple regarde vers le haut, diviseur regarde vers le bas, et divisible résume le tout. Si au contrôle tu sais transformer une phrase en l'autre, la moitié des questions est déjà gagnée.
Un critère de divisibilité, c'est un raccourci : il répond « oui » ou « non » sans poser la division. Trois te viennent du CM1-CM2, tu dois seulement les réactiver ; deux sont la nouveauté de la 5e, ceux par $3$ et par $9$.
| Divisible par | Le critère | Oui | Non |
| 2 | le chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ | $174$ | $253$ |
| 5 | le chiffre des unités est $0$ ou $5$ | $340$ | $342$ |
| 10 | le chiffre des unités est $0$ | $340$ | $345$ |
| 3 | la somme des chiffres est un multiple de $3$ | $471$ ($4+7+1=12$) | $634$ ($6+3+4=13$) |
| 9 | la somme des chiffres est un multiple de $9$ | $738$ ($7+3+8=18$) | $471$ ($4+7+1=12$) |
Les critères par $2$, $5$ et $10$ sont des automatismes : tu les as vus à l'école primaire, on attend juste qu'ils sortent tout seuls. Ceux par $3$ et par $9$, eux, s'installent en 5e — c'est là que ton professeur va appuyer, et c'est là que tu peux gagner ou perdre des points.
Vois bien la différence de nature : pour $2$, $5$ et $10$ on regarde un seul chiffre, celui des unités. Pour $3$ et $9$ on regarde tous les chiffres à la fois, en les additionnant. C'est pour ça que $471$ est divisible par $3$ alors que son dernier chiffre est impair : le dernier chiffre n'a rien à dire sur $3$.
Chiffre des unités : $8$. Il est dans la liste $0$, $2$, $4$, $6$, $8$, donc $4\,158$ est divisible par $2$ ($4\,158 = 2 \times 2\,079$).
Ce même $8$ n'est ni $0$ ni $5$ : $4\,158$ n'est divisible ni par $5$ ni par $10$.
Somme des chiffres : $4+1+5+8 = 18$. Or $18 = 3 \times 6$, donc $4\,158$ est divisible par $3$ ($4\,158 = 3 \times 1\,386$).
Cette même somme $18$ vaut $9 \times 2$, donc $4\,158$ est aussi divisible par $9$ ($4\,158 = 9 \times 462$).
Conclusion rédigée : $4\,158$ est divisible par $2$, par $3$ et par $9$, mais pas par $5$ ni par $10$.
« La somme fait $18$, et $18$ n'est pas $3$, donc ce n'est pas divisible par $3$. » Non : on ne demande pas que la somme soit $3$, on demande qu'elle soit un multiple de $3$. Et si la somme reste trop grosse pour que tu la reconnaisses, recommence sur elle : $1+8 = 9$.
Les tables, les divisions qui « tombent juste », les critères du primaire : tout ça te dit quelque chose. On remet les définitions au propre, on rappelle la division euclidienne, et surtout on démontre pourquoi les critères par $3$ et par $9$ fonctionnent — parce qu'une règle comprise ne s'oublie pas.
Définition. Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers, avec $b$ non nul. On dit que $b$ divise $a$ lorsqu'il existe un nombre entier $k$ tel que $a = b \times k$. On dit alors aussi que $a$ est un multiple de $b$, que $b$ est un diviseur de $a$, et que $a$ est divisible par $b$.
Trois remarques que les contrôles adorent : la liste des multiples d'un nombre est infinie (on ne s'arrête jamais), alors que sa liste de diviseurs est finie ; $0$ est un multiple de n'importe quel entier, puisque $0 = b \times 0$ ; et on ne divise jamais par $0$.
Si tu hésites entre les deux mots, écris l'égalité $a = b \times k$ et regarde qui est où. Dans $56 = 8 \times 7$ : $56$ est le gros, c'est lui le multiple ; $8$ et $7$ sont les petits, ce sont les diviseurs. (Attention, l'astuce suppose que les deux facteurs sont différents de $1$ : dans $8 = 8 \times 1$, le plus grand est aussi un diviseur de lui-même.)
