Nombres relatifs : repérage et comparaison

Les prérequis + l'idée en deux minutes

Ce qu'il faut déjà savoir : compter, reconnaître les nombres, et te repérer sur une droite graduée (comme les traits d'une règle).

Un nombre relatif, c'est simplement un nombre avec un signe devant : positif (le signe $+$) ou négatif (le signe $-$).

Quand on veut mettre $0$ de côté, on ajoute un mot : strictement. Un nombre strictement positif est un nombre plus grand que $0$ (comme $+5$) ; un nombre strictement négatif est un nombre plus petit que $0$ (comme $-5$).

Le nombre $0$, lui, est un cas unique : il est à la fois positif et négatif, mais il n'est ni strictement positif, ni strictement négatif.

On s'en sert tout le temps dans la vraie vie : $-3$ °C, c'est 3 degrés sous zéro ; $+200$ m, c'est 200 m au-dessus du niveau de la mer ; $-50$ €, c'est une dette de 50 euros.

Sur une droite graduée, on range les relatifs de gauche à droite : les négatifs à gauche du $0$, les positifs à droite.

La règle qui sauve au contrôle

Pour comparer deux nombres relatifs, garde en tête une seule idée : sur la droite graduée, plus on va vers la droite, plus le nombre est grand.

Conséquence 1. Un nombre strictement positif est toujours plus grand que $0$, qui est lui-même plus grand qu'un nombre strictement négatif : $+5 \gt 0 \gt -3$.

Conséquence 2. Entre deux négatifs, le plus grand est celui qui est le plus proche de $0$ : $-2 \gt -7$.

Le mot officiel. Cette distance à zéro s'appelle la valeur absolue et s'écrit entre deux barres verticales : $|-2| = 2$ et $|-7| = 7$. Entre deux négatifs, le plus grand est donc celui dont la valeur absolue est la plus petite : ici $2 \lt 7$, donc $-2 \gt -7$.

Retiens surtout la conséquence 2 : c'est la seule vraie surprise du chapitre.

Un exemple entièrement traité

Énoncé : range $-3$ et $-8$ du plus petit au plus grand.

Étape 1. Les deux nombres sont négatifs (signe $-$) : on est dans le cas à surveiller.

Étape 2. Je regarde lequel est le plus proche de $0$. Comme $3$ est plus petit que $8$, le nombre $-3$ est plus proche de $0$ que $-8$.

Étape 3. Le plus proche de $0$ est le plus grand, donc $-3 \gt -8$.

Conclusion : dans l'ordre croissant, $-8 \lt -3$.

Le vocabulaire, propre

Un nombre relatif porte deux informations : un signe ($+$ ou $-$) et un nombre sans signe qu'on appelle sa distance à zéro.

Un relatif est positif quand il est à droite de $0$ sur la droite graduée, ou en $0$ ; il est négatif quand il est à gauche de $0$, ou en $0$. On peut écrire un positif sans son signe : $+5$ et $5$ désignent le même nombre.

Et $0$ ? Il est à la fois positif et négatif, et c'est le seul nombre dans ce cas : il est le point de séparation lui-même. Pour l'exclure, on ajoute le mot strictement :

• un nombre est strictement positif quand il est plus grand que $0$ : $+5$, $+0{,}3$ ;
• un nombre est strictement négatif quand il est plus petit que $0$ : $-5$, $-0{,}3$ ;
• $0$ est positif et négatif, mais ni strictement positif ni strictement négatif.

Ce n'est pas du vocabulaire pour rien : la consigne « donne un nombre positif » accepte $0$ comme réponse, la consigne « donne un nombre strictement positif » ne l'accepte pas.

L'opposé et la valeur absolue

La distance à zéro d'un nombre relatif mesure à quelle distance il se trouve du $0$, sans regarder le signe. Ainsi $-7$ et $+7$ ont la même distance à zéro, qui vaut $7$.

Cette distance porte un nom officiel : c'est la valeur absolue du nombre. On l'écrit entre deux barres verticales, $|a|$, et on lit « valeur absolue de $a$ ».

• Si $a$ est positif, sa valeur absolue est $a$ lui-même : $|+7| = 7$, $|+2{,}5| = 2{,}5$, $|0| = 0$.
• Si $a$ est négatif, sa valeur absolue est le nombre obtenu en effaçant le signe $-$ : $|-7| = 7$, $|-2{,}5| = 2{,}5$.

Une valeur absolue n'est jamais strictement négative : c'est une distance. Écrire $|-7| = -7$ est faux ; la bonne écriture est $|-7| = 7$. Et le seul nombre dont la valeur absolue vaut $0$ est $0$ lui-même.