Diviser $a$ par $b$ « à l'ancienne », c'est écrire $a = b \times q + r$ où $q$ est le quotient et $r$ le reste, le reste étant toujours plus petit que $b$. Exemple canonique : $17 = 3 \times 5 + 2$, quotient $5$, reste $2$.
$a$ est divisible par $b$ exactement quand le reste vaut $0$. C'est la méthode qui marche toujours, pour n'importe quel diviseur, même quand aucun critère n'existe. Exemple : $197 = 8 \times 24 + 5$, le reste vaut $5$, donc $197$ n'est pas un multiple de $8$.
Cette division, tu l'as construite les années précédentes : ici on l'utilise comme outil, on ne la réapprend pas. Les critères, eux, servent à éviter de la poser quand on peut répondre plus vite.
C'est le vrai contenu de l'année, et ça tient en trois lignes. Départ : une remarque sur $9$, $99$, $999$.
Une somme de multiples de $9$ est encore un multiple de $9$ : $9m + 9n = 9 \times (m+n)$. Même chose pour une différence : $9m - 9n = 9 \times (m-n)$. Et même chose pour $3$. On va s'en servir tout de suite.
Prenons $738$ et décomposons-le selon ses chiffres, puis remplaçons $100$ par $99+1$ et $10$ par $9+1$ :
$738 = 7 \times 100 + 3 \times 10 + 8$.
$738 = 7 \times (99+1) + 3 \times (9+1) + 8 = 7 \times 99 + 7 + 3 \times 9 + 3 + 8$.
Je regroupe d'un côté ce qui contient $99$ et $9$, de l'autre les chiffres : $738 = \underbrace{(7 \times 99 + 3 \times 9)}_{= \,720} + \underbrace{(7+3+8)}_{= \,18}$.
Le premier paquet est un multiple de $9$ (c'est une somme de multiples de $9$ : $720 = 9 \times 80$). Le second paquet est exactement la somme des chiffres, $18$.
Dans un sens : $18$ est un multiple de $9$, donc $738 = 720 + 18$ est une somme de deux multiples de $9$, donc un multiple de $9$. On vérifie : $738 = 9 \times 82$.
Dans l'autre sens : si $738$ est un multiple de $9$, alors $18 = 738 - 720$ est une différence de deux multiples de $9$, donc un multiple de $9$ lui aussi.
Les deux sens tiennent : $738$ est un multiple de $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres en est un. C'est exactement le critère.
Rien dans ce calcul n'était propre à $738$ : pour n'importe quel nombre de trois chiffres $c$, $d$, $u$, on a $c \times 100 + d \times 10 + u = (c \times 99 + d \times 9) + (c+d+u)$. Le paquet de gauche est toujours un multiple de $9$, donc le nombre et la somme de ses chiffres sont divisibles par $9$ en même temps. Avec $1\,000 = 999+1$ et $10\,000 = 9\,999+1$ (et $9\,999 = 9 \times 1\,111$), la même écriture marche pour quatre chiffres, cinq chiffres, autant que tu veux.
$9$, $99$, $999$ sont aussi des multiples de $3$. Le paquet de gauche est donc également un multiple de $3$, et la même conclusion tombe : un nombre et la somme de ses chiffres sont divisibles par $3$ en même temps. Une seule démonstration, deux critères.
On sort le stylo et on rédige à deux mains. Trois exemples, traités de la première à la dernière ligne, comme au tableau : un test de divisibilité complet, une chasse aux diviseurs, et le service que tout ça rend aux fractions. Rien à faire seul ici — on les fait ensemble.
Je commence par le chiffre des unités : $5$. Il n'est pas dans $\{0;2;4;6;8\}$, donc $2\,745$ n'est pas divisible par $2$.
Ce chiffre $5$ est en revanche dans $\{0;5\}$ : $2\,745$ est divisible par $5$, et $2\,745 = 5 \times 549$.
Pour $10$, il faudrait un $0$ aux unités. J'ai un $5$ : $2\,745$ n'est pas divisible par $10$.
Je passe à la somme des chiffres : $2+7+4+5 = 18$.
$18$ est un multiple de $3$, donc $2\,745$ est divisible par $3$ : $2\,745 = 3 \times 915$.
$18$ est aussi un multiple de $9$ ($18 = 9 \times 2$), donc $2\,745$ est divisible par $9$ : $2\,745 = 9 \times 305$.
Phrase de conclusion : $2\,745$ est divisible par $3$, par $5$ et par $9$ ; il ne l'est ni par $2$ ni par $10$.
Un nombre impair peut très bien être divisible par $9$. Les critères par $2$, $5$, $10$ d'un côté, et ceux par $3$ et $9$ de l'autre, ne parlent pas de la même chose : les uns lisent le dernier chiffre, les autres additionnent tout. Ne laisse jamais l'un décider à la place de l'autre.
J'applique l'algorithme des couples, en testant $1$, $2$, $3$… dans l'ordre.
$1 \times 60$ : couple trouvé. $2 \times 30$ : $60$ est pair, couple trouvé. $3 \times 20$ : la somme des chiffres est $6$, donc $60$ est divisible par $3$, couple trouvé.
$4 \times 15$ : ça tombe juste, couple trouvé. $5 \times 12$ : le chiffre des unités est $0$, couple trouvé. $6 \times 10$ : couple trouvé.
Je continue avec $7$ : il ne divise pas $60$ ($60 = 7 \times 8 + 4$).
Je m'arrête là : $8 \times 8 = 64$ dépasse déjà $60$, donc tout diviseur restant aurait forcément un partenaire plus petit que $8$ — et je les ai tous vus.
Liste rangée : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 10,\ 12,\ 15,\ 20,\ 30,\ 60$. Le nombre $60$ a douze diviseurs.
Sans les couples, on écrit $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$… et on oublie systématiquement les gros : $15$, $20$, $30$. En notant le partenaire à chaque fois, l'oubli devient impossible.
Les dénominateurs sont différents : je dois d'abord leur trouver un multiple commun.
Multiples de $12$ : $12,\ 24,\ \mathbf{36},\ 48\ldots$ Multiples de $18$ : $18,\ \mathbf{36},\ 54\ldots$
Le plus petit nombre présent dans les deux listes est $36$ : c'est mon dénominateur commun ($36 = 12 \times 3$ et $36 = 18 \times 2$).
Je réécris chaque fraction : $\dfrac{5}{12} = \dfrac{5 \times 3}{12 \times 3} = \dfrac{15}{36}$ et $\dfrac{7}{18} = \dfrac{7 \times 2}{18 \times 2} = \dfrac{14}{36}$.
Même dénominateur : j'additionne les numérateurs et je garde le $36$. $\dfrac{15}{36} + \dfrac{14}{36} = \dfrac{29}{36}$.
Voilà le vrai emploi des multiples en 5e : deux listes, un nombre commun, et l'addition de fractions devient possible. Tu retrouveras exactement ce geste dans le chapitre sur les fractions — c'est le même, appris ici avec son vocabulaire.
Au contrôle, trouver la bonne réponse ne suffit pas : il faut la justifier comme le correcteur l'attend, et ne pas tomber dans les pièges tendus exprès. On passe en revue les erreurs classiques, deux problèmes résolus en entier, et la liste de ce qui rapporte les points.
Un nombre divisible à la fois par $2$ et par $3$ est divisible par $6$. Pourquoi ? S'il est multiple de $3$, il s'écrit $3k$. Or $3$ est impair, et un produit de deux nombres impairs est impair : si $k$ était impair, $3k$ serait impair — alors que le nombre est pair. Donc $k$ est pair, $k = 2m$, et le nombre vaut $3 \times 2m = 6m$. Exemple : $126$ est pair, sa somme de chiffres vaut $9$ donc il est divisible par $3$ — et en effet $126 = 6 \times 21$.
« Sans laisser personne de côté » signifie que la taille d'une équipe doit être un diviseur de $132$. Je cherche donc tous les diviseurs de $132$, par couples.
$1 \times 132$ ; $2 \times 66$ (le nombre est pair) ; $3 \times 44$ (somme des chiffres $= 6$) ; $4 \times 33$ ; puis $5$ ne convient pas (le chiffre des unités est $2$), $6 \times 22$ convient.
Je poursuis : $7$, $8$, $9$ et $10$ ne divisent pas $132$. $11 \times 12$ convient. Ensuite $12 \times 12 = 144$ dépasse $132$ : je m'arrête.