Deux nombres qui ont la même valeur absolue sans avoir le même signe sont opposés : $-7$ et $+7$ sont opposés, et $|-7| = |+7| = 7$. On obtient l'opposé d'un nombre en changeant son signe ; sur la droite graduée, deux opposés sont symétriques par rapport à $0$. L'opposé de $0$ est $0$.

Comparer : la méthode, cas par cas

Le principe unique : sur la droite graduée, le nombre le plus à droite est le plus grand. Tous les cas en découlent.

Cas 1 — un nombre strictement positif et un nombre strictement négatif. Le strictement positif l'emporte toujours : $+2 \gt -9$.

Cas 2 — un nombre et $0$. Tout nombre strictement positif est plus grand que $0$, tout nombre strictement négatif est plus petit : $+4 \gt 0$ et $-4 \lt 0$.

Cas 3 — deux positifs. On compare comme d'habitude : le plus grand nombre est le plus grand relatif, $+7 \gt +3$.

Cas 4 — deux négatifs. C'est le cas qui piège : le plus grand est le plus proche de $0$, c'est-à-dire celui dont la valeur absolue est la plus petite. Ici $|-3| = 3$ et $|-7| = 7$ ; comme $3 \lt 7$, on obtient $-3 \gt -7$.

Méthode générale : place les nombres sur la droite graduée, puis lis-les de gauche (le plus petit) vers la droite (le plus grand).

Et le repérage dans le plan ?

Repérer un point dans un repère orthogonal — deux droites graduées perpendiculaires, et un couple de coordonnées $M(x_M\,;\,y_M)$ — relève d'un chapitre voisin, traité dans la fiche Repérage sur une droite et dans le plan (tu le rencontreras aussi sous le nom de repère cartésien). Ici, on reste sur la droite graduée : lire l'abscisse d'un nombre relatif, et placer un nombre relatif d'abscisse donnée.

Exemple 1 : ranger dans l'ordre croissant

Énoncé : range dans l'ordre croissant les nombres $+4$ ; $-6$ ; $0$ ; $-1$ ; $+2$.

Ligne 1. On trie d'abord par famille : les négatifs, puis $0$, puis les positifs. Négatifs : $-6$ et $-1$. Zéro : $0$. Positifs : $+2$ et $+4$.

Ligne 2. Chez les négatifs, le plus petit est le plus loin de $0$ : $-6$ est plus loin que $-1$, donc $-6 \lt -1$.

Ligne 3. Chez les positifs, rien de piégeux : $+2 \lt +4$.

Ligne 4. On recolle tout de gauche à droite : $-6 \lt -1 \lt 0 \lt +2 \lt +4$.

Réponse : $-6 \lt -1 \lt 0 \lt +2 \lt +4$.

Exemple 2 : comparer deux négatifs

Énoncé : compare $-3$ et $-8$ (place le bon symbole entre les deux).

Ligne 1. Premier réflexe : quel signe ? Les deux sont négatifs, on est donc dans le cas piège — attention à ne pas répondre trop vite.

Ligne 2. On compare les valeurs absolues : $|-3| = 3$ et $|-8| = 8$. Comme $3 \lt 8$, le nombre $-3$ est plus proche de $0$.

Ligne 3. Et le plus proche de $0$ est le plus grand : $-3 \gt -8$.

Piège évité : on aurait tort d'écrire $-3 \lt -8$ sous prétexte que $3 \lt 8$. Chez les négatifs, l'ordre s'inverse.

Exemple 3 : ranger dans l'ordre décroissant

Énoncé : range dans l'ordre décroissant (du plus grand au plus petit) : $-7$ ; $+3$ ; $-1$ ; $0$ ; $+6$.

Ligne 1. Décroissant, ça veut dire qu'on descend : on commence par le plus grand. Les positifs d'abord, le plus grand étant $+6$, puis $+3$.

Ligne 2. Ensuite vient $0$.

Ligne 3. Puis les négatifs, du plus grand (proche de $0$) au plus petit (loin de $0$) : $-1$ avant $-7$.

Ligne 4. On écrit la chaîne avec des symboles $\gt$ : $+6 \gt +3 \gt 0 \gt -1 \gt -7$.

Réponse : $+6 \gt +3 \gt 0 \gt -1 \gt -7$.

Les pièges classiques (et comment les éviter)

Piège 1 — les deux négatifs à l'envers. Écrire $-8 \gt -3$ est faux. Entre deux négatifs, le plus grand est le plus proche de $0$ : la bonne réponse est $-3 \gt -8$.

Piège 2 — confondre « loin de $0$ » et « grand ». Le nombre $-10$ est très éloigné de $0$, et pourtant il est petit : $-10 \lt -2$. Chez un négatif, une grande distance à zéro signifie un nombre plus petit.

Piège 3 — l'abscisse lue sans regarder le pas de la graduation. Sur une droite graduée, commence par voir ce que vaut un pas entre deux traits : si un pas vaut $0{,}5$, le troisième trait à gauche de $0$ n'est pas $-3$ mais $-1{,}5$. Et le signe se lit au côté du $0$ où l'on se trouve, jamais sur la distance.

Piège 4 — la valeur absolue d'un négatif. $|-7|$ ne vaut pas $-7$ : une valeur absolue est une distance, elle n'est jamais strictement négative. La bonne réponse est $|-7| = 7$, exactement comme $|+7| = 7$.

Piège 5 — « positif » n'est pas « strictement positif ». Si l'énoncé demande les nombres positifs d'une liste, $0$ compte ; s'il demande les nombres strictement positifs, $0$ ne compte pas. Même chose du côté négatif. Relis la consigne avant de compter.

Problème : la carte des températures

Énoncé : un matin d'hiver on relève Lille $-4$ °C, Nice $+7$ °C, Nancy $-9$ °C, Paris $0$ °C, Lyon $-1$ °C. Range les villes de la plus froide à la plus chaude.

Étape 1. La plus froide, c'est la température la plus petite : on range donc les relatifs dans l'ordre croissant.

Étape 2. Les négatifs d'abord, le plus loin de $0$ étant le plus petit : $-9 \lt -4 \lt -1$, soit Nancy, Lille, Lyon.

Étape 3. Puis $0$ (Paris), puis le seul positif $+7$ (Nice).

Étape 4. Chaîne complète : $-9 \lt -4 \lt -1 \lt 0 \lt +7$.

Réponse rédigée : de la plus froide à la plus chaude, Nancy, Lille, Lyon, Paris, Nice.

Question bonus a. Combien de villes ont une température strictement négative ? Et une température négative ?

Corrigé a. Strictement négative, c'est-à-dire plus petite que $0$ : Lille $-4$, Nancy $-9$, Lyon $-1$, soit 3 villes. Négative, c'est-à-dire plus petite que $0$ ou égale à $0$ : les trois précédentes plus Paris à $0$ °C, soit 4 villes.

Question bonus b. Quelle ville s'écarte le plus de $0$ °C ?

Corrigé b. On compare les valeurs absolues : $|-4| = 4$, $|+7| = 7$, $|-9| = 9$, $|0| = 0$, $|-1| = 1$. La plus grande est $9$ : c'est Nancy. Attention au sens : Nancy a la plus grande valeur absolue, mais la plus petite température.

Et le repérage dans le plan ?

Les questions de type contrôle sur le repère orthogonal — placer $A(-3\,;\,2)$, lire les coordonnées d'un point, retrouver un point à partir de l'abscisse de l'un et de l'ordonnée d'un autre — sont rédigées en entier dans la fiche Repérage sur une droite et dans le plan.

Additionner et multiplier des relatifs (la suite directe)

Comparer et repérer, c'est la première marche. La suite immédiate, c'est calculer avec les relatifs.

Additionner reviendra à se déplacer sur la droite graduée : ajouter un positif fait avancer vers la droite, ajouter un négatif fait reculer vers la gauche. C'est tout l'objet de la fiche « Addition et soustraction de nombres relatifs ».

Multiplier (l'année prochaine, en 4e) suivra la fameuse règle des signes : deux nombres de même signe donnent un produit positif, deux signes contraires donnent un produit négatif.

Où mène la valeur absolue

La valeur absolue vue dans le cours ($|-7| = 7$) mesure un écart au $0$. Plus tard, elle servira à mesurer l'écart entre deux nombres quelconques : l'écart entre $-3$ et $+5$ vaut $8$, et on l'écrira $|-3 - (+5)| = |-8| = 8$.

Elle ouvre aussi un type d'équation nouveau : « quels sont les nombres dont la valeur absolue vaut $3$ ? » a deux réponses, $-3$ et $+3$, justement parce que deux nombres opposés ont la même valeur absolue.

C'est pour cela qu'on n'efface jamais les barres sans réfléchir : $|a| = a$ quand $a$ est positif, mais $|a|$ est l'opposé de $a$ quand $a$ est strictement négatif.

Pourquoi les négatifs se rangent à l'envers

Une petite justification. Pourquoi, entre deux négatifs, le plus proche de $0$ est-il le plus grand ? Parce que comparer $-8$ et $-3$ revient à comparer $8$ et $3$ en inversant le résultat : puisque $8 \gt 3$, on obtient $-8 \lt -3$. Le signe $-$ retourne l'ordre.

Où mène la droite graduée. Une droite graduée, puis deux : c'est le repère orthogonal, et tout ce qui suit s'y construit — figures repérées, lecture de graphiques, courbes de fonctions. Ce prolongement est développé dans la fiche Repérage sur une droite et dans le plan.

Autrement dit, les nombres relatifs ne servent pas qu'à mesurer le froid : ils sont le langage de tous les axes gradués des mathématiques.