Liste complète : $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 11,\ 12,\ 22,\ 33,\ 44,\ 66,\ 132$.
Je ne garde que ceux compris entre $5$ et $15$ : $6$, $11$ et $12$.
Réponse. Trois répartitions sont possibles : $22$ équipes de $6$ élèves, $12$ équipes de $11$ élèves, ou $11$ équipes de $12$ élèves.
J'appelle $x$ le chiffre effacé. La somme des chiffres vaut $2+7+x+4$, c'est-à-dire $13+x$.
Comme $x$ est un chiffre, il va de $0$ à $9$ : la somme $13+x$ est donc comprise entre $13$ et $22$.
Pour $9$ : le seul multiple de $9$ entre $13$ et $22$ est $18$. Il faut $13+x = 18$, donc $x = 5$. Le nombre est $2\,754$, et l'on vérifie $2\,754 = 9 \times 306$.
Pour $3$ : les multiples de $3$ entre $13$ et $22$ sont $15$, $18$ et $21$. Cela donne $x = 2$, $x = 5$ ou $x = 8$.
Vérification : $2\,724 = 3 \times 908$, $2\,754 = 3 \times 918$, $2\,784 = 3 \times 928$. Les trois conviennent.
Réponse. Un seul chiffre convient pour $9$ (c'est $5$) ; trois conviennent pour $3$ ($2$, $5$ et $8$). On retrouve au passage que le cas « divisible par $9$ » est contenu dans le cas « divisible par $3$ ».
Tu maîtrises ? Regardons plus loin : un sixième critère que personne ne t'a demandé, une curiosité vieille de vingt-trois siècles, et ce que les diviseurs deviennent en 4e et en 3e. Rien de tout ça n'est exigible au contrôle de 5e — c'est du plaisir, et ça éclaire ce que tu viens d'apprendre.
Additionne les chiffres en alternant les signes, de gauche à droite : $+$, $-$, $+$, $-$… Si le résultat, au signe près, est un multiple de $11$ (et $0$ en est un), le nombre est divisible par $11$.
$2\,728$ : $2 - 7 + 2 - 8 = -11$. Au signe près, c'est $11$, un multiple de $11$ : donc $2\,728$ l'est aussi — et en effet $2\,728 = 11 \times 248$.
$4\,531$ : $4 - 5 + 3 - 1 = 1$. Même au signe près, ce n'est pas un multiple de $11$, donc $4\,531$ n'est pas divisible par $11$.
La démonstration ressemble à celle des critères par $3$ et $9$, avec $11$ à la place de $9$ : cette fois on écrit $10 = 11 - 1$, $100 = 99 + 1$, $1\,000 = 1\,001 - 1$, et les signes alternent d'eux-mêmes. Regarde bien : $99 = 11 \times 9$ et $1\,001 = 11 \times 91$.
En listant les diviseurs de plusieurs nombres, tu finiras par tomber sur des cas très pauvres : $11$ n'a que $1$ et $11$ ; $23$ n'a que $1$ et $23$. Un nombre entier plus grand que $1$ qui n'a exactement que ces deux diviseurs porte un nom : on l'appelle un nombre premier. Ératosthène, bibliothécaire à Alexandrie vers $-240$, avait imaginé une manière de les repérer en rayant les multiples de $2$, puis de $3$, puis de $5$… : on l'appelle le crible d'Ératosthène. Euclide, lui, avait déjà démontré qu'il y en a une infinité.
Ce n'est ni une méthode à connaître ni un attendu du programme de 5e : aucune question de contrôle ne te le demandera cette année. C'est de la culture, et une porte ouverte sur ce que les mathématiciens font de ces objets encore aujourd'hui — la sécurité des paiements sur internet repose dessus.
Ce que tu apprends ici ne sert pas qu'à répondre « oui » ou « non ». C'est l'outil qui va te permettre, les années suivantes, d'alléger des écritures.
Multiples et diviseurs sont la première grammaire des nombres entiers : au lieu de regarder combien vaut un nombre, on regarde comment il est fabriqué. C'est un changement de point de vue, et il te suivra bien au-delà du collège.
